5.1 认识二元一次方程组 讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“认识二元一次方程组”核心知识点，系统梳理二元一次方程的定义（含整式方程、两个未知数、未知项次数为1三个条件）及解（使方程两边相等的未知数的值、无数解及整数解求法），进而延伸至二元一次方程组的定义（两个整式一次方程、含两个未知数）及解（公共解、代入法应用），构建递进式知识学习支架。 该资料以题型分层设计为特色，每个题型配套解题知识、典例及变式训练，通过定义辨析培养抽象能力，解的应用强化推理意识，过关验收综合题提升模型观念。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固练习，有效查漏补缺。

第5章 5.1 认识二元一次方程组 内 容 导 航 题型1 二元一次方程的定义 题型2 二元一次方程的解 题型3 二元一次方程组的定义 题型4 二元一次方程组的解 考 点 演 练 题型1 二元一次方程的定义 解｜题｜知｜识 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 【典例1】已知（2﹣a）x+y|a|﹣1＝3是关于x，y的二元一次方程，则a的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．1 【答案】B 【解答】解：∵方程（2﹣a）x+y|a|﹣1＝3是关于x，y的二元一次方程， ∴|a|﹣1＝1且2﹣a≠0， 解得a＝﹣2． 故选：B． 【变式1】|m﹣2|x+3y|m﹣1|＝23是关于x，y的二元一次方程，则m＝（　　） A．2 B．0 C．1 D．﹣1 【答案】B 【解答】解：若|m﹣2|x+3y|m﹣1|＝23是关于x，y的二元一次方程， 则|m﹣1|＝1且|m﹣2|≠0， 解得m＝0， 故选：B． 【变式2】下列各式，属于二元一次方程的个数有（　　） ①xy+2x﹣y＝7；②4x+1＝x；③y＝5；④x＝3y；⑤x2﹣y2＝2；⑥x+y+z． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：①xy+2x﹣y＝7，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程； ②4x+1＝x，含有一个未知数，不是二元一次方程； ③y＝5，是分式方程，不是二元一次方程； ④x＝3y，是二元一次方程； ⑤x2﹣y2＝2，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程； ⑥x+y+z，不是方程． 所以是二元一次方程的个数为1， 故选：A． 【变式3】下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．xy+3＝0 B．x+y2＝0 C．x+6＝0 D．x﹣4y＝0 【答案】D 【解答】解：A、含有未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； B、含有未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、是一元一次方程，故此选项不符合题意； D、是二元一次方程，故此选项符合题意； 故选：D。 题型2 二元一次方程的解 解｜题｜知｜识 （1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． （2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 【典例1】是下面哪个二元一次方程的解（　　） A．y＝﹣x+2 B．x﹣2y＝1 C．x＝y﹣2 D．2x﹣3y＝1 【答案】D 【解答】解：把x＝5代入A，得y＝﹣5+2＝﹣3，所以不是二元一次方程A的解； 把x＝5代入B，得y＝（5﹣1）÷2＝2，所以不是二元一次方程B的解； 把x＝5代入C，得y＝5+2＝7，所以不是二元一次方程C的解； 把x＝5代入D，得y＝（10﹣1）÷3＝3，所以是二元一次方程D的解． 故选：D． 【变式1】若是关于x、y的二元一次方程ax﹣5y＝1的解，则a的值为（　　） A．﹣5 B．3 C．9 D．11 【答案】B 【解答】解：将代入原方程得：2a﹣5×1＝1， 解得：a＝3， ∴a的值为3． 故选：B． 【变式2】若是二元一次程2x﹣3y＝3的一组解，则2a﹣3b+2022的值为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【解答】解：把代入二元一次程2x﹣3y＝3中，2a﹣3b＝3， ∴2a﹣3b+2022＝3+2022＝2025， 故选：B． 【变式3】已知方程2x+y＝4 的一个解是，则m的值为（　　） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【解答】解：把代入原方程得：2m﹣1＝4， 解得：m， ∴m的值为． 故选：B． 题型3 二元一次方程组的定义 解｜题｜知｜识 （1）二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 【典例1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、第二个方程中的xy是二次的，故该选项错误； B、该方程组中的第二个方程是分式方程，故该选项错误； C、该方程组符合二元一次方程组的定义； D、该方程组中有三个未知数，故该选项错误． 故选：C． 【变式1】下列方程中，是二元一次方程组的是（　　） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③ C．③④ D．①② 【答案】C 【解答】解：①，含有三个未知数，是三元一次方程组，故不符合题意； ②，各方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故不符合题意； ③，是二元一次方程组，故符合题意； ④，是二元一次方程组，故符合题意； 故是二元一次方程组是③④， 故选：C． 题型4 二元一次方程组的解 解｜题｜知｜识 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 【典例1】阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定：，．二元一次方程组的解可以利用2×2阶行列式表示为：，；其中，，．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（　　） A． B．Dx＝﹣14 C．Dy＝27 D．方程组的解为 【答案】C 【解答】解：根据新定义运算逐项分析判断如下： ， 则A正确，不符合题意； ， 则B正确，不符合题意； ， 则C错误，符合题意； ，， 因此方程组的解为， 则D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】若方程组的解中x+y＝2024，则k等于（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【解答】解：， ①+②，得5x+5y＝5k﹣5， ∴x+y＝k﹣1， ∵x+y＝2024， ∴k﹣1＝2024， ∴k＝2025， 故选：B． 【变式2】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　） A．﹣1 B．7 C．1 D．2 【答案】C 【解答】解：， ①﹣②得2x﹣2y＝2m+6， ∴x﹣y＝m+3， 代入x﹣y＝4，可得m+3＝4， 解得：m＝1， 故选：C． 【变式3】已知方程组的解x、y互为相反数，则有m的值　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：∵x与y互为相反数， ∴y＝﹣x， 将y＝﹣x代入方程组得： 化简得： ， ①+②得：m+2+m＝0， 解得：m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 过 关 验 收 1．已知关于x、y的方程2xa﹣2﹣y2+b＝1是二元一次方程，则ab的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3 【答案】D 【解答】解：∵关于x、y的方程2xa﹣2﹣y2+b＝1是二元一次方程， ∴a﹣2＝1，2+b＝1， 解得a＝3，b＝﹣1， ∴ab＝3×（﹣1）＝﹣3． 故选：D． 2．方程2x+y＝9在正整数范围内的解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：由题意，得 x， 要使x，y都是正整数，则合适的y的值只能是y＝1，3，5，7， 相应的x的值为x＝4，3，2，1． 答案是4个． 故选：D． 3．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：ax+by＝c”变更方程”为cx+by＝a． （1）方程3x+2y＝4的“变更方程”为 　4x+2y＝3　 ； （2）方程2x+3y＝4与它的“变更方程”组成的方程组的解为 　　 ； （3）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2025的值． 【答案】（1）4x+2y＝3； （2）； （3）2025． 【解答】解：（1）方程3x+2y＝4的“变更方程”为4x+2y＝3； 故答案为：4x+2y＝3； （2）方程2x+3y＝4的“变更方程”为4x+3y＝2， 联立得：， ②﹣①得：2x＝﹣2， 解得：x＝﹣1， 把x＝﹣1代入①得：﹣2+3y＝4， 解得：y＝2， 则方程组的解为； 故答案为：； （3）方程ax+by＝c的“变更方程”为cx+by＝a， 联立得：， 解得：， ∵a+b+c＝0， ∴a+c＝﹣b，即y＝﹣1， ∴把代入方程mx+ny＝p得：m+n＝﹣p， 则原式＝﹣pm﹣p（n+p）+2025 ＝﹣p（m+n）﹣p2+2025 ＝p2﹣p2+2025 ＝2025． 4．写出一个解为的二元一次方程组　（答案不唯一）　 ． 【答案】（答案不唯一）． 【解答】解：方程组为， 故答案为：（答案不唯一）． 5．若关于x，y的二元一次方程组无解，则a的值是 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：， ①﹣②，得（2﹣a）x﹣3＝0， ∴（2﹣a）x＝3， ∵关于x，y的二元一次方程组无解， ∴2﹣a＝0， ∴a＝2， 故答案为：2． 6．若关于x，y的方程组的解则方程组的解为　　 ． 【答案】． 【解答】解：设x﹣2＝m，y+3＝n，则方程组可化为， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴m＝5，n＝6，即x﹣2＝5，y+3＝6， 解得：x＝7，y＝3， ∴方程组的解为． 故答案为：． 7．已知关于x，y的方程组的解是自然数，则整数m＝　﹣4　 ． 【答案】﹣4 【解答】解：， ①×2﹣②得，﹣2my﹣y＝7， 解得y， 把y代入②得，x， 由方程组有自然数解，得到x与y都为自然数，由y得到﹣2m﹣1＝1或7， 解得：m＝﹣1，﹣4， 当m＝﹣1时，不合题意， 所以m＝﹣4， 故答案为：﹣4． 8．方程组的解为，则●＝　8　 ★＝　﹣2　 ． 【答案】8；﹣2 【解答】解：将x＝5代入2x﹣y＝12，得：10﹣y＝12， 解得：y＝﹣2， 将x＝5、y＝﹣2代入2x+y，得：2x+y＝10﹣2＝8， 故答案为：8、﹣2． 9．已知关于x、y的方程组和的解相同，求a和b的值． 【答案】． 【解答】解：由题意得：的解即为的解， 对于， 将3x﹣y＝1等号两边同乘3，可得9x﹣3y＝3， 两式相加，可得9x﹣3y+2x+3y＝3+8， 解得x＝1， 将x＝1代回3x﹣y＝1中，即3×1﹣y＝1， 解得y＝2， 的解为， 由条件可知， 两式相加，可得a﹣2b+a+2b＝3﹣5， 解得a＝﹣1， 将a＝﹣1代回a﹣2b＝3中，即﹣1﹣2b＝3， 解得b＝﹣2， ∴． 10．已知方程组与的解相同，求a2+2ab+b2的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由方程组与的解相同， 得①，， 解①得， 把代入②得， 解得， 则a2+2ab+b2＝（a+b）2＝（﹣2+5）2＝9． 11．若关于x，y的方程组与有相同的解． （1）求a+b的值． （2）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为mq﹣np．例如2×5﹣3×4＝﹣2，求的值． 【答案】（1）﹣7；（2）18． 【解答】解：（1）根据题意可知，， 解该方程组得：， ∴a+3＝﹣1，2+1＝﹣b， 解得：a＝﹣4，b＝﹣3， ∴a+b＝﹣4+（﹣3）＝﹣7； （2）将x＝1，y＝﹣1，a＝﹣4，b＝﹣3代入， ∴． 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（1）二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 【典例1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列方程中，是二元一次方程组的是（　　） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③ C．③④ D．①② 题型4 二元一次方程组的解 解｜题｜知｜识 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 【典例1】阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号称为2×2阶行列式，并且规定：，．二元一次方程组的解可以利用2×2阶行列式表示为：，；其中，，．问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（　　） A． B．Dx＝﹣14 C．Dy＝27 D．方程组的解为 【变式1】若方程组的解中x+y＝2024，则k等于（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式2】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　） A．﹣1 B．7 C．1 D．2 【变式3】已知方程组的解x、y互为相反数，则有m的值　 　 ． 过 关 验 收 1．已知关于x、y的方程2xa﹣2﹣y2+b＝1是二元一次方程，则ab的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3 2．方程2x+y＝9在正整数范围内的解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：ax+by＝c”变更方程”为cx+by＝a． （1）方程3x+2y＝4的“变更方程”为 　 　 ； （2）方程2x+3y＝4与它的“变更方程”组成的方程组的解为 　 　 ； （3）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2025的值． 4．写出一个解为的二元一次方程组 ． 5．若关于x，y的二元一次方程组无解，则a的值是 　 　 ． 6．若关于x，y的方程组的解则方程组的解为 　 ． 7．已知关于x，y的方程组的解是自然数，则整数m＝　 　 ． 8．方程组的解为，则●＝　 　 ★＝　 　 ． 9．已知关于x、y的方程组和的解相同，求a和b的值． 10．已知方程组与的解相同，求a2+2ab+b2的值． 11．若关于x，y的方程组与有相同的解． （1）求a+b的值． （2）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为mq﹣np．例如2×5﹣3×4＝﹣2，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $