精品解析：甘肃武威市天祝藏族自治县第一中学2026-2027学年高一上学期开学分班考试数学试卷

天祝一中高一年级分班测试 数学 （试卷满分：120分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合用列举法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为，则的值为（ ） A. 和 B. C. D. 和 4. 下列命题中，错误的是（ ） A. 三角形重心是三条中线交点 B. 三角形外心到各顶点距离相等 C. 三角形内心到各边距离相等 D. 等腰三角形重心、内心、外心重合 5. “是钝角三角形”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 关于的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是二次函数的图象的一部分，其对称轴是直线，与轴的一个交点是，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知集合，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 中有5个元素 D. 集合有个子集 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知集合有且仅有两个子集，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解集是空集 C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 因式分解：_________． 13. 已知，，则_________． 14. 如图，已知的周长是，点为三角形内心，连接、，于点，且，则的面积是_________． 四、解答题：本题共5小题，共61分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 解下列方程： （1）； （2）． 16. 射影定理：如图①，在中，，如果，垂足为，那么有下列结论：①；②；③． （1）请你证明射影定理中的结论③，即． （2）【结论运用】请直接使用射影定理解决下面的问题． 如图②，在正方形中，是对角线、的交点，点在边上，过点作，垂足为，连接．求证：． 17. （1）已知．试求的取值范围； （2）比较代数式与的大小． 18. 已知集合，，. （1）若是“”的充分条件，求实数a的取值范围. （2）若，求实数a的取值范围. 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）直线与轴交于点，与抛物线交于点，（点在轴左侧，点在轴右侧），连接，，若的面积为，求，两点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接交于点，在对称轴上是否存在一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天祝一中高一年级分班测试 数学 （试卷满分：120分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合用列举法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把的范围表示出来，再结合列举出元素即可. 【详解】易知，所以列举法可以表示为． 故选：D 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定结构即可求解. 【详解】“”的否定是， 故选：A 3. 若分式的值为，则的值为（ ） A. 和 B. C. D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零即可求解． 【详解】由的值为， 则，即，解得． 所以的值为． 4. 下列命题中，错误的是（ ） A. 三角形重心是三条中线交点 B. 三角形外心到各顶点距离相等 C. 三角形内心到各边距离相等 D. 等腰三角形重心、内心、外心重合 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的重心、外心、内心的定义即可得到答案． 【详解】对于A，三角形的重心是三条中线的交点，故A正确； 对于B，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到各顶点的距离相等，故B正确； 对于C，三角形的内心是三条角平分线的交点，到各边的距离相等，故C正确； 对于D，等边三角形的重心、内心和外心才重合，故D错误． 5. “是钝角三角形”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若是钝角三角形，可得角中有一个是钝角，不能推出， 所以“是钝角三角形”是“”的不充分条件； 若，则是钝角三角形， 所以“是钝角三角形”是“”的必要条件； 所以“是钝角三角形”是“”的必要不充分条件. 6. 关于的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由判别式求得参数范围，再确定顶点坐标的正负可得. 【详解】由题意，， 抛物线的顶点坐标是，显然，因此顶点在第二象限. 7. 若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由“”为真命题可排除A，由“”为假命题可排除BD，即可得到结果. 【详解】若“”为真命题，则A错误， 又“”为假命题，则“”为真命题，则B,D错误， 则集合可以是. 故选：C 8. 如图是二次函数的图象的一部分，其对称轴是直线，与轴的一个交点是，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点是， 由对称性可知二次函数与轴的一个交点是， 由图象可知不等式的解集是或. 二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知集合，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 中有5个元素 D. 集合有个子集 【答案】AD 【解析】 【分析】先解不等式求出集合，再利用集合的表示方法、元素与集合的关系、集合间的关系及集合中元素的个数，逐一分析判断各选项． 【详解】， 选项A：，，故A正确； 选项B：，，故B错误； 选项C：，集合中有4个元素，故C错误； 选项D：中有4个元素，有个子集，故D正确． 故选：． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断A，举反例即可求解BC，作差法即可判断D. 【详解】因为，所以，所以，故A正确； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； ，又，所以，即，故D正确. 故选:AD. 11. 已知集合有且仅有两个子集，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解集是空集 C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可得，由消元法和二次函数的性质计算可得A；判断一元二次不等式的解集可得B；结合韦达定理计算即可得CD. 【详解】由于集合有且仅有两个子集，所以方程只有一个实数解， 所以，即，由于，所以． 对于A，， 当时等号成立，故A正确； 对于B，，即，该不等式解集是空集，B正确； 对于C，不等式的解集为，所以，故C错误； 对于D，不等式的解集为， 即不等式的解集为， 则，，且， 所以， 所以，故D错误． 故选：AB． 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据因式分解求解即可. 【详解】. 13. 已知，，则_________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据完全平方公式求解即可. 【详解】由，得，即， 所以. 14. 如图，已知的周长是，点为三角形内心，连接、，于点，且，则的面积是_________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知：的内切圆半径为， 所以的面积是. 四、解答题：本题共5小题，共61分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）去分母转化为一元一次方程，进而求解即可； （2）两边平方，可转化为一元一次方程，进而求解即可. 【小问1详解】 已知， 整理可得， 去分母，得，， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，分母，则是原分式方程的根． 故原分式方程的解是； 【小问2详解】 两边平方得，整理得，解得， 检验当时，，， 即是方程的解． 16. 射影定理：如图①，在中，，如果，垂足为，那么有下列结论：①；②；③． （1）请你证明射影定理中的结论③，即． （2）【结论运用】请直接使用射影定理解决下面的问题． 如图②，在正方形中，是对角线、的交点，点在边上，过点作，垂足为，连接．求证：． 【答案】（1），， ， ， ， ， ． （2）四边形是正方形， 且，． ，， ，，， ，，． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. （1）已知．试求的取值范围； （2）比较代数式与的大小． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由不等式的性质可得； （2）作差配方可得. 【详解】（1）由可知， 所以， 所以； （2）， 所以． 18. 已知集合，，. （1）若是“”的充分条件，求实数a的取值范围. （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式得到集合，根据是的充分条件列不等式求解即可； （2）根据交集的定义得到，然后根据集合的包含关系列不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以.因为是的充分条件， 所以，解得，. 【小问2详解】 因为，，所以，解得.故a的取值范围为. 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）直线与轴交于点，与抛物线交于点，（点在轴左侧，点在轴右侧），连接，，若的面积为，求，两点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接交于点，在对称轴上是否存在一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），； （3）存在，的坐标为． 【解析】 【分析】（1）利用抛物线对称轴求另一个零点，用交点式快速求； （2）三角形面积用轴上线段作底，韦达定理处理两根之差，避免解复杂根式； （3）旋转，作水平竖直线构造型全等，把旋转后点坐标参数化，代入抛物线列方程. 【小问1详解】 因为抛物线的对称轴为直线，，所以点， 则抛物线的表达式为， 把代入，则，解得， 故抛物线的表达式为； 【小问2详解】 设直线交轴于点，所以, 设点，的横坐标分别为，， 的面积，即， 联立抛物线与直线的表达式并整理得①， 故，， 则， 解得（舍去）或． 将代入①式并解得， 故，两点的坐标分别为，； 【小问3详解】 设点，线段绕点顺时针旋转，得到线段． 由得直线的解析式是， 联立和的解析式，解得，故点． 过点作轴的平行线交函数对称轴于点，交过点与轴的平行线于点， 可得， 则，，， 故点的纵坐标为，则点． 将该坐标代入抛物线解析式得，整理得，解得， 故点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $