3.1 函数的概念及其表示-分段函数 同步练2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦分段函数概念、运算与应用，通过基础辨析-综合性质-实际建模三级分层设计，实现从单一知识点到数学建模的递进巩固，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|概念辨析与基本求值|题3判断分段函数定义，题2分段嵌套求值，强化抽象能力与运算能力| |提升层|图像性质与综合运算|题5图像识别、题8多选性质分析，融合几何直观与推理意识| |应用层|实际情境建模应用|题14个税计算模型，体现数学语言描述现实世界的应用意识|

函数的概念及其表示--分段函数 一、选择题 1.【2025-2026·云南大理高一联考】设f(x)＝若f(x)＞－1，则实数x的取值范围为(　C　) A．(－∞，－1) B．(0，＋∞) C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－1，0) 【答案】D 【解析】当x≥0时，f(x)＝x－1>－1，解得x>0；当x<0时，f(x)＝>－1，解得x<－1或x>0，所以x<－1.综上，实数x的取值范围为x<－1或x>0. 2．【2026·河北衡水高一期末】设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　) A．　　 B．3　　　　 C．　　 D． 【答案】D 【解析】∵f(3)＝≤1， ∴f(f(3))＝2＋1＝. 3．【2026·河南·专题练习】下列给出的式子是分段函数的是(　　) ①f(x)＝ ②f(x)＝ ③f(x)＝ ④f(x)＝ A．①②　　　 B．①④ C．②④ D．③④ 【答案】B 【解析】结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B. 4．【2025-2026·云南大理高一联考】已知函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是(　　) A． B．9 C．－1或1 D．－或 【答案】A 【解析】依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，不合题意，舍去．若0<x≤3，则x2＝3，解得x＝－(舍去)或x＝.故选A. 5．【2026·浙江杭州高一联考】已知函数f(x)＝g(x)＝－f(x)，则函数g(x)的图象是(　　) 【答案】D 【解析】因为g(x)＝－f(x)，所以g(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称， 由f(x)的解析式，作出f(x)的图象如图，从而可得g(x)的图象为D选项． 6．【2026·河南·专题练习】已知函数f(x)＝则满足f(x)<1的x的取值范围是(　　) A．(－1，1－) B．(－1，1＋) C．[－1，1＋) D．(1，1＋) 【答案】B 【解析】当x≤0时，f(x)<1⇒－x<1，解得－1<x≤0，当x>0时，f(x)<1⇒x2－2x<1，解得0<x<1＋，则满足f(x)<1的x的取值范围是(－1，1＋). 7．(多选)【2026·浙江杭州高一联考】已知狄利克雷函数D(x)：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0.下列关于狄利克雷函数D(x)的表述正确的是(　　) A．D(x)的解析式为D(x)＝ B．D(x)的值域为[0，1] C．D(x)的图象关于直线x＝1对称 D．D(D(x))＝1 【答案】ACD 【解析】对于A，用分段函数的形式表示狄利克雷函数，故A正确；对于B，由解析式得D(x)的值域为{0，1}，故B错误；对于C，若x为有理数，则2－x为有理数，则D(x)＝D(2－x)＝1，若x为无理数，则2－x为无理数，则D(x)＝D(2－x)＝0，所以D(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确；对于D，当x为有理数时，D(x)＝1，则D(D(x))＝1，当x为无理数时，D(x)＝0，则D(D(x))＝1，所以D(D(x))＝1，故D正确． 8．(多选)【2025-2026·云南大理高一联考】已知函数f(x)＝则关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4) C．f(1)＝3 D．若f(x)＝1，则x的值为±1 【答案】BD 【解析】由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时，f(x)的取值范围是[0，4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；当x＝1时，f(1)＝12＝1，故C错误；当x≤－1时，f(x)＝x＋2＝1⇒x＝－1，当－1<x<2时，f(x)＝x2＝1⇒x＝1，故D正确．故选BD. 2、 填空题 9．【2026·河北衡水高一期末】函数f(x)＝则f(7)＝________. 【答案】8 【解析】∵函数f(x)＝ ∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8. 10．【2026·山东济南高一月考】已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________． 【答案】f(x)＝　 【解析】由题图可知，图象是由两条线段组成， 当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则 ∴即f(x)＝x＋1. 当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1，即f(x)＝－x. 综上，f(x)＝ 11．【2026·河南·专题练习】设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为 ． 【答案】(－∞，2] 【解析】当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当0≤x＜1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x＜0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2. 故y＝ 根据函数解析式作出函数图象，如图所示．由图象可以看出，函数的值域为(－∞，2]. 3、 解答题 12．【2026·河北衡水高一期末】已知f(x)＝ (1)画出f(x)的图象； (2)求f(x)的定义域和值域． 【解析】 (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示． (2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]， 当x>1或x<－1时，f(x)＝1， 所以f(x)的值域为[0,1]． 13．【2026·山东济南高一月考】已知函数f(x)＝ (1)若f(m)＝4，求m的值； (2)若f(－a2－1)>1，求a的取值范围． 【解析】 (1)当m≥0时，f(m)＝m2－5＝4，解得m＝3或m＝－3(舍去)； 当m<0时，f(m)＝m＋6＝4，解得m＝－2.∴m的值为3或－2. (2)∵－a2－1<0，∴f(－a2－1)＝－a2－1＋6>1，即a2<4，解得－2<a<2.∴a的取值范围是{a|－2<a<2}． 14．【2025·江苏南京高一期末】根据相关规定，公民月工资、薪金所得合计不超过5 000元的部分不纳税，超过5 000元的部分为全月纳税所得额，此项税款按表中分段累计计算： 全月纳税所得额 税率 不超过1 500元的部分 3% 超过1 500元至4 500元的部分 10% 超过4 500元至9 000元的部分 20% (1)已知张先生和赵先生的月工资、薪金所得合计分别为6 000元，7 000元，请问他们当月应分别缴纳多少个人所得税？ (2)已知李先生一月份应缴纳个人所得税为303元，则他当月的工资、薪金所得合计为多少？ 【解析】 (1)设公民月工资、薪金所得合计为x元，则纳税额f(x)＝ 所以f(x)＝ 所以张先生纳税额为f(6 000)＝3%×6 000－150＝30元，赵先生纳税额为f(7 000)＝10%×7 000－605＝95元． (2)由45<303<345，易知李先生当月的工资、薪金所得x∈(6 500，9 500]， 令10%×x－605＝303，可得x＝9 080. 所以李先生当月的工资、薪金所得合计为9 080元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的概念及其表示--分段函数 一、选择题 1.【2025-2026·云南大理高一联考】设f(x)＝若f(x)＞－1，则实数x的取值范围为(　C　) A．(－∞，－1) B．(0，＋∞) C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－1，0) 2．【2026·河北衡水高一期末】设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　) A．　　 B．3　　　　 C．　　 D． 3．【2026·河南·专题练习】下列给出的式子是分段函数的是(　　) ①f(x)＝ ②f(x)＝ ③f(x)＝ ④f(x)＝ A．①②　　　 B．①④ C．②④ D．③④ 4．【2025-2026·云南大理高一联考】已知函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是(　　) A． B．9 C．－1或1 D．－或 5．【2026·浙江杭州高一联考】已知函数f(x)＝g(x)＝－f(x)，则函数g(x)的图象是(　　) 6．【2026·河南·专题练习】已知函数f(x)＝则满足f(x)<1的x的取值范围是(　　) A．(－1，1－) B．(－1，1＋) C．[－1，1＋) D．(1，1＋) 7．(多选)【2026·浙江杭州高一联考】已知狄利克雷函数D(x)：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0.下列关于狄利克雷函数D(x)的表述正确的是(　　) A．D(x)的解析式为D(x)＝ B．D(x)的值域为[0，1] C．D(x)的图象关于直线x＝1对称 D．D(D(x))＝1 8．(多选)【2025-2026·云南大理高一联考】已知函数f(x)＝则关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4) C．f(1)＝3 D．若f(x)＝1，则x的值为±1 2、 填空题 9．【2026·河北衡水高一期末】函数f(x)＝则f(7)＝________. 10．【2026·山东济南高一月考】已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________． 11．【2026·河南·专题练习】设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为 ． 3、 解答题 12．【2026·河北衡水高一期末】已知f(x)＝ (1)画出f(x)的图象； (2)求f(x)的定义域和值域． 13．【2026·山东济南高一月考】已知函数f(x)＝ (1)若f(m)＝4，求m的值； (2)若f(－a2－1)>1，求a的取值范围． 14．【2025·江苏南京高一期末】根据相关规定，公民月工资、薪金所得合计不超过5 000元的部分不纳税，超过5 000元的部分为全月纳税所得额，此项税款按表中分段累计计算： 全月纳税所得额 税率 不超过1 500元的部分 3% 超过1 500元至4 500元的部分 10% 超过4 500元至9 000元的部分 20% (1)已知张先生和赵先生的月工资、薪金所得合计分别为6 000元，7 000元，请问他们当月应分别缴纳多少个人所得税？ (2)已知李先生一月份应缴纳个人所得税为303元，则他当月的工资、薪金所得合计为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $