1.1.1空间向量及其线性运算同步练—2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦空间向量及其线性运算，通过基础概念辨析、中档运算应用到综合证明的三层设计，构建从单一知识点到综合应用的巩固路径，适配新授课教学，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|空间向量基本概念|概念辨析题（如第1题假命题判断），强化单位向量、零向量等核心概念理解| |中档|线性运算应用|几何体中向量表示（如第3题平行六面体），训练向量加法、数乘运算技能| |提升|综合证明与参数求解|三点共线证明（第15题）与参数计算（第16题），发展逻辑推理与数学表达能力|

1.1.1空间向量及其线性运算 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.给出下列命题： ①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向． 其中假命题的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（    ） A. B. C. D. 3.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A.－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b＋c D.－a－b＋c 4.在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（ ） A. B. C. D. 5.下列命题是真命题的是(　　) A.与非零向量a平行的单位向量只有一个 B.空间中任意两个单位向量必相等 C.任一向量与它的相反向量不相等 D.零向量与任何向量都共线 6.下列说法中正确的是(　　) A.空间中共线的向量必在同一条直线上 B.=的充要条件是A与C重合，B与D重合 C.数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向 D.在四边形ABCD中，一定有+= 7.如图，在四棱锥S-ABCD中，若=x+y+z，则实数组(x，y，z)可能是（） A.(1，1，1) B. C. D. 8.若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是(　　) A.+2+2+ B.2+2+3+3+ C.++ D.-+- 二、多选题（共3小题） 9.（2024-2025·广西桂林高二上期末）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（） A. B. C. D. 10.下列命题中为真命题的有(　　) A.若d1，d2都是直线l的方向向量，则必有d1＝d2 B.若∥，则A，B，C三点共线 C.若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b D.若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0 11.（2024-2025·新疆高二期中）在平行六面体中与向量相等的向量有（） A. B. C. D. 三、填空题（共3小题） 12.如图，设O为ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，则x＋y＝                  . 13.已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若＝m＋n，则m＋n＝                  ． 14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若+λ=0(λ∈R)，则λ=                  ． 四、解答题（共2小题） 15.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线． 16.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1空间向量及其线性运算 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——解析版 一、选择题（共8小题） 1.给出下列命题： ①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向． 其中假命题的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】①是假命题．若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个球面，而不是一个圆．②是假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同．③是真命题．向量的相等具有传递性．④是假命题．空间中任意两个单位向量的模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等．⑤是假命题．零向量的方向是任意的．所以①②④⑤为假命题，故假命题的个数是4． 2.如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 . 故选：B． 3.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A.－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b＋c D.－a－b＋c 【答案】A 【解析】＝＋＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c． 4.在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为所以 又因为F为BE的中点，所以 所以,所以 5.下列命题是真命题的是(　　) A.与非零向量a平行的单位向量只有一个 B.空间中任意两个单位向量必相等 C.任一向量与它的相反向量不相等 D.零向量与任何向量都共线 【答案】D 【解析】对于A，与非零向量a平行的单位向量的方向可以与a相同，也可以与a相反，故A错误； 对于B，空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，故B错误； 对于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C错误； 对于D，零向量与任意向量共线，故D正确. 6.下列说法中正确的是(　　) A.空间中共线的向量必在同一条直线上 B.=的充要条件是A与C重合，B与D重合 C.数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向 D.在四边形ABCD中，一定有+= 【答案】C 【解析】对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误； 对于B，=的充要条件是||=||，且，同向，但A与C，B与D不一定重合，所以B错误； 对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确； 对于D，满足+=的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，所以D错误. 7.如图，在四棱锥S-ABCD中，若=x+y+z，则实数组(x，y，z)可能是（） A.(1，1，1) B. C. D. 【答案】B 【解析】对于A，取BC的中点E，连接SE，DE，取DE的中点F，连接SF，若=，则=++=2+=++=+2≠，故A错误； 对于B，若底面是平行四边形，设AC∩BD=O，连接SO，则+=2=+，因此=-+，此时=，故B正确； 对于C，若=，则x+y+z=-=≠，故C错误； 对于D，若=，则x+y+z=--=-，又=-=+，所以≠--，故D错误. 8.若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是(　　) A.+2+2+ B.2+2+3+3+ C.++ D.-+- 【答案】A 【解析】对于A，+2+2+=(+)+(+)+(+)=+； 对于B，2+2+3+3+=2(+)+3(+)+=3+3=0； 对于C，++=++=+=0； 对于D，-+-=(-)+(-)=+=0. 二、多选题（共3小题） 9.（2024-2025·广西桂林高二上期末）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】由向量的加法运算可知 ，所以选项A成立. 对于选项 B， ，该表达式不等于，因此B不成立. 对于选项 C，由于 是的中点，， 而 ，所以C成立. 对于选项 D， ，该表达式不等于，因此D不成立. 10.下列命题中为真命题的有(　　) A.若d1，d2都是直线l的方向向量，则必有d1＝d2 B.若∥，则A，B，C三点共线 C.若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b D.若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0 【答案】BCD 【解析】向量d1，d2都是直线l的方向向量，可得向量d1，d2是共线向量，即d1∥d2，不一定有d1＝d2，故A错误；因为∥，且，有公共点A，所以A，B，C三点共线，故B正确；由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，所以a∥b，故C正确；易知D正确． 11.（2024-2025·新疆高二期中）在平行六面体中与向量相等的向量有（） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】在平行六面体中,向量相等需方向相同且模长相等. 由平行六面体的性质,与方向相同、模长相等;与方向相同、模长相等 . 与方向相反,与方向不同. 故与相等的向量是、,选:BC. 三、填空题（共3小题） 12.如图，设O为ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，则x＋y＝                  . 【答案】－1 【解析】∵＝－＋＝－＋(＋)＝－＋(＋) ＝－＋＋(－)＝－＋＋， 又＝＋x＋y， ∴x＝，y＝－，故x＋y＝－1. 13.已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若＝m＋n，则m＋n＝                  ． 【答案】1 【解析】由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即－＝λ(－)， 所以＝(1－λ)＋λ，所以m＝1－λ，n＝λ， 所以m＋n＝1． 14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若+λ=0(λ∈R)，则λ=　　　　. 【答案】- 【解析】如图，连接A1C1，C1D， 则点E在A1C1上，点F在C1D上，易知EF∥A1D， 且EF=A1D， ∴=，即-=0，∴λ=-. 四、解答题（共2小题） 15.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线． 【答案】证明　　连接AO，AC1，A1C1(图略)， 则＝＋＝＋ ＝＋(＋)＝＋. ∵＝2， ∴＝＋＝－＝－2， ∴＝(－2)＋ ＝＋. 又＋＝1， 故C1，O，M三点共线． 16.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值． 【答案】解　∵＝＋＋ ＝－＋－－ ＝－＋＝－＋(＋) ＝－＋(＋) ＝－＋＋(－) ＝＋－， 又＝＋x＋y， ∴x＝，y＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $