1.1.1 空间向量及其线性运算 同步练—-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量线性运算，分层设计从概念辨析到综合应用，梯度合理，适配新授课知识巩固与抽象能力、空间观念培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础概念|空间向量定义、模、共面等核心概念|以零向量方向、单位向量性质等辨析题（1-2题）夯实概念理解，培养抽象能力| |基本运算|向量线性运算（加、减、数乘）及几何体中表示|通过三棱柱中点（5题）、平行六面体向量表示（6题）等情境，强化运算技能与空间观念| |综合应用|共线共面判断、翻折问题、参数计算|结合正方体翻折（13题）、三点共线参数求解（14题），提升推理能力与综合应用意识|

1.1.1 空间向量及其线性运算 1.下列关于空间向量的说法正确的是( ) A.零向量没有方向 B.存在两个空间向量不共面 C.不相等的两个空间向量的模可能相等 D.空间中任意两个单位向量必相等 2.给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量a，b，c满足，，则； ④若，则a与b方向相同或相反. 其中假命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD.M，G分别是BC，CD的中点，则等于( ) A. B. C. D. 4.点O在平行四边形ABCD所在平面外，AC与BD交于点M，则 ( ) A. B. C. D. 5.如图，已知三棱柱，其中，若点N为棱的中点，则( ) A. B. C. D. 6.如图，在平行六面体中，若，，，则与相等的是( ) A. B. C. D. 7.如图，已知三棱锥，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用a，b，c表示，则等于( ) A. B. C. D. 8.已知非零空间向量a，b，且，，，则一定共线的三点是( ) A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D 9.在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( ) A. B. C. D. 10.（多选）已知四面体中，，，两两垂直，则以下结论中一定成立的是( ) A. B. C. D. 11.（多选）在四棱柱中，，，O为底面的中心，则( ) A. B. C. D. 12.已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是( ) A.O，P，Q B.P，Q，R C.O，Q，R D.O，P，R 13.（多选）如图，将正方形ABCD沿AC翻折，其中点E，F分别为AD，DC的中点，点R，T将线段AC三等分，则( ) A. B. C. D. 14.设，是两个不共线的空间向量，若，，，且A，C，D三点共线，则实数k的值为__________. 15.正四面体ABCD中，若M是棱CD的中点，，，则________. 16.如图，在正方体中，E，F，M分别为棱，，的中点，. 试用，，表示，. 答案以及解析 1.答案：C 解析：零向量的方向是不确定的，并不是没有方向，A错误；任意两个有向线段平移之后都能在同一个平面内，所以任意两个空间向量一定共面，B错误；任意非零向量与其相反向量不相等，但是它们的模相等，C正确；空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，D错误. 2.答案：B 解析：对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的性质，上、下底面的对角线长必定相等，结合向量的方向，有，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，当，时，，但不能说a与b的方向相同或相反，故④为假命题.故选B. 3.答案：C 解析：，G分别是BC，CD的中点，，，.故选C. 4.答案：D 解析：因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为AC和BD的中点，所以. 5.答案：D 解析：.故选D. 6.答案：C 解析：在平行六面体中，由，，，根据空间向量的线性运算法则，可得.故选C. 7.答案：D 解析：点M，N分别为线段AB，OC的中点，则，故选D. 8.答案：A 解析：，且，有公共点B，，B，D三点共线. 9.答案：C 解析：对于A，由于不满足右边式子的系数和为1，所以四点不一定共面，故A错误；对于B，由于，不满足右边式子的系数和为1，所以四点不一定共面，故B错误；对于C，由可得，根据向量共面定理，结合三向量有公共点，可知四点一定共面，故C正确；对于D，由可得，不满足右边式子的系数和为1，所以四点不一定共面，故D错误.故选C. 10.答案：ACD 解析：由题意可知，，，两两垂直，所以， 对于A选项，， ， 故，所以A选项正确； 对于B选项，， 当时，，否则不成立，所以选项B不正确； 对于C选项， ，所以选项C正确； 对于D选项，，同理可得，，所以，选项D正确，故选：ACD 11.答案：AD 解析：对于选项A，，正确； 对于选项B，，错误； 对于选项C，，错误； 对于选项D，易得为正三角形，故，正确； 故选：AD. 12.答案：D 解析：若，则存在唯一实数使得，即， 所以无解，所以，不共线，则O，P，Q三点不共线； 若，则存在唯一实数使得，即， 所以无解，所以，不共线，则P，Q，R三点不共线； ，若，则存在唯一实数使得，即，所以无解，所以，不共线，则O，Q，R三点不共线；，所以，又点P为两向量的公共点，所以O，P，R三点共线.故选D. 13.答案：ACD 解析：因为点E，F分别为AD，DC的中点，所以，因为点R，T将线段AC三等分，所以，A正确；翻折后，，故，B错误；，C正确；，D正确. 14.答案： 解析：，，，.又，B，C三点共线，.，不共线，，，.故答案为. 15.答案： 解析：因为，所以，即，，下面证明：已知，若A，B，C三点共线，则，因为A，B，C三点共线，所以存在非零实数T，使得，即，整理得，故，，所以，因为M，C，D三点共线，故，解得：.故答案为： 16.解析：依题意可得， 学科网（北京）股份有限公司 $