17.1 直线与圆锥曲线的位置关系 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦解析几何核心考点，系统整合直线与圆锥曲线位置关系的判定方法、韦达定理应用、弦长公式及中点弦问题，按联立法与韦达定理、判别式应用、弦长与中点弦三大模块分层梳理，每个模块包含知识梳理与典型例题，通过考点精析、方法指导（如“设而不求”思想）、真题训练等环节，帮助学生构建解题框架，突破高考高频难点。 资料以数学思维培养为核心，创新采用对比教学策略，如中点弦问题中对比点差法与联立法的适用场景，提升学生逻辑推理与运算能力。设置从基础方程求解到综合定点证明的分层例题，配合即时反馈机制，确保学生高效掌握解题技巧，为教师精准把控复习节奏提供清晰路径，助力学生提升高考实战应考能力。

解析几何 17.1 直线与圆锥曲线的位置关系 学习目标 ● 掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定方法（联立法与判别式） ● 熟练运用韦达定理处理直线与圆锥曲线的交点问题 ● 掌握弦长公式及中点弦问题的求解方法（联立法与点差法） ● 能综合运用以上方法解决高考圆锥曲线解答题 知识点一 联立法与韦达定理 1. 知识梳理 （一）联立消元法 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量（通常消 ），得到关于另一个变量的一元二次方程。 设直线 ，椭圆 ，联立消去 得： （二）韦达定理 设上述方程的两根为 、，由韦达定理： 同理，若消 得关于 的方程，可得 和 。 （三）设而不求 在圆锥曲线综合题中，通常不需要求出交点的具体坐标，而是利用韦达定理进行整体代入，这种方法称为"设而不求"。 📌 提示：联立消元后必须检验 ，确保直线与曲线有两个不同交点。设直线时注意讨论斜率是否存在（竖直线需单独处理）。 2. 典型例题 例1 已知椭圆 （）的离心率是 ，点 在 上。 （1）求 的方程； （2）设过点 的直线 交 于 、 两点，求 的表达式。 例2 已知椭圆 （）的离心率为 ，且过点 。 （1）求 的方程； （2）过点 的直线 交 于 、 两点，求 面积的最大值。 例3 （联立法求参数范围） 已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点，求 的取值范围。 例4 设抛物线 （）的焦点为 ，点 ，过 的直线交 于 、 两点。当直线 垂直于 轴时，。 （1）求 的方程； （2）设直线 、 分别与 交于 、 两点，证明：直线 过定点。 例5 （韦达定理求表达式） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，求 的表达式（用直线参数表示）。 知识点二 判别式的应用 1. 知识梳理 （一）判别式与位置关系 设直线与圆锥曲线联立后得到 （），判别式 ，则： （二）判别式求参数范围 利用 （或 ）可求出直线参数的取值范围。 常见类型：直线过定点、斜率存在、与曲线有两个交点等条件。 （三）特殊情形 当直线斜率不存在（）时，需单独讨论。 当直线过曲线内部点时，必与曲线相交（ 恒成立）。 📌 提示：判别式法是判断直线与圆锥曲线位置关系的基本方法。在求参数范围时，需注意 、、 三种情况的讨论。 2. 典型例题 例1 （判别式求参数范围） 已知椭圆 ，直线 与 有且仅有两个交点，求 与 满足的关系。 例2 已知椭圆 ，直线 过点 交 于 、 两点。若 ，求 的斜率。 例3 （判别式与相切） 已知椭圆 ，求过点 且与 相切的直线方程。 例4 （判别式求交点个数） 已知椭圆 ，直线 恒过定点 。当 与 有两个不同交点时，求 的取值范围。 例5 （判别式与面积） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，求 面积的最大值。 知识点三 弦长公式与中点弦问题 1. 知识梳理 （一）弦长公式 设直线 与曲线交于 、，直线斜率为 ，则弦长： 若直线方程为 （消 ），则： （二）中点弦问题 已知弦的中点 ，求弦所在直线的方程。 方法一（联立法）：设直线方程，联立曲线，利用韦达定理表示中点坐标，解出直线参数。 方法二（点差法）：设弦两端点 、，代入曲线方程作差： 两式相减得： 即 ，即 。 （三）点差法结论 对于椭圆 ，弦 的中点为 ， 为原点，则： 对于双曲线 ，类似地： 📌 提示：点差法适用于中点弦问题，但需注意检验直线是否与曲线有两个不同交点（即直线是否在曲线内部）。点差法的优点是计算简便，缺点是可能遗漏斜率不存在的情况。 2. 典型例题 例1 （弦长公式） 已知椭圆 ，过右焦点 的直线 交 于 、 两点，求 的最小值。 例2 已知直线 与椭圆 在第一象限交于 、 两点， 与 轴、 轴分别交于 、 两点，且 ，求 的方程。 例3 （中点弦方程） 已知椭圆 ，求以 为中点的弦所在直线的方程。 例4 （点差法求离心率） 已知椭圆 （），、 是 上两点， 是 的中点。若 ，求椭圆的离心率。 例5 （中点弦综合） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，求 中点 的轨迹方程。 参考答案汇总 知识点一 例1答案：（1）；（2）。 例2答案：（1）；（2） 面积的最大值为 。 例3答案：。 例4答案：（1）；（2）直线 过定点 。 例5答案：。 知识点二 例1答案：。 例2答案： 的斜率为 。 例3答案： 或 。 例4答案：。 例5答案： 面积的最大值为 。 知识点三 例1答案： 的最小值为 （通径长）。 例2答案： 的方程为 。 例3答案：。 例4答案：。 例5答案： 的轨迹方程为 （椭圆内部的一段弧）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 解析几何 17.1 直线与圆锥曲线的位置关系 学习目标 ● 掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定方法（联立法与判别式） ● 熟练运用韦达定理处理直线与圆锥曲线的交点问题 ● 掌握弦长公式及中点弦问题的求解方法（联立法与点差法） ● 能综合运用以上方法解决高考圆锥曲线解答题 知识点一 联立法与韦达定理 1. 知识梳理 （一）联立消元法 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量（通常消 ），得到关于另一个变量的一元二次方程。 设直线 ，椭圆 ，联立消去 得： （二）韦达定理 设上述方程的两根为 、，由韦达定理： 同理，若消 得关于 的方程，可得 和 。 （三）设而不求 在圆锥曲线综合题中，通常不需要求出交点的具体坐标，而是利用韦达定理进行整体代入，这种方法称为"设而不求"。 📌 提示：联立消元后必须检验 ，确保直线与曲线有两个不同交点。设直线时注意讨论斜率是否存在（竖直线需单独处理）。 2. 典型例题 例1 已知椭圆 （）的离心率是 ，点 在 上。 （1）求 的方程； （2）设过点 的直线 交 于 、 两点，求 的表达式。 【解析】 （1），，，。 代入 ：，解得 ，。 （2）设 ，联立得 。 ，。 ，利用 ： 答：（1）；（2）。 例2 已知椭圆 （）的离心率为 ，且过点 。 （1）求 的方程； （2）过点 的直线 交 于 、 两点，求 面积的最大值。 【解析】 （1），，，。 代入 ：，，，。 （2）设 ，联立 ： ，。 到 的距离 。 令 ，，。 ，令 ，。 由均值不等式 （当 时取等），。 答： 面积的最大值为 。 例3 （联立法求参数范围） 已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点，求 的取值范围。 【解析】 联立 与 ： ，解得 或 。 当 时，有两个不同交点；当 时， 为重根，直线与椭圆相切。 但 时 是椭圆的上顶点，故 与椭圆只有一个交点。 答：，即 。 例4 设抛物线 （）的焦点为 ，点 ，过 的直线交 于 、 两点。当直线 垂直于 轴时，。 （1）求 的方程； （2）设直线 、 分别与 交于 、 两点，证明：直线 过定点。 【解析】 （1），。当 轴时，。 。 （2），。设 ，联立 ： ，。 直线 过 和 ，与抛物线的另一个交点 满足： 同理 。 直线 的斜率：。 直线 过点 。 答：（1）；（2）直线 过定点 。 例5 （韦达定理求表达式） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，求 的表达式（用直线参数表示）。 【解析】 设 ，联立 ： ，。 。 当 时，。 当 时，，不是定值。 答：（与 有关，不是定值）。当 时，值为 。 知识点二 判别式的应用 1. 知识梳理 （一）判别式与位置关系 设直线与圆锥曲线联立后得到 （），判别式 ，则： （二）判别式求参数范围 利用 （或 ）可求出直线参数的取值范围。 常见类型：直线过定点、斜率存在、与曲线有两个交点等条件。 （三）特殊情形 当直线斜率不存在（）时，需单独讨论。 当直线过曲线内部点时，必与曲线相交（ 恒成立）。 📌 提示：判别式法是判断直线与圆锥曲线位置关系的基本方法。在求参数范围时，需注意 、、 三种情况的讨论。 2. 典型例题 例1 （判别式求参数范围） 已知椭圆 ，直线 与 有且仅有两个交点，求 与 满足的关系。 【解析】 联立 与 ： 答：。 例2 已知椭圆 ，直线 过点 交 于 、 两点。若 ，求 的斜率。 【解析】 设 ，联立 ： ，。 即 ，。 情况一：，代入 ，。 ，，，无实数解。 情况二：，代入 ，。 ，。 ， 的斜率 。 答： 的斜率为 。 例3 （判别式与相切） 已知椭圆 ，求过点 且与 相切的直线方程。 【解析】 设切线 ，即 。 联立 ： ： 化简得 或 。 当 时，，代入椭圆 ，，只有一个交点，是切线。 当 时，，代入椭圆 ，，是切线。 答： 或 。 例4 （判别式求交点个数） 已知椭圆 ，直线 恒过定点 。当 与 有两个不同交点时，求 的取值范围。 【解析】 联立 与 ： ， 或 。 当 时，（二重根）， 与 只有一个交点 。 当 时， 和 是两个不同交点。 答：。 例5 （判别式与面积） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，求 面积的最大值。 【解析】 设 ，联立 ： 到 的距离 。 令 ，，。 ，。 时 ，但 ，故 在 上单调递减。 ，。 答： 面积的最大值为 。 知识点三 弦长公式与中点弦问题 1. 知识梳理 （一）弦长公式 设直线 与曲线交于 、，直线斜率为 ，则弦长： 若直线方程为 （消 ），则： （二）中点弦问题 已知弦的中点 ，求弦所在直线的方程。 方法一（联立法）：设直线方程，联立曲线，利用韦达定理表示中点坐标，解出直线参数。 方法二（点差法）：设弦两端点 、，代入曲线方程作差： 两式相减得： 即 ，即 。 （三）点差法结论 对于椭圆 ，弦 的中点为 ， 为原点，则： 对于双曲线 ，类似地： 📌 提示：点差法适用于中点弦问题，但需注意检验直线是否与曲线有两个不同交点（即直线是否在曲线内部）。点差法的优点是计算简便，缺点是可能遗漏斜率不存在的情况。 2. 典型例题 例1 （弦长公式） 已知椭圆 ，过右焦点 的直线 交 于 、 两点，求 的最小值。 【解析】 当 轴时，，，。 当 为长轴时，。 一般地，设 ，联立 ： 令 ，。 时，，。当 时，。 答： 的最小值为 （通径长）。 例2 已知直线 与椭圆 在第一象限交于 、 两点， 与 轴、 轴分别交于 、 两点，且 ，求 的方程。 【解析】 设 的中点为 ，由 知 也是 的中点。 设 ，，由点差法： 设 （，），，。 的坐标：，。 。 代入椭圆方程验证 与 有两个第一象限交点，解得 。 答： 的方程为 。 例3 （中点弦方程） 已知椭圆 ，求以 为中点的弦所在直线的方程。 【解析】 方法一（点差法）：设 ，，代入椭圆方程： 两式相减： ，，。 ，即 。 验证：联立 与 ，，有两个交点。 答：。 例4 （点差法求离心率） 已知椭圆 （），、 是 上两点， 是 的中点。若 ，求椭圆的离心率。 【解析】 由点差法结论：。 由题意 ，。 答：。 例5 （中点弦综合） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，求 中点 的轨迹方程。 【解析】 设 ，，，。 联立 ：。 由 ，。 由 ，，。 ，。 ，。 ，即 。 答： 的轨迹方程为 （椭圆内部的一段弧）。 教学建议与知识总结 一、本节核心要点 ● 联立消元法是处理直线与圆锥曲线问题的基本方法，核心步骤为"设线→联立→韦达→化简"。 ● 判别式 用于判断位置关系和求参数范围， 相交， 相切， 相离。 ● 弦长公式 是计算弦长的基本工具。 ● 点差法适用于中点弦问题，结论 可快速求解。 二、常见学生错误 ● 联立后忘记检验 ，导致求出的直线实际上与曲线无交点。 ● 设直线时只设了 而遗漏了 （斜率不存在）的情况。 ● 点差法求出斜率后未验证直线是否与曲线有两个交点。 ● 韦达定理代入时符号出错，特别是 的表达式。 三、课时建议 本节内容建议安排 3 课时： ● 第 1 课时：知识点一（联立法与韦达定理） ● 第 2 课时：知识点二（判别式的应用） ● 第 3 课时：知识点三（弦长公式与中点弦问题） 学科网（北京）股份有限公司 $