17.5 轨迹方程 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦解析几何中轨迹方程核心考点，系统梳理直接法、定义法、相关点法、参数法四种基本方法，按知识梳理（含步骤、比较、提示）与典型例题（融入高考真题）的逻辑架构展开，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建解题框架，突破轨迹方程求解难点。 资料以“方法选择—问题转化—模型构建”为主线，创新采用定义法与直接法对比分析、相关点法参数消去训练等教学活动，如例4（2）通过中点坐标关系应用相关点法，培养学生数学思维与模型观念。设置从基础方法到综合应用的例题梯度，配合参考答案即时反馈，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

解析几何 17.5 轨迹方程 学习目标 ● 掌握求轨迹方程的四种基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法 ● 能根据题目条件选择合适的方法求轨迹方程 ● 能综合运用轨迹方程解决高考圆锥曲线解答题 知识点一 直接法与定义法 1. 知识梳理 （一）直接法 直接法：直接根据动点满足的几何条件，列出关于 、 的方程。 基本步骤： 1. 设动点坐标 2. 根据几何条件列出等式 3. 化简得轨迹方程 4. 检验（去掉不合题意的点） （二）定义法 定义法：若动点的轨迹符合某种曲线的定义，直接写出轨迹方程。 常见曲线定义： 1. 圆：到定点距离等于定长 2. 椭圆：到两定点距离之和等于常数（） 3. 双曲线：到两定点距离之差的绝对值等于常数（） 4. 抛物线：到定点与定直线距离相等 （三）两种方法的比较 直接法：适用于几何条件容易转化为代数方程的情况 定义法：适用于动点轨迹明显符合某种曲线定义的情况 📌 提示：直接法的关键是正确列出几何条件对应的等式；定义法的关键是识别动点轨迹符合哪种曲线定义。 2. 典型例题 例1 已知动点 到定点 的距离与到定直线 的距离之比为 ，求动点 的轨迹方程。 例2 已知圆 ，动圆 与圆 外切，且与 轴相切，求动圆圆心 的轨迹方程。 例3 已知椭圆 ，、 是 上关于原点对称的两点， 是 上异于 、 的动点，证明： 为定值。 例4 已知椭圆 （）过点 ，离心率为 。 （1）求 的方程； （2）过点 的直线 交 于 、 两点，设 为 的中点，求 的轨迹方程。 例5 （2025年全国I卷18题）设椭圆 （）的离心率为 ，下顶点为 ，右顶点为 ，。 （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动点 不在 轴上，点 在射线 上，且满足 。设点 ，求点 的坐标（用 、 表示）。 知识点二 相关点法与参数法 1. 知识梳理 （一）相关点法（代入法） 相关点法：当动点 随另一点 运动而运动时，用 的坐标表示 的坐标，再代入 满足的方程。 基本步骤： 1. 设动点 ，已知曲线上的点 2. 用 、 表示 、 3. 将 代入已知曲线方程 4. 化简得 的轨迹方程 （二）参数法 参数法：引入参数 （或 ），用参数表示动点的坐标 ，，再消去参数得普通方程。 基本步骤： 1. 选择适当的参数 2. 用参数表示 和 3. 消去参数得普通方程 4. 注意参数的取值范围 （三）参数的选择 1. 直线的斜率 或倾斜角 2. 时间 3. 角度 （椭圆、圆的参数方程） 4. 比值 （定比分点） 📌 提示：相关点法的关键是找到动点与已知曲线上点的关系；参数法的关键是选择合适的参数，并注意参数的取值范围。 2. 典型例题 例1 已知椭圆 ，过点 作直线 交 于 、 两点，求 中点 的轨迹方程。 例2 已知椭圆 ，，， 为 上的动点，求 的取值范围。 例3 已知椭圆 ，过点 作直线 交 于 、 两点，求 的最大值。 例4 已知抛物线 ，过点 作直线 交 于 、 两点，求 的取值范围。 例5 已知椭圆 ，，， 为 上的动点（不含 、），求直线 与 斜率之积的取值范围。 参考答案汇总 知识点一： 例1答案： 例2答案： 例3答案： 例4答案：（1）；（2） 例5答案：（1）；（2） 知识点二： 例1答案： 例2答案： 例3答案： 例4答案：（定值） 例5答案：（定值） 学科网（北京）股份有限公司 $ 解析几何 17.5 轨迹方程 学习目标 ● 掌握求轨迹方程的四种基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法 ● 能根据题目条件选择合适的方法求轨迹方程 ● 能综合运用轨迹方程解决高考圆锥曲线解答题 知识点一 直接法与定义法 1. 知识梳理 （一）直接法 直接法：直接根据动点满足的几何条件，列出关于 、 的方程。 基本步骤： 1. 设动点坐标 2. 根据几何条件列出等式 3. 化简得轨迹方程 4. 检验（去掉不合题意的点） （二）定义法 定义法：若动点的轨迹符合某种曲线的定义，直接写出轨迹方程。 常见曲线定义： 1. 圆：到定点距离等于定长 2. 椭圆：到两定点距离之和等于常数（） 3. 双曲线：到两定点距离之差的绝对值等于常数（） 4. 抛物线：到定点与定直线距离相等 （三）两种方法的比较 直接法：适用于几何条件容易转化为代数方程的情况 定义法：适用于动点轨迹明显符合某种曲线定义的情况 📌 提示：直接法的关键是正确列出几何条件对应的等式；定义法的关键是识别动点轨迹符合哪种曲线定义。 2. 典型例题 例1 已知动点 到定点 的距离与到定直线 的距离之比为 ，求动点 的轨迹方程。 【解析】 ，轨迹为椭圆。 设 ，由定义： 两边平方： 答：。 例2 已知圆 ，动圆 与圆 外切，且与 轴相切，求动圆圆心 的轨迹方程。 【解析】 设 ，圆 半径为 。 与 轴相切：（ 时 ） 与圆 外切： 两边平方： 答：（抛物线）。 例3 已知椭圆 ，、 是 上关于原点对称的两点， 是 上异于 、 的动点，证明： 为定值。 【解析】 设 ，，。 、 在椭圆上：， 由椭圆方程：， 答：（定值）。 例4 已知椭圆 （）过点 ，离心率为 。 （1）求 的方程； （2）过点 的直线 交 于 、 两点，设 为 的中点，求 的轨迹方程。 【解析】 （1），，。 代入 ：，，，。 （2）设 ，，，。 联立 与 ： 由 ，，消去 ： 答： 的轨迹方程为 （椭圆内部的一段弧）。 例5 （2025年全国I卷18题）设椭圆 （）的离心率为 ，下顶点为 ，右顶点为 ，。 （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动点 不在 轴上，点 在射线 上，且满足 。设点 ，求点 的坐标（用 、 表示）。 【解析】 （1），，，。 ，，，，。 （2），，设 。 由 在射线 上，（）。 ， 答：。 知识点二 相关点法与参数法 1. 知识梳理 （一）相关点法（代入法） 相关点法：当动点 随另一点 运动而运动时，用 的坐标表示 的坐标，再代入 满足的方程。 基本步骤： 1. 设动点 ，已知曲线上的点 2. 用 、 表示 、 3. 将 代入已知曲线方程 4. 化简得 的轨迹方程 （二）参数法 参数法：引入参数 （或 ），用参数表示动点的坐标 ，，再消去参数得普通方程。 基本步骤： 1. 选择适当的参数 2. 用参数表示 和 3. 消去参数得普通方程 4. 注意参数的取值范围 （三）参数的选择 1. 直线的斜率 或倾斜角 2. 时间 3. 角度 （椭圆、圆的参数方程） 4. 比值 （定比分点） 📌 提示：相关点法的关键是找到动点与已知曲线上点的关系；参数法的关键是选择合适的参数，并注意参数的取值范围。 2. 典型例题 例1 已知椭圆 ，过点 作直线 交 于 、 两点，求 中点 的轨迹方程。 【解析】 设 ，，。 、 在椭圆上：， 两式相减： ，， 又 在直线 上， 过 ： 答： 的轨迹方程为 （椭圆）。 例2 已知椭圆 ，，， 为 上的动点，求 的取值范围。 【解析】 设 。 令 ， 这是一个关于 的函数，需要考虑 的符号。 当 时， 当 时， 通过求导或数值计算可得取值范围。 答：。 例3 已知椭圆 ，过点 作直线 交 于 、 两点，求 的最大值。 【解析】 设 的参数方程：（ 为参数） 代入椭圆方程： 设两根为 、，则 当 （即 水平）时，取最大值 。 答： 的最大值为 。 例4 已知抛物线 ，过点 作直线 交 于 、 两点，求 的取值范围。 【解析】 设 的参数方程： 代入抛物线： 设两根为 、，则 ， 由于 ， 答：（定值）。 例5 已知椭圆 ，，， 为 上的动点（不含 、），求直线 与 斜率之积的取值范围。 【解析】 设 ，。 由椭圆方程： 答：（定值）。 教学建议与知识总结 一、本节核心要点 ● 直接法：直接根据几何条件列出方程，关键是正确建立等式关系。 ● 定义法：识别动点轨迹符合哪种曲线定义，直接写出方程。 ● 相关点法：用动点坐标表示已知曲线上点的坐标，再代入已知方程。 ● 参数法：引入参数表示坐标，再消去参数得普通方程。 二、常见学生错误 ● 直接法中几何条件列写错误，如距离公式使用不当。 ● 定义法中未验证曲线定义的条件（如椭圆需 ）。 ● 相关点法中用动点坐标表示已知点坐标时出错。 ● 参数法中忘记参数的取值范围，导致轨迹不完整。 三、课时建议 本节内容建议安排 2 课时： ● 第 1 课时：知识点一（直接法与定义法） ● 第 2 课时：知识点二（相关点法与参数法） 学科网（北京）股份有限公司 $