5.3+一元一次方程的应用课时 课件 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的行程问题应用，涵盖追及、相遇、环形跑道等核心知识点。通过小学相遇问题导入，衔接路程、速度、时间的旧知，以具体情境（如小明追及、环形跑道运动）为载体，结合线段图搭建学习支架，引导学生逐步掌握方程建模方法。 其亮点在于突出数学眼光中的几何直观（用线段图分析数量关系）和数学思维中的推理意识（分类归纳追及、相遇等量关系），如追及问题分同向同时不同地等类型，环形跑道明确同向追及和背向相遇的等量关系。帮助学生建立模型意识，提升分析问题能力，教师可直接用于结构化教学，提高课堂效率。

第五章 一元一次方程 5.3 一元一次方程的应用 5.3.3 行程问题 七上数学 BSD 学 习 目 标 1.能分析行程问题中已知量与未知量之间的等量关系，利用路程、时间与速度三个量之间的关系列出一元一次方程解决问题;(重点) 2.会用“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题；(难点) 3.掌握一元一次方程解决实际问题的一般步骤，并能验证解的合理性； 4.培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用. 03 新知导入 小明和小华相距 100 米，他们同时出发，相向而行，小明每秒走 3 米，小华每秒走 4 米，他们能相遇吗？几秒钟可以相遇？ 这道题是小学做过的一种很常见的应用题：行程问题， 用到的数量关系主要有： 路程=平均速度×时间； 时间=路程÷平均速度. 行程问题就是要抓住速度、路程、时间三个量之间的关系，找出等量关系，正确地列出方程，解决实际问题. 新知探究 探究一：应用一元一次方程解决追及问题 思考：(1)上述问题中有哪些已知量和未知量？ 解：（1）已知量:小明家到学校1000 m、小明的速度80m/min、 小明已出发5min、小明爸爸的速度180m/min； 未知量:小明爸爸追上小明用的时间、 小明爸爸追上小明时距离学校多远. (2)想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗？ 新知探究 设爸爸追上小明用了 x 分钟,当爸爸追上小明时,所行路程相等,如下图所示. 学校 小明家 180x 爸爸追上小明的位置. 80x 小明5min走的路程:80×5. 小明在爸爸追时走的路程:80x. 爸爸追赶小明时走的路程:180x. 80×5 03 新知讲解 根据等量关系，可列出方程:_______________。 解这个方程，得x=__________。 因此，爸爸追上小明用了______min，此时距离学校还有_____m。 80×5＋80x=180x. 4 4 180×4=720（m），1000－720=280（m）. 280 根据相等量的两种不同表达式就可以建立等量关系，列出方程了。 新知探究 知识点1 追及问题 (2)爸爸追上小明时，距离学校还有多远？ 180×4 1 000 m ？ 小明每天早上要在7：50之前赶到距家1 000 m的学校上学.一天，小明以80 m/min的速度出发，5 min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书.于是，爸爸立即以180 m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他. 7 幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如练习等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在多项式运算的探究活动中，学生需要自主演绎。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要复习的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在一元二次方程的学习过程中，放缩是最具挑战性的环节之一。 新知探究 知识点1 追及问题 (2)爸爸追上小明时，距离学校还有多远？ 180×4 1 000 m ？ 解：180×4=720(m) 1 000－720=280(m) 所以，爸爸追上小明时，距离学校还有280 m. 8 新知探究 追及问题： 知识归纳 甲、乙两人同向出发，甲追乙这类问题为追及问题： 对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系． (1)对于同向同时不同地的问题，如图所示，甲的行程－乙的行程＝两出发地的距离； 注意：同向而行注意始发时间和地点． (2)对于同向同地不同时的问题，如图所示，甲的行程＝乙先走的路程＋乙后走的路程． 幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如练习等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在多项式运算的探究活动中，学生需要自主演绎。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要复习的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在一元二次方程的学习过程中，放缩是最具挑战性的环节之一。 甲、乙两站相距 480 km，一列慢车从甲站开出，行驶速度为90 km/h，一列快车从乙站开出，行驶速度为140 km/h.两车同时开出，同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车? 新知探究 知识点1 追及问题 解：设x h后快车追上慢车. 根据等量关系， 得 140x=90x+480， 解得x=9.6. 答:9.6 h后快车追上慢车. 追及点 甲 乙 90x 480 km 140x 10 归纳： 知识点1 追及问题 追及问题 (2)对于同向同时不同地的问题 （两者出发地不同，但同时出发）， S甲－S乙＝两出发地的距离. 新知探究 新知探究 相遇问题： 知识归纳 关于两人从两地出发相向而行的行程问题称为相遇问题，这类问题往往根据路程之和等于总路程列方程． 如图所示，甲的行程＋乙的行程＝两地相距的路程． 幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如练习等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在多项式运算的探究活动中，学生需要自主演绎。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要复习的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在一元二次方程的学习过程中，放缩是最具挑战性的环节之一。 新知探究 知识点2 相遇问题 甲、乙两人相距280米，同时出发，相向而行，甲从A地出发每秒走8米，乙从B地出发每秒走6米，那么甲出发几秒后与乙相遇? 甲 乙 280米 A B 8米/秒 6米/秒 相遇 【分析】等量关系：甲走的时间=乙走的时间 甲的行程+乙的行程=A、B两地间的距离 13 新知探究 知识点2 相遇问题 甲 乙 280米 解：设甲出发t秒后与乙相遇. 根据题意，得 8t+6t=280. 解得 t=20. 所以，甲出发20秒后与乙相遇. A B 8米/秒 6米/秒 相遇 【分析】等量关系：甲走的时间=乙走的时间 甲的行程+乙的行程=A、B两地间的距离 14 03 新知讲解 思考∙交流 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么?与同伴进行交流。 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤如图所示: 实际问题 数学问题 （一元一次方程） 实际问题的解 数学问题的解 （一元一次方程的解） 抽象 寻找等量关系 解释 验证 解方程 03 新知讲解 回顾∙反思 回顾本节一元一次方程应用的学习，对于如何寻找等量关系列方程，你积累了哪些经验? 借助表格和线段图寻找等量关系。 培养了数形结合思想的应用意识,提高分析问题、解决问题的能力。 新知探究 知识点3 环形跑道问题 操场一周是400米，小明每秒跑5米，小华骑自行车每秒行驶15米，两人绕跑道同时同地同向而行，他俩能再次相遇吗？如果能相遇，什么时候第一次相遇？ 追及问题 17 幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如练习等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在多项式运算的探究活动中，学生需要自主演绎。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要复习的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在一元二次方程的学习过程中，放缩是最具挑战性的环节之一。 新知探究 知识点3 环形跑道问题 小华 小明 他俩能相遇，第一次相遇时小华比小明多跑了一圈. 同时同地，同向而行 等量关系：小华路程-小明路程=操场一周的长度. 18 新知探究 解：（1）设小华用 x min追上小明. 根据题意，得260（x＋1）＝300x 解，得 x＝6.5. 所以小华用6.5min追上小明. （2）设小华起跑后 x min两人首次相遇. 根据题意，得 260（ x ＋1）＋300 x ＝400， 解，得 x ＝0.25. 所以小华起跑后0.25min两人首次相遇. 新知探究 环形跑道问题： 知识归纳 环形跑道长s米，设v甲＞v乙，经过t秒甲、乙第一次相遇. 一般有如下两种情形： ①同时同地、同向而行： v甲t-v乙t=s. ②同时同地、背向而行： v甲t+v乙t=s. 追及问题 相遇问题 1. 一艘轮船从一码头顺流而下，再逆流而上，计划 回到原 来出发的码头.若这艘轮船在静水中的速度是 ，水流速 度是，则这艘轮船最多顺水走( ) ，就必须返回. B A. 30 B. 22.5 C. 18 D. 16 【点拨】设这艘轮船最多顺水走 ，就必须返回，根据题 意，得 ， 解方程，得，所以这艘轮船最多顺水走 ，就 必须返回.故选B. 返回 21 2. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题： “良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十 二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里， 慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？ 则快马追上慢马的天数是( ) D A. 5天 B. 10天 C. 15天 D. 20天 返回 22 典例分析 小明家离学校2.9千米．一天，小明放学走了5分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走60米，爸爸骑自行车每分钟骑200米，则小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？ 例1 解析：设小明爸爸出发x分钟后接到小明． 可以画出线段图如右图所示. 解：设小明爸爸从家出发x分钟后接到小明， 由题意，得200x＋60(x＋5)＝2900. 解这个方程，得x＝10. 因此，小明爸爸从家出发10分钟后接到小明． 小明的爷爷每天都步行到距离家3.2千米的公园去打太极拳.周日早晨，爷爷出发半小时后，小明发现爷爷忘记带家门钥匙了，小明就骑自行车去给爷爷送钥匙．如果爷爷的速度是4千米/时，小明骑自行车的速度是12千米/时，当小明追上爷爷时，爷爷到公园了吗？ 例2 典例分析 解：设小明用x小时追上爷爷. 依题意，得 , 解得 x=, 小明追上爷爷时，爷爷共走了(千米)， 因为3千米＜3.2千米． 所以小明追上爷爷时，爷爷没有到公园． 归纳： 知识点3 环形跑道问题 沿圆周运动同时同地（环形跑道问题） 甲、乙第一次相遇，一般有如下两种情形： ①同时同地、同向而行（追及）： ②同时同地、背向而行 （相遇）： S快－S慢＝环形周长 S快+S慢＝环形周长 新知探究 新知探究 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 知识归纳 实际问题 抽象 寻找等量关系 数学问题（一元一次方程） 解方程 数学问题的解（一 元一次方程的解） 验证 实际问题的解 解释 幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如练习等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在多项式运算的探究活动中，学生需要自主演绎。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要复习的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在一元二次方程的学习过程中，放缩是最具挑战性的环节之一。 随堂练习 联络员追上前队时用了多长时间？ 1.育红学校七年级学生步行到郊外旅行：七(1)班的学生组成前队，步行速度为4 km/h，七(2)班的学生组成后队，前队出发1 h后，后队派一名联络员骑自行车追前队，他骑车的速度为12 km/h. 【分析】等量关系：联络员行的路程＝前队行的路程． 4×1 4x 12x 前队 联络员 27 幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如练习等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在多项式运算的探究活动中，学生需要自主演绎。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要复习的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在一元二次方程的学习过程中，放缩是最具挑战性的环节之一。 随堂练习 2.甲、乙两站间的路程为450千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶85千米.设两车同时开出，同向而行，则快车几小时后追上慢车? 【分析】等量关系：快车所用时间=慢车所用时间 快车行驶路程=慢车行驶路程+相距路程 450 km 乙 甲 快车 慢车 追上 28 05 课堂小结 行程问题 相遇问题：甲路程+乙路程=总路程 追击问题：快车路程-慢车路程=路程差 $