河北省承德市高新区第一中学2026年暑假高二升高三数学自主测试卷（6）---函数的基本性质

**基本信息** 聚焦函数奇偶性、单调性、周期性核心素养，通过基础判断（如单选1奇偶性辨析）、综合应用（如解答15单调性证明与不等式求解）的梯度设计，适配新高三暑假复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|奇偶性判断（题1）、单调性应用（题2）、周期性与对称性（题3）|基础概念辨析，选项设置典型反例（如题1用具体函数排除非奇非偶选项）| |多选题|3/18|单调性参数范围（题9）、函数性质综合（题11）|多维度考查，如题11结合单调性与奇偶性判断| |填空题|3/15|周期与奇函数求值（题12）、偶函数单调性比较（题13）|简洁考查性质综合应用| |解答题|5/77|单调性证明与不等式（题15）、周期函数证明与解析式（题18）|分层设问，如题15从求值到证明再到解不等式，培养推理能力|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主测试卷（6） 范围：函数的基本性质 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 2．已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象关于直线对称，且的最小正周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 6．已知是定义在上的函数，且恒成立．当时，，则当时，函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 8．已知奇函数的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 10．关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 11．设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知奇函数的周期为2，且当时，，则________． 13．已知函数是上的偶函数，且在区间上为减函数，那么与的大小关系是_______________． 14．若函数是奇函数，则在上的最大值等于________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）对于定义在R的函数，都有，且满足，当时，. (1)求的值； (2)证明：函数为R上的增函数； (3)若，求关于的不等式的解集. 16．(本小题15分）已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 17．(本小题15分）已知定义在上的函数对任意恒有，当时，． (1)求，判断函数的奇偶性并说明理由； (2)判断的单调性，并证明； (3)若对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．(本小题17分）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算 19．(本小题17分）已知函数，且， (1)求解析式； (2)求不等式的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C D C D B C ABD AC 题号 11 答案 ACD 1．D 【详解】因为定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数， 则，. 对于A：因为， 可知为奇函数，故A错误； 对于B：例如，，则为非奇非偶函数，故B错误； 对于C：因为， 可知为偶函数，故C错误； 对于D：因为， 可知为奇函数，故D正确. 2．D 【分析】本题主要利用函数单调性的概念逐项判断即可. 【详解】因为在上单调递增，且，所以，； 判断斜率符号：两点连线斜率，所以选项D正确； 排除其他选项： 选项A：，A错误； 选项B：斜率为正，B错误； 选项C：取，则，，两者相等，C错误. 3．C 【详解】因为最小正周期为4，，得，可排除AB选项. C选项，代入，，是函数图象的一条对称轴； D选项，，为函数图象的一个对称中心，不是函数图象的一条对称轴，故排除D. 4．D 【分析】对任意的，，求出的等式，根据可求出实数的值. 【详解】对任意的，，则， 因为函数为奇函数，则， 故当时，由可得，即， 所以，解得. 5．C 【详解】由于，，则2是函数在上的一个周期． 又由于函数为偶函数，有，且当时，， 所以有． 6．D 【分析】根据函数的周期性得到在时，的解析式． 【详解】因为，则函数的周期为2； 当时，则，故； 由周期性可知，故当时，． 7．B 【详解】对A，函数的定义域为，所以其是非奇非偶函数，所以A错误； 对B，的定义域为，定义域关于原点对称，令， 则，所以函数是奇函数，且函数在上单调递增， 则在上也单调递增，所以函数在上单调递增，所以B正确； 对C，函数的定义域为，关于原点对称，令，则， 所以函数为偶函数，所以C错误； 对D，函数的定义域为，定义域关于原点对称，令，则， 所以函数是奇函数，但其在上单调递减，在上单调递增，所以D错误． 8．C 【分析】由奇函数性质以及图象关于直线对称将转化为已知来求解. 【详解】因为是奇函数，所以. 又因为的图象关于直线对称， 所以. 已知，故， 所以. 9．ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 10．AC 【分析】通过分离常数+反比例函数平移的方法，结合初中已学的反比例函数单调性规律来分析. 【详解】将整理得: , 该函数的定义域为，是由反比例函数向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的. 当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减， 因此在上单调递减，A正确、B错误. 当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减， 因此在上单调递减，C正确、D错误. 11．ACD 【分析】令可得判断A，令可得，再令得判断C，结合单调性结合特例判断B，根据函数单调递增即可比较大小判断D. 【详解】在等式中， 对于A，令，可得，则，故A正确； 对于C，令可得，则， 因为函数的定义域为， 令可得，则， 故函数为奇函数，故C正确； 对于B，是定义域为的单调函数，因为， 所以是上的增函数，故B错误； 对于D，由上分析可知是上的增函数， 当时，，即， 因此，故D正确. 12．-6 【详解】由的周期为2，可得， 由是奇函数，可得， 因为当时，，所以， 即． 13． 【分析】使用函数奇偶性判断在上的单调性，使用单调性比较函数值的大小求解. 【详解】因为函数是上的偶函数，且在区间上为减函数， 所以在上是增函数， 因为， 所以 14．/ 【分析】先根据是奇函数，得到其定义域关于原点对称，且，从而得到，的值，即可得到的解析式，再根据复合函数的单调性即可判断的单调性，进而即可求出在某区间的最大值． 【详解】由， 则x应满足为，即， 又是奇函数，则其定义域关于原点对称，且， 则，即，解得， 所以， 又是奇函数，且其定义域为， 则，解得， 所以， 又在上单调递增，而在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以在上的最大值为． 15．(1) (2) 设，且， 有 又即又， ， ∴函数在R上为增函数. (3) 【分析】（1）利用赋值法，结合已知等式进行求解即可； （2）根据函数单调性的定义，结合已知等式进行运算证明即可； （3）根据函数的单调性，结合已知等式进行求解即可. 【详解】（1）， 或（舍），即； （2）略 （3）， ， 又， 令，由（2）知在R上也为增函数， 又， ，由函数单调性可知， ∴不等式的解集为. 16．(1)，， (2)， (3)或， 【分析】（1）分段考虑，结合二次函数以及一次函数的单调性即可求解， （2）根据自变量的取值，代入即可求解， （3）分情况考虑，解不等式即可得解. 【详解】（1）当时，，此时在单调递增， 当时，在 单调递增， 故的单调递增区间为，， （2）由于，故, 由于，故， （3）当时，，由得，解得， 当时，，由得，解得， 当时，，也符合，故， 综上可得当时，求x的取值范围为或， 17．(1) 令，则，解得； 为奇函数，理由如下： 定义域为关于原点对称， 令得，即， 所以为奇函数. (2) 在上单调递增，证明如下： 任取且，则， 因为当时，， 所以， 又，即， 所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）令，可得的值，令，代入条件，根据奇函数的定义，即可得证. （2）根据单调性的定义，结合条件及的奇偶性，化简整理，即可得证. （3）由（2）可得对任意的恒成立，法一：根据对数的运算性质及对数函数的单调性，可得对任意的恒成立，利用换元法，结合二次函数的性质，即可得答案；法二：整理可得对任意的恒成立，利用换元法，结合对勾函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）法一：由（2）得在上单调递增， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 因为在上单调递增， 所以，即对任意的恒成立， 令则， 令， 则， 解得，所以的取值范围. 法二：由（2）得在上单调递增， 则对任意的恒成立， 则， 即对任意的恒成立， 则有， 令，则，所以有， 因为在上单调递增， 所以当，即时，取得最大值，最大值为， 所以有，则，所以的取值范围 18．(1)证明见解析 (2) (3)1 【分析】（1）利用周期函数定义证明即可； （2）当时，可得出，再由可求得解析式； （3）计算出的值，再利用函数的周期性即可解出. 【详解】（1）∵对任意实数，恒有， ∴， ∴函数是周期为4的周期函数. （2）∵，∴. 当时，， 此时. （3）当时，；当时，. ∴， ∴，又函数的一个周期为4， ∴ . 19．(1)； (2) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）根据已知及求参数值，即可得解析式； （2）应用分类讨论求含参一元二次不等式的解集. 【详解】（1）由，则， 令，则，即，得，经检验符合题意， ； （2）原不等式可化为，即， 若，即，则原不等式无解， 若，即，则原不等式解为， 若，即，则原不等式解为， 综上， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $