4.5.1 函数的零点与方程的解【考点突破+强化训练】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数的零点与方程的解这一核心知识点，系统梳理函数零点的概念（含定义、与方程解及函数图象的关系）和零点存在定理（强调连续曲线及端点函数值异号的条件），通过十一个考点构建从基础理解到综合应用的学习支架。 该资料亮点在于考点覆盖全面，题型多样（选择、填空、解答题），结合二次函数、指对幂函数等实例培养数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言表达（模型观念）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，提升解决函数与方程综合问题的能力。

4.5.1 函数的零点与方程的解 知识点1：函数零点的概念 1．函数的零点：对于函数y＝f (x)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． 2．方程、函数、函数图象之间的关系：方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有零点⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点． 【注意】函数的零点不是一点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点2：函数零点存在定理：如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解． 【注意】1．①函数f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f (a)·f (b)<0．这两个条件缺一不可． 2．该定理是一个充分不必要条件，反过来，若在(a，b)上有零点，则不一定有f (a)f (b)<0成立．如：函数y＝x2有零点x0＝0，但函数值在零点两侧同号． 考点一　求函数的零点 考点二　零点存在性定理的应用（判断零点所在的区间） 考点三　根据零点求函数解析式中的参数 考点四　根据零点所在的区间求参数范围 考点五　根据函数零点的个数求参数范围 考点六　根据一次、二次函数零点的分布求参数的范围 考点七　根据指对幂函数零点的分布求参数范围 考点八　比较零点的大小关系 考点九　求零点的和 考点十　求函数零点或方程根的个数 考点十一　函数与方程的综合应用 考点一　求函数的零点 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知a是函数的零点，则实数a的值为________． 【答案】 27 【分析】根据零点定义结合对数运算求值. 【详解】因为a是函数的零点， 所以，所以， 则实数a的值为． 2．（2026高一·全国·专题练习）（多选）下列函数存在零点的是（　　） A． B． C．（且） D． 【答案】ABC 【详解】A，令，解得，得函数的零点为1和-1，A正确； B，令，解得或，定义域为或， 令，解得或，即函数的零点为和1，B正确； C，的定义域为，令，解得， 即函数的零点为1和-1，C正确； D，当时，，此时函数无零点， 当时，，此时函数无零点， 故不存在零点. 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数则的零点之和为_____________． 【答案】1 【分析】分和直接解方程即可. 【详解】当时，令，得； 当时，令，得, 所以的零点之和为． 4．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数的零点为______. 【答案】 【分析】通过换元，将问题转换成一元二次方程，进而可求解. 【详解】设，令，去分母，得， 整理得，即， ，，即， . 考点二　零点存在性定理的应用（判断零点所在的区间） 5．（25-26高二下·天津静海·期末）函数的零点所在区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，在定义域内单调递增， 可知函数在定义域内单调递增， 所以函数至多有一个零点， 又因为，， 所以函数有且仅有一个零点，且零点所在区间是. 6．（25-26高一下·福建福州·阶段检测）设函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数单调性以及零点存在定理即可得解. 【详解】因为函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递增， 所以函数在定义域内单调递增， 因为， 所以由零点存在定理可知函数的零点. 7．（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）（多选）已知的零点为，有使得满足＜0，则下列结论有可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为函数和函数均为减函数， 所以函数为减函数，若实数是函数的一个零点，则， 由题设＜0知，或， 根据零点存在定理有：或 8．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在定理得出的取值范围，并求出、的值，即可得出、、的大小关系. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，故， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，故， 由可得，即，故. 考点三　根据零点求函数解析式中的参数 9．（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知函数和（其中且）．若函数和的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为1，则实数的值为___________． 【答案】/ 【分析】由函数，可得是其中一个交点，则另一个交点的横坐标为，利用求出的值即可. 【详解】由可知由反比例函数向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到， 由可知由指数函数向下平移2个单位得到， 结合函数图象易知，    即对于任意且，是函数和的图象的其中一个交点， 又因为这两个交点的横坐标之和为1，所以另一个交点的横坐标为， 所以，即，解得， 故答案为： 10．（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）若函数只有一个零点，则实数的值是___________． 【答案】 【分析】令，即方程有一个根，利用判别式即可求解. 【详解】由题意得：令，即，所以方程有一个根， 所以，解得， 故答案为：. 11．（25-26高一上·河北·期末）若，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由题意，可得恒成立，则函数与有相同的零点，即得，求出的值即可判断. 【详解】由，可得恒成立， 则函数与有相同的零点． 又因在定义域上单调递增，且， 故，解得，故． 故选：C. 12．（25-26高一上·上海·期末）已知函数，若，且，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据解析式研究的区间单调性，令，数形结合得且，进而有，最后由二次函数的性质求的范围. 【详解】由在上单调递增，且值域为， 由在上单调递增，且值域为， 所以的大致图象如下，对于且，则，    由图知，，则， 所以，且， 所以. 故答案为： 考点四　根据零点所在的区间求参数范围 13．（25-26高三·全国·一轮复习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】先判断函数在上单调递增且连续，再利用零点存在定理求解即可. 【详解】函数在上的图象连续不断， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 若在区间上存在零点， 根据函数零点存在定理可知， 只需满足， 即， 解得， 所以实数m的取值范围是. 14．（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【分析】利用函数零点的存在性定理求解. 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知在区间上单调递增，再根据零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数与在区间上均为单调递增函数， 所以函数在区间上单调递增， 因为函数在区间上存在零点， 所以，解得. 所以常数的取值范围为 故选：C 16．（25-26高一上·重庆·阶段检测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数在区间内有零点，即方程在区间内有解，即方程在区间内有解，构造函数，分析单调性求得的值域，即可得实数的取值范围. 【详解】函数在区间内有零点，即方程在区间内有解，即方程在区间内有解. 令函数，则直线与函数的图象有交点. 因为函数在上单调递减，函数在上单调递减，所以函数是减函数. 因为. 所以函数的值域为，所以实数的取值范围为. 故选：D. 考点五　根据函数零点的个数求参数范围 17．（2026高三下·全国·专题练习）有四个不同的实根，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】考虑不是方程的根，条件可转化为方程有四个不同实数根，令，条件可转化为方程有两个不同的实根，结合二次方程性质可得结论. 【详解】对于四次方程，显然不是方程的根， 因此可以在方程两边同时除以，整理得， 所以， 令，可得， 因为函数在和上均为单调递增函数， 当时，，当，且时，， 当时，，当，且时，， 对任意一个实数，方程都对应两个不同的实根， 因此要让原四次方程有4个不同实根，等价于关于的二次方程有2个不同的实根. 二次方程有两个不同实根的充要条件是 判别式， 所以， 因此实数取值范围为. 18．（2026·河北秦皇岛·二模）已知函数，有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需先将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，即 与 有三个不同交点；再分 和 两种情况，结合分段函数分析交点个数，确定 的取值范围. 【详解】解： 有三个零点，则 有三个不相等的根， 即函数 与 有三个不同的交点． 当 时， ①当时， ，联立方程为：， 该方程在有解的条件是： 时，有1个解； 时， 无解； ②当 时， ，分 和 讨论： 当时：方程为 ，判别式 ，两根乘积为 ， 因此有且仅有 1 个正根，且正根 恒成立，方程有1 个解； 当时：方程为 ， 若 ，则判别式 ，方程无实根， 此时可知，函数的总零点个数为个，不符合要求； 若 ，方程为 ，得 ， 此时仅有1个重根，函数的总零点个数为 个，不符合要求； 若 ， ，方程有两个不相等正根， 且最小根 ， 因此两个根都满足 ，即有2个解； 此时函数的总零点个数为3个，符合三个零点的要求； 当 时， 与 有一个交点， 分别与 各有一个交点，需满足 ； 即 在 区间与 有 2 个交点，故； 综上所述，实数 的取值范围是 ． 19．（25-26高二下·福建三明·期末）已知函数（且）为奇函数. (1)求实数的值并解不等式； (2)若函数在区间有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用奇函数的性质，求出的值，代入解不等式即可； （2）令，把问题转化为与关于的函数交点问题，画出函数图象，数形结合可得答案. 【详解】（1）由是定义域为的奇函数，得，即, ，， 所以，经检验满足题意； 由，可得， 所以，即， 所以不等式的解集为； （2）令，由得， ， 等价于， 即，， 令， ，则，代入得， 函数在单调递减，在单调递增，最小值为， 当 时，， 要使方程有两个不同解，实数的取值范围为. 20．（25-26高二下·福建福州·期末）已知函数（，且）在上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由分段函数在上是减函数求出a的一个范围，然后作出的图象和直线，讨论图象交点的位置，得到方程解的情况，讨论求解即可． 【详解】由在上单调递减可知，参数a需满足 ，解得； 结合函数图象，当时，函数的图象和直线有且只有一个公共点， 即当时，方程只有一个实数解． 因此，只需当时，方程恰有一个实数解． 根据已知条件可得，当时，，即只需方程恰有一个实数解， 即，即， 在上恰有一个实数解， 判别式， 因为，所以． 当，即时，方程有一个正实根、一个负实根，满足要求； 当，即时，方程的一个根为，一个根为，满足要求； 当，即时，因为， 此时方程有两个负实根，不满足要求； 当时，方程有两个相等的负实根，满足要求． 综上可知，实数的取值范围是． 【点睛】本题考查函数的单调性，考查方程根的分布问题，解题关键是掌握转化与化归思想．首先方程的根的个数转化为函数图象交点个数，然后函数图象交点个数又转化为二次方程根的分布．本题还考查了数形结合思想．对学生分析问题解决问题的能力要求较高，属于难题． 考点六　根据一次、二次函数零点的分布求参数的范围 21．（25-26高一·全国·课后作业）若函数的表达式在内有零点，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先考虑时，不成立；再考虑时，有，从而解不等式即可. 【详解】当时，，显然不成立； 当时，函数在内有零点，需， 即，即，解得或， 故实数a的取值范围是. 故答案为： 22．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知函数若关于x的方程恰有3个实数解，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】由已知可求得当时，有2个实数解，将问题转化为，当时，有唯一实数解，进而求解. 【详解】当时，， 令，解得或 当时， 由关于x的方程恰有3个实数解，所以当时，有唯一实数解， 所以，解得或 所以实数a的取值范围为 故答案为： 23．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，或三种情况，列不等式求的取值范围. 【详解】当时，，其图象与x轴的交点为，满足题意． 当时，分，两种情形，考虑到, 由题意得， 或，解得或． 综上可知，或或，即． 24．（25-26高二下·山西运城·期末）已知函数，若函数有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得出是偶函数，通过且在的表达式确定在有且仅有个不同的零点即可求解. 【详解】已知函数，， 则，因此是偶函数，图象关于轴对称， 若函数有且仅有个不同的零点，则且在有且仅有个不同的零点， 所以，即， 当时，，则，， 所以， 由于此时有且仅有个不同的零点，需满足，解得， 因此实数的取值范围是. 考点七　根据指对幂函数零点的分布求参数范围 25．（25-26高一下·全国·期末）若函数有两个零点，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】方法一：应用换元法结合二次方程的根列式计算求解，方法二：应用换元法结合对勾函数的单调性结合图象得出参数范围. 【详解】令，得，即， 方法一：令，则，即，， 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 方法二：设，那么设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 26．（25-26高三·全国·一轮复习）若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【分析】将方程变形为，转化为两个函数图象的交点个数问题，因的最大值为1，只需的最低点低于1（即），两图象便有两个交点. 【详解】方程有两个实数根，等价于两函数的图象有两个交点， 方程可化为，在同一坐标系里画出两函数与大致图象如图所示， 观察图象可知，当，即时，两个函数图象有两个交点， 所以实数的取值范围是. 27．（25-26高一上·广东东莞·期末）（多选）已知函数的零点分别为a，b，c，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意得函数，，与函数的交点的横坐标分别为，画出函数图，结合图象及函数的对称性即可逐项求解. 【详解】由函数的零点分别为， 得函数，，的图象与函数的交点的横坐标就是， 如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，    由图知，，故A错误，B正确； 因为，互为反函数，其图象关于直线对称. 因为与垂直，所以与的中点是直线与的交点. 由得，所以，. 又，所以，所以，故C正确； 又，，所以，故D正确. 故选：BCD 28．（25-26高一上·天津津南·阶段检测）已知函数，若正实数 互不相等，且，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据分段函数可得函数图象，从而可得的范围，据此可求的取值范围. 【详解】的图象如图所示： 不妨设，则且， 其中， 故即， 故， 故答案为：. 考点八　比较零点的大小关系 29．（2026高三·全国·专题练习）已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数零点的定义，结合函数单调性和零点存在定理分别判断的范围. 【详解】是上的增函数，，， 因此零点，即. 令，得零点. 是上的增函数，，，因此零点，即， 综上可得大小关系：. 30．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用零点存在定理求出、的取值范围，并求出的值，即可得出、、的大小顺序. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 同理可知函数为上的增函数，函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为，故，故. 31．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，转化为函数，，与的图象的交点的横坐标，在同一坐标系下，画出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】令，可得，即， 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 在同一坐标系内，画出函数，，和的图象， 如图所示，结合图象，可得. 32．（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可. 【详解】的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， ∵函数的零点分别为, 作出函数的图象如图， 由图可知：,    考点九　求零点的和 33．（25-26高二下·河北·期末）已知函数的定义域为，且，设函数与函数的交点共有2026个，且这些交点的坐标依次记为，，…，，则（     ） A．0 B．1013 C．2026 D．4052 【答案】C 【分析】根据已知判断和的图象关于同一个对称中心对称，利用对称性及交点个数求即可. 【详解】已知，则的图象关于点对称， 由，且， 所以，故的图象关于点对称， 所以和的交点必然也是成对的，且关于对称， 若是它们的一个交点，则也必然是它们的交点， 所以横坐标之和为，已知交点有个，因此可以配成对， 每一对交点的横坐标之和为，所以所有交点横坐标的总和为. 34．（25-26高一下·全国·期末）已知函数,的零点分别为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数的零点定义，可得即函数图象与直线的交点的横坐标，结合函数图象的对称性即可求得答案. 【详解】由可得，由，， 依题意，如图所示，即函数图象与直线的交点的横坐标. 由图知，因函数是一对反函数，图象关于直线对称，则点也关于直线对称， 由解得，则点关于点对称，故. 35．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，令，当时，的所有零点之和为___________，有3个零点则的取值范围为___________. 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，作出图像，利用方程与函数的关系，进行计算，可得答案. 【详解】由题意可得：当时，即. 当时，，解方程： 得，取. 当时，. 所以当，的两个零点:和. 所以零点之和为：. 要使函数有三个零点，图象有三个交，根据图像可得： 时，图象有三个交点，即函数有三个零点， 36．（25-26高一上·江苏南京·期末）设，若方程恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为__________；若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为__________. 【答案】 6 【分析】先作出函数 的大致图象，结合图形，当 时， 与函数 有三个不同的交点，由对称性可知这三个根的和，若方程 有四个不相等的实根，则这四个根关于直线 对称，不妨令 ，则有 ， ， ，故有 ， ，换元 ，求其范围即可. 【详解】作出图象如下： 可知当 时， 与函数 有三个不同的交点，其中一根为2，另两根关于对称 ，故这三个根之和为 ； 时， ， 在 与 上的图象关于 对称， 不妨令 ， 可得 ， ， . ， ， ， ， ， 令 ， 则原式化为： ， ， 其对称轴 ，开口向上，故 在 递增， ， 的取值范围是 . 故答案为：6； . 考点十　求函数零点或方程根的个数 37．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，则方程的实根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，结合基本不等式分情况讨论计算即可. 【详解】解方程，得或. 当时，，当且仅当时取等号， 即，. 当时，，此时在上单调递增，值域为. 当，时，，解得，此时有1个根. 当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根. 当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根. 综上，方程共有3个实根. 38．（2026高三·全国·专题练习）函数，则方程的实根的个数是______________． 【答案】2 【分析】对绝对值函数进行分段处理，由得，利用函数图象交点个数确定方程实根的个数. 【详解】. ，，. 方程的实根的个数等价于函数与图象的交点个数，如图所示： 由图可知，函数与图象有2个交点，即方程有2个实数根. 39．（2026·湖南长沙·三模）定义在上的奇函数，当时，，设函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数所有零点之和为0. B．若函数有三个零点，则 C．当时， D．函数在上为增函数 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性，分段函数图象与性质函数的零点以及函数单调性逐项分析即可. 【详解】选项A， 当时，， ①当时，令 ，解得：或，均满足题意， ②当时，令 ，解得：，均满足题意， 由奇函数的对称性知，当时，函数的零点为， 所以函数所有零点之和为 ，故 A正确； 选项B，若函数有三个零点，则令 ， 问题等价于函数与的图象有三个不同交点， 因为函数为上的奇函数，所以， 由题意得函数图象如图所示： 由图可知，若函数有三个零点，则，故B正确； 选项C，当时，， 此时，又函数为奇函数， 所以，所以 ，故C错误； 选项D，由图可知，函数在连续且单调递增，又函数与函数的单调性一致， 故函数在上单调递增，故D正确. 40．（2026·北京昌平·二模）设函数，给出下列四个结论： ①当时，恰有2个零点； ②存在正数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有2个零点； ④存在负数，使得恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是_________________ . 【答案】①③④ 【分析】对于①，将代入，求解即可；对于②，当时，令，当时，令，求导，根据零点存在定理即可求解；对于③，④，求零点转化为两个函数的交点问题求解即可. 【详解】对于①，当时，，当时，即， 解得或，即或，所以恰有2个零点，故①正确； 对于②，当时，，令，则， 由于，所以若，则，函数单调递增，若，则函数先减后增，但只有一个极小值点，， 当时，，因此在上必有且仅有一个零点，当时，， 则，而，所以在内至少还有一个零点，故当为正数时，至少有两个零点，故②错误； 对于③，当为负数时，，令，， 可转化为与，且恒过定点， 两个函数图象的交点问题，如图所示， 所以，存在负数，使得恰有2个零点，故③正确； 对于④，如图所示， 所以，存在负数，使得恰有3个零点，故④正确. 考点十一　函数与方程的综合应用 41．（2026高三下·全国·专题练习）函数，若存在实数满足，，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】先作出的草图，可直观看出的大致范围，其中可由直接求出，而显然是一元二次方程的两个相异的实数根，解法一运用韦达定理将表示为关于的二次函数即可求出目标式的取值范围；解法二结合韦达定理和求根公式可将表示为一个关于的函数，再用“根式换元法”求该函数的值域即可解决本题. 【详解】 如图，，， 设，则 ，且， 由 ， 解法一： 由题意可知，是方程的两个相异的实数根， 因为，其中， 所以 ， 所以， 设方程的“大根”为，则， 令，由二次函数的性质可知， ，即， 所以，的取值范围是. 解法二： 由题意可知，是方程的两个相异的实数根， 因为，其中， 所以 ，且 ， 所以， 令，则，其中， 于是， ， 令，因为，由二次函数的性质可知， ，即， 所以，的取值范围是. 【点睛】解法一的关键在于将转化为关于的二次函数，其中巧妙的运用了韦达定理中的“和条件”消去了变量； 解法二的关键在于不但要用韦达定理中的“积条件”表示这个整体，还要用求根公式求出一元二次方程的“小根”. 42．（2026高三·全国·专题练习）关于的方程的实根的个数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，原方程变为，通过分类讨论方程根的个数即可. 【详解】原方程即为，令，， 当关于的方程没有根时，则原方程没有根，即原方程有零个根； 当关于的方程有一根时，，解得，，即，，则原方程有两个根； 当关于的方程有两个根时，若是方程的一个根，另一个根为，由可得，则原方程三个根， 若不是方程的根，设是方程的两根，由和可得和，则原方程有四个根， 综上所述，原方程的实根的个数可能为，故D正确． 43．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，若方程恰有个不同的实数根，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据题意得方程的根即为方程与的根，画出函数的图象，再数形结合即可求出的取值范围． 【详解】由， 则方程的根即为方程与的根． 函数的图象如下： 结合函数的图象可知，有个不同的根， 则要有个不同的根，才能使方程有个实数根， 所以由图象可知． 44．（25-26高一下·云南昆明·期末）已知且，函数若的图象与直线有两个交点，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】分、，结合交点个数及函数特性求参数的范围即可． 【详解】当时， 时，单调递减，且，此时的图象与直线有一个交点； 时，单调递减，且， 此时的图象与直线没有交点； 时，单调递增，且， 又的图象与直线有两个交点， 所以，此时的图象与直线有一个交点， ，解得，又， ， 当时， 时，单调递增，且，此时的图象与直线没有交点； 时，单调递增，且，， 此时的图象与直线有一个交点， 时，单调递增，则， 又的图象与直线有两个交点， 所以，此时的图象与直线有一个交点， ，解得， 综上，． 1．（25-26高一上·辽宁大连·期末）函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据零点的概念，结合函数与方程的关系，利用指数函数与一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由，即，易知与方程组只有一组解， 由函数为增函数，函数为减函数， 则两函数有且仅有一个交点，即方程存在唯一解， 当时，，所以函数的零点为. 故选：C. 2．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 3．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数在区间上存在零点，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】首先判断函数在上单调，利用零点存在性定理即可求解. 【详解】∵在区间上单调且存在零点， ∴， ∴或． 故选：C 【点睛】本题考查了利用零点存在性定理求参数的取值范围，需掌握定理的内容，属于基础题. 4．（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，将原函数化为二次函数，问题转化为 在正半轴上有两个不同实根，利用二次函数根的分布，由判别式、韦达定理建立不等式组求解即可． 【详解】设，则原函数化为， 令 ，则 有两个零点等价于方程 在 上有两个不同的实数解， 二次函数 开口向上，对称轴为 ，要使其在 上有两个零点，需满足，解得， 因此实数 的取值范围为 . 5．（2026高三·全国·专题练习）已知，则方程的实数根个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的表达式分段求解方程即可. 【详解】已知， 当时，方程等价于，解得，因此方程在有个实根； 当时，方程等价于，即，解得和， 由于，因此方程在有个实根； 综上所述，方程有个实根，故D正确. 6．（25-26高二下·山西吕梁·期末）已知函数若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数恰有2个零点转化为与直线有2个交点，分段讨论方程在不同区间的解的个数，汇总得到参数取值范围. 【详解】∵ 函数恰有2个零点，∴ 方程有2个不等实根. 当时，，为单调递增函数，值域为. 若有解，则，此时该区间有且仅有1个解； 若或，则该区间无解. 当时，，令，两边同乘整理得. 当时，判别式，方程有两个不等实根，且两根之积为， 故仅有1个正根，即时时方程恒有1个解； 当时，方程两根之和为，两根之积为，无正根，该区间无解. 综上，要使共有2个解，需满足，即实数的取值范围是. 7．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）函数的所有零点之和为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】应用指对数转化，再换元得出，最后应用指数运算律及指对数转化求解. 【详解】  令，可得． 设，则， 解得，， 则． 故的所有零点之和为． 故选：A. 8．（25-26高一上·贵州安顺·期末）如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（   ） A． B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据函数零点的定义，结合同底的对数函数和指数函数互为反函数，根据反函数的对称性进行求解即可. 【详解】因为是实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为是正实数集上增函数， 所以是函数的唯一零点， 所以， 所以直线与函数的图象的交点的横坐标为. 因为函数和互为反函数， 所以它们的图象关于直线对称，且直线与直线互相垂直， 所以点关于直线对称， 所以，所以. 故选：C 9．（2025·湖南张家界·模拟预测）（多选）已知函数,若存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】ABD 【详解】当时，的图象如下所示： 由图可知，存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，A正确； 当时，的图象如下所示： 由图可知，存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，B正确； 当时，图像如下所示： 由图可知，不存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，C错误； 当时，图像如下所示： 由图可知，存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，D正确. 10．（25-26高二下·山东临沂·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．的值域为 B．关于的方程有3个实数根 C．当时，关于的方程有4个实数根 D．若函数，则对于，都有 【答案】ABD 【分析】先分析函数的定义域、值域等基本性质，通过换元法处理含的方程根的个数问题，结合函数单调性判断选项D即可. 【详解】函数的定义域为，为偶函数，令且，则. 对选项A： ∵ . ∴ 当时，，故. 当时，，故. ∴ 的值域为，A正确. 对选项B： 令，方程转化为. 解得（舍去），即，故或. ∵ 时，，共个解. 时，，共个解. ∴ 方程共有个实根，B正确. 对选项C： 令，方程转化为，判别式. 当时，，方程有两个不等实根，由韦达定理得，. 若，则方程根为或，时无解，对应3个实根，总解数为3，不符合“4个实根”的结论，故C错误. 对选项D： 当时，，显然在上单调递减. ∵ 时，，且，即. ∴ ，即，D正确. 【点睛】方法归纳：本题考查含绝对值的分式函数性质，处理复合方程问题常用换元法将复杂方程转化为二次方程求解，结合函数值域判断解的个数；单调性比较函数值大小需先判断自变量大小关系. 11．（25-26高一下·广西崇左·期末）（多选）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．， C．不等式的解集为 D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 【答案】AC 【分析】根据函数的性质，逐个选项判断即可. 【详解】由题知，令，则， 所以， 因为是定义在上的偶函数， 所以， 所以当时，，A正确； 当时，， 当时，， 因为是定义在上的偶函数， 所以，，B错； 当时，令，解得， 又因为是定义在上的偶函数， 所以，的解集为，C正确； 由上述可知，，且， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又因为是定义在上的偶函数， 所以要使有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根， 即与两函数有两个交点， 则需满足或，D错. 12．（2026高三下·全国·专题练习）函数，若存在实数，满足，其中，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】先作出的草图，可直观看出的大致范围，其中可由直接求出，而显然是一元二次方程的两个相异的实数根，再结合韦达定理可将表示为一个关于的一次函数，由的范围可直接求得的取值范围. 【详解】 如图，，， 设，则 ，且， 由 ， 由题意可知，是方程的两个相异的实数根， 因为，其中， 所以 ， 所以， 因为，所以， 即的取值范围是. 13．（2026高三下·全国·专题练习）设函数．若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【分析】通过讨论的零点个数，确定的范围，再判断的零点个数，即可求解. 【详解】设， 若时，与轴有一个交点，则， 此时函数图像在上与轴也只有一个交点， 或，， 综合可得：； ②若函数的图像与轴没有交点，， 若，即，此时或它们均不在范围内， 此时在无零点，此时不符合题意，故舍去； 当时，或， 此时函数的图像在与轴有两个交点，符合题意，此时. 综上所述，实数a的取值范围为. 14．（2026高三下·全国·专题练习）有四个不同的实根，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据方程特点，将四次方程降次为二次方程，利用对勾函数值域、二次函数图像分析根的位置，再将原方程根的个数问题，逐层转化为参数的取值约束，最后对二次方程两根的分布位置分类，剔除不可能情况. 【详解】根据题意，显然不是根，两边同时除以，得， 整理得，又， 令，则方程可化为. 由对勾函数的性质，得， 时，有两个不等实数根； 时，仅有一个实数根. 原方程有四个不同的实数根等价于方程有两个不同的实数根，且. 设，二次函数开口向上，对称轴为. ①若，对称轴，不可能两根均大于，舍去； ②若，对称轴，不可能两根均小于，舍去； ③则只有， 只需满足，即，解得. 当时，方程的根为，而仅对应个，对应个， 一共有个不同实根，不符合题意，故不能取. 综上，实数的取值范围为. 15．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知， (1)若的图象经过点，求函数的定义域； (2)令，若存在零点，求的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入求，再求的定义域； （2）先表示出根据对数函数的定义得，，再根据在有零点求出的范围. 【详解】（1）因为图象经过，所以． 解得． 所以． 由解得或， 所以定义域为． （2）． 因为，所以，化简得： 则在有零点，即在有解． ， 即，解得． 16．（26-27高三·全国·一轮复习）设函数 (1)若，求的最小值； (2)若恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1). (2)∪[2，＋∞）． 【详解】（1）若，则；作出的图像，如图所示，的最小值为. （2）设， ①若时，与轴有一个交点，则， 此时函数图像在上与轴也只有一个交点，或，， 又因为，所以. ②若函数的图像与轴没有交点，， 若，即，此时或它们均不在范围内， 此时在无零点，此时不符合题意，故舍去 当时，或， 此时函数的图像在与轴有两个交点，符合题意，此时. 综上所述，实数a的取值范围为. 17．（2026高二下·浙江·学业考试）已知高斯函数（取整函数）表示不超过实数x的最大整数，函数. (1)求的值； (2)求函数的值域； (3)若函数恰有4个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据取整函数的定义计算即可； （2）利用取整函数判断，进而代入即可判断； （3）首先判断函数本身的奇偶性，进而将零点问题进行化简，通过讨论不同范围的取值即可求解. 【详解】（1）由题意得，. （2）因为，因此，即，即函数值域为. （3）函数的定义域为，且， 即函数为定义在实数域上的偶函数，则其零点关于原点对称， 因此恰有个零点等价于时，恰有个零点，且不是零点， 时，，即， 当时，设， 故若时，，，此时函数在上单调递增，值域为， 当时，，，此时函数在上单调递增，值域为， 当时，，，此时函数在上单调递增，值域为， 当时，，，此时函数在上单调递增，值域为， 当时，，，此时函数在上单调递增，值域为， ， 若函数恰有4个零点，即方程有2个正根， 所以. 18．（25-26高一下·湖南·期末）已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若关于的不等式恰有个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)通过幂函数单调性的性质求解. (2)通过不等式化简构造新函数利用对称性确定的范围. 【详解】（1）因为在单调递增，所以， 解得，因为，所以，. （2）求解，即有个整数解. 因为，恰好为整数，由于二次函数的对称性，我们可知另外个整数解为， ，，所以. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.1 函数的零点与方程的解 知识点1：函数零点的概念 1．函数的零点：对于函数y＝f (x)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． 2．方程、函数、函数图象之间的关系：方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有零点⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点． 【注意】函数的零点不是一点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点2：函数零点存在定理：如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解． 【注意】1．①函数f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f (a)·f (b)<0．这两个条件缺一不可． 2．该定理是一个充分不必要条件，反过来，若在(a，b)上有零点，则不一定有f (a)f (b)<0成立．如：函数y＝x2有零点x0＝0，但函数值在零点两侧同号． 考点一　求函数的零点 考点二　零点存在性定理的应用（判断零点所在的区间） 考点三　根据零点求函数解析式中的参数 考点四　根据零点所在的区间求参数范围 考点五　根据函数零点的个数求参数范围 考点六　根据一次、二次函数零点的分布求参数的范围 考点七　根据指对幂函数零点的分布求参数范围 考点八　比较零点的大小关系 考点九　求零点的和 考点十　求函数零点或方程根的个数 考点十一　函数与方程的综合应用 考点一　求函数的零点 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知a是函数的零点，则实数a的值为________． 2．（2026高一·全国·专题练习）（多选）下列函数存在零点的是（　　） A． B． C．（且） D． 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数则的零点之和为_____________． 4．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数的零点为______. 考点二　零点存在性定理的应用（判断零点所在的区间） 5．（25-26高二下·天津静海·期末）函数的零点所在区间是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·福建福州·阶段检测）设函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）（多选）已知的零点为，有使得满足＜0，则下列结论有可能成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点三　根据零点求函数解析式中的参数 9．（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知函数和（其中且）．若函数和的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为1，则实数的值为___________． 10．（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）若函数只有一个零点，则实数的值是___________． 11．（25-26高一上·河北·期末）若，则（   ） A． B．1 C． D． 12．（25-26高一上·上海·期末）已知函数，若，且，则的取值范围是_________． 考点四　根据零点所在的区间求参数范围 13．（25-26高三·全国·一轮复习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 14．（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·重庆·阶段检测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点五　根据函数零点的个数求参数范围 17．（2026高三下·全国·专题练习）有四个不同的实根，则实数的取值范围为__________. 18．（2026·河北秦皇岛·二模）已知函数，有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二下·福建三明·期末）已知函数（且）为奇函数. (1)求实数的值并解不等式； (2)若函数在区间有两个不同的零点，求实数的取值范围. 20．（25-26高二下·福建福州·期末）已知函数（，且）在上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点六　根据一次、二次函数零点的分布求参数的范围 21．（25-26高一·全国·课后作业）若函数的表达式在内有零点，求实数的取值范围． 22．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知函数若关于x的方程恰有3个实数解，则实数a的取值范围为______. 23．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高二下·山西运城·期末）已知函数，若函数有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点七　根据指对幂函数零点的分布求参数范围 25．（25-26高一下·全国·期末）若函数有两个零点，则的取值范围是____________． 26．（25-26高三·全国·一轮复习）若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是____________. 27．（25-26高一上·广东东莞·期末）（多选）已知函数的零点分别为a，b，c，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·天津津南·阶段检测）已知函数，若正实数 互不相等，且，则的取值范围为______． 考点八　比较零点的大小关系 29．（2026高三·全国·专题练习）已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 32．（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 考点九　求零点的和 33．（25-26高二下·河北·期末）已知函数的定义域为，且，设函数与函数的交点共有2026个，且这些交点的坐标依次记为，，…，，则（     ） A．0 B．1013 C．2026 D．4052 34．（25-26高一下·全国·期末）已知函数,的零点分别为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 35．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，令，当时，的所有零点之和为___________，有3个零点则的取值范围为___________. 36．（25-26高一上·江苏南京·期末）设，若方程恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为__________；若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为__________. 考点十　求函数零点或方程根的个数 37．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数，则方程的实根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 38．（2026高三·全国·专题练习）函数，则方程的实根的个数是______________． 39．（2026·湖南长沙·三模）定义在上的奇函数，当时，，设函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数所有零点之和为0. B．若函数有三个零点，则 C．当时， D．函数在上为增函数 40．（2026·北京昌平·二模）设函数，给出下列四个结论： ①当时，恰有2个零点； ②存在正数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有2个零点； ④存在负数，使得恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是_________________ . 考点十一　函数与方程的综合应用 41．（2026高三下·全国·专题练习）函数，若存在实数满足，，则的取值范围是______. 42．（2026高三·全国·专题练习）关于的方程的实根的个数不可能是（   ） A． B． C． D． 43．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，若方程恰有个不同的实数根，则的取值范围是_______． 44．（25-26高一下·云南昆明·期末）已知且，函数若的图象与直线有两个交点，则a的取值范围是________． 1．（25-26高一上·辽宁大连·期末）函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一·全国·课后作业）已知函数在区间上存在零点，则（    ） A． B． C．或 D． 4．（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知，则方程的实数根个数是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·山西吕梁·期末）已知函数若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）函数的所有零点之和为（   ） A． B．1 C． D．2 8．（25-26高一上·贵州安顺·期末）如果是函数的零点，是函数的零点，那么的值为（   ） A． B．3 C．5 D．6 9．（2025·湖南张家界·模拟预测）（多选）已知函数,若存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．5 10．（25-26高二下·山东临沂·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．的值域为 B．关于的方程有3个实数根 C．当时，关于的方程有4个实数根 D．若函数，则对于，都有 11．（25-26高一下·广西崇左·期末）（多选）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．， C．不等式的解集为 D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 12．（2026高三下·全国·专题练习）函数，若存在实数，满足，其中，则的取值范围是______. 13．（2026高三下·全国·专题练习）设函数．若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为__________． 14．（2026高三下·全国·专题练习）有四个不同的实根，则实数的取值范围为__________. 15．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知， (1)若的图象经过点，求函数的定义域； (2)令，若存在零点，求的范围． 16．（26-27高三·全国·一轮复习）设函数 (1)若，求的最小值； (2)若恰有2个零点，求实数a的取值范围． 17．（2026高二下·浙江·学业考试）已知高斯函数（取整函数）表示不超过实数x的最大整数，函数. (1)求的值； (2)求函数的值域； (3)若函数恰有4个零点，求实数m的取值范围． 18．（25-26高一下·湖南·期末）已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若关于的不等式恰有个整数解，求实数的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $