精品解析：湖南岳阳市平江县颐华高级中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题

颐华学校2026届高三第二学期入学考试数学试题 时量：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再求出交集即可. 【详解】由，可得，解得， 所以，所以或， 所以或. 故选：C. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其模即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 故选：B 3. 数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，可求得，计算可求得的最小值. 【详解】令，因为，所以解得， 所以数列的前3项为负，从第4项起为正， 所以的最小值为. 故选：D. 4. 已知一组数据为，1，3，4，5，7，10，11，若为这组数据的分位数，则的展开式中的系数为（ ） A. 280 B. C. 560 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分位数求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项系数. 【详解】由，得， 则展开式中含的项为， 所以所求的系数为. 故选：D 5. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理，结合面积可求和，利用，可得，进而可求得. 【详解】在中，，由余弦定理可得， 所以，所以， 又面积为，所以，所以， 所以，所以， 因为CD是的角平分线，，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以. 故选：B. 6. 现有5种颜色的筷子各一双，从中任取两根筷子，若已知取到的筷子中有红色的，则两根筷子都是红色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设事件M为“两根筷子都是红色的”，则． 设事件N为“取到的筷子中有红色的”，则． 所求即为． 故选：D 7. 已知椭圆左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线与在第一象限内交于点，且．设的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据椭圆定义和已知线段关系求出相关线段长度，再通过三角函数关系求出，最后利用余弦定理建立关于椭圆离心率的方程并求解. 【详解】 如图，连接，设与交于点 M. 由，可设，则，其中， 由椭圆的定义，得，从而， 又因为，所以，在中，设， 则为锐角，所以，即， 由余弦定理，得，即，解得. 故选：C. 8. 已知函数，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数解析式，可得函数的单调性与对称性，化简不等式，可得答案. 【详解】由， 则， 由，则函数在上单调递增，易知函数在上单调递减， 由，则，即， 可得，分解因式可得，解得. 故选：A. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. 与的夹角为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律，求出向量与的夹角即可判断A、B，再根据向量模的计算公式及向量垂直的性质判断C、D即可. 【详解】设与的夹角为， 由得， 将代入得，∴， 又，∴，故A正确，B错误; ，故C正确; ，故，故D正确. 故选：ACD. 10. 在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折成四面体，使得，则（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 四面体的体积为 D. 四面体外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.证明平面即可；B找出线面角，在中求解；C . 因平面，则；D作垂线，找球心，在中求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 因和为等边三角形，则， 因平面，平面，则平面， 因平面，则，故A正确； 因平面，则在平面内的投影落在直线上， 故为直线与平面所成角， 因，，则， 因，则在中边上的高为，则，故B正确； 因，平面，则，故C错误； 点分别为和的外心，过分别作平面，平面，，则点为球心， 则， 在中，，故， 则， 则四面体外接球的表面积为，故D正确. 故选：ABD 11. 定义在区间上的函数满足：①；②．则（ ） A. B. C. 是增函数 D. 若，则负整数 【答案】BC 【解析】 【分析】求的值，判断A的真假；研究函数的性质，判断B的真假；利用单调性的定义，判断C的真假；把函数不等式转化为代数不等式，根据不等式在给定区间上恒成立，求出参数的取值范围，可判断D的真假. 【详解】对A：因为且，所以，，故A错误； 对B：令，则， 即，所以. 也就是，故B成立； 对C：设，且，，则. 因为. 即，所以函数在上为增函数，故C正确； 对D：首先，根据函数定义域，当时，恒成立， 所以在上恒成立. 设函数，当时，（当且仅当时取“”）. 所以. 又. 且在上单调递增，所以， 所以在上恒成立. 设，则函数在上单调递减，所以. 所以. 综上：，又为整数，所以或，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为________. 【答案】 【解析】 分析】依题意，得直线过圆心，即可求解． 【详解】因为圆上存在两点关于直线对称， 所以直线过圆心， 从而，解得， 则圆的方程为， 故圆的半径为． 故答案为： （2026届师大附中月考三T13） 13 已知数列满足，且，则________________ 【答案】 【解析】 【分析】由递推关系式可知数列是周期为3的周期数列，根据可得结果. 【详解】由题意得：，，， 所以数列是周期为3的周期数列， 所以. 故答案为：. （2025·新高考1卷·T14） 14. 一个箱子里有5个相同的球，分别以1∼5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少被取出一次的球的个数为，则数学期望________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列和数学期望的定义，结合排列组合求解即可. 【详解】的可能取值为1，2，3， ， ， ， ． 故答案为． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，. （1）求； （2）若，，求边以及的面积. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及两角差的余弦公式计算即可. （2）根据余弦定理及三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 又，所以， 因为，所以. 即， 所以，又，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理可得，即， 整理得，解得或（舍去）. 所以. 16. 已知椭圆的短轴长为，且离心率为． （1）求的方程； （2）若分别是的左、右顶点，设直线与轴交于点，点是直线上不同于点的一点，直线BQ与交于另一点，直线AM与交于点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）由题意得即可求解； （2）假设存在点，使得，则，设，则，直线BQ的方程为． 由即可求解． 【小问1详解】 由题意得，，解得椭圆的方程为． 【小问2详解】 假设存在点，使得，则． 设，则， ，直线BQ的方程为． 点在直线BQ上，， 点是直线上不同于点的一点，，解得 点在椭圆上，，解得或， 当时，，解得； 当时，，解得， 存在点，使得，点的坐标为或． 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出． 【小问1详解】 因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 18. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率； （2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率. 【详解】（1）记事件甲连胜四场，则； （2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 ， 所以，需要进行第五场比赛的概率为； （3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 记事件甲赢，记事件丙赢， 则甲赢的基本事件包括：、、、 、、、、， 所以，甲赢的概率为. 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为. 【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的值； （3）当时，证明：有2个零点． 【答案】（1） （2） （3）． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为当时，，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得， 所以当时，，即； 当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为． 由，得，即， 令，，则，则在单调递增． 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值． 因为，所以当趋近于0时，趋近于； 当趋近于时，趋近于，且， 所以有2个零点，故有2个零点． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程； （2）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得到时，，构造函数，求导推得，结合恒成立即得的值； （3）由得，令，则，令，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，推得，使得，求出的最小值为，由可得，，故得的最小值，由即可判断函数，即函数的零点个数. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 函数的定义域为，且， ① 当时，易得，在上单调递减， 又，所以当时，，不符合题意； ② 当时，由，得时，即在上单调递增； 由，得时，即在上单调递减， 所以， 因为，则其等价于，即． 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，因恒成立，故． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 颐华学校2026届高三第二学期入学考试数学试题 时量：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3. 数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据为，1，3，4，5，7，10，11，若为这组数据的分位数，则的展开式中的系数为（ ） A. 280 B. C. 560 D. 5. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（ ） A. B. 1 C. D. 6. 现有5种颜色的筷子各一双，从中任取两根筷子，若已知取到的筷子中有红色的，则两根筷子都是红色的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线与在第一象限内交于点，且．设的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. 与的夹角为 C. D. 10. 在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折成四面体，使得，则（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 四面体的体积为 D. 四面体外接球的表面积为 11. 定义在区间上的函数满足：①；②．则（ ） A. B. C. 是增函数 D. 若，则负整数 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为________. （2026届师大附中月考三T13） 13. 已知数列满足，且，则________________ （2025·新高考1卷·T14） 14. 一个箱子里有5个相同的球，分别以1∼5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少被取出一次的球的个数为，则数学期望________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，. （1）求； （2）若，，求边以及的面积. 16. 已知椭圆的短轴长为，且离心率为． （1）求的方程； （2）若分别是的左、右顶点，设直线与轴交于点，点是直线上不同于点的一点，直线BQ与交于另一点，直线AM与交于点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 18. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求的值； （3）当时，证明：有2个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $