11.1.4 同底数幂的除法 教案 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该教案聚焦同底数幂除法法则（aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ，a≠0）及零指数幂（a⁰=1，a≠0）的教学，通过木星与地球质量比的实际情境引出10²⁴÷10²¹，回顾同底数幂乘法法则，搭建从乘法到除法的学习支架，激发探究兴趣。 此教案以“计算—观察—猜想—验证—归纳”过程培养逻辑推理，分层练习（基础巩固、提高逆用、辨析易错）提升数学运算能力，情境导入体现数学眼光。助力学生发展抽象与逆向思维，为教师提供完整流程与分层资源，高效落实教学目标。

XX中学教案 学科 数学 教师 班级 课题 11.1.4 同底数幂的除法 课型 新授 教学 目标 知识 目标 1.理解同底数幂除法法则的推导过程，掌握同底数幂相除"底数不变，指数相减"的运算法则； 2.能运用同底数幂除法法则进行准确计算，并能逆用法则解决相关问题。 能力 目标 1.经历探索同底数幂除法运算性质的过程，发展数感和符号意识； 2.通过从特殊到一般的归纳推理，培养学生的抽象概括能力； 3.通过法则的逆用训练，培养学生的逆向思维和灵活运算能力。 核心 素养 目标 1.数学抽象：从具体运算实例中抽象出同底数幂除法的一般法则； 2.逻辑推理：经历"计算—观察—猜想—验证—归纳"的推理过程； 3.数学运算：能准确、灵活地进行同底数幂除法运算，提升运算素养； 4.数学建模：能运用同底数幂除法解决实际问题（如科学计数法中的除法）。 教学 重点 难点 重点：同底数幂除法法则的理解与运用。 难点：底数为负数或整体时的符号处理；同底数幂除法法则的逆用及与其他幂运算的综合运用。 教学 方法 启发式教学、探究式学习、讲练结合、类比迁移法 教学 手段 多媒体课件、学案 课时 1 教学 环节及时间 教师活动 学生活动 设计意图 （一）情境导入，导入新课（5分钟） 【创设情境】 出示问题：木星的质量约为 1.9×10²⁴ 吨，地球的质量约为 6×10²¹ 吨，木星的质量约是地球的多少倍？ 【引导列式】 (1.9×10²⁴)÷(6×10²¹) = (1.9÷6)×(10²⁴÷10²¹) 【提出问题】10²⁴÷10²¹ 该如何计算？这就是我们今天要学习的内容——同底数幂的除法。（板书课题） 【温故知新】快速回顾：同底数幂乘法法则是什么？aᵐ·aⁿ=？ 1. 阅读情境问题，思考并尝试列式； 2. 发现新问题：10²⁴÷10²¹ 不会算，产生认知冲突； 3. 回忆并口答同底数幂乘法法则：aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ。 以天文数据为背景，让学生感受数学与现实的联系，激发学习兴趣； 通过认知冲突引出课题，同时复习乘法法则为类比推导做铺垫。 （二）合作探究，构建新知（15分钟） 【探究活动一】计算并观察： (1) 10⁵÷10³ = 10（ ） (2) (2) 2⁶÷2² = 2（ ） (3) (3) a⁷÷a³ = a（ ）（a≠0） 引导学生用乘方的意义约分推导： aᵐ÷aⁿ = (a·a·…·a)[m个] ÷ (a·a·…·a)[n个] = a·a·…·a[m-n个] = aᵐ⁻ⁿ 【归纳法则】板书：aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ（a≠0，m、n为正整数，且m>n） 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 【追问思考】①为什么要求a≠0？②为什么要求m>n？ 【探究活动二】当m=n时：aᵐ÷aᵐ = 1，按法则aᵐ÷aᵐ = a⁰，因此规定：a⁰=1（a≠0） 强调：0⁰无意义！ 【例题精讲】 例1 计算： (1) a⁸÷a³ (2) (-a)¹⁰÷(-a)³ (3) (-2a)⁷÷(2a)⁴ 解：(1) a⁸÷a³=a⁸⁻³=a⁵ (2) (-a)¹⁰÷(-a)³=(-a)⁷=-a⁷ (3) (-2a)⁷÷(2a)⁴=-(2a)⁷÷(2a)⁴=-(2a)³=-8a³ 例2（逆用法则）已知aᵐ=8，aⁿ=2，求：(1) aᵐ⁻ⁿ (2) a²ᵐ⁻³ⁿ 解：(1) aᵐ⁻ⁿ=aᵐ÷aⁿ=8÷2=4 (2) a²ᵐ⁻³ⁿ=a²ᵐ÷a³ⁿ=(aᵐ)²÷(aⁿ)³=64÷8=8 例3（综合运用）若3ᵃ÷9ᵇ=27，求a-2b的值。 解：3ᵃ÷3²ᵇ=3³，即 3ᵃ⁻²ᵇ=3³，∴a-2b=3 1. 独立计算探究题，观察指数变化规律； 2. 小组讨论：用乘方意义解释计算过程； 3. 尝试用文字和符号归纳法则； 4. 思考并回答a≠0和 m>n 的原因； 5. 推导零指数幂，理解a⁰=1的合理性； 6. 跟随教师板演例题，注意符号处理和书写规范； 7. 体会逆用法则的思路，记录关键步骤。 让学生经历"计算—观察—猜想—验证—归纳"的完整探究过程，培养逻辑推理能力； 通过追问深化对法则条件的理解，培养思维的严谨性； 零指数幂的推导体现从特殊到一般的数学思想； 例题由浅入深，覆盖直接运用、符号处理、逆用、综合运用四种类型，层层递进。 （三）课堂练习 ，内化新知（约10分钟） 【分层练习】 ★ 基础题（全员完成） 1. 计算：(1) x⁷÷x⁴ (2) (-b)⁸÷(-b)⁵ (3) (2xy)⁶÷(2xy)³ (4) y²ⁿ⁺¹÷yⁿ⁻¹ 【参考答案：(1) x3 (2)-b3 (3) 8x3y3 (4) yⁿ⁺2】 2. 填空：(1) a⁵·( )=a¹² (2) ( )÷(-c)⁴=(-c)⁹ 【参考答案：(1)a7 (2)(-c)13】 3. 计算零指数幂：(1) (-2026)⁰ (2) (π-3.14)⁰ (3) 若(x-2)⁰=1，则x的取值范围是______ 【参考答案：(1) 1 (2)0 (3)x≠2】 ★★ 提高题（选做） 4. 已知aᵐ=5，aⁿ=3，求aᵐ⁻ⁿ和a²ᵐ⁻ⁿ的值。 【参考答案：aᵐ⁻ⁿ=aᵐ÷aⁿ=5÷3=，a²ᵐ⁻ⁿ=a2ᵐ÷aⁿ=(am)2÷aⁿ=25÷3=】 5. 若2ˣ=16，2ʸ=8，求2ˣ⁻ʸ的值。 【参考答案：2ˣ⁻ʸ=2ˣ÷2ʸ=16÷8=2】 6. 若5ᵃ⁻²ᵇ=5，且5ᵃ=125，求5ᵇ的值。 【参考答案：5ᵃ⁻²ᵇ=5ᵃ÷52b=125÷52b=5，所以52b=(5ᵇ)2=25，所以5ᵇ=5】 ★★★ 辨析题 7. 下列计算是否正确？错误的请改正： (1) a⁶÷a²=a³ (2) (-a)⁴÷(-a)²=-a² (3) a⁵÷a⁵=0 (4) (x-y)⁵÷(y-x)²=(x-y)³ 【(1)错误，改正为a4 (2)错误，改正为a² (3)错误，改正为1 (4)正确】 教师巡视，对学困生进行个别指导，选取典型错误进行投影点评。 1. 独立完成基础题，同桌互查； 2. 学有余力的同学完成提高题； 3. 辨析题先判断再改正，小组内交流错因； 4. 主动板演，参与讲评。 分层练习满足不同层次学生需求，体现因材施教； 基础题巩固法则直接运用；提高题训练逆用和综合能力； 辨析题针对常见易错点（指数相除、符号、零指数、底数互为相反数）设计，强化易错点突破； 通过互评和讲评，培养学生反思和纠错能力。 （四）课堂小结 （约3分钟） 【引导小结】今天你学到了什么？有哪些需要注意的地方？ 师生共同梳理： 1. 同底数幂除法法则：aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ（a≠0，m、n为正整数，m>n） 2. 拓展：零指数幂：a⁰=1（a≠0），0⁰无意义 3. 注意：①底数不为零；②负数底数的符号处理；③法则可逆用；④与乘法法则区分（除法指数相减，乘法指数相加） 作业 检测 基础作业 【基础作业】 1. 教材课后习题（对应新教材11.1.4练习）； 2. 计算：(1) a⁹÷a⁴ (2) (-x)⁷÷(-x)⁴ (3) (3mn)⁵÷(3mn)² (4) t³ᵐ⁺²÷tᵐ 【参考答案：(1)a5 (2)-x3 (3)27m3n3 (4)t2m+2】 3. 计算：(1) (-√3)⁰ (2) (a²+1)⁰ (3) 2026⁰+(-1)²⁰²⁶ 【参考答案：(1) 1 (2)1 (3)2】 提高作业 【提高作业】 1. 已知 xᵐ=9，xⁿ=3，求 xᵐ⁻ⁿ 和 x²ᵐ⁻²ⁿ 的值； 【参考答案：xᵐ⁻ⁿ=xᵐ÷xⁿ=9÷3=3，x²ᵐ⁻²ⁿ=(xᵐ)2÷(xⁿ)2=81÷9=9】 2. 若 4ᵃ÷8ᵇ=16，求 2a-3b 的值； 【参考答案：因为4ᵃ=22a，8ᵇ=23b，所以4ᵃ÷8ᵇ=22a÷23b=22a-3b=16=24，所以2a-3b=4】 拓展预习 作业 【拓展预习作业】 1. 思考：当 m<n 时，aᵐ÷aⁿ 还能用今天的法则计算吗？例如 2³÷2⁵=？尝试推导负整数指数幂的意义；【能用，2³÷2⁵=2-2】 2. 预习下一节"整式的除法"相关内容，了解单项式除以单项式的运算思路。 板书设计 【法则推导】 aᵐ÷aⁿ = (m个a)÷(n个a) = (m-n个a) = aᵐ⁻ⁿ 【零指数幂】 aᵐ÷aᵐ=1=a⁰ ∴ a⁰=1 (a≠0) 【同底数幂除法法则】 aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ (a≠0，m、n为正整数，m>n) 口诀：底数不变，指数相减 【逆用】aᵐ⁻ⁿ=aᵐ÷aⁿ 【例题】 例1 (-a)¹⁰÷(-a)³=(-a)⁷=-a⁷ 例2 aᵐ⁻ⁿ=aᵐ÷aⁿ 例3 3ᵃ÷9ᵇ=27 →3ᵃ⁻²ᵇ=3³ →a-2b=3 教学反思 本节课通过木星与地球质量比的实际情境引入，有效激发了学生的探究兴趣。在法则推导环节，学生能借助乘方的意义通过约分自主归纳出 "底数不变，指数相减" 的结论，体现了从特殊到一般的认知规律。但课堂练习中发现，部分学生在处理负数底数（如 (-a)¹⁰÷(-a)³）和整体底数（如 (2xy)⁶÷(2xy)³）时仍存在符号遗漏和指数运算混淆的问题；逆用法则的题型对中等偏下学生难度较大，需在后续课时增加专项训练。零指数幂的教学中，学生对 a≠0 的条件理解不够深刻，应通过更多反例强化。今后教学中应进一步分层设计练习，增加小组互评纠错环节，切实落实运算素养的培养。 学科网（北京）股份有限公司 $