17.3 定值与定点问题 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦解析几何中定值与定点问题高考核心考点，按知识梳理（定义、策略、类型）与典型例题（斜率、面积、距离等定值，直线过定点等定点）构建知识体系，通过考点梳理明确步骤、方法指导提炼策略、真题训练巩固应用，帮助学生系统突破难点。 资料以“设参→联立→韦达→化简→消参/令系数为零”步骤化教学为主线，结合分层例题设计，如例2斜率之积定值问题引导用韦达定理化简消参，培养数学思维与数学眼光。通过规范流程与针对性训练，提升学生解题规范性与应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

解析几何 17.3 定值与定点问题 学习目标 ● 掌握定值问题的处理策略：设参→联立→韦达→化简→消参 ● 掌握定点问题的处理策略：设参→联立→韦达→化简→令参数系数为零 ● 能综合运用以上方法解决高考圆锥曲线解答题 知识点一 定值问题的处理策略 1. 知识梳理 （一）定值问题的定义 定值问题：证明某个表达式（如斜率之积、面积、距离之比等）与直线的参数无关，为一个常数。 （二）处理策略 核心步骤：设参→联立→韦达→化简→消参 1. 设直线方程（通常设为 或 ） 2. 联立直线与曲线方程，消元得一元二次方程 3. 利用韦达定理表示 和 4. 将目标表达式用韦达定理的结果表示 5. 化简后，若表达式中不含参数，则为定值 （三）常见定值类型 1. 斜率之积为定值： 为定值 2. 斜率之和为定值： 为定值 3. 面积为定值： 为定值 4. 距离之比为定值： 为定值 📌 提示：定值问题的关键是"消参"——化简后的表达式中不含直线参数。如果化简后仍含参数，说明不是定值。 2. 典型例题 例1 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点（、 不与 重合），直线 、 的斜率之和为定值。 例2 （斜率之积为定值） 已知椭圆 ，、 是 上关于原点对称的两点， 是 上异于 、 的动点，证明： 为定值。 例3 （面积为定值） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，求 面积的取值范围。 例4 （斜率之和为定值） 已知椭圆 ，、 为左、右焦点，过 的直线 交 于 、 两点，求 的取值范围。 例5 （距离之比取值范围） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，求 的取值范围。 知识点二 定点问题的处理策略 1. 知识梳理 （一）定点问题的定义 定点问题：证明某条直线恒过某个定点，或某条直线的斜率恒为某个值。 （二）处理策略 核心步骤：设参→联立→韦达→化简→令参数系数为零 1. 设直线方程（通常设为 或 ） 2. 联立直线与曲线方程，消元得一元二次方程 3. 利用韦达定理表示 和 4. 将目标表达式用韦达定理的结果表示 5. 化简后，令参数的系数为零，解出定点坐标 （三）常见定点类型 1. 直线过定点：某条直线恒过定点 2. 定直线问题：某点在定直线上 3. 中点轨迹过定点：弦的中点轨迹过定点 📌 提示：定点问题的关键是"令参数系数为零"——化简后的表达式中，令参数的系数为零，解出定点坐标。注意检验定点是否在曲线内部。 2. 典型例题 例1 （直线过定点） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，设 为 的中点，证明：直线 过定点。 例2 已知椭圆 （）过点 ，离心率为 。 （1）求 的方程； （2）过点 的直线 交 于 、 两点，求 的表达式。 例3 （定点问题·椭圆内接三角形） 已知椭圆 ，、 是 上关于原点对称的两点， 是 上异于 、 的动点，证明：直线 与 的斜率之积为定值，并求此定值。 例4 （定点问题·焦点弦） 已知椭圆 ，过右焦点 的直线 交 于 、 两点，过 、 分别作准线的垂线，垂足为 、，求 的值。 例5 （定点问题综合） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点， 为 上一点（ 不与 、 重合），求 的值。 参考答案汇总 知识点一 例1答案：（定值）。 例2答案：（定值）。 例3答案：。 例4答案：。 例5答案： 不是定值，取值范围为 。 知识点二 例1答案：直线 过定点 。 例2答案：（1）；（2）。 例3答案：（定值）。 例4答案：（定值）。 例5答案：当 时，；当 时，，不是定值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 解析几何 17.3 定值与定点问题 学习目标 ● 掌握定值问题的处理策略：设参→联立→韦达→化简→消参 ● 掌握定点问题的处理策略：设参→联立→韦达→化简→令参数系数为零 ● 能综合运用以上方法解决高考圆锥曲线解答题 知识点一 定值问题的处理策略 1. 知识梳理 （一）定值问题的定义 定值问题：证明某个表达式（如斜率之积、面积、距离之比等）与直线的参数无关，为一个常数。 （二）处理策略 核心步骤：设参→联立→韦达→化简→消参 1. 设直线方程（通常设为 或 ） 2. 联立直线与曲线方程，消元得一元二次方程 3. 利用韦达定理表示 和 4. 将目标表达式用韦达定理的结果表示 5. 化简后，若表达式中不含参数，则为定值 （三）常见定值类型 1. 斜率之积为定值： 为定值 2. 斜率之和为定值： 为定值 3. 面积为定值： 为定值 4. 距离之比为定值： 为定值 📌 提示：定值问题的关键是"消参"——化简后的表达式中不含直线参数。如果化简后仍含参数，说明不是定值。 2. 典型例题 例1 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点（、 不与 重合），直线 、 的斜率之和为定值。 【解析】 设 ，联立 ： 解得 （即 点）或 。 设 ，，则 ，。 ，。 由于 ，需重新设直线（设 ）。 联立 ：。 化简后得 （定值）。 答：（定值）。 例2 （斜率之积为定值） 已知椭圆 ，、 是 上关于原点对称的两点， 是 上异于 、 的动点，证明： 为定值。 【解析】 设 ，，。 由 和 ，相减得： 答：（定值）。 例3 （面积为定值） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，求 面积的取值范围。 【解析】 设 ，联立 ： 令 ，。 在 上单调递减，。 答：。 例4 （斜率之和为定值） 已知椭圆 ，、 为左、右焦点，过 的直线 交 于 、 两点，求 的取值范围。 【解析】 设 ，联立 ： 利用 ，化简得： 代入韦达定理化简， 的取值范围为 。 答：。 例5 （距离之比取值范围） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，求 的取值范围。 【解析】 设 ，联立 ： ，。 由于 ，。 代入得：。 当 时，。 当 时，。 答： 不是定值，取值范围为 。 知识点二 定点问题的处理策略 1. 知识梳理 （一）定点问题的定义 定点问题：证明某条直线恒过某个定点，或某条直线的斜率恒为某个值。 （二）处理策略 核心步骤：设参→联立→韦达→化简→令参数系数为零 1. 设直线方程（通常设为 或 ） 2. 联立直线与曲线方程，消元得一元二次方程 3. 利用韦达定理表示 和 4. 将目标表达式用韦达定理的结果表示 5. 化简后，令参数的系数为零，解出定点坐标 （三）常见定点类型 1. 直线过定点：某条直线恒过定点 2. 定直线问题：某点在定直线上 3. 中点轨迹过定点：弦的中点轨迹过定点 📌 提示：定点问题的关键是"令参数系数为零"——化简后的表达式中，令参数的系数为零，解出定点坐标。注意检验定点是否在曲线内部。 2. 典型例题 例1 （直线过定点） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点，设 为 的中点，证明：直线 过定点。 【解析】 设 ，，，。 联立 ：。 由 ，，得 ，。 代入 ：。 即 的轨迹为椭圆 。 直线 的斜率 。 直线 ：，过原点 。 答：直线 过定点 。 例2 已知椭圆 （）过点 ，离心率为 。 （1）求 的方程； （2）过点 的直线 交 于 、 两点，求 的表达式。 【解析】 （1），，。 代入 ：，，，。 （2）设 ，联立 ： ，。 当 时，，，退化。 当 时，，与 有关。 答：（1）；（2）。 例3 （定点问题·椭圆内接三角形） 已知椭圆 ，、 是 上关于原点对称的两点， 是 上异于 、 的动点，证明：直线 与 的斜率之积为定值，并求此定值。 【解析】 设 ，，。 由 和 ，相减得： 答：（定值）。 例4 （定点问题·焦点弦） 已知椭圆 ，过右焦点 的直线 交 于 、 两点，过 、 分别作准线的垂线，垂足为 、，求 的值。 【解析】 由椭圆的第二定义，，。 ，准线 。 由焦点弦性质：。 答：（定值）。 例5 （定点问题综合） 已知椭圆 ，过点 的直线 交 于 、 两点， 为 上一点（ 不与 、 重合），求 的值。 【解析】 设 ，联立 ： ，。 ，，。 分子 分母 当 时，。 当 时，，不是定值。 答：当 时，；当 时，，不是定值。 教学建议与知识总结 一、本节核心要点 ● 定值问题的核心是"消参"——化简后的表达式中不含直线参数。 ● 定点问题的核心是"令参数系数为零"——化简后令参数的系数为零，解出定点坐标。 ● 点差法适用于证明 为定值的问题。 ● 焦点弦的性质（如 ）可直接用于定值问题。 二、常见学生错误 ● 设直线时忘记讨论斜率不存在的情况。 ● 韦达定理代入时符号出错。 ● 定点问题中忘记检验定点是否在曲线内部。 ● 定值问题中未完全消参，误认为是定值。 三、课时建议 本节内容建议安排 2 课时： ● 第 1 课时：知识点一（定值问题的处理策略） ● 第 2 课时：知识点二（定点问题的处理策略） 学科网（北京）股份有限公司 $