河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习测试卷（1）-三角函数图像与性质

**基本信息** 聚焦三角函数图像与性质，通过基础辨析（如奇偶性判断）、综合应用（如五点作图与方程根问题）及创新探究（如含参数函数值域与方程根分布），分层考查数学抽象、几何直观与逻辑推理能力，适配新高二暑假自主学习巩固提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|奇偶性、周期、对称性、定义域|基础概念辨析，如第3题结合对称性求参数最小值| |多选题|3/18|图像性质、周期应用、图像分析|多维度判断，如第10题综合对称轴、单调性与值域| |填空题|3/15|值域、周期计算、三角不等式|简洁考查运算，如第13题利用周期求参数| |解答题|5/77|作图、单调性、最值、方程根分布|分层递进，如第15题结合五点作图与方程根个数，第19题探究含参数方程根分布，体现数学建模与逻辑推理|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高二数学自主学习测试卷（1） 范围：三角函数的图像与性质 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知函数，则函数（   ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．是奇函数也是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 2．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3．若曲线关于直线对称，则m的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（    ） A． B． C． D． 5．用“五点法”画函数的图像时，首先应描出五点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 6．在内，下列区间中使得成立的是（    ） A． B． C． D． 7．设和分别表示函数的最大值和最小值，则（   ） A． B．1 C． D．2 8．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．下列关于函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．函数图象可以向左右无限延伸 B．函数图象与轴有无数个交点 C．利用五点法画函数的图象时，其中一个关键点为 D．函数的图象可由的图象向下平移1个单位得到 10．函数的最小正周期为，则（    ） A．是的一条对称轴 B．与函数相等 C．在区间上单调递减 D．在区间上的取值范围是 11．若函数 的部分图象如右图所示，且，则（    ） A． B． 是 的一个对称中心 C． D． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．函数的值域为_______． 13．函数的图像的相邻两支曲线截直线所得线段长为，则实数__________. 14．解不等式的解集为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）函数． (1)请用五点作图法画出函数的图象（先填表，再画图）； (2)若有2个根，求实数m的取值范围； (3)若在上的值域为，求的取值范围． 16．(本小题15分）已知函数，． (1)求的最小正周期和对称中心； (2)求在区间内的单调递减区间； (3)当时，求的最大值及最小值及相应的取值． 17．(本小题15分）已知函数． (1)求的定义域及图象的对称中心； (2)求使不等式成立的的取值集合． 18．(本小题17分）已知函数的图象过点． (1)求出的值， (2)求出的单调区间； (3)求不等式的解集． 19．(本小题17分）设函数. (1)若，求函数在上的值域； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B D B B B C AB AD 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】因为函数的定义域为，且不恒为0，于，，且，所以是偶函数但不是奇函数. 2．B 【详解】由，可得的系数， 代入周期公式得： ，即该函数的最小正周期为. 3．B 【详解】曲线关于直线对称，则， 即，因为，当时，，当时，（舍去）， 所以的最小值为，选项B正确. 4．D 【详解】根据题意，令，，解得函数的对称轴为：， 令，得，令，得，令，得，令，得， 所以函数的图象离直线最近的对称轴方程为． 5．B 【详解】由正弦函数的五点作图法，可得描出的五点的横坐标与函数的五点的横坐标相同，即五个点的横坐标分别为. 6．B 【详解】如图画出函数在内的图象， 因为， 结合图象可知，在内，不等式的解集为. 故选：B． 7．B 【详解】由可得，，所以，. 8．C 【详解】要使函数有意义，则，即，所以函数的定义域为． 9．AB 【详解】结合余弦函数的图象可知A，B正确； 利用五点法画函数的图象时，其中一个关键点为，故C错误； 函数的图象可由的图象向上平移1个单位得到，故D错误． 故选：AB. 10．AD 【详解】因为函数的最小正周期为, 由周期公式， 可得，则. 对于A选项，因为，所以是的一条对称轴，故选项A正确； 对于B选项，因为, 与不相等，故选项B错误； 对于C选项，当时，， 而在上单调递增，所以函数在区间上单调递增，故选项C错误； 对于D选项，当时，，而，，所以在区间上的取值范围是，故选项D正确； 故选：AD. 11．ABD 【详解】由题意得：，故A正确； 由，所以，又，当时，， 所以，所以， 所以 是 的一个对称中心，故B正确； 又， 所以，故D正确； 所以， 所以， 又， 所以，故C错误. 12． 【详解】当时，， 当时，， 合并值域为故答案为：. 13．4 【详解】 函数相邻两支曲线截平行于轴的直线所得线段的长度，就是正切函数的周期，因此， 所以，解得 . 14．， 【详解】由题得，，所以，， 所以，.所以不等式的解集为，. 15．【详解】（1）函数． 按五个关键点列表： x 0 2 1 0 －1 0 1 3 0 1 0 3 描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示： （2）若有2个根，则的图象与直线有2个交点， 由图可知，或．即实数m的取值范围或． （3）在，令，得或； 令，得，即，解得：或； 由图像可得：当时，函数单调递减；当时，函数单调递增. 若在上的值域为， 则（或）最小； 当时，最大．所以u的取值范围为． 16．【详解】（1）由函数，可得函数的最小正周期为， 令，，解得，，所以函数的对称中心为， （2）由，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数的单调递减区间为，． （3）由，可得， 当时，即时，函数取得最大值，最大值为； 当时，即时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数在上的最大值为，最小值为． 17．【详解】（1）令，，解得，， 故的定义域为．令，解得， 故图象的对称中心为． （2）不等式，即，则， 可得，，解得，， 不等式的解集为． 18．【详解】（1）因为的图象过点， 所以，解得 ，因为，所以. （2）由（1）知， 令，即， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间． （3）不等式，即， 解得，即， 所以不等式的解集为. 19．【详解】（1）令，，则， 令， 当时，在上单调递减， 所以，，即的值域为，故函数的值域为. （2）若要，则需，当时，， 函数变为，，所求问题变为恒成立， 函数的图象开口向下， ①当时，即当时，此时函数在上单调递减， 则，解得，此时； ②当时，即当时，此时函数在上单调递增， 则，解得，此时； ③当时，即当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 故， 当时，即当时，，解得，此时； 当时，即当时，，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. （3）令，，由题意可知，当时， 关于的方程在时有两个不等实数解， 而关于的方程最多只有两个根， 因为方程在上有四个不相等的实数根， 所以原题可转化为在内有两个不等实数根，    令，则有，解得， 即的范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $