河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习测试卷（3）-函数y=Asin(ωx+φ)与三角函数的应用

**基本信息** 聚焦函数与三角函数应用，通过摩天轮运动、弹簧小球、气温模型等动态与生活情境，考查图象变换、性质及建模能力，体现数学眼光观察、思维推理与语言表达的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|三角函数图象伸缩平移（1-2题）、质点运动距离函数（3题）|结合动态过程考查图象变换逻辑，如第3题通过圆周运动建立距离函数| |多选题|3/18|函数单调性、对称性、值域（9题）|多角度辨析性质，如第9题综合判断单调性与方程根之和| |填空题|3/15|图象平移参数（12题）、气温三角函数模型（13题）|联系生活实际，如13题用三角函数拟合气温变化| |解答题|5/77|摩天轮距离模型（15题）、函数零点范围（16题）|综合现实情境建模，如15题通过摩天轮运动建立正弦函数并求解实际问题|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习测试卷（3） 范围：函数与三角函数的应用 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．为了得到的图象，可以将函数的图象上（     ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 C．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 2．将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若为偶函数，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 6．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次到达最高点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 C．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 D．小球在秒时位于平衡位置 8．关于函数有下列命题（    ） ①其解析式可写为 ②直线是图象的一条对称轴； ③的图象可由的图象向右平移个单位得到； ④存在，使恒成立． 其中真命题为（    ） A．②③ B．①② C．②④ D．③④ 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．关于直线对称 C．的值域为 D．关于的方程在区间上有实根，则所有根之和组成的集合为 10．设函数，则下列结论正确的是（     ） A．的值域为 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为 D．是的一个零点 11．函数的最大值为4，则（   ） A． B．图象关于点中心对称 C．的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D．在上的值域为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则的最小值为___________． 13．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示.已知6月份的平均气温最高为，12月份的月平均气温最低为，此函数的最小正周期为______，10月份的平均气温为______°. 14．已知函数，则以下正确结论的序号为__________. ①函数的图象关于轴对称； ②函数的值域为； ③函数在区间上单调递减： ④当时，函数的图象与直线有且仅有两个交点. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．  (1)求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离； (2)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (3)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值． 16．(本小题15分）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若，求的最值及取最值时的值； (3)若函数在内有且只有一个零点，求实数的取值范围． 17．(本小题15分）已知函数的部分图象如图所示，其中点，． (1)求的解析式； (2)求曲线的对称轴方程和对称中心的坐标； (3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，直接写出的解析式． 18．(本小题17分）已知函数，其中． (1)若的最小正周期为，且的最大值为3，求的值及的单调递增区间； (2)在（1）的条件下，把函数的图象向左平移个单位长度得到偶函数的图象，求函数的对称中心； (3)若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 19．(本小题17分）已知函数． (1)求函数的单调减区间； (2)当时，求的值域； (3)先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位得到的图象，求方程在区间上所有根之和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C C A C B C BCD ACD 题号 11 答案 ABD 1．A 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.再向左平移（）个单位，平移后的函数解析式为.令，解得， 故将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，即可得到的图象. 2．D 【详解】将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象. 3．C 【详解】由题意，，所以，所以点逆时针运动ts时，， 所以点的纵坐标为，所以该质点到轴的距离.故选：C 4．C 【详解】由题意得： ， 因为为偶函数，所以，解得：， 当时，可得. 5．A 【详解】由图可知，函数的最小正周期满足，所以最小正周期， 故，此时； 将最低点代入可得，即， 所以，可得. 又，所以，所以； 将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍， 由三角函数图象伸缩变换的规律可得． 6．C 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得函数解析式为， 因为的图象关于轴对称，即为偶函数，所以，解得， 因为，所以当时，取得最小值． 7．B 【详解】由题，小球运动的周期， 又，所以，解得，当时，，即，， 所以，则，故A错误；若，则， 又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故B正确； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故C错误； 因为，，这时是最高点不是平衡位置，故D错误. 8．C 【详解】对①，若，令，显然等式不成立，①错误； 对②，因为，所以直线是图象的一条对称轴，②正确； 对③，因为函数的图象向右平移个单位长度得到的图象解析式为，③错误；对④，函数的最小正周期为，所以当时，等式成立，④正确． 9．BCD 【详解】对于A：当时，，， 令，则有在单调递增，， 所以当，单调的递增，当时，单调的递递减， 所以在上不单调，故A错误； 对于B：，所以关于直线对称，故B正确； 对于C：由A有：， 所以，所以的值域为，故C正确； 对于D： 结合A的分析可得在上先增再减，由B选项的分析，函数的图象关于对称，函数草图如下： 当方程在区间有一个实数根时，所有根之和； 当方程在区间有两个实数根时，所有根之和； 当方程在区间有四个实数根时，所有根之和； 所以所有的根之和组成的集合为，故D正确． 故选：BCD. 10．ACD 【详解】因为对,，故的值域为，即A正确； ，故不是的对称轴，故B错误； 的最小正周期为，故C正确； 因，故D正确. 11．ABD 【详解】因为的最大值为4， 所以，解得，故A正确； 则，因，故B正确； 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 该函数显然与不是同一函数，故C错误； 对于，当时，， 因函数在上单调递增，故在上的值域为，故D正确. 12． 【详解】的图象向左平移个单位后，得到， 从而，解得， 又，故当时，取得最小值，最小值为.故答案为： 13． / 【详解】由函数， 因为6月份的平均气温最高为，12月份的月平均气温最低为， 可得且，解得， 所以函数，所以函数的最小正周期为； 令，可得，即为.故答案为：；. 14．①②④ 【详解】对于①，的定义域为，， 故为偶函数，图象关于轴对称，①正确； 对于②，， ，故的最小正周期为， 当时，， 令，则， 综上，函数的值域为，②正确； 对于③，由②得时，， ，对称轴为，显然在上不单调， 故在区间上不单调，③错误： 对于④，时，， 令得，即， 时，，解得，此时或， 故函数的图象与直线有且仅有两个交点，④正确. 15．【详解】（1）因为旋转一周所需时间分钟，所以旋转分钟转过的角度为， 号座舱（点）离地面的初始高度为米， 又摩天轮的半径为30米，所以逆时针旋转时上升的高度为米， 所以旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离米； （2）依题意1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（其中），依题意可得，，则． 又，，当时，，又，所以， 所以． （3）令，即，， ，，或，解得或， 故或时，1号座舱与地面的距离为17米． 16．【详解】（1）因为 ，所以函数的最小正周期 （2）由（1）知， 因为，所以， 令，则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，即时，. 当时，即时， 综上：当，的最小值为0，此时；最大值为3，此时． （3）因为函数在内有且只有一个零点， 所以在只有一个实根.即 即函数在的图象与直线只有一个交点， 当时，， 令，则在区间的图象与直线只有一个交点时， 即，解得. 17．【详解】（1）由题图可知，，，即， 则，此时， 而，即，， 则，，又，所以， 故． （2）令，，解得，， 即曲线的对称轴方程为，． 令，，解得，， 即曲线的对称中心的坐标为，． （3）由（1）知，， 将的图象向右平移个单位长度，得到， 再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到. 18．【详解】（1）因为 所以， 的最小正周期为，所以，所以， 的最大值为3，所以，解得， 所以， 令，解得 所以，函数单调递增区间为，. （2）由（1）得：，所以， 为偶函数，所以，，解得，， 因为，所以令，则， 令，，解得，，的对称中心为，. （3） 因为，所以， 函数在区间上单调递增，所以且， 解得，且，即，所以， 所以的取值范围为. 19．【详解】（1）， 令，解得：， 的单调减区间为. （2）当时，，， ，即当时，的值域为. （3）由题意知：， 令，则， 当时，令，则， 作出的图象如下图所示， 若与相交，则共有四个交点，从左至右依次可记为，则方程在区间上有四个根，依次为， ，，，， ，即所有根之和为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $