专题05一元二次方程的应用及根与系数的关系(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程根与系数关系（韦达定理）及实际应用核心知识点，依托方程解法，系统梳理韦达定理公式、四大恒等变形及使用前提，整合增长率、利润、面积、传播等四类应用模型，规范解题步骤，为二次函数学习奠定代数基础。 该资料特色在于整合知识模块，突出易错点（如韦达定理忽略Δ≥0），题型分类详尽（十二类含难度星级），解题思路强调模型意识与运算能力（如面积问题平移法、利润问题列方程）。课中助教师聚焦重点，课后供学生针对性练习，培养抽象能力与应用意识，有效查漏补缺。

专题05一元二次方程的应用及根与系数的关系 课堂核心立意 本节课整合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）与一元二次方程实际应用两大模块，依托一元二次方程解法，掌握不解方程判断两根和、两根积、构造方程、求代数式值的技巧，熟练梳理增长率、利润、面积、传播类应用题等量关系，规范列方程解题步骤，强化代数计算与实际建模能力，为二次函数综合计算打下代数基础。 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1. 基础公式 对于标准一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当判别式Δ=b2-4ac0（方程有实数根），设两根为x1、x2 两根之和：x1+x2− 两根之积：x1x2= 2. 简化形式（二次项系数为1，x2+px+q=0） x1+x2=-p，x1x2=q 四大必考恒等变形（中考高频） 掌握整体代换思维，无需求根直接运算： ①平方和：= ②倒数和：= ③差平方：= ④两根差值：|x1-x2|= 定理两大使用前提 必须保证Δ0，方程存在实数根才能使用韦达定理；a≠0是一元二次方程硬性条件。 拓展用法 ①已知两根，反向构造一元二次方程：x2-(x1+x2)x+x1x2=0； ②已知一根，利用韦达快速求另一根； ③结合判别式，限定参数取值范围。 一元二次方程实际应用核心模型（必考四类题型） 1. 增长率/下降率模型 基数为a，平均变化率x，经过n次变化后总量A 公式：a(1 x)n=A，增长用加号，降低用减号。 2. 销售利润问题 单件利润=售价−进价，总利润=单件利润×销售数量； 涨价则销量减少，降价则销量增多，找准价格变动和销量的变化关系。 3. 几何面积问题 矩形边长增减、道路平移、边框宽度、动点形成直角图形，通过平移把不规则面积转化为矩形面积列方程；舍去边长为负数的解。 4. 传播、握手、单循环比赛模型 传播：1+x+x(1+x)=总数； 握手/球赛单循环：x(x-1)=总次数。 应用题通用解题步骤 审题意→设未知数→找等量关系→列一元二次方程→解方程→检验（实际意义舍去负根、超范围根）→写答句。 （课堂重点强调） 1. 韦达定理直接忽略Δ0前提，参数求值后不验证方程是否有实根，直接扣分； 2. 两根之和符号易错，牢记x1+x2=-，容易漏掉负号； 3. 应用题解出两个正数根，未结合实际场景取舍（如宽度、价格不能超出合理区间）； 4. 增长率模型次数看错，两年变化是平方，不是乘以2； 5. 几何面积道路问题，长和宽同时减去两倍道路宽度，只减一边造成列式错误； 6. 构造方程时，常数项符号颠倒。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的根与系数的关系 ★★★★ 题型二 传播问题 ★★★★ 题型三 增长率问题 ★★★★ 题型四 与图形有关的问题 ★★★★ 题型五 数字问题 ★★★ 题型六 营销问题 ★★★★★ 题型七 动态几何问题 ★★★★★ 题型八 工程问题 ★★★★ 题型九 行程问题 ★★★★ 题型十 图表信息题 ★★★★ 题型十一 握手、循环赛问题 ★★★★ 题型十二 其他实际应用问题 ★★★ 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：一元二次方程的根与系数的关系 解题思路：①先验证判别式Δ=b²−4ac≥0，满足有实数根才能使用韦达定理；②直接套用x₁+x₂=−，x₁x₂=；③所求代数式全部变形为两根和、两根积组合形式（平方和、倒数和、两根差值）代入求值；④已知一根利用乘积/和快速求另一根；⑤结合两根和与积反向构造一元二次方程。 1．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 2．已知a、b是方程的两个实数根，则的值是__________． 3．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 题型二：传播问题 解题思路：①设每一轮传播数量为x；②初代传染源数量为1，第一轮新增x个，第二轮由(1+x)个个体继续传播，列式：1+x+x(1+x)=总数量；③整理为一元二次方程求解；④舍去负数解，检验结果符合实际传播整数要求。 5．秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有168人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．某病毒具有传染性强、传播速度快的特点．若有一个人感染了这种病毒，经过两轮传染后将共有169名感染者． 那么在每轮传染中，平均一个人传染了______人． 7．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病．一鸡场3月12日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数是多少？ 8．随着人们生活水平的提高，节假日大家都喜欢游览观光祖国的大好河山，但一定要注意安全，特别要防止病毒的传染．我们利用学过的数学知识来解决一个关于病毒传染的问题：一个游客在旅游时，因不意防范，患上了流感，回家后，经两轮传染后有81人患上了流感，那么平均一个人传染了几个人？经过三轮传染后共有多少人患上了流感？ 题型三：增长率问题 解题思路：①设平均增长率/下降率为x，初始基数为a；②两年变化核心公式：a(1±x)²=最终数值，增长用加号，减产降价用减号；③看清增长周期，两年为平方，勿直接用a×(1±2x)列式；⑤解出x后转化为百分数，负值增长率直接舍去。 9．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 10．某中学大力发展“红色底蕴，绿色发展”的校园文化建设，教育教学质量逐年提高，赢得了社会各界的关注和好评．近几年来，每年七年级新生报名人数均创新高．已知该校2021年七年级招生900人，2023年达到1089人，假设每年招生人数的平均增长率相同，则平均每年的增长率是_________． 11．为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 12．依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高．该店7月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋． (1)求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率． (2)门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋．市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元？ 题型四：与图形有关的问题 解题思路：①道路、边框题型用平移法，把空白区域拼接成规整矩形；②长、宽同步扣除道路两倍宽度，避免单边减宽列式错误；③根据矩形、三角形面积公式列出方程；④解出边长，剔除负数、超出原图长宽的不合理取值。 13．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设宽为步，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 14．在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 15．某镇政府规划在新城区政府大楼前建设一块长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）． (1)用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积； (2)若已知，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？ 16．某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 题型五：数字问题 解题思路：①设个位、十位、百位未知数，两位数表示：10×十位数字+个位数字；②根据数字平方、和、差、倍数关系列等式；③整理为一元二次方程求解；④解限定0~9的整数，十位数字不能为0。 17．如图是2023年6月的月历，在此月历表上可以用一个方框圈出4个数．若圈出的四个数中最小数与最大数的乘积为65，则这个最小数为________．    18．如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ） 豆包 内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方， 然后加上它的3倍，运算结果与这个 数的相反数减4相同． A． B． C． D．1 19．2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 20．已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：，所以13和62是“幸福数对”． (1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)有一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 题型六：营销问题 解题思路：①单件利润=售价−进价；总利润=单件利润×实际销量；②涨价对应销量减少，降价对应销量增加，找准单价变动1元时销量变化数值；③结合售价上限、成本底线对方程两个正根做取舍；④检验售价不能低于进货成本。 21．春联不只点缀门楣，更凝结着深厚的文化哲思与民间情感，某同学计划寒假售卖春联，并将所得利润全部捐给山区助学计划．调查发现：某种春联每副进价为12元，并且当这种春联销售价为20元时，平均每天能售出8副；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出4副．该同学希望这种春联的销售利润平均每天达到144元，那么这种春联的售价应为多少元？设这种春联售价定为x元．则可列方程为（   ） A． B． C． D． 22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 23．某青年旅社有间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高元，就会有间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出元/天的维护费用．若该青年旅社希望每天纯收入为元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） 24．某商场以进价元/件购进某种新商品，在月份试销售阶段发现，在售价不低于元/件的情况下每件销售价格（元）与商品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格（元） 日销售量（件） (1)请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的值为______； (2)若某日该种商品的总利润为元，求该日此种商品每件的售价； (3)若售货员小李发现销售该种商品件与件的日利润相同，且，请求出与所满足的关系式．（要求：用含的代数式表示） 题型七：动态几何问题 解题思路：①设动点运动时间为t，用t表示动点移动线段长度；②依托直角、矩形、菱形直角条件，利用勾股定理、面积公式列方程；③求出t后验证取值在动点运动区间内；④舍去超出线段总长、时间为负的解。 25．如图，三角形ABC中，，一动点从出发沿着边以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当为______秒时，的面积为．    26．如图，在正方形中，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从点出发，沿向点移动．设，两点移动的时间为．在，两点移动的过程中，当的长度为时，的值为（   ） A．2 B．4 C．2或4 D．3或4 27．已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．设运动时间为． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示） (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 28．在矩形中， ，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 题型八：工程问题 解题思路：①把工作总量记作单位1，单人工作效率=1÷完工天数；②合作效率为多人效率相加，依据：效率×时间=工作量列方程；③区分单独施工、分段施工两种题干条件；④工期取值为正数即可。 29．“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 30．某公司主营铁路建设施工． (1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？ (2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a的值． 31．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 题型九：行程问题 解题思路：①核心公式：路程=速度×时间；②提速、变速题型，以时间差或者路程差建立等量关系；③分式方程先化为整式一元二次方程；④速度、时间全部舍去负数解。 32．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为______． 33．2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 34．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 35．如图，某海军基地位于处，在其正南方向20海里处有一重要目标，在的正西方向20海里处有一重要目标，小岛位于的中点，岛上有一补给码头；一艘军舰从出发，经到匀速直线巡航． (1)为提前完成第一次巡航任务，军舰调整速度为原来的1.5倍，结果提前到达目标处，求军舰原来的速度是多少？ (2)在第二次军舰巡航时，一艘补给船同时从出发，沿南偏东方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰航行的总路程是补给船的3倍，军舰在由到的途中与补给船相遇于处，那么相遇时补给船航行了多少海里？ 题型十：图表信息题 解题思路：①读取表格、折线图中的单价、销量、总金额对应数据；②梳理数据变化规律，设变化量为未知数；③套用利润、总量公式列方程；④对照图表原始数据验证方程解的合理性。 36．根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 37．如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 38．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 题型十一：握手、循环赛问题 解题思路：①设总人数/队伍数量为x；②两两单次接触无重复，公式：x(x−1)=总次数；③区分单循环和双循环，双循环直接用x(x−1)列式；④结果为正整数，舍去非整数、负数解。 39．四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 40．某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，参加比赛的足球队有_____支． 41．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数； (3)若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数可能为20吗？为什么？ 42．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 题型十二：其他实际应用问题 解题思路：①通读题干锁定核心等量关系式；②合理设定未知数，简化列式计算量；③规范列出一元二次方程；④双解结合现实场景筛选有效解，作答清晰标注舍去理由。 43．某校劳动小组种植的某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设主干长出个支干，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 44．小明将一个100毫升的容器盛满纯酒精，第一次倒出一部分纯酒精后，再用水加满；第二次又倒出同样多的酒精溶液，若此时容器内剩下的纯酒精是81毫升，则小明每次倒出的体积是______毫升． 45．某电影院为吸引团体观影，推出如下收费标准： 如果观影人数不超过20人，人均票价为50元； 如果人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元． (1)如果某公司组织25人观影，那么人均需支付电影票 元； (2)现某公司组织员工观影，共支付给电影院电影票费用1008元，请问该公司有多少名员工参加观影？ 46．芯片是我国“十五五”核心攻关项目，场效应晶体管（管）是基本单元．管饱和区工作电流（单位：）由栅源电压（单位：）调节控制，满足公式：，其中和为常数，．已知某S型管满足，某R型管满足． (1)当时， A，当时， V． (2)只要控制管电流相同，不同型号的管就可以串联一起同时在饱和区工作，现将该和两型号管串联在饱和区工作，若两款管的安全电压都为， ①将型管调整为，通过计算判断该型管是否安全工作； ②在两款管都正常串联在饱和区工作的前提下，判断和的关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05一元二次方程的应用及根与系数的关系 课堂核心立意 本节课整合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）与一元二次方程实际应用两大模块，依托一元二次方程解法，掌握不解方程判断两根和、两根积、构造方程、求代数式值的技巧，熟练梳理增长率、利润、面积、传播类应用题等量关系，规范列方程解题步骤，强化代数计算与实际建模能力，为二次函数综合计算打下代数基础。 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1. 基础公式 对于标准一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当判别式Δ=b2-4ac0（方程有实数根），设两根为x1、x2 两根之和：x1+x2− 两根之积：x1x2= 2. 简化形式（二次项系数为1，x2+px+q=0） x1+x2=-p，x1x2=q 四大必考恒等变形（中考高频） 掌握整体代换思维，无需求根直接运算： ①平方和：= ②倒数和：= ③差平方：= ④两根差值：|x1-x2|= 定理两大使用前提 必须保证Δ0，方程存在实数根才能使用韦达定理；a≠0是一元二次方程硬性条件。 拓展用法 ①已知两根，反向构造一元二次方程：x2-(x1+x2)x+x1x2=0； ②已知一根，利用韦达快速求另一根； ③结合判别式，限定参数取值范围。 一元二次方程实际应用核心模型（必考四类题型） 1. 增长率/下降率模型 基数为a，平均变化率x，经过n次变化后总量A 公式：a(1 x)n=A，增长用加号，降低用减号。 2. 销售利润问题 单件利润=售价−进价，总利润=单件利润×销售数量； 涨价则销量减少，降价则销量增多，找准价格变动和销量的变化关系。 3. 几何面积问题 矩形边长增减、道路平移、边框宽度、动点形成直角图形，通过平移把不规则面积转化为矩形面积列方程；舍去边长为负数的解。 4. 传播、握手、单循环比赛模型 传播：1+x+x(1+x)=总数； 握手/球赛单循环：x(x-1)=总次数。 应用题通用解题步骤 审题意→设未知数→找等量关系→列一元二次方程→解方程→检验（实际意义舍去负根、超范围根）→写答句。 （课堂重点强调） 1. 韦达定理直接忽略Δ0前提，参数求值后不验证方程是否有实根，直接扣分； 2. 两根之和符号易错，牢记x1+x2=-，容易漏掉负号； 3. 应用题解出两个正数根，未结合实际场景取舍（如宽度、价格不能超出合理区间）； 4. 增长率模型次数看错，两年变化是平方，不是乘以2； 5. 几何面积道路问题，长和宽同时减去两倍道路宽度，只减一边造成列式错误； 6. 构造方程时，常数项符号颠倒。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的根与系数的关系 ★★★★ 题型二 传播问题 ★★★★ 题型三 增长率问题 ★★★★ 题型四 与图形有关的问题 ★★★★ 题型五 数字问题 ★★★ 题型六 营销问题 ★★★★★ 题型七 动态几何问题 ★★★★★ 题型八 工程问题 ★★★★ 题型九 行程问题 ★★★★ 题型十 图表信息题 ★★★★ 题型十一 握手、循环赛问题 ★★★★ 题型十二 其他实际应用问题 ★★★ 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：一元二次方程的根与系数的关系 解题思路：①先验证判别式Δ=b²−4ac≥0，满足有实数根才能使用韦达定理；②直接套用x₁+x₂=−，x₁x₂=；③所求代数式全部变形为两根和、两根积组合形式（平方和、倒数和、两根差值）代入求值；④已知一根利用乘积/和快速求另一根；⑤结合两根和与积反向构造一元二次方程。 1．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】C 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 2．已知a、b是方程的两个实数根，则的值是__________． 【答案】2026 【分析】根据一元二次方程解的定义以及根和系数的关系，得到，，再代入计算求值即可． 【详解】 解：a、b是方程的两个实数根， ，， ， ． 3．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，，，， ∴，， ∴． 4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 题型二：传播问题 解题思路：①设每一轮传播数量为x；②初代传染源数量为1，第一轮新增x个，第二轮由(1+x)个个体继续传播，列式：1+x+x(1+x)=总数量；③整理为一元二次方程求解；④舍去负数解，检验结果符合实际传播整数要求。 5．秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有168人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两轮总患病人数为，建立方程即可得解． 【详解】解：∵初始患病人数为1，每轮传染中平均1人传染个人， ∴第一轮传染后，新增患病人数为，总患病人数为， 第二轮传染中，个患者每人传染人，新增患病人数为， ∴两轮传染后总患病人数为，由题意两轮后共有168人患病，因此列方程为． 6．某病毒具有传染性强、传播速度快的特点．若有一个人感染了这种病毒，经过两轮传染后将共有169名感染者． 那么在每轮传染中，平均一个人传染了______人． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后将共有169名感染者得，即，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设每轮传染中，平均每个人传染了x个人， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 即每轮传染中，平均每个人传染了12个人， 故答案为：12． 7．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病．一鸡场3月12日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数是多少？ 【答案】每只病鸡传染健康鸡12只 【分析】设每只病鸡传染健康鸡只，则第一天有只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可．本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系（经过两天感染患病的鸡一定）列出方程求解． 【详解】解：设每只病鸡传染健康鸡只，由题意得： ， 整理，得， 解，得，（不符合题意舍去）． 答：每只病鸡传染健康鸡12只． 8．随着人们生活水平的提高，节假日大家都喜欢游览观光祖国的大好河山，但一定要注意安全，特别要防止病毒的传染．我们利用学过的数学知识来解决一个关于病毒传染的问题：一个游客在旅游时，因不意防范，患上了流感，回家后，经两轮传染后有81人患上了流感，那么平均一个人传染了几个人？经过三轮传染后共有多少人患上了流感？ 【答案】平均一个人传染了8个人，经过三轮传染后共有729人患上了流感 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意列方程求解．设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，列方程求出x的值，进而表示出经过三轮传染后患上流感的人数． 【详解】解：设平均一人传染了x人， ， 解得（不符合题意，舍去） 经过三轮传染后患上流感的人数为：（人）， 答：平均一个人传染了8个人，经过三轮传染后共有729人患上了流感． 题型三：增长率问题 解题思路：①设平均增长率/下降率为x，初始基数为a；②两年变化核心公式：a(1±x)²=最终数值，增长用加号，减产降价用减号；③看清增长周期，两年为平方，勿直接用a×(1±2x)列式；⑤解出x后转化为百分数，负值增长率直接舍去。 9．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确第二季度包含四、五、六三个月，结合月增长率表示各月产量后根据总产量列方程． 【详解】解：四月份产量为25万个， 五月份产量为万个， 六月份产量为万个． ∵第二季度总产量为91万个， ∴． 10．某中学大力发展“红色底蕴，绿色发展”的校园文化建设，教育教学质量逐年提高，赢得了社会各界的关注和好评．近几年来，每年七年级新生报名人数均创新高．已知该校2021年七年级招生900人，2023年达到1089人，假设每年招生人数的平均增长率相同，则平均每年的增长率是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设平均每年的增长率为x，根据2023年招生人数等于2021年招生人数乘以的平方，列方程求解即可． 【详解】解：设平均每年的增长率为x． 根据题意，得． 解得或（舍去） ∴平均每年的增长率为， 故答案为：． 11．为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 【答案】(1) 年到年这种药剂价格的年平均下降率为 (2) 该药剂在年的价格为元 【分析】（1）设年到年这种药剂价格的年平均下降率为，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【详解】（1）解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为， 解得 ，（不符合题意，舍去） ． 答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为． （2）解：（元） 答：该药剂在年的价格为元． 12．依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高．该店7月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋． (1)求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率． (2)门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋．市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)每袋酥饼需要降价元 【分析】（1）设月平均增长率为，根据增长规律得到9月销量的表达式，结合题干给出的9月销量列方程，解方程即可得到结果； （2）设每袋酥饼需要降价元， 根据题意列一元二次方程，解方程即可得到结果． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率为； （2）解：设每袋酥饼需要降价元， 则每袋酥饼的利润为元，单日销售量为袋， 由题意得，， 整理得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：每袋酥饼需要降价元． 题型四：与图形有关的问题 解题思路：①道路、边框题型用平移法，把空白区域拼接成规整矩形；②长、宽同步扣除道路两倍宽度，避免单边减宽列式错误；③根据矩形、三角形面积公式列出方程；④解出边长，剔除负数、超出原图长宽的不合理取值。 13．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设宽为步，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设宽为步，先表示出长，再利用长方形面积公式列方程，即可选出正确选项． 【详解】解：设宽为步，则长为步， ∵长方形田地的面积为864平方步， ∴可得方程． 14．在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 【答案】 【分析】根据线段之间的关系，用含a的式子表示出正方形的边长和矩形的长，再根据矩形和正方形的面积相等，列方程，求解检验即可． 本题考查了一元二次方程的实际应用，正确地列出方程是解题的关键． 【详解】解：由图1可得，直角三角形①的较短直角边和梯形②的上底重合，直角三角形①的较长直角边和梯形②的高之和是矩形的长，梯形②的下底是矩形的宽，即在图2中，，， ∴矩形的长为， 根据矩形和正方形的面积相等，得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴． 15．某镇政府规划在新城区政府大楼前建设一块长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）． (1)用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积； (2)若已知，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？ 【答案】(1)平方米 (2)长为60米，宽为40米 【分析】（1）直接根据题意列代数式即可； （2）设，则，根据题意，得，然后解方程求得x值即可解答． 【详解】（1）解：∵两条人行横道的长分别为a米和b米，宽均为2米， ∴人行横道的面积为平方米； （2）解：∵， ∴设，则， 根据题意，得 解得或（舍去） ∴，， 答：原长方形的长为60米，宽为40米． 16．某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 【答案】(1)，；； (2)解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略． 题型五：数字问题 解题思路：①设个位、十位、百位未知数，两位数表示：10×十位数字+个位数字；②根据数字平方、和、差、倍数关系列等式；③整理为一元二次方程求解；④解限定0~9的整数，十位数字不能为0。 17．如图是2023年6月的月历，在此月历表上可以用一个方框圈出4个数．若圈出的四个数中最小数与最大数的乘积为65，则这个最小数为________．    【答案】5 【分析】设圈出来的最小数为，则其余三个数分别为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的乘积为65，列出方程求解即可． 【详解】解：设圈出来的最小数为，则其余三个数分别为， 由题意，得：， 解得：或（舍去）； 故答案为：5 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程． 18．如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ） 豆包 内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方， 然后加上它的3倍，运算结果与这个 数的相反数减4相同． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】设这个数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个数为， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴这个数是 ． 19．2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【答案】9 【分析】设四个数中最小数为，则最大数为，再根据最小数与最大数的乘积为153列一元二次方程求解，最后选择符合实际的解即可． 【详解】解：设四个数中最小数为，则最大数为 由题意得：， 整理得：， ， 即， 解得：（舍）， 答：最小数为9． 20．已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：，所以13和62是“幸福数对”． (1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)有一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 【答案】(1) 解： 21与48是“幸福数对”． 理由： ，． ． 与48是“幸福数对”． (2)42和36 【分析】本题考查新定义的判断，运用方程解决问题，理解题意是解题的关键； （1）根据“幸福数对”的定义计算即可； （2）根据“幸福数对”的定义计算得，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，各数位上的数字均为0到9的整数，且十位数字不为0， 这两个两位数，分别为，． 将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到的新两位数为，． 这两个数为“幸福数对”， ． 化简，得． 解得 ，． 经检验，符合题意， ∴这两个两位数分别为42和36． 题型六：营销问题 解题思路：①单件利润=售价−进价；总利润=单件利润×实际销量；②涨价对应销量减少，降价对应销量增加，找准单价变动1元时销量变化数值；③结合售价上限、成本底线对方程两个正根做取舍；④检验售价不能低于进货成本。 21．春联不只点缀门楣，更凝结着深厚的文化哲思与民间情感，某同学计划寒假售卖春联，并将所得利润全部捐给山区助学计划．调查发现：某种春联每副进价为12元，并且当这种春联销售价为20元时，平均每天能售出8副；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出4副．该同学希望这种春联的销售利润平均每天达到144元，那么这种春联的售价应为多少元？设这种春联售价定为x元．则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（利润问题），正确理解题意是解题的关键．利用“总利润每副春联的利润销售量”的等量关系列方程． 【详解】解：设春联售价定为元，则每副春联的利润为元， 根据题意，得． 故选：C． 22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题根据总利润每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程． 【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件， 因此每天的销售量为件， 已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程． 23．某青年旅社有间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高元，就会有间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出元/天的维护费用．若该青年旅社希望每天纯收入为元，且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入总收入维护费用） 【答案】每间客房的定价应为300元 【分析】设每间客房的定价提高了x元，根据每天纯收入为元，且能吸引更多的游客，列方程即可解决． 【详解】解：设每间客房的定价提高了x元，由题意得： ， 解得：， 当时，有游客居住的客房数量是：（间）； 当时，有游客居住的客房数量是：（间）； 所以当时，能吸引更多的游客，则每间客房的定价为（元）． 答：每间客房的定价应为300元． 24．某商场以进价元/件购进某种新商品，在月份试销售阶段发现，在售价不低于元/件的情况下每件销售价格（元）与商品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格（元） 日销售量（件） (1)请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的值为______； (2)若某日该种商品的总利润为元，求该日此种商品每件的售价； (3)若售货员小李发现销售该种商品件与件的日利润相同，且，请求出与所满足的关系式．（要求：用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 元或元 (3) 【分析】（1）根据表中所示规律求出售价为元时的日销量即为的值； （2）设该日此种商品每件的售价是元，列一元二次方程求解即可； （3）分别列出表示日销量是件和件时的日利润，根据日利润相等可得等式为整理得到、的关系即可． 【详解】（1）解：由规律可知销售价格每增加元，日销量减少件， ； （2）解：设该日此种商品每件的售价是元，则每日的销售量为件， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 答：每件商品售价是元或元时，该种商品的总利润为元； （3）解：商品每件的售价是元，由每日的销售量为件， 当销量为件时，可得：， 该商品的售价是元/件， 同理可得：当销量为件时，该商品的售价是元/件， 根据题意可得：， 整理得：， ， ， 即， 答：当时，销售该商品的日利润相同． 题型七：动态几何问题 解题思路：①设动点运动时间为t，用t表示动点移动线段长度；②依托直角、矩形、菱形直角条件，利用勾股定理、面积公式列方程；③求出t后验证取值在动点运动区间内；④舍去超出线段总长、时间为负的解。 25．如图，三角形ABC中，，一动点从出发沿着边以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当为______秒时，的面积为．    【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是，列出方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：依题意， 的面积为． 解得 故答案为：． 26．如图，在正方形中，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从点出发，沿向点移动．设，两点移动的时间为．在，两点移动的过程中，当的长度为时，的值为（   ） A．2 B．4 C．2或4 D．3或4 【答案】C 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、一元二次方程等知识，根据勾股定理列方程是关键． 在中求出对角线的长度，过点作于点，用含的代数式表示出、的长度，然后在中利用勾股定理得出，根据的长度等于列方程求解． 【详解】解：在正方形中，， ． 由题意，得，， ，． 如图，过点作于点， 则由勾股定理可得，， ， ． 在中， ， ， 即， 解得，． 故在，两点移动的过程中，当的长度为时， 的值为2或4． 故选：C ． 27．已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．设运动时间为． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示） (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 【答案】(1)， (2)点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于 (3)点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键． （1）根据运动路程等于速度乘以时间即可求出，再根据即可解答； （2）根据的面积等于，列出方程进行求解即可； （3）根据的长度等于，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ， ， 解得或， 答：点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于； （3）解：∵，， ∴， ∴， ， ，即， ， 解得（此时，两点重合）或（舍去）， 答：点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于． 28．在矩形中， ，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当t的值为时，点B在的垂直平分线上 (2)当时，的长度等于10cm (3)存在t的值，使得五边形的面积等于，此时t的值为1 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）由题意得，，则，再根据垂直平分线的性质可得进行求解即可； （2）由勾股定理得出关于的一元二次方程，计算即可得解； （3）根据题意得出关于的一元二次方程，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：，则， 当时，点B在的垂直平分线上， ∴， 解得， ∴当t的值为时，点B在的垂直平分线上； （2）解：在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 解得：（不合题意，舍去）， ∴当时，的长度等于； （3）解：存在t的值，使得五边形的面积等于，理由如下： 由题意得：， ， ∴五边形的面积， 即， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴存在t的值，使得五边形的面积等于，此时t的值为1． 题型八：工程问题 解题思路：①把工作总量记作单位1，单人工作效率=1÷完工天数；②合作效率为多人效率相加，依据：效率×时间=工作量列方程；③区分单独施工、分段施工两种题干条件；④工期取值为正数即可。 29．“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子 (2)400 【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，从而解决问题． （2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之和，列出方程． 【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子 由题意得：解得： 答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子． （2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子 由题意得： 整理得： 解得：，， 又∵甲、乙两组加工的天数均为整数 ∴ ∴200+100×2=400（袋） 答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子． 【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关键． 30．某公司主营铁路建设施工． (1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？ (2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a的值． 【答案】(1)4； (2)2． 【分析】（1）设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为千米，利用隧道施工至少是桥梁施工的9倍，列不等式求解即可； （2）求出一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工的里程数，设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x，利用总成本为254亿元，列方程求出x，找出二季度平地施工，隧道施工和桥梁施工的里程数及每千米的成本，利用二季度总成本与一季度相同，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为千米， ∵隧道施工至少是桥梁施工的9倍， ∴， 解之得：， ∴桥梁施工最多是4千米． （2）解：由（1）可知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工分别为106千米，36千米和4千米， 设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x， ∵总成本为254亿元， ∴， 解之得：， 由题意可知：二季度平地施工里程为千米，隧道施工里程为千米，桥梁施工里程为千米；平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为：1，3， ∵二季度总成本与一季度相同， ∴， 即， 解之得：（舍去）或， 故． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用和一元二次方程的应用．（1）的关键是根据各数量之间的关系，列出不等式求解即可；（2）的关键找出等量关系列出一元一次方程和一元二次方程求解． 31．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 题型九：行程问题 解题思路：①核心公式：路程=速度×时间；②提速、变速题型，以时间差或者路程差建立等量关系；③分式方程先化为整式一元二次方程；④速度、时间全部舍去负数解。 32．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为______． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故答案为： 33．2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为，经过两次速度调整后，速度提升至．设这两次调整中，速度的平均增长率为．根据题意列出方程，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均增长率的增长规律求出第二次调整后的速度，根据调整后最终速度为即可列出正确方程． 【详解】解：∵初始速度为，两次调整的平均增长率为， ∴第一次调整后速度为， 第二次调整是在第一次调整后的速度基础上再次增长， 因此第二次调整后速度为， 又∵调整后最终速度为， ∴可列方程． 34．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少； (2)小球滚动到用了秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可． 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少； （2）解：设小球滚动到用了， 即， 解得（舍），． 答：小球滚动到用了秒． 35．如图，某海军基地位于处，在其正南方向20海里处有一重要目标，在的正西方向20海里处有一重要目标，小岛位于的中点，岛上有一补给码头；一艘军舰从出发，经到匀速直线巡航． (1)为提前完成第一次巡航任务，军舰调整速度为原来的1.5倍，结果提前到达目标处，求军舰原来的速度是多少？ (2)在第二次军舰巡航时，一艘补给船同时从出发，沿南偏东方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰航行的总路程是补给船的3倍，军舰在由到的途中与补给船相遇于处，那么相遇时补给船航行了多少海里？ 【答案】(1)军舰原来的速度是海里； (2)补给船航行了海里． 【分析】（1）设原来的速度为v海里，则调整后的速度为海里，先求出总路程，再根据题意列分式方程求解即可； （2）连接交中点于F，则是的中位线，可知海里，海里，，设相遇时补给船航行了海里，则海里，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：设原来的速度为v海里，则调整后的速度为海里， 由题意可知海里，海里， 则总路程为（海里）， ∵军舰调整速度为原来的1.5倍，结果提前到达目标处， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴军舰原来的速度是海里； （2）解：取的中点，连接， 则是的中位线， ∴海里，海里，， 设相遇时补给船航行了海里，即海里， ∵军舰航行的总路程是补给船的3倍， ∴军舰路程为海里， 则海里， ∴海里， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，， 当时，与重合，为正南方向，不符合“南偏东”的条件，舍去， ∴补给船航行了海里． 题型十：图表信息题 解题思路：①读取表格、折线图中的单价、销量、总金额对应数据；②梳理数据变化规律，设变化量为未知数；③套用利润、总量公式列方程；④对照图表原始数据验证方程解的合理性。 36．根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 【答案】D 【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断 【详解】时，， 时，， 则的解的范围为， 即一元二次方程的解大概是4.5． 故选D． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键． 37．如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】设最小数为x，则最大数为， ， ， 解得（舍去）， 所以小欧框出的最小数是12． 38．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【答案】(1)元 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）由题意列出代数式即可得出结论； （2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，超过a度的电费为元； （2）由表格可知3月份的用电量超过a度，故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 题型十一：握手、循环赛问题 解题思路：①设总人数/队伍数量为x；②两两单次接触无重复，公式：x(x−1)=总次数；③区分单循环和双循环，双循环直接用x(x−1)列式；④结果为正整数，舍去非整数、负数解。 39．四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛， 又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 40．某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，参加比赛的足球队有_____支． 【答案】 【分析】先设出参赛球队的数量，根据主客场双循环赛制得到总比赛场数的等量关系，列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负解，即可得到参赛球队的数量，正确建立方程是解题关键． 【详解】解：设参加比赛的足球队有支. 根据题意得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，（不符合实际意义，舍去）， 参加比赛的足球队有支． 41．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数； (3)若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数可能为20吗？为什么？ 【答案】(1)3；15 (2)10人 (3)不可能；理由见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索、一元二次方程的应用，正确归纳推出一般规律是解题关键． （1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得； （2）先求出参加聚会的人数为时，共握手的次数，再归纳推出一般规律，令，解一元二次方程即可得； （3）参照（2）的规律，归纳推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手（次）， 若参加聚会的人数为6，则共握手（次）． （2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次， 若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． （3）解：角的总数不可能是20；理由如下： 若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以角的总数不可能为20个． 42．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)本次比赛参赛队伍个数为16队 (3)能，参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分 【分析】（1）先求出A组、B组队伍数同为5个班级，且每个小组内场次为场，进而求出结论； （2）设A组、B组队伍数均为x队，列方程求解即可； （3）设A组有y队，则B组有队，列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵该校八年级共有10个班级参加比赛， ∴A组、B组队伍数一样多，同为5个班级， ∴每个小组内场次为场， ∴小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分； （2）解：因为参赛队伍总数为偶数个， 所以A组，B组队伍数一样多． 所以设A组、B组队伍数均为x队．则， 解得，（不符合题意，舍去）， 则队， 答：本次比赛参赛队伍个数为16队； （3）解：能，理由如下： 因为参赛队伍总数为奇数，所以设A组有y队，则B组有队． 所以， 解得，（不符合题意，舍去）， 所以， 则队， 答：参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分． 题型十二：其他实际应用问题 解题思路：①通读题干锁定核心等量关系式；②合理设定未知数，简化列式计算量；③规范列出一元二次方程；④双解结合现实场景筛选有效解，作答清晰标注舍去理由。 43．某校劳动小组种植的某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设主干长出个支干，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一元二次方程，熟练掌握从实际问题中抽象出数学等量关系的方法是解题的关键。先根据主干、支干、小分支的数量关系，分别表示出支干和小分支的数量，再根据三者总数为91的等量关系列出方程。 【详解】解：∵主干数量为1个，主干长出个支干，每个支干长出个小分支， ∴小分支数量为个， ∵主干、支干和小分支的总数是91， ∴可列方程为， 故选：D． 44．小明将一个100毫升的容器盛满纯酒精，第一次倒出一部分纯酒精后，再用水加满；第二次又倒出同样多的酒精溶液，若此时容器内剩下的纯酒精是81毫升，则小明每次倒出的体积是______毫升． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确的列出一元二次方程是解题的关键．设每次倒出液体为x升，则可计算出第一次倒出再加满水的溶液浓度，再根据第二次倒完后，剩下的纯酒精是81升，列出一个一元二次方程即可求解． 【详解】解：设每次倒出液体为x毫升， 则第一次倒出再加满水的酒精溶液浓度为 ， 由题意可得： ， 整理可得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴每次倒出的液体是10升． 故答案为：10． 45．某电影院为吸引团体观影，推出如下收费标准： 如果观影人数不超过20人，人均票价为50元； 如果人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元． (1)如果某公司组织25人观影，那么人均需支付电影票 元； (2)现某公司组织员工观影，共支付给电影院电影票费用1008元，请问该公司有多少名员工参加观影？ 【答案】(1) (2) 该公司有名或名员工参加观影 【分析】（1）根据人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元，列式求解即可； （2）设该公司有名员工参加观影，得到人均票价为元，且，再根据共支付给电影院电影票费用1008元列方程求解即可． 【详解】（1）解：人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元， ∴组织25人观影时，元， ∵， ∴人均需支付票价为元； （2）解：观影人数不超过20人，人均票价为50元，则支付总费用为元， ∵， ∴观影人数超过20人， 设该公司有名员工参加观影， ∴ 人均票价为元，且， 解得， ∵共支付给电影院电影票费用1008元， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴该公司有名或名员工参加观影． 46．芯片是我国“十五五”核心攻关项目，场效应晶体管（管）是基本单元．管饱和区工作电流（单位：）由栅源电压（单位：）调节控制，满足公式：，其中和为常数，．已知某S型管满足，某R型管满足． (1)当时， A，当时， V． (2)只要控制管电流相同，不同型号的管就可以串联一起同时在饱和区工作，现将该和两型号管串联在饱和区工作，若两款管的安全电压都为， ①将型管调整为，通过计算判断该型管是否安全工作； ②在两款管都正常串联在饱和区工作的前提下，判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1)1；5 (2)①R型管安全工作， 当S型时，， S和R两型号管电流相同， ． 由公式， 可得， 解得，（舍去）． ∵两款MOS管的安全电压都为， ∴R型MOS管在安全电压范围内，即安全工作． ②，理由如下： ∵S和R两型号管电流相同， ，即． ∵两款MOS管的安全电压都为， ，，即，． 化简可得， 可得． 【分析】（1）将已知数据代入题干公式即可解答； （2）①计算电流，根据和两型号管电流相同，代入相关公式，解方程即可解答； ②根据题意可得，化简可得答案． 【详解】（1）解：当时，A； 当时，可得， 解得（负数舍去）， 则当时，V； （2）①略 ②略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $