1.1 探索勾股定理 讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦勾股定理这一核心知识点，系统梳理其定义（直角三角形两直角边平方和等于斜边平方）、证明方法（拼图法等）及应用类型（几何计算、实际问题、数轴表示无理数），构建从基础概念到综合应用的递进学习支架，辅以解题知识、典例及变式训练。 该资料亮点在于题型分层设计，通过“赵爽弦图”证明培养推理意识，结合“小巷梯子”“折竹抵地”等实际问题发展应用意识，课中助力教师高效教学，课后帮助学生强化练习，提升用数学思维分析和解决问题的能力。

第1章 1.1 探索勾股定理 内 容 导 航 题型1 勾股定理 题型2 勾股定理的证明 题型3 勾股定理的应用 考 点 演 练 题型1 勾股定理 解｜题｜知｜识 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边。 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D为AC上的动点，点E，F分别为AB，AD的中点，则EF最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（　　） A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．12cm2 【变式2】如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式3】对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2的值为（　　） A．20 B．16 C．18 D．25 题型2 勾股定理的证明 解｜题｜知｜识 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理。 【典例1】在勾股定理的证明中，小云用与Rt△ABC全等的三角形拼出了如图所示的弦图，若正方形GHJK的面积为16，正方形CDEF的面积为4，则线段AB的长为（　　） A． B． C． D． 【变式1】我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．若b﹣a＝4，c＝16，则每个直角三角形的面积为（　　） A．64 B．60 C．120 D．128 【变式2】将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式3】下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 题型3 勾股定理的应用 解｜题｜知｜识 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 【典例1】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（　　） A．2m B．2.5m C．2.6m D．2.7m 【变式1】勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.8m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.6m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.2m B．3.4m C．3.6m D．3.8m 【变式2】如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 【变式3】一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于（　　） A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米 过 关 验 收 1．一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 2．如图，四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（　　） A．184 B．86 C．119 D．81 3．若直角三角形两边长分别是3和4，则第三边的长为（　　） A．5 B．7 C．25或7 D．5或 4．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 5．如图，在单位长度为1的4×4的网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（　　） A．PA B．PB C．PC D．PD 6．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则下列等式正确的是（　　） A．a2＝b2+c2 B．a2＝2c2 C．c2＝2b2 D．b2＝2a2 7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则边AB上的高CD的长为（　　） A．5 B．4.8 C．2.4 D．1.2 8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB，AC，BC＝6，点D在边BC上，BD，点E在边AC上，且∠ADE＝45°，则AE的长为 　 　 ． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB的长为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝4，则S1+S2的值为　 　 ． 10．△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD长为 ． 11．如图，已知AC＝BC，则数轴上点B所表示的数是 　 ． 12．某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点P处先往西走13m，又往北走4m，遇到障碍后又往东走6m，再转向北走8m后往西拐，走了2m就到达点Q，则P、Q两点之间的距离为 　 　 m． 13．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）若点P运动到BC的中点时，t的值是 　 　 ； （2）4秒内，若BP＝AP，求BP的长； （3）当△ABP为直角三角形时，求t的值． 15．我们发现可以在正方形网格中构造图形解决一些数学问题． 例如：如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），构造△ABC，点A，B，C都在格点上，比较与的大小． 解：由勾股定理，得，，BC＝1． 在△ABC中，AB+BC＞AC，∴． 请仿照上述方法，在图2中构造图形，比较与的大小． 16．勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（　　） A．120 B．110 C．100 D．90 17．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则EF的长为（　　） A． B． C． D．3 18．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“最美弦图”（如图1），图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝19，则S2的值是　 ． 19．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理a2+b2＝c2． （1）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若a＝4，b＝6，则空白部分的面积为 　 ． （2）如图3，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处．若AD＝5，AB＝3，求EF的长． 20．同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ （1）直接填空：如图①，若a＝1，b＝3，则c＝　　 ；若a+b＝4，c＝3，则直角三角形的面积是 ； （2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明a2+b2＝c2； （3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝CD＝8，BC＝AD＝10，求EF的长． 21．（1）如图①，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形（中间空白部分也是正方形、已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上．老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积证明了勾股定理，请证明a2+b2＝c2． （2）现将图①中的两个直角三角形向内翻折，得到图②．若a＝6，b＝8，则空白部分的面积为 　 ． （3）如图③，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，直角三角形的直角边分别是3和2.5，小贤将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 　 　 ； （4）如图④，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作三个正方形ABED和正方形ACHI，并将得到的图形放入矩形，点D，E、F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，若矩形KLMJ的面积为4．BC＝1，则△ABC的面积为 ． 22．如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（　　） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 23．如图，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A+∠B＝90°，AB＝5km，BC＝4km．若把隧道AC凿通需要15天，则每天凿隧道的长度为（　　） A．0.1km B．0.2km C．2km D．5km 24．学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离AB＝5米（如图2），则旗杆的高度BC为（　　） A．10米 B．11米 C．12米 D．13米 25．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 26．如图所示，一棵树被风刮断了，树顶落在离树根12m处，折断处的高度AB为5m，则这棵树折断前高　 　 m． 27．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 　9　 米． 28．如图，树根下有一个蛇洞，树高15m，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去，如果鹰与蛇的速度相等且鹰与蛇的路线都是直线段，则鹰应向距离树根　 　 米处扑击才能恰好抓到蛇． 29．为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：28cm，30cm，34cm，42cm，48cm，则其中有　 　 款扫地机可以购买． 30．若将15只空油桶（每只油桶底面的直径均为2m）堆在一起，并且最下面的个数是5只，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码高为 　 　 m（结果保留根号）． 31．如图，将一根长为18cm的牙刷放置在底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形牙刷筒中，则牙刷露在筒外的长度最小值为 　 cm． 32．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高5米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米． （1）求B处与地面的距离； （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 33．如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）连接AC，判断△ADC的形状； （3）求这块空地的面积． 34．小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 35．综合与实践 （1）如图1，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝24千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，求AP的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（0＜x＜16）的最小值为 　 　 ． 36．如图，一架10米长的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙BO＝6米． （1）此时梯子顶端A离地面多少米？ （2）设梯子顶端到水平地面的距离为m米，底端到垂直墙面的距离为n米．若，根据经验，可知当1.7＜a＜2.7时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子顶端A下滑3米到C处，请问这时使用是否安全？ 37．如图1所示的遮阳伞，其示意图如图2，伞柄AP垂直于水平地面，伞圈D能沿着伞柄AP滑动，伞骨AB＝AC＝55cm，E，F分别是伞骨上两个定点．当伞完全撑开后，点B，D，C在同一条直线上且平行于地面，此时AD＝33cm．两个身体宽度40cm的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔10cm，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到？ 38．如图，孙师傅在三角形铁片ABC中剪下△ABD，且∠ADB＝90°，AD＝9cm，BD＝12cm． （1）求AB的长； （2）若BC＝36cm，AC＝39cm，求图中阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 1.1 探索勾股定理 内 容 导 航 题型1 勾股定理 题型2 勾股定理的证明 题型3 勾股定理的应用 考 点 演 练 题型1 勾股定理 解｜题｜知｜识 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边。 【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D为AC上的动点，点E，F分别为AB，AD的中点，则EF最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图，连接BD， ∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴， ∵点E，F分别为AB，AD的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴， ∴当BD最小时，EF的值最小， 当BD⊥AC时，BD最小， 此时，， 即， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（　　） A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．12cm2 【答案】B 【解答】解：由勾股定理得：5（cm）， ∴阴影部分的面积＝5×1＝5（cm2）； 故选：B． 【变式2】如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E， ∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C ∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24， ∴24﹣S正方形C＝6+10， ∴S正方形C＝8． 故选：C． 【变式3】对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2的值为（　　） A．20 B．16 C．18 D．25 【答案】A 【解答】解：∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得：AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， ∴AB2+CD2＝AD2+BC2， ∵AD＝2，BC＝4， ∴AB2+CD2＝22+42＝20． 故选：A． 题型2 勾股定理的证明 解｜题｜知｜识 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理。 【典例1】在勾股定理的证明中，小云用与Rt△ABC全等的三角形拼出了如图所示的弦图，若正方形GHJK的面积为16，正方形CDEF的面积为4，则线段AB的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设BC＝a，AC＝b， ∵正方形GHJK的面积为16，正方形CDEF的面积为4， ∴CD＝2，GK＝4， ∴， ∴， ∴AB， 故选：C． 【变式1】我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．若b﹣a＝4，c＝16，则每个直角三角形的面积为（　　） A．64 B．60 C．120 D．128 【答案】B 【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2， ∴，且a、b均大于0， 解得ab＝120， ∴每个直角三角形的面积为ab120＝60， 故选：B． 【变式2】将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【解答】解：由图2可知，大正方形的面积＝5×5＝25，图3中小正方形的面积＝1×1＝1， 设直角三角形的较长边为a，较短边为b， 则由图2可得a2+b2+425， 即a2+b2+2ab＝25①， 由图3可得（a﹣b）2＝1， 即a2+b2﹣2ab＝1②， 联立①和②可得a2+b2＝13， 即图2中阴影部分的面积为13， 故选：C． 【变式3】下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 题型3 勾股定理的应用 解｜题｜知｜识 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 【典例1】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（　　） A．2m B．2.5m C．2.6m D．2.7m 【答案】D 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2.5（m）， ∴A′B＝AB＝2.5米， 在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD2（m）， ∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m）， 即小巷的宽为2.7米， 故选：D． 【变式1】勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.8m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.6m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.2m B．3.4m C．3.6m D．3.8m 【答案】B 【解答】解：由题意可知，CF＝2.6m，BE＝0.8m， ∴BD＝1.8m． 设AC的长为xm，则AB＝AC＝xm， 所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m． 在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣1.8）2+32＝x2， 解得：x＝3.4， 即绳索AC的长是3.4米． 故选：B． 【变式2】如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 【答案】C 【解答】解：由图可得， x2+62＝（10﹣x）2， 故选：C． 【变式3】一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于（　　） A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米 【答案】A 【解答】解：∵车宽2.4米， ∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高． 在Rt△OCD中，由勾股定理可得： CD1.6（m）， CH＝CD+DH＝1.6+2.5＝4.1米， 故选：A． 过 关 验 收 1．一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【解答】解：设直角三角形的三边长为 a、b、c，c 为斜边，则由勾股定理得：a2+b2＝c2． ∵一个直角三角形的三边长的平方和为200， ∴a2+b2+c2＝200， ∴2c2＝200， ∴c2＝100， ∴c ＝10，即斜边长为10． 故选：C． 2．如图，四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（　　） A．184 B．86 C．119 D．81 【答案】B 【解答】解：连接BD，如图： 根据勾股定理可得AD2+AB2＝BD2，BC2+CD2＝BD2， 即S1+S4＝S2+S3， ∴S2＝135﹣49＝86， 故选：B． 3．若直角三角形两边长分别是3和4，则第三边的长为（　　） A．5 B．7 C．25或7 D．5或 【答案】D 【解答】解：直角三角形两边长分别是3和4，分两种情况讨论： 当4为斜边时，由勾股定理得：第三边长． 当3和4为直角边时，则第三边为斜边， 由勾股定理得：第三边长． 综上所述，第三边长为5或． 故选：D． 4．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】A 【解答】解：设直角三角形的两条直角边为：a、b，斜边为c， ∴a2+b2＝c2， ∵正方形的边长为1， ∴a2+b2＝1， 由图1可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， ∴此时，所有正方形的面积和为：2×1＝2， 由图2可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为：3×1＝3， … ∴在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是：2023×1＝2023． 故选：A． 5．如图，在单位长度为1的4×4的网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（　　） A．PA B．PB C．PC D．PD 【答案】D 【解答】解：由勾股定理可得，，，，， 故选：D． 6．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则下列等式正确的是（　　） A．a2＝b2+c2 B．a2＝2c2 C．c2＝2b2 D．b2＝2a2 【答案】C 【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°， ∴a＝b，a2+b2＝c2， ∴c2＝2b2， 故选：C． 7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则边AB上的高CD的长为（　　） A．5 B．4.8 C．2.4 D．1.2 【答案】C 【解答】解：如图所示， ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴， ∵CD是AB边上的高， ∴，即5CD＝3×4， ∴CD＝2.4． 故选：C． 8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB，AC，BC＝6，点D在边BC上，BD，点E在边AC上，且∠ADE＝45°，则AE的长为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，作AG⊥DE交DE于点F，交BC于点G， ∵AG⊥DE， ∴∠AFD＝∠AFE＝90°， ∴∠DEA+∠EAF＝90°， ∵∠ADE＝45°， ∴∠DAF＝90°﹣∠ADE＝45°， ∴∠DAF＝∠ADE＝45°， ∵BC＝6，BD， ∴CD＝BC﹣CD， 又∵AC， ∴CD＝AC， ∴∠GDA＝∠EAD， 又∵AD＝AD， ∴△ADG≌△DAE（ASA）， ∴∠AGD＝∠DEA，DG＝AE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAG+∠EAF＝90°， ∴∠DEA+∠EAF＝∠BAG+∠EAF，即∠DEA＝∠BAG， ∴∠AGD＝∠BAG， ∴BG＝AB， ∴AE＝DG＝BG﹣BD． 故答案为：． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB的长为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝4，则S1+S2的值为　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2． ∵， ， ， ∴． ∴S1+S2＝S3＝4． 故答案是：4． 10．△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD长为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，由勾股定理得 AC， ∵S△ABCBC×2AC•BD， ∴2×2BD， ∴BD． 故答案为：． 11．如图，已知AC＝BC，则数轴上点B所表示的数是 　　 ． 【答案】 【解答】解：如图， ∵OC＝1，DO＝1， ∴， ∵AD＝2， ∴， ∴， ∴， 则数轴上点B所表示的数是， 故答案为：． 12．某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点P处先往西走13m，又往北走4m，遇到障碍后又往东走6m，再转向北走8m后往西拐，走了2m就到达点Q，则P、Q两点之间的距离为 　15　 m． 【答案】15 【解答】解：过点Q作QM⊥过点P的东西方向的直线于点M，如图所示． ∵PM＝13﹣6+2＝9（m），QM＝4+8＝12（m），∠PMQ＝90°， ∴PQ15（m）， ∴P、Q两点之间的距离为15m． 故答案为：15． 13．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意得AC＝8dm，BC＝6dm，∠ACB＝90°， ∴AB10（dm）， ∴AB+AC＝10+8＝18（dm）， 答：绳子的总长度为18dm； （2）如图， 根据题意得∠ADB＝90°，AD＝8dm，CD＝7dm，AB＝（10+7）dm， ∴15（dm）， ∴BE＝BD﹣DE＝15﹣6＝9（dm）， 答：滑块B向左滑动的距离为9dm． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）若点P运动到BC的中点时，t的值是 　2　 ； （2）4秒内，若BP＝AP，求BP的长； （3）当△ABP为直角三角形时，求t的值． 【答案】（1）2； （2）cm； （3）t＝4或t． 【解答】解：（1）在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm， ∴根据勾股定理可得：BC8（cm）， 当点P运动到BC的中点时，BPBC＝4cm， ∴t＝4÷2＝2（s）， 故答案为：2； （2）当点P到达点C时，t＝8÷2＝4（s）， ∴4秒内，点P在线段BC上，连接AP，如图1， ∵BP＝AP＝2tcm，BC＝8cm， ∴PC＝（8﹣2t）cm， 根据勾股定理可得：PC2+AC2＝AP2，即（8﹣2t）2+62＝（2t）2， 解得：t， ∴BP＝2（cm）； （3）①当∠APB＝90° 时，点P和点C重合，t＝8÷2＝4（s）； ②当∠BAP＝90°时，点P在线段BC延长线上，如图2， ∵BP＝2tcm，BC＝8cm， ∴PC＝（2t﹣8）cm， 在Rt△ACP中，根据勾股定理可得：AP2＝AC2+PC2＝62+（2t﹣8）2， 在Rt△ABP中，根据勾股定理可得：AP2＝BP2﹣AB2＝（2t）2﹣102， 362+（2t﹣8）2＝（2t）2﹣102， 解得：t， 综上：t＝4或t． 15．我们发现可以在正方形网格中构造图形解决一些数学问题． 例如：如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），构造△ABC，点A，B，C都在格点上，比较与的大小． 解：由勾股定理，得，，BC＝1． 在△ABC中，AB+BC＞AC，∴． 请仿照上述方法，在图2中构造图形，比较与的大小． 【答案】． 【解答】解：构造△DEF，如图2所示； 由勾股定理，得：，，． 在△DEF中，DE+EF＞DF， ∴． 16．勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（　　） A．120 B．110 C．100 D．90 【答案】B 【解答】解：延长AB交KL于点O，延长AC交LM于点P，如图2所示： 则四边形AOLP是矩形， ∴∠BOF＝∠BAC＝90°， ∵四边形BCGF是正方形， ∴BC＝BF，∠CBF＝90°， ∴∠ABC+∠OBF＝90°， 又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°， ∴∠OBF＝∠ACB， 在△OBF和△ACB中， ， ∴△OBF≌△ACB（AAS）， ∴AC＝OB， 同理：△ACB≌△PGC（AAS）， ∴PC＝AB， ∴AB+OB＝PC+AC， 即OA＝AP， ∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+OB＝AB+AC＝3+4＝7， ∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11， ∴长方形LMJK的面积为：10×11＝110， 故选：B． 17．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则EF的长为（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b， ∵每一个直角三角形的面积为：ab8＝4， 从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和， ∴， ∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9， ∴a﹣b＝3， ∴EF． 故选：C． 18．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“最美弦图”（如图1），图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝19，则S2的值是　　 ． 【答案】 【解答】解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y， ∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝19， ∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1+S2+S3＝3x+12y＝19，故3x+12y＝19， x+4y， 所以S2＝x+4y． 故答案为：． 19．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理a2+b2＝c2． （1）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若a＝4，b＝6，则空白部分的面积为 　28　 ． （2）如图3，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处．若AD＝5，AB＝3，求EF的长． 【答案】（1）28； （2）． 【解答】解：（1）空白部分的面积＝边长为c的正方形的面积﹣2个直角三角形的面积， ∵a＝4，b＝6， ∴空白部分的面积； 故答案为：28； （2）∵长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处． ∴AF＝AD＝5，在Rt△ABF中，AF＝5，AB＝3， 由勾股定理得：， ∴CF＝BC﹣BF＝AD﹣BF＝5﹣4＝1， 设EF＝x，则DE＝EF＝x，CE＝CD﹣DE＝3﹣x， 在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2， ∴x2＝（3﹣x）2+12， 解得：， 即． 20．同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ （1）直接填空：如图①，若a＝1，b＝3，则c＝　　 ；若a+b＝4，c＝3，则直角三角形的面积是　　 ； （2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明a2+b2＝c2； （3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝CD＝8，BC＝AD＝10，求EF的长． 【答案】（1），； （2）图②的面积， 又∵图②的面积， ∴， ∴a2+2ab+b2＝ab+ab+c2 ∴a2+b2＝c2； （3）5． 【解答】（1）解：根据勾股定理得，， ∵a+b＝4，c＝3， ∴， 故答案为：，； （2）证明：图②的面积， 又∵图②的面积， ∴， ∴a2+2ab+b2＝ab+ab+c2 ∴a2+b2＝c2； （3）解：由折叠的性质得：AF＝AD＝10，DE＝FE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，∠B＝∠C＝90°， 在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即82+BF2＝102， 解得：BF＝6， ∵BC＝10， ∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4， 设EF＝x，则DE＝x， ∴EC＝DC﹣DE＝8﹣x， 在Rt△ECF中，EC2+CF2＝EF2， 即（8﹣x）2+42＝x2， 解得：x＝5， ∴EF＝5． 21．（1）如图①，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形（中间空白部分也是正方形、已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上．老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积证明了勾股定理，请证明a2+b2＝c2． （2）现将图①中的两个直角三角形向内翻折，得到图②．若a＝6，b＝8，则空白部分的面积为 　52　 ． （3）如图③，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，直角三角形的直角边分别是3和2.5，小贤将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 　38　 ； （4）如图④，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作三个正方形ABED和正方形ACHI，并将得到的图形放入矩形，点D，E、F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，若矩形KLMJ的面积为4．BC＝1，则△ABC的面积为 　　 ． 【答案】（1）∵大的正方形的面积可以表示为（a+b）2，大的正方形的面积又可以表示为c2+4ab， ∴c2+2ab＝a2+b2+2ab， ∴a2+b2＝c2； （2）52； （3）38； （4）． 【解答】（1）证明：∵大的正方形的面积可以表示为（a+b）2，大的正方形的面积又可以表示为c2+4ab， ∴c2+2ab＝a2+b2+2ab， ∴a2+b2＝c2； （2）解：则空白部分的面积＝边长为c的正方形的面积﹣2个直角三角形的面积＝c2﹣2ab， ∵a＝6，b＝8， ∴空白部分的面积＝62+82﹣26×8＝52， 故答案为：52； （3）解：如图③， 由题意知，外延的4部分全等，且 AD＝AC＝3， ∴CD＝6， ∴，∴这个风车的外围周长是4×（BD+AD）＝4×（6.5+3）＝38， 故答案为：38； （4）解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P， 则四边形AOLP是正方形， 设AB＝a， ∵∠BAC＝90°，BC＝1， ∴， ∴， ．，． ∴KL＝2a，LM＝2AC+AB＝2a， ∴矩形KLMJ的面积＝KL•ML＝（2a）（2a）＝4， ∴a或， ∴AB或， 当AB时，AC，当AB时，AC， ∴S△ABC． 故答案为：． 22．如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（　　） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 【答案】A 【解答】解：∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴AB＝6米，（米）， ∴（米）， 故雕刻在石柱上的巨龙至少为10×2＝20（米）， 故选：A． 23．如图，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A+∠B＝90°，AB＝5km，BC＝4km．若把隧道AC凿通需要15天，则每天凿隧道的长度为（　　） A．0.1km B．0.2km C．2km D．5km 【答案】B 【解答】解：∵∠A+∠B＝90°， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，AB＝5km，BC＝4km， ∴3（km）， ∴每天凿隧道的长度为3÷15＝0.2km． 故选：B． 24．学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离AB＝5米（如图2），则旗杆的高度BC为（　　） A．10米 B．11米 C．12米 D．13米 【答案】C 【解答】解：（1）设旗杆的高度BC为x米，则绳子的长度为（x+1）米， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+52＝（x+1）2， 解得：x＝12， 答：旗杆的高度BC为12米， 故选：C． 25．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中，AC4（米）， 故可得地毯长度＝AC+BC＝7（米）， 故选：C． 26．如图所示，一棵树被风刮断了，树顶落在离树根12m处，折断处的高度AB为5m，则这棵树折断前高　18　 m． 【答案】18． 【解答】解：根据题意得AB＝5m，BC＝12m， 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2， ∴， ∴13+5＝18（m）， ∴这棵树折断前高为18m． 故答案为：18． 27．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 　9　 米． 【答案】9 【解答】解：在Rt△ABC中： ∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米， ∴AB15（米）， ∵CD＝10（米）， ∴AD6（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米）， 答：船向岸边移动了9米， 故答案为：9． 28．如图，树根下有一个蛇洞，树高15m，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去，如果鹰与蛇的速度相等且鹰与蛇的路线都是直线段，则鹰应向距离树根　20　 米处扑击才能恰好抓到蛇． 【答案】20． 【解答】解：如图，设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得DB＝AB， 设CB的长为xm，则BC＝15×3﹣x， ∴BD2＝BC2+CD2， 则x2＝（15×3﹣x）2+152， 解得x＝25， ∴BC＝45﹣25＝20（m）， ∴鹰向离树根20m的地方扑击才能恰好抓到蛇， 故答案为：20． 29．为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：28cm，30cm，34cm，42cm，48cm，则其中有　3　 款扫地机可以购买． 【答案】3 【解答】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C， 则AC＝108﹣80＝28（cm），BC＝80﹣59＝21（cm）， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2， 即282+212＝AB2， ∴AB＝35（cm）， ∵扫地机能从角落自由进出， ∴扫地机的直径不大于AB长， ∴小洪可以购买的扫地机尺寸直径可以为：28cm，30cm，34cm，共3款． 故答案为：3． 30．若将15只空油桶（每只油桶底面的直径均为2m）堆在一起，并且最下面的个数是5只，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码高为 　（42）　 m（结果保留根号）． 【答案】（42）． 【解答】解：由题意得：A、B、C是三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是4×2＝8（m），AD为等边△ABC的高， ∴AB＝BC＝8m，BD＝CDBC8＝4（m）， 在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD4（m）， ∴遮雨棚起码高为：（42）m， 故答案为：（42）． 31．如图，将一根长为18cm的牙刷放置在底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形牙刷筒中，则牙刷露在筒外的长度最小值为 　5　 cm． 【答案】5． 【解答】解：如图，AB为底面直径，BC为高，当牙刷AD如图放置时露在筒外的长度最小， ∵AB＝5，BC＝12， ∴， ∴CD＝AD﹣AC＝18﹣13＝5， 即牙刷露在筒外的长度最小5cm， 故答案为：5． 32．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高5米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米． （1）求B处与地面的距离； （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 【答案】（1）B处与地面的距离是25米； （2）消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为8米． 【解答】解：（1）在Rt△OAB中， ∵AB＝25米，OA＝15米，OE＝5米， ∴OB20（米）， ∴BE＝OB+OE＝20+5＝25（米）， 答：B处与地面的距离是25米； （2）由题意得BD＝4米， ∵CD＝25米，OD＝OB+BD＝20+4＝24（米）， ∴OC7（米）， ∴AC＝OA﹣OC＝15﹣7＝8（米）． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为8米． 33．如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）连接AC，判断△ADC的形状； （3）求这块空地的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°． 在Rt△ABE中， ∵AB＝15m，AE＝12m， ∴． ∵E是BC的中点， ∴BC＝2BE＝18m． （2）∵AE⊥BC，E是BC的中点， ∴AC＝AB＝15m． ∵AD＝17m，CD＝8m， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴△ADC是直角三角形． （3）由（2）可知，△ADC是直角三角形，AC＝15m， ∴， 由（1）可知，BC＝18m， ∴ ∴这块空地得面积为：． 34．小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由勾股定理得，CD20（米）， ∴CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米）； （2）如图，由勾股定理得， BF17（米）， 25﹣17＝8（米）， ∴他应该往回收线8米． 35．综合与实践 （1）如图1，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝24千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为 　8　 千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，求AP的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（0＜x＜16）的最小值为 　20　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，连接CD，过点C作CE⊥AD于点E， 则CE＝AB＝40千米，DE＝AD﹣BC＝24﹣16＝8（千米）， ∴CD8（千米）， 故答案为：8； （2）如上图所示．设AP＝x 千米，则 BP＝（40﹣x）千米， 在Rt△ADP 中，DP2＝AP2+AD2＝x2+242， 在Rt△BPC 中，PC2＝BP2+BC2＝（40﹣x）2+162， ∵PC＝PD， ∴x2+242＝（40﹣x）2+162， 解得x＝16， 即AP＝16千米． （3）如图，作点C关于AB的对称点F，连接DF，交AB于点P，连接PC，BF，过点F作EF⊥AD交DA的延长线于点E， 则DF的长就是代数式的最小值， 设PB＝x，则AP＝16﹣x， 最小值20， ∴代数式的最小值为20． 故答案为：20． 36．如图，一架10米长的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙BO＝6米． （1）此时梯子顶端A离地面多少米？ （2）设梯子顶端到水平地面的距离为m米，底端到垂直墙面的距离为n米．若，根据经验，可知当1.7＜a＜2.7时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子顶端A下滑3米到C处，请问这时使用是否安全？ 【答案】（1）8米； （2）这时使用是否安全，理由见解答过程． 【解答】解：（1）依题意得：∠AOB＝90°，AB＝10米，BO＝6米， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AO8（米）． 答：此时梯子顶端离地面8米． （2）这时使用是否安全，理由如下： 由（1）可知：AO＝8米， ∵梯子顶端A下滑了3米到C处， ∴梯子顶端到水平地面的距离CO＝8﹣3＝5（米）， 在Rt△COD中，CD＝AB＝10米， 由勾股定理得：DO（米）， 此时梯子顶端到水平地面的距离为m＝5米，底端到垂直墙面的距离为n米， ∴a1.7， ∴a不在1.7＜a＜2.7的安全范围内， ∴这时使用不安全． 37．如图1所示的遮阳伞，其示意图如图2，伞柄AP垂直于水平地面，伞圈D能沿着伞柄AP滑动，伞骨AB＝AC＝55cm，E，F分别是伞骨上两个定点．当伞完全撑开后，点B，D，C在同一条直线上且平行于地面，此时AD＝33cm．两个身体宽度40cm的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔10cm，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图2 ∵伞柄AP垂直于水平地面，伞骨AB＝AC＝55cm， ∴AP平分∠BAC， ∴∠BAP＝∠CAP， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， ∴∠ADB＝∠ADC，BD＝CD， ∵点B，D，C在同一条直线上， ∴∠BDC＝180°． ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ADB中：AB＝55cm，AD＝33cm， ∴（cm）， ∴BC＝BD+CD＝2BD＝2×44＝88（cm）， ∵40×2+10＝90＞88． ∴他们会被垂直滴下的雨水淋到． 38．如图，孙师傅在三角形铁片ABC中剪下△ABD，且∠ADB＝90°，AD＝9cm，BD＝12cm． （1）求AB的长； （2）若BC＝36cm，AC＝39cm，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）AB的长为15cm； （2）图中阴影部分的面积为216cm2． 【解答】解：（1）∵∠ADB＝90°，AD＝9cm，BD＝12cm， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：． ∴AB的长为15cm； （2）∵AB2＝152＝225，BC2＝362＝1296，AC2＝392＝1521， ∴AB2+BC2＝1521， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°， ∴（cm2）， 即图中阴影部分的面积为216cm2． 学科网（北京）股份有限公司 $