2.3 二次根式 讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦二次根式核心知识点，系统构建从定义、有意义条件、性质化简到乘除、分母有理化、同类根式、加减混合运算及化简求值、应用的完整知识链，形成层层递进的学习支架。 资料以11类题型为框架，通过“解题知识+典例+变式”设计，强化概念理解与规律应用，培养抽象能力和运算推理意识。如应用题型结合高空抛物时间计算等实际问题，渗透模型意识，课中助教师高效授课，课后通过过关验收助力学生查漏补缺。

第2章 2.3 二次根式 内 容 导 航 题型1 二次根式的定义 题型2 二次根式有意义的条件 题型3 二次根式的性质与化简 题型4 最简二次根式 题型5 二次根式的乘除法 题型6 分母有理化 题型7 同类二次根式 题型8 二次根式的加减法 题型9 二次根式的混合运算 题型10 二次根式的化简求值 题型11 二次根式的应用 考 点 演 练 题型1 二次根式的定义 解｜题｜知｜识 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 【典例1】下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、被开方数为﹣2＜0，无意义，不是二次根式，故该选项不符合题意； B、是二次根式，故该选项符合题意； C、根指数为3，不是二次根式，故该选项不符合题意； D、当x＜0时，无意义，不是二次根式，故不一定是二次根式，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列各式一定属于二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵被开方数为非负数， ∴是二次根式． 故选：C． 【变式2】已知二次根式的值是正整数，其中n为整数，则n的最小值为　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：， ∵二次根式的值是正整数，其中n为整数， ∴n的最小值为3， 故答案为：3． 题型2 二次根式有意义的条件 解｜题｜知｜识 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【典例1】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x≥3 C．x＞﹣3 D．x≥﹣3 【答案】D 【解答】解：若式子在实数范围内有意义， 则x+3≥0， 解得x≥﹣3， 故选：D． 【变式1】已知y，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意得，4﹣x≥0，x﹣4≥0， 解得x＝4， 则y＝3， 则， 故选：C． 【变式2】已知，则yx的值是（　　） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【解答】解：由题意，得， 解得：x＝2， ∴y＝3， ∴yx＝32＝9． 故选：A． 【变式3】式子有意义，则实数a的取值范围是（　　） A．a≥﹣1 B．a≠2 C．a≥﹣1且a≠2 D．a＞2 【答案】C 【解答】解：式子有意义， 则a+1≥0，且a﹣2≠0， 解得：a≥﹣1且a≠2． 故选：C． 题型3 二次根式的性质与化简 解｜题｜知｜识 （1）二次根式的基本性质： ①0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③|a|（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． •（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 【典例1】实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 【答案】A 【解答】解：观察数轴得a＜0＜b，|a|＜|b|， 则b﹣a＞0，a+b＞0， ∴原式＝|b|+|a+b|﹣|b﹣a| ＝b+a+b﹣（b﹣a） ＝b+a+b﹣b+a ＝2a+b， 故选：A． 【变式1】下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、，选项计算错误，不符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算正确，符合题意； D、，选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2】设，则不超过m的最大整数为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．前三个选项都不对 【答案】C 【解答】解：根据题意可知，原式 ， ∴， ∴不超过m的最大整数是2026． 故选：C． 【变式3】下列运算正确的是（　　） A．﹣2a2•4a3＝﹣8a6 B． C． D．2a3﹣a3＝2 【答案】C 【解答】解：A．﹣2a2•4a3＝﹣8a5，﹣8a5≠﹣8a6，选项计算错误，不符合题意； B． ，|x|≠x，选项计算错误，不符合题意； C． ，x＝x，选项计算正确，符合题意； D．2a3﹣a3＝a3，a3≠2，选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 题型4 最简二次根式 解｜题｜知｜识 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等. 【典例1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A选项被开方数是小数，可以化成分数，有分母，不符合题意； B选项的被开方数含分母，不符合题意； C选项是最简二次根式，符合题意； D选项的被开方数中有能开的尽方的因数4，不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①被开方数3不含分母，且3是质数，是最简二次根式； ②被开方数含分母4，可化简为，不是最简二次根式； ③被开方数9是32，可开方为3，故不是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； ⑤被开方数11是质数，无法再分解出平方因数，是最简二次根式； 综上，最简二次根式有①和⑤，共2个， 故选：B． 【变式2】若是最简二次根式，则a的值可能是（　　） A．2 B．4 C．﹣3 D．1.5 【答案】A 【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、2，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【变式3】把下列二次根式化成最简二次根式： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）4； （2）2； （3）； （4）． 题型5 二次根式的乘除法 解｜题｜知｜识 （1）积的算术平方根性质：•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 【典例1】下列等式正确的是（　　） A．（）2＝3 B．3 C．3 D．（）2＝﹣3 【答案】A 【解答】解：A．（）2＝3，故A正确； B.3，故B错误； C.，故C错误； D．（）2＝3，故D错误； 故选：A． 【变式1】能使等式成立的x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≥0且x≠2 C．0≤x＜2 D．x＞2 【答案】D 【解答】解：根据题意得， 解得x＞2， 故选：D． 【变式2】计算的结果为（　　） A． B．2 C．2 D． 【答案】B 【解答】解：原式2． 故选：B． 【变式3】化简：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式5 ＝6﹣5 ＝1． 题型6 分母有理化 解｜题｜知｜识 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①；②． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数。 【典例1】已知，，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解答】解：∵， ， ∴x+y＝4n+2， ∵， ∵19x2+123xy+19y2＝1985， ∴19（x+y）2+85xy＝1985， ∴19（4n+2）2+85＝1985，即n2+n﹣6＝0， 解得n＝2或n＝﹣3（与n为正整数不符，舍去）， 故选：D． 【变式1】计算的结果为　　 ． 【答案】． 【解答】解：根据题意，设，， ∴ ＝（1﹣S）（S+c）﹣（1﹣S﹣c）S ＝（S+c﹣S2﹣Sc）﹣（S﹣S2﹣Sc） ＝S+c﹣S2﹣Sc﹣S+S2+Sc ＝c， ∴原式． 故答案为：． 【变式2】阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求y的最大值、做法如下： 解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y． 当x＝2时，分母有最小值2．所以y的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题： （1）比较和的大小； （2）求y3的最大值． 【答案】（1）； （2）y有最大值是3． 【解答】解：（1）， ， 而， ∴， ∴； （2）∵x+1≥0，x﹣1≥0， ∴x≥1， ∵y， 当x＝1时，分母有最小值， ∴y有最大值是3． 【变式3】已知：a2，b2，求： （1）ab的值； （2）a2+b2﹣3ab的值； （3）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 【答案】（1）3；（2）13；（3）． 【解答】解：（1）∵a2，b2， ∴ab ＝（2）（2） ＝7﹣4 ＝3； （2）∵a2，b2，ab＝3， ∴a2+b2﹣3ab ＝a2+b2﹣2ab﹣ab ＝（a﹣b）2﹣ab ＝[（2）﹣（2）]2﹣3 ＝（22）2﹣3 ＝42﹣3 ＝16﹣3 ＝13； （3）∵m为a整数部分，n为b小数部分，a2，b2， ∴m＝4，n＝b2 ∴ ， ∴的值． 题型7 同类二次根式 解｜题｜知｜识 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 【典例1】下列二次根式中与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、，与不是同类二次根式，故A不符合题意； B、，与是同类二次根式，故B符合题意； C、，与不是同类二次根式，故C不符合题意； D、2，与不是同类二次根式，故D不符合题意． 故选：B． 【变式1】若与最简二次根式能合并，则m的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解答】解：根据两个二次根式能合并的条件是它们化为最简二次根式后，被开方数相同可知： ， ∴的最简形式为，被开方数为2． 又∵是最简二次根式，且能与合并， ∴m﹣3＝2， 解得：m＝5． 故选：C． 【变式2】以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ 【答案】C 【解答】解：∵，，，， ∴与是同类二次根式的是①和④， 故选：C． 【变式3】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a＝　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴1+a＝4a﹣2， 解得：a＝1， 故答案为：1． 题型8 二次根式的加减法 解｜题｜知｜识 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【典例1】下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； D、，选项计算正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】若，则表示实数a的点会落在数轴的（　　） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 【答案】B 【解答】解：∵，即， ∴， ∵， ∴，即1＜a＜2， 故实数a的点会落在数轴的段②上， 故选：B． 【变式2】计算：． 【答案】2． 【解答】解：原式＝32 ＝32 ＝2． 题型9 二次根式的混合运算 解｜题｜知｜识 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【典例1】下列计算中，正确的是（　　） A． B．3+25 C．3 D．22 【答案】C 【解答】解：A、∵与不是同类二次根式不能合并， ∴A选项错误，不符合题意； B、∵3与2不是同类二次根式不能合并， ∴B选项错误，不符合题意； C、3，故C选项正确，符合题意； D、∵2与2不是同类二次根式不能合并， ∴D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】2025年“数字中国”建设峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：a⊕b，那么4⊕3的值为（　　） A．1 B．4 C．﹣2 D．9 【答案】B 【解答】解：∵a⊕b， ∴ ＝5﹣1 ＝4． 故选：B． 【变式2】阅读下列解题过程： ； ； 观察上面解题过程，的值为（　　） A． B． C． D．10 【答案】B 【解答】解：原式 ， 故选：B． 【变式3】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0； （2）． 【解答】解：（1）原式 ＝0； （2） ＝2+23 ＝5+2． 题型10 二次根式的化简求值 解｜题｜知｜识 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 【典例1】如果f（x）并且f（）表示当x时的值，即f（），f（）表示当x时的值，即f（），那么f（）+f（）+f（）+f（）的值是（　　） A．n B．n C．n D．n 【答案】A 【解答】解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1，…，f（）+f（）＝1， 所以，原式（n﹣1）＝n． 故选：A． 【变式1】阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式m3+2m2﹣2025m+2026的值是　2026　 ． 【答案】2026． 【解答】解：∵m， ∴m+1． ∴（m+1）2＝2026，即m2+2m+1＝2026． ∴m3+2m2﹣2025m+2026 ＝m3+2m2+m﹣2026m+2026 ＝m（m2+2m+1）﹣2026m+2026 ＝2026m﹣2026m+2026 ＝2026． 故答案为：2026． 【变式2】若，求a2﹣4a+4的值为　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：∵2， ∴原式＝（a﹣2）2 ＝（2﹣2）2 ＝5． 故答案为：5． 【变式3】已知，请你化简下列代数式　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵， ∴， ∴x＜0， ∴ ， 故答案为：． 题型11 二次根式的应用 解｜题｜知｜识 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 【典例1】如图，从一个大正方形中裁去面积为28cm2和50cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（　　） A． B． C．78cm2 D． 【答案】A 【解答】解：由条件可知两个阴影小正方形的边长是cm＝2cm，cm＝5cm， ∴大正方形的边长是（25）cm， ∴大正方形的面积是（25）2＝（78+20）cm2， ∴余下部分的面积＝大正方形的面积﹣阴影部分的面积＝（78+20）﹣28﹣50 ＝20（cm2）． 故选：A． 【变式1】高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从50m高空抛物到落地所需时间为t1．从100m高空抛物到落地所需时间为t2，则t2：t1的值是（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【解答】解：当h＝50时，（秒）； 当h＝100时，（秒）； ， 故选：C． 【变式2】设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式； （海伦公式）．（秦九韶公式）． （1）若一个三角形边长依次为5、6、7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形边长依次为5、6、7，即a＝5，b＝6，c＝7， ∴　9　 ． 根据海伦公式可得：　6　 ． （2）请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 【答案】这个三角形的面积是． 【解答】解：（1）由题意得，当a＝5，b＝6，c＝7时， p（a+b+c） （5+6+7） ＝9， 由海伦公式可得， 6， 故答案为：9，6； （2）由题意得，当a，b，c时， ， ∴这个三角形的面积是． 过 关 验 收 1．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为x＞1　 ． 【答案】x＞1． 【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴x﹣1＞0， 解得：x＞1． 故答案为：x＞1． 2（1）已知，求a、b的值． （2）已知a满足，求a﹣20242的值． 【答案】（1）a＝1，b＝﹣4； （2）2025． 【解答】解：（1）∵0，|a2﹣3b﹣13|≥0， ∴a﹣1＝0，a2﹣3b﹣13＝0， 解得a＝1，b＝﹣4． （2）∵有意义， ∴a﹣2025≥0， ∴a≥2025， ∴2024﹣a＜0， ∵， ∴， ∴， ∴a﹣2025＝20242， ∴a﹣20242＝2025． 3．已知ab＜0，则化简后为（　　） A．a B．﹣a C．a D．﹣a 【答案】B 【解答】解：∵a2≥0，ab＜0， ∴a＜0，b＞0， ∴|a|a， 故选：B． 4．若2﹣x成立，则x的取值范围是（　　） A．x≤2 B．x≥2 C．0≤x≤2 D．任意实数 【答案】A 【解答】解：∵|x﹣2|＝2﹣x， ∴x﹣2≤0， ∴x≤2， 故选：A． 5．化简二次根式：a，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解；aa， 故选：D． 6．化简：　1　 ． 【答案】1． 【解答】解： 1， 故答案为：1． 7．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简代数式的结果是　﹣b ． 【答案】﹣b． 【解答】解：∵由图可知，b＜a＜0，a+b＜0； ∴原式＝﹣（a+b）﹣|a| ＝﹣a﹣b+a ＝﹣b． 故答案为：﹣b． 8．的相反数是　　 ；的倒数是　　 ；的值为　4﹣π　 ． 【答案】；；4﹣π． 【解答】解：的相反数为：； 的倒数为：； 原式＝|π﹣4|＝4﹣π． 故答案为：；；4﹣π． 9．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：|b﹣2|+|b﹣a|＝　1﹣2a ． 【答案】1﹣2a． 【解答】解：由数轴可知，﹣2＜a＜﹣1＜0＜1＜b＜2， |b﹣2|+|b﹣a| ＝|a+1|+|b﹣2|+|b﹣a| ＝﹣（a+1）﹣（b﹣2）+b﹣a ＝﹣a﹣1﹣b+2+b﹣a ＝1﹣2a， 故答案为：1﹣2a． 10．已知，则a的取值范围是 a≤2　 ． 【答案】a≤2 【解答】解：∵， ∴， ∴a+|2﹣a|＝2， ∴|2﹣a|＝2﹣a， ∴2﹣a≥0， ∴a≤2， 故答案为：a≤2． 11．阅读材料： 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且，则把变成m2+n2±2mm＝（m±n）2开方，从而使得化简． 如： 解答问题： （1）填空：　　 ． （2）化简：（请写出计算过程）． （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）； （3） ． 12．计算： （1）； （2）； （3）（）（）﹣（）2． 【答案】（1）； （2）3； （3）﹣3+2． 【解答】解：（1） 33 2 ； （2） ＝3； （3）（）（）﹣（）2 ＝5﹣4﹣3+21 ＝﹣3+2． 13．阅读下列材料，然后解答问题 在进行二次根式的化简与计算时我们有时会遇到如：，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；1． 以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化． （1）根据上面规律化简：　　 ；　　 ． （2）化简下列各式 ①， ②， ③， ④ （3）用含n（n≥1的整数）的式子写出（2）中第n个式子，并化简． 【答案】（1），； （2）①﹣1；②﹣2；③﹣3；④﹣4； （3）第n个式子是，化简后的结果是﹣n． 【解答】解：（1），， 故答案为：，； （2）① ＝﹣1； ② 1 1﹣（1） 11 ＝﹣2； ③ ＝﹣3； ④ 2 2 ＝﹣4； （3）由（2）可得， 第n个式子是， ＝﹣n． 14．若，则式子m2﹣4m+6的值为　2025　 ． 【答案】2025． 【解答】解：原式＝（m﹣2）2+2 ＝（）2+2 ＝2023+2 ＝2025． 故答案为：2025． 15．已知a，b，c为三角形的三边长，则a+b+c ． 【答案】a+b+c． 【解答】解：∵a、b、c为三角形的三边长， ∴a+b＞c，c+a＞b，b+c＞a， 则原式＝a+b﹣c+c+a﹣b+b+c﹣a＝a+b+c， 故答案为：a+b+c． 16．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求2a2﹣8a+1的值． 他们是这样解答的： ， ∴， ∴（a﹣2）2＝3即a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1） 　　 ； （2）化简：； （3）若，求2a4﹣8a3﹣8a+4的值． 【答案】（1）； （2）10； （3）6． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）原式1... 1 ＝11﹣1 ＝10； （3）∵a2， ∴a﹣2， ∴（a﹣2）2＝5， ∴a2﹣4a＝1， ∴2a4﹣8a3﹣8a+4 ＝2a2（a2﹣4a）﹣8a+4 ＝2a2﹣8a+4 ＝2（a2﹣4a）+4 ＝2×1+4 ＝6． 17．小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：　1　 ； （2）计算：； （3）若a，求2a2﹣8a+1的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）1． 故答案为：1； （2）原式＝（1）+（）+（）+…+（） 1 ＝21； （3）因为a2， 所以a﹣2．所以（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5． 所以a2﹣4a＝1． 所以2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×1+1＝3． 18．实数a，b在数轴上的位置如图所示： （1）化简：　﹣a ，　1﹣b ． （2）化简求值：，其中a，b． 【答案】（1）﹣a，1﹣b； （2）2b+1，1． 【解答】解：（1）由数轴可得， ﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1， ∴a，1﹣b， 故答案为：﹣a，1﹣b； （2）由数轴可得， ﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1， ∴ ＝a+2﹣（1﹣b）+（b﹣a） ＝a+2﹣1+b+b﹣a ＝2b+1， 当b时，原式＝211． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 2.3 二次根式 内 容 导 航 题型1 二次根式的定义 题型2 二次根式有意义的条件 题型3 二次根式的性质与化简 题型4 最简二次根式 题型5 二次根式的乘除法 题型6 分母有理化 题型7 同类二次根式 题型8 二次根式的加减法 题型9 二次根式的混合运算 题型10 二次根式的化简求值 题型11 二次根式的应用 考 点 演 练 题型1 二次根式的定义 解｜题｜知｜识 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 【典例1】下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列各式一定属于二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知二次根式的值是正整数，其中n为整数，则n的最小值为　 　 ． 题型2 二次根式有意义的条件 解｜题｜知｜识 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【典例1】若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x≥3 C．x＞﹣3 D．x≥﹣3 【变式1】已知y，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知，则yx的值是（　　） A．9 B．8 C．6 D．5 【变式3】式子有意义，则实数a的取值范围是（　　） A．a≥﹣1 B．a≠2 C．a≥﹣1且a≠2 D．a＞2 题型3 二次根式的性质与化简 解｜题｜知｜识 （1）二次根式的基本性质： ①0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③|a|（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． •（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 【典例1】实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 【变式1】下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】设，则不超过m的最大整数为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．前三个选项都不对 【变式3】下列运算正确的是（　　） A．﹣2a2•4a3＝﹣8a6 B． C． D．2a3﹣a3＝2 题型4 最简二次根式 解｜题｜知｜识 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等. 【典例1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】若是最简二次根式，则a的值可能是（　　） A．2 B．4 C．﹣3 D．1.5 【变式3】把下列二次根式化成最简二次根式： （1）；（2）；（3）；（4）． 题型5 二次根式的乘除法 解｜题｜知｜识 （1）积的算术平方根性质：•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 【典例1】下列等式正确的是（　　） A．（）2＝3 B．3 C．3 D．（）2＝﹣3 【变式1】能使等式成立的x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≥0且x≠2 C．0≤x＜2 D．x＞2 【变式2】计算的结果为（　　） A． B．2 C．2 D． 【变式3】化简：． 题型6 分母有理化 解｜题｜知｜识 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①；②． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数。 【典例1】已知，，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式1】计算的结果为 　 ． 【变式2】阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求y的最大值、做法如下： 解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y． 当x＝2时，分母有最小值2．所以y的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题： （1）比较和的大小； （2）求y3的最大值． 【变式3】已知：a2，b2，求： （1）ab的值； （2）a2+b2﹣3ab的值； （3）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 题型7 同类二次根式 解｜题｜知｜识 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 【典例1】下列二次根式中与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】若与最简二次根式能合并，则m的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式2】以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ 【变式3】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a＝　 　 ． 题型8 二次根式的加减法 解｜题｜知｜识 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【典例1】下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】若，则表示实数a的点会落在数轴的（　　） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 【变式2】计算：． 题型9 二次根式的混合运算 解｜题｜知｜识 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【典例1】下列计算中，正确的是（　　） A． B．3+25 C．3 D．22 【变式1】2025年“数字中国”建设峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：a⊕b，那么4⊕3的值为（　　） A．1 B．4 C．﹣2 D．9 【变式2】阅读下列解题过程： ； ； 观察上面解题过程，的值为（　　） A． B． C． D．10 【变式3】计算： （1）； （2）． 题型10 二次根式的化简求值 解｜题｜知｜识 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 【典例1】如果f（x）并且f（）表示当x时的值，即f（），f（）表示当x时的值，即f（），那么f（）+f（）+f（）+f（）的值是（　　） A．n B．n C．n D．n 【变式1】阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式m3+2m2﹣2025m+2026的值是　 　 ． 【变式2】若，求a2﹣4a+4的值为　 ． 【变式3】已知，请你化简下列代数式 　 ． 题型11 二次根式的应用 解｜题｜知｜识 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 【典例1】如图，从一个大正方形中裁去面积为28cm2和50cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（　　） A． B． C．78cm2 D． 【变式1】高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从50m高空抛物到落地所需时间为t1．从100m高空抛物到落地所需时间为t2，则t2：t1的值是（　　） A． B． C． D．2 【变式2】设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式； （海伦公式）．（秦九韶公式）． （1）若一个三角形边长依次为5、6、7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形边长依次为5、6、7，即a＝5，b＝6，c＝7， ∴　 　 ． 根据海伦公式可得： 　 ． （2）请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 过 关 验 收 1．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 　 ． 2（1）已知，求a、b的值． （2）已知a满足，求a﹣20242的值． 3．已知ab＜0，则化简后为（　　） A．a B．﹣a C．a D．﹣a 4．若2﹣x成立，则x的取值范围是（　　） A．x≤2 B．x≥2 C．0≤x≤2 D．任意实数 5．化简二次根式：a，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 6．化简：　 　 ． 7．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简代数式的结果是　 ． 8．的相反数是　　 ；的倒数是　　 ；的值为　 ． 9．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：|b﹣2|+|b﹣a|＝ ． 10．已知，则a的取值范围是　 ． 11．阅读材料： 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且，则把变成m2+n2±2mm＝（m±n）2开方，从而使得化简． 如： 解答问题： （1）填空： 　 ． （2）化简：（请写出计算过程）． （3）． 12．计算： （1）； （2）； （3）（）（）﹣（）2． 13．阅读下列材料，然后解答问题 在进行二次根式的化简与计算时我们有时会遇到如：，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；1． 以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化． （1）根据上面规律化简：　　 ； 　 ． （2）化简下列各式 ①， ②， ③， ④ （3）用含n（n≥1的整数）的式子写出（2）中第n个式子，并化简． 14．若，则式子m2﹣4m+6的值为 　 ． 15．已知a，b，c为三角形的三边长，则 ． 16．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求2a2﹣8a+1的值． 他们是这样解答的： ， ∴， ∴（a﹣2）2＝3即a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1） 　 ； （2）化简：； （3）若，求2a4﹣8a3﹣8a+4的值． 17．小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算： 　 ； （2）计算：； （3）若a，求2a2﹣8a+1的值． 18．实数a，b在数轴上的位置如图所示： （1）化简：　 ，　 ． （2）化简求值：，其中a，b． 学科网（北京）股份有限公司 $