第1节 函数的概念及其表示 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕函数的概念及其表示，覆盖函数三要素、定义域、值域、分段函数等核心考点，按基础夯实、考点突破、分层练习的逻辑架构知识体系。通过知识梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生系统掌握概念辨析、定义域求解等关键技能，突破学习难点。 资料采用分层设计与方法总结相结合的教学策略，如在定义域考点中通过典例与变式对比抽象函数与具体函数的求解方法，培养学生的数学思维与符号意识。设置基础测试与拔高练习，配合易错提醒，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第1节 函数的概念及其表示 课标要求： 1． 了解构成函数的三要素，会求简单的函数的定义域和值域； 2． 在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数； 3． 理解简单的分段函数，并能简单应用． 模块一：基础夯实与概念辨析 1、 知识梳理 1． 函数的概念 （1） 定义：一般地，设是非空的集合，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数． （2） 三要素： 1 定义域：自变量的取值范围 2 值域：与对应的的值的集合 3 对应关系： （3） 同一函数的概念：定义域相同、对应关系相同的两个函数为同一函数． 2． 区间的概念 设是两个实数，而且．我们规定： （1） 闭区间：满足不等式的实数的集合，表示为； （2） 开区间：满足不等式的实数的集合，表示为； （3） 半开半闭区间：满足不等式或的实数的集合，分别表示为、； （4） 无穷区间：实数集可以用区间表示为．“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． 3． 函数的表示法 （1） 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点是便于计算、研究性质； （2） 列表法：列表格表示两个变量之间的对应关系，适合离散数据的函数表示； （3） 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系；判断图象是否表示函数：垂直于的直线与图象最多只有一个交点． 4． 分段函数 （1） 若函数在其定义域的不同子集上有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数； （2） 分段函数表示的是一个函数，而不是几个函数．其定义域是各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 5． 复合函数与抽象函数 （1） 设的定义域为，的值域为，若，则关于的函数叫做函数与的复合函数，叫中间量； （2） 抽象函数：无具体解析式，仅给出满足关系式（如）． 二、重点汇总 1．常用结论 （1）求定义域的常见类型： 1　 整式函数（一次、二次多项式）：定义域； 2　 分式：分母； 3　 偶次根式（为偶数）：被开方数； 4　 零次幂：底数； 5　 对数式：真数，底数大于且不等于； 6　 复合函数：内层函数的值域是外层函数定义域的子集； 7　 实际问题函数：除解析式自身的限制外，自变量需满足现实意义． （2）求解析式的常用方法： 1　 待定系数法：已知函数类型（如一次函数、二次函数），设标准式，代入点求参数； 2　 换元法（或配凑法）：已知求，令反解，或直接配凑出含的整体式子； 3　 方程组法：已知与或的关系式，构造二元方程组消元求解； 4　 赋值法：对于抽象函数，通过给变量赋特殊值来求解． （3） 求值域的常用方法 1 观察法：简单一次函数、反比例函数直接判断； 2 配方法：二次型函数转化为顶点式求范围； 3 换元法：带根式、分式换元转化为熟悉函数； 4 分段值域：求各段的范围，再取并集． （4） 复合函数定义域的求法： 1 已知定义域，求定义域：令解不等式； 2 已知定义域，求定义域：求在上的值域． 2．易错提醒 （1）忽略定义域优先原则：研究函数性质（如单调性、奇偶性、最值）时，必须先考虑定义域； （2）换元法求解析式时定义域错误：换元法求解析式忘记标注新变量的取值范围，导致定义域出错； （3）分段函数求值错误：求分段函数的函数值时，首先要判断自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值； （4）实际问题中忽略定义域约束：实际问题中的函数忘记自变量现实约束，只考虑代数式的范围； （5）图象法判断函数：任意一条垂直于轴的直线与图象最多只有一个交点． 三、基础测试 1．请判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． （1）函数与是同一个函数．（　　） （2）的定义域是．（　　） （3）若两个函数的定义域和值域分别相同，则这两个函数是相等函数．（　　） （4）函数与是同一个函数．（　　） （5）分段函数由多段解析式构成，所以是多个函数．（　　） （6）函数的图象与直线的交点最多只有一个．（　　） 2．函数的定义域为_________． 3．下列函数中哪个函数与是同一个函数（　　） A． B． C． D． 4．若，且，，则_________． 5．函数的值域是_________． 6．已知函数，则_________． 模块二：考点突破与题型演练 考点一 函数概念与相等函数的判定 【考法分析】主要考查的题型为求函数值，根据函数值求参数和判断函数是否相等，核心在于掌握函数的基本概念． 【典例1】（1）若函数，，则（　　） A． B． C． D． （2）已知函数的定义域为，且，，则（　　） A． B． C． D． （3）下列各组函数表示同一函数的是（　　） A． ， B．， C．， D．， 【变式1】（1）已知函数（），若，则（　　） A． B． C． D． （2）已知函数的定义域为，且，，则（　　） A． B． C． D． （3）下列各组函数不是同一个函数的是（　　） A． ， B．， C．， D．， 【思维点拨】（1）求函数值的方法： 1　 具体函数求函数值，直接带入解析式即可； 2　 抽象函数求函数值一般都是使用赋值法． （2）判断两个函数是否相等的一般步骤： 1 确定函数的定义域； 2 观察对应关系（函数解析式），可以在定义域内进行化简； 3 代表自变量的字母可以不相同，但是关于自变量的对应关系需一致，如与是同一个函数，但是二者与不是同一个函数（的自变量是）． 考点二 函数的定义域 【考法分析】主要考查求具体函数、抽象函数、复合函数的定义域以及根据函数的定义域求参数，主要掌握求函数定义域的一般方法． 【典例2】（1）函数的定义域是_________． （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（1）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是_________． （2）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（　　 ） A． B． C． D． 【思维点拨】（1）求具体函数的定义域，本质上就是使函数解析式中的式子都有意义，据此得到不等式或不等式组，然后求解；如果具有实际背景，需要考虑在实际问题中有意义的情况； （2）求抽象函数/复合函数定义域的方法： 1 已知定义域，求定义域：求不等式的解集； 2 已知定义域，求定义域：求在上的值域． 考点三 函数的值域 【考法分析】会用一些常规的方法求简单函数（如一次函数、二次函数、反比例函数等）的值域以及相对复杂（含有根式、分式）的函数的值域；常用到不等式的性质、基本不等式等． 【典例3】函数的值域是_________． 【变式3】函数的值域是_________． 【思维点拨】判别式法求值域的基本原理：分子/分母为二次多项式的函数求值域时可以使用判别式法，其原理是函数必有定义域，也就是相当于方程必有解，所以可以把求值域问题转化为含参一元二次方程有解求参数的问题． 考点四 函数的解析式 【考法分析】考查根据不同条件，选择合适的方法求出函数的解析式． 【典例4】（1）已知是一次函数，，且，则_________． （2） 若函数，则（　　） A． B．（） C． D．（） （3）已知，则_________． 【变式4】（1）已知是二次函数，且，则_________． （2）已知函数（），则（　　） A．（） B．（） C．（） D．（） （3）已知（且），则_________． 【思维点拨】函数解析式的求法： （1） 待定系数法：若已知函数类型，可以先设函数为标准形式，再根据函数满足的条件求出系数，进而得到函数解析式； （2） 配凑法：若已知，可以将改写成关于的表达式，然后用代替即可得到的解析式； （3） 换元法：若已知的解析式，可以用换元法令，反解出，代入已知解析式即可得到的解析式，用代替即可，注意的取值范围； （4） 方程组法：已知与或的关系式，构造二元方程组消元求解，只要两个自变量表达式可以通过某种变换进行交换即可用此方法． 考点五 分段函数 【考法分析】考查分段函数的求值、解不等式及与方程、图象的综合问题． 【典例5】（1）已知函数，则_________． （2）已知函数，若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5】（1）已知函数，若，则实数_________． （2）已知函数，若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【思维点拨】（1）根据分段函数的解析式求值，首先需要确定自变量在哪个区间，再根据所在区间对应的解析式求值； （2）已知函数值求自变量的值时，应该根据每一段的解析式分别求解，得出结果后需要验证所求的自变量值是否在相应段的自变量的范围；当自变量的范围不确定时应该分类讨论； （3）解分段函数不等式时，应该根据每一段的解析式分别求解，同时需要考虑各段都是自变量的取值范围． 课后练习 1、 单选题 1． 若函数和函数表示同一个函数，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 2． 已知函数的定义域为，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 3． 已知函数，则（　　） A． B． C． D． 4． 已知函数的定义域是，则的定义域是（　　） A． B． C． D． 5． 已知函数，则的值域是（　　） A． B． C． D． 6． 如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线（）左侧的图形的面积为，则函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7． 已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8． 已知函数对任意实数满足，且，则（　　） A． B． C． D． 2、 多选题 9． 已知函数满足，则（　　） A．（） B．的值域为 C．的定义域为 D． 10． 下列说法正确的是（　　） A．与表示同一个函数 B．函数的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 11． 狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则（　　） A．定义域为 B． C． D．不等式的解集为 3、 填空题 12． 已知，则函数的解析式为_________． 13． 若函数的值域是，则函数的值域是_________． 14． 设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是_________． 4、 解答题 15． 求下列函数的定义域： （1） ； （2） ； （3） ． 16． 已知两个函数，． （1） 当时，求的解析式； （2） 当时，求的解析式． 17． 已知函数的解析式为． （1） 画出这个函数的图象，并写出的最大值； （2） 求的值； （3） 解不等式． 18． 函数对一切实数均有成立，且． （1） 求的值； （2） 求的解析式； （3） 解不等式． 19． 已知函数． （1） 求，的值； （2） 探索； （3） 求的值． 拔高练习 1． 是定义在上的函数，满足对都成立，则（　　） A． B． C． D． 2． 已知定义在上的函数满足对于任意实数均有，且，则（　　） A． B． C． D． 3． 已知定义在正整数集上的函数满足，且有，则（　　） A． B． C． D． 4． 已知函数的定义域为，，且，则（　　） A． B． C． D． 5． 设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 6． 历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷，他在1829年定义了一个“奇怪的函数”：，其中为实数集，为有理数集．则关于函数的如下四个命题中，不正确的是（　　） A．，都有 B．，都有 C．，都有 D．，都有 7． （多选）定义在上的函数满足：，，则（　　） A． B． C． D． 8． （多选）定义，若函数，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．若直线与的图象有个交点，则 D．在区间上的值域为，则的最大值为 9． 定义在上的函数满足：对任意，均有，且对任意，均有，则的值为_________． 参考答案 三、基础测试 1．（1）× 【解析】函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数． （2）× 【解析】要使式子有意义，需满足，即且，定义域为． （3）× 【解析】函数与函数的定义域和值域都是，但是两个函数不是同一函数． （4）√ 【解析】只要定义域和对应关系相同即是同一个函数，和表示自变量的字母无关． （5）× 【解析】分段函数表示的是同一个函数． （6）√ 【解析】在函数的定义中一个有唯一的与之对应，所以交点最多只有一个． 2． 【解析】要使式子有意义，需满足， 即且，∴定义域为． 3．B 【解析】函数的定义域为， 的定义域为，定义域不相同，选项A错误； ，且定义域为，选项B正确； ，对应关系不相同，选项C错误； 的定义域为，定义域不相同，选项D错误． 4． 【解析】， ∴，，∴， ∴． 5． 【解析】要使式子有意义，， 又，∴，∴， ∴，∴， ∴的值域是． 6． 【解析】，∴， ，∴． 【典例1】（1）A 【解析】，，∴． （2）A 【解析】令，，则， ∵，∴， 令，则， ∴． （3）D 【解析】选项A，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，不是同一个函数，选项A错误； 选项B，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，不是同一个函数，选项B错误； 选项C，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，不是同一个函数，选项C错误； 选项D，，且和的定义域均为，所以和是同一个函数，选项D正确． 【变式1】（1）B 【解析】，即， ∴，∴，又，∴． （2）B 【解析】令，则， ∴，， ，， ． （3）D 【解析】选项A，和的定义域为，且，表示同一个函数； 选项B，和的定义域为，且，表示同一个函数； 选项C，和的定义域为，且，，表示同一个函数； 选项D，的自变量是，的自变量是，关于的对应关系与关于的对应关系不一样，二者不是同一个函数． 【典例2】（1） 【解析】要使式子有意义，需满足， 即且，∴的定义域为． （2）C 【解析】的定义域为，∴， ∴，∴的定义域为， 又，则，即， ∴的定义域为． 【变式2】（1） 【解析】当时，，定义域为，符合题意； 当时，的定义域为，则无实根， ∴，∴， ∴实数的取值范围是． （2）A 【解析】的定义域为， ∴，∴， 当时，， 要使有意义，则即， ∴的定义域是． 【典例3】 【解析】， ∴方程无实根，∴的定义域为， 由得， 当时，不成立，∴， ∵方程恒有解，∴， 解得，又，∴， ∴函数的值域是． 【变式3】 【解析】， ∴方程无实根，∴的定义域为， 由得， 当时，不成立，∴， ∵方程恒有解，∴， 解得，又，∴， ∴函数的值域是． 【典例4】（1） 【解析】是一次函数，设， ∵，∴， 由得， ∴，解得，， ∴． （2）D 【解析】， ，∴（）． （3） 【解析】①， ∴②， 联立①②可得：． 【变式4】（1） 【解析】是二次函数，可设， ∵，∴，， 由得， 即，∴，∴，， ∴． （2）B 【解析】，∴，∴的定义域为， 令，则， ∴， ∴（）． （3） 【解析】①， 将①中的用代换得②， 将①中的用代换得③， 由①+③-②得， ∴． 【典例5】（1） 【解析】，∴． （2）A 【解析】，∴， 由得或， ∴或， ∴实数的取值范围是． 【变式5】（1）或 【解析】若，则，∴， 若，则，∴， ∴或． （2）D 【解析】当时，的对称轴为在轴右侧，在上单调递减，在上单调递增， ∴，解得，结合得； 当时，，∴，满足条件； 当时，单调递减，∴，∴， ∴只需考虑的情况，的对称轴为， 若即，则对称轴在区间内，∴，∴； 若，则，在上单调递减，∴，解得，∴满足条件； 综上所述，实数的取值范围是． 课后练习 1．B 【解析】，则或， 且，则， 若两个函数表示同一个函数，则． 2．B 【解析】函数的定义域为， 则不等式的解集为， ∴方程的两个实数根为、， 由韦达定理：． 3．A 【解析】当时，，∴． 4．B 【解析】的定义域是， 则，， 故的定义域是， 由得， ∴的定义域是， 又，∴， ∴的定义域是． 5．A 【解析】令，则， ∴， ∴， ∴函数的值域是． 6．C 【解析】当时，， 当时，， ∴图象为C． 7．D 【解析】不等式等价于， 令，则不等式恒成立等价于， ， 当时，，在上单调递增， ∴， 当时，，在上单调递减， ∴， ∴，即． 8．D 【解析】令，，则， ∴． 9．BCD 【解析】， 又，∴（），选项A错误； ，∴，∴， ∴的值域为，选项B正确； 又的定义域为，由得， ∴的定义域为，选项C正确； ，，选项D正确． 10．BC 【解析】选项A，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，不是同一个函数，选项A错误； 选项B，，则，故函数的值域为，选项B正确； 选项C，①，则②，联立①②得，选项C正确； 选项D，的定义域为，则，则，所以函数的定义域为，选项D错误． 11．AC 【解析】的定义域为有理数和无理数即，选项A正确； ，∴，，∴，∴，选项B错误； ，则或，∴或，且，∴，选项C正确； 当时，，其解集为上的有理数，当时，，其解，∴不等式的解集为上的有理数，选项D错误． 12．（） 【解析】， 又，∴（）． 13． 【解析】函数的值域为， ∴，∴， ∴的值域是． 14． 【解析】， 当时，，满足条件； 当时，，对称轴为， 若即，则在上单调递增， ∴，满足条件， 若即，则， ∴，解得， 结合得， 综上所述，实数的取值范围是． 15．解：（1）要使式子有意义，需满足， 解得，故定义域为． （2）要使式子有意义，需满足， 解得或，故定义域为． （3）要使式子有意义，需满足， 解得，故定义域为． 16．解：（1）当时，， ∴． （2）当时，， ∴． 17．解：（1）函数图象如图所示： 当时，取得最大值． （2），， ，即． （3）当时，，此时恒成立； 当时，，解得， 结合得； 当时，，解得，结合得， 综上所述，或， ∴不等式的解集为． 18．解：（1）令，，则， ∴， （2）令，则， ∴． （3）即， 即，解得， ∴不等式的解集为． 19．解：（1）， ，， ， ，． （2） ． （3）， ​ ​ ​ ． 拔高练习 1．B 【解析】由可得： ①，②， 联立①②得，， ∴，∴， ∴，∴． 2．D 【解析】， ∴当，时，， 由的任意性可知为常数， 设，则， 由得，即， ∴，∴． 3．D 【解析】令，则， ∵，∴， 令，则， 即，∴， ∵是正整数，∴累加得， ∴，∴， ∴． 4．D 【解析】令，则， 又，∴，选项A错误； 令，，则， ∴，选项B错误； 若，使得， 则，与矛盾， ∴，， ∴，∴， ，选项C错误； ， ∴，选项D正确． 5．A 【解析】若，则当时，， 此时函数单调递增，且时，，无最值； 若，则， 当时，，无最值； 若，则当时，， 此时函数单调递减，， 当时，，对称轴为， 当时，，， 要使函数有最大值，需满足，即， 当时，，函数在上单调递增， ， 要使函数有最大值，需满足， 解得，结合得，此时不满足要求； ∴函数有最大值的充要条件是， 充分不必要条件是的真子集，选项A符合． 6．D 【解析】对于选项A，当时，，，， 当时，，，， ∴，，选项A正确； 对于选项B，当，时，，， 当，时，，， ∴，，选项B正确； 对于选项C，若，，则， 此时， 若，，则，有两种情况： 当时，，满足， 当时，，此时， 若，，则，有两种情况： 当时，，满足， 当时，，此时， ∴对都有，选项C正确； 对于选项D，当，时，， ，，选项D错误． 7．AD 【解析】令，则， 由得，即，选项A正确； 令，则， 由得，选项B错误； 令，则，选项D正确； 令，则， 又得， 即， ∵不恒为零，∴，即， ∴， ∴，选项C错误． 8．ABD 【解析】，其中，， 当时，，若， 即，解得， 与的交点坐标为， 其中时，时， 当时，，若， 即，解得， 与的交点坐标为， 其中时，时，， ∴，函数图象如图所示： 选项A，，选项A正确； 选项B，，∴ ，选项B正确； 选项C，结合函数图象可知， 直线与的图象有个交点，则或，选项C错误； 选项D，要使在上的值域为， 由得，， 结合函数图象可知，最大区间为， 此时，选项D正确． 9． 【解析】由，得， 又，即， ∴， 由，，得， ，又， ∴， ∴， 又，即， ∴，∴． 学科网（北京）股份有限公司 $