1.1 探索勾股定理（暑假预科讲义）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 1.1探究勾股定理 知识归纳与题型总结 考点01 勾股定理 1. 定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角 边b叫做股，斜边c叫做弦. 考向01 用勾股定理解三角形 【例1】在中，，若，则的长为（    ） A． B．2 C． D．2.5 【答案】A 【详解】解：∵在中，， ∴． 考向02 以直角三角形三边为边长的图形面积 【例2】如图，的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（   ） A．8 B．64 C．7 D．49 【答案】A 【详解】解：由题意，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 考向03 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【例3】 在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵是直角三角形，是斜边，且， ∴． 【对点1】《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》有一题的大意是：如图，假设推开双门（和），门边缘点，距门槛为1尺，且双门间隙为2寸，则门宽是____尺．（1尺10寸） 【答案】 【分析】取的中点，过点作的垂线，设寸，根据题意，可得寸，寸，再根据勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，过点作的垂线，垂足为， 设寸， 由题可知，，尺寸，寸， 寸，寸， 寸， 在中，， ， 解得， 寸尺， 则门宽是尺． 【对点2】如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形，的面积分别是，，则最大正方形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形A、B、C的边长为、、，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：设正方形A、B、C的边长为、、， 由题意可得，，， 由勾股定理可得，， ∴正方形C的面积为． 【对点3】如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 考点02 勾股定理的验证 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.用两种方式表示图形面积（算两次》，根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. 拼图法验证勾股定理的一般步骤： （1）拼出图形 直角梯形（3个直角三角形） （2）用两种方式表示图形面积 ， （3）根据面积相同得到等量关系 （4）恒等变形 （5）推导出勾股定理 考向01 利用勾股定理证明线段平方关系 【例1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8 【答案】A 【分析】根据勾股数的定义，验证三个正整数是否满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，即可得到答案． 【详解】解：勾股数需满足三个正整数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方， A选项 ∵ ∴ 这组数是勾股数，符合题意； B选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意； C选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意； D选项 ∵ ，， ∴ 这组数不是勾股数，不符合题意． 考向02 勾股定理的证明方法 【例2】下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、边长为正方形的面积边长为正方形的面积2个长为，宽为的长方形的面积大正方形的面积， ，属于完全平方公式，不能用来证明勾股定理，符合题意； 、三个直角三角形的面积和梯形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意； 、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意； 、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意． 【对点1】如图，是的边上的高．分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．则它们之间存在的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理，得，结合正方形的面积求解即可； 【详解】解：因为是的边上的高， 所以， 所以， 根据正方形的面积，得， 故． 故． 【对点2】图1所示的图形在数学中占有重要地位，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票（如图2），也用到了这个图形，这个图形之所以被如此重视，是因为它蕴含了一个重要的数学定理，这个定理是    （       ） A．勾股定理 B．平行线的判定定理 C．平行线的性质定理 D．三角形内角和定理 【答案】A 【分析】利用大正方形的面积等于另外两个小正方形的面积的和，以及大正方形的面积等于边长的平方可推导出勾股定理． 【详解】解：由图形可知，利用大正方形的面积等于另外两个小正方形的面积的和，以及大正方形的面积等于边长的平方可推导出勾股定理， ∴利用这个图形证明的重要数学定理是勾股定理． 考点03 勾股定理的应用 利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的问题，主要应用如下： （1)已知直角三角形的任意两边长，求第三边长； （2)已知直角三角形的任意一边长，确定另外两边长的关系； （3)解决包含平方关系的几何问题； （4)构造方程计算有关线段的长度问题，解决生产生活中的一些实际问题. 考向01 以弦图为背景的计算题 【例1】如图，平平同学从刘徽设计的“青朱出入图”出发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．，，为剪痕与原正方形边的交点，已知，．那么正方形的边长为_______． 【答案】 【分析】由全等三角形的性质及正方形的性质可得出，；由勾股定理得出，设，解方程，得出，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴正方形的边长是． 考向02 用勾股定理构造图形解决问题 【例2】如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 【答案】6 【分析】根据折叠的性质可得，，由的周长及的长可求出的长，设，则，在中利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点， ， ， 的周长为12， ， ， ， ，即， 设，则，， 在中，， 由勾股定理得 ∴，解得：， ． 考向03 求旗杆高度 【例3】如图所示，小黔在放风筝，已知，，，若要使风筝沿方向下降，则他应该往回收线_____． 【答案】2 【分析】根据勾股定理解题即可． 【详解】解：如图，有， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即他应该收回线． 考向04 求小鸟飞行距离 【例4】南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（    ） A．5米 B．米 C．6米 D．7米 【答案】A 【详解】解：根据题意得，点与点之间的距离是（米）． 考向05 求大树折断前的高度 【例5】《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，若设折断处离地面的高度为尺，则根据勾股定理，可列方程为：______． 【答案】 【分析】根据勾股定理建立方程即可求解. 【详解】解：设折断处离地面尺， 根据题意可得：. 【对点1】学习了勾股定理后，小明将如图所示的“赵爽弦图”中的四个全等直角三角形与中间的小正方形恰好拼成如图所示的图形．若图中大正方形的边长为，则图中点与点之间的距离为______． 【答案】 【分析】设直角三角形的较长直角边长为，较短直角边长为，则中间的小正方形长度为，根据图得到 ，即得，再利用勾股定理可得，即得，进而根据图即可求解． 【详解】解：设直角三角形的较长直角边长为，较短直角边长为，则中间的小正方形长度为， 由图可得，小正方形的边长为， ∴ ， ∴， ∵若图中大正方形的边长为， ∴， ∴ ， 解得， ∴， ∴， ∴图中点与点之间的距离为． 【对点2】如图是长、宽、高分别是，，的长方体木箱，一根长的木棒______（填“能”或“不能”）完全放进这个长方体木箱． 【答案】不能 【分析】根据勾股定理求出这个长方体木箱能容纳的最大长度，即可解答． 【详解】解：这个长方体木箱能容纳的最大长度为， ∵，， ∴， ∴一根长的木棒不能完全放进这个长方体木箱． 【对点3】如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条钢索，若地面钢索固定点到电线杆底部的距离为，求钢索的长度． 【答案】钢索的长度为 【分析】本题是勾股定理的实际应用，电线杆垂直地面，可构成直角三角形，已知两条直角边的长度，利用勾股定理即可求出钢索的长度． 【详解】解：由题意得， 钢索的长度为 答：钢索的长度为． 【对点4】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 【答案】 10 【分析】先求出两棵树的高度差，再结合两树的水平距离构造直角三角形，最后用勾股定理求出树梢间的直线距离，即小鸟飞行的最短距离． 【详解】解：两棵树的高度差为（米） 两树水平距离为8米，根据勾股定理，小鸟飞行的最短距离为: （米）. 故答案为：10． 【对点5】如图，一棵大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端落地点距树底端的距离为，则这棵大树在折断前的高度为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用树垂直于地面，形成，因此用勾股定理结合已知条件求出长度，再用长度加上长度即为大树的高度． 【详解】解：∵树折断部分与未断部分和地面构成了直角三角形，且，， ∴， ∴这棵树原来的高度为． 一、选择题 1．中，，，，则（     ） A．10 B．14 C．12 D．5 【答案】A 【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接利用勾股定理计算斜边长度即可． 【详解】解：在中，，， 为斜边，由勾股定理得， ，， ， 边长为正数， ． 2．以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积如图所示，则为（  ） A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据正方形的面积计算，，再根据勾股定理计算即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ， 的值为6， 3．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】过点作于，可得四边形是矩形，利用勾股定理求解即可. 【详解】解：过点作于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵（米）， ∴（米）. 4．如图是一块正方形草地，在边上取定一个点E，经测量知，．则这块草地的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形得到，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即这块草地的面积是． 5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式，代数式的整体代入求值等知识点． 设八个全等的直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为，得到正方形的面积，根据图形中的几何关系利用完全平方公式得到，，整体代入得到． 【详解】解：设八个全等的直角三角形中每个小直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， ， 正方形的面积为， 正方形的面积为， ． 6．如图，波平如镜一湖面，尺高处出红莲．亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边．离开原处 尺远，花贴湖面像睡莲．请君动脑想一想，湖水在此深（     ）尺 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设水深尺，则，利用勾股定理列方程即可求解. 【详解】解：设水深尺， 则， ∵在中，， ∴， 解得：． 7．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是（） A．18 B．19 C．26 D．34 【答案】A 【分析】连接对角线。因为和，所以和都是直角三角形，且它们共用斜边，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。利用这个定理，我们可以找到与四边形各边平方的关系，进而求出。 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意，，，， 在中，，根据勾股定理有： ∴ 在中，，根据勾股定理有： ∴ ∴ ∴ 8．若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为（   ） A．5或 B．1 C．7 D．25 【答案】A 【分析】分两种情况利用勾股定理计算第三边长即可． 【详解】解：当长为的边是斜边，长为的边是直角边时， 由勾股定理可得：第三边长为； 当长为和的边都是直角边，第三边为斜边时， 由勾股定理得：第三边长为； 综上所述，第三边长为或． 9．如图，在等腰直角三角形中，，是内部一点，且满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点P作于点Q，过点P作，作点B关于的对称点，连接，，且交于点，先求出，根据三角形面积公式求出，得出点P到直线的距离为1，说明点P在直线上，根据轴对称可得：，，，从而得出，根据两点之间线段最短，得出当C、P、在同一直线上时，最小，即最小，求出最小值即可． 【详解】解：过点P作于点Q，过点P作，作点B关于的对称点，连接，，且交于点，如图所示： ∵在等腰直角三角形中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即点P到直线的距离为1， ∵，且过点P， ∴点P在直线上， 根据轴对称可得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当C、P、在同一直线上时，最小，即最小， ∴当点P在点处时，最小，且最小值为的长度， 根据勾股定理得：， ∴最小值为． 10．如图，点，分别在的边，上，，垂足为点，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，则，，用勾股定理解和，联立得出，再用勾股定理解即可． 【详解】解：设，，则，， ， ， 在中，， ，即， 在中，， ，即， 得：，即， 在中，． 二、填空题 11．如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为____． 【答案】3 【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理得，进而可将阴影部分的面积求出． 【详解】解：由题意得：， 在中，， ， ． 12．已知的两条直角边分别为，斜边为，若，则的面积为______． 【答案】8 【分析】先利用勾股定理得到的值，再结合完全平方公式变形求出，最后根据直角三角形面积公式计算得到结果 【详解】解：∵中，a，b为直角边，c为斜边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由完全平方公式展开得， ∴， 整理得， ∴的面积为 13．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】5 【分析】由勾股定理可得，由题意可得，，，由此求出，结合图形即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理可得：， 由题意可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由图形可得：图中阴影部分的面积为． 14．如图，在中，，过点作直线于点，分别是直线、边上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过作，使，连接，可证，得到，即得，可知当点共线时，的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，过作，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴的值最小为． 15．如图，在中，于E，D是的中点，若，的面积是3，则面积的最小值是______． 【答案】1 【分析】设，由，在中，根据完全平方公式，得到，将，化简成的代数式，结合，得到面积的最小值． 【详解】解：设， ， 是边上的高，， 在中，， 又， ，即， ，即， 是的中点， ， ，即； ， ， ， ， 面积的最小值是1． 三、解答题 16．为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度，最后测量放风筝的小康同学的身高米． 【数据应用】已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． (1)若米，求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升到点的位置，此时测得米，且，求风筝上升的高度多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为米 (2)风筝上升的高度米 【分析】（1）根据题意可得米，，再由勾股定理求出的长即可得到答案； （2）设米，则米，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，米，， 在中，由勾股定理得米， 米， 此时风筝的垂直高度为米； （2）解：设米，则米， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 风筝上升的高度米． 17．在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析． 【分析】（1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解；（2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 过点作于点，则，，， 在中，， ； （2）不能成功，理由如下：假设能上升，如图所示， 延长至点，连接，则， ， 在中，， ，余线仅剩， ， 不能上升，即不能成功． 18．如图1是一个底面为直角三角形的直三棱柱包装盒，，其表面展开图如图2所示． (1)根据表面展开图填写实物尺寸：侧棱_______，底面斜边_______． (2)求直三棱柱的全面积． 【答案】(1)5；5 (2) 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）两个三角形加一个矩形的面积即可求得全面积． 【详解】（1）解：由题可得：， ∵，, ∴， （2）解：三角形的面积为：， 矩形的长为：， 则矩形的面积为：, 则直三棱柱的全面积为：． 19．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【模型拓展】 (3)根据以上学习，解决问题：已知正数x满足 ，求x的值． 【答案】(1)13 (2) (3) 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1）解：，，， 根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值．如图，当三点共线时，作，， ∴， ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如图，由 ， ， ， ∴ 的最小值是； （3）解：构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 20．漫步绿道，悦享人生 社区准备在矩形空地内设计如图①所示的环形绿道，绿道由两个半圆形道路和两条平行直道组成，其中一条直道在边上．已知，． (1)绿道可设计的最大周长为____________； (2)如图②，因国防建设需要，场地一角区域不参与设计，已知，，求此时绿道可设计的最大周长．（画出示意图，并说明理由） 【答案】(1)； (2)，示意图见详解． 【分析】（1）由题意得出半圆的直径最大为，再通过半圆周长加上直道长即可； （2）延长，，相交于点，设右半圆的半径为，半圆与，相切于点，，连接，，，设与相交于点，过点作，垂足为点，得出，证得，求出，，在直角中通过求出，再求出，通过求出，从而求出绿道周长，得出绿道周长随半径的增加而增大，得出当时，取得最大值即可． 【详解】（1）解：，， 两个半圆的直径最大为， 绿道可设计的最大周长为； （2）解：示意图： 理由：延长，，相交于点， 设右半圆的半径为，半圆与，相切于点，，连接，，， 平分， 设与相交于点，过点作，垂足为点， ， ，，， ， ，， ，， 在直角中，，即，解得， ， ，， ， ，即， ， 直道， 绿道周长， ， 绿道周长随半径的增加而增大， 时，取得最大值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 1.1探究勾股定理知识归纳与题型总结 思 勾股定理 一定义一a2+b2=c2 拼出图形 用两种方式表示图形面积 探索购股定理 勾股定理的验证 拼图法验证勾股定理的一股步骤 根据面积相同得到等量关系 恒等变形 推导出勾股定理 已知直角三角形的任意两边长，求第三边长 已知直角三角形的任意一边长，确定男外两边长的关系 勾股定理的应用 解决包含平方关系的几何问题 构造方程计算有关线段的长度问题，解决生产生活中的一些实际问题 考点01勾股定理 考点梳理 1. 定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用α，b和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2 (股) 弦) 如图所示，△ABC是直角三角形，其中较短的直角边α叫做勾，较长的直 角 C a(勾) B 边b叫做股，斜边c叫做弦. 典例引领 1/14 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 考向01 用勾股定理解三角形 【例1】在ABC中，∠A=90°，若AB=1,BC=2,则AC的长为() A.3 B.2 C.5 D.2.5 考向02以直角三角形三边为边长的图形面积 【例2】如图，Rt△ABC的两边往外作的正方形，其面积分别为S,S,若S=100, S2=36,则BC边长为() A.8 B.64 C.7 D.49 考向03利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【例3】在直角三角形ABC中，斜边AB=1,则AC2+BC2的值是() A.1 B.2 C.3 D.4 一对点提升 【对点1】《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实.其第九章 《勾股》有一题的大意是：如图，假设推开双门(AD和BC),门边缘点D,C距门槛 AB为1尺，且双门间隙CD为2寸，则门宽AB是尺.(1尺=10寸) B 设0A=x寸， A EO 【对点2】如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形A,B的面积 分别是16,9，则最大正方形C的面积是() 2/14 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 B A.11 B.25 C.35 D.40 【对点3】如图，在ABC中，AB=13,AC=20,AD⊥BC于点D,E为AD上任意一 点，则CD2-BD的结果为() B D A.7 B.33 C.231 D.569 考点02勾股定理的验证 考点梳理 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为 手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的用两种方式表示图形面积（算两次》，根据 面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法 拼图法验证勾股定理的一般步骤： (1)拼出图形 直角梯形(3个直角三角形) (2)用两种方式表示图形 (a+b)×(a+b) 面积 号ab+c2+ab (3)根据面积相同得到等 b 量关系 (a+b)2=支c2+b (4)恒等变形 a2+b2+2ab=c2+2ab (5)推导出勾股定理 a2+b2=c2 典例引领 考向01 利用勾股定理证明线段平方关系 【例1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀 3/14 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是() A.3,4,5 B.4,5,6 C.5,6,7 D.6,7,8 考向02勾股定理的证明方法 【例2】下列选项中，不能用来证明勾股定理的是() b 对点提升 【对点1】如图，AD是ABC的边BC上的高.分别以线段AB,AC,BD,CD为边向外 作正方形，正方形的面积分别为S,S2,S,S4.则它们之间存在的关系是() S B S A.S,+S2=S3+S4 B.S+S=S2+S3 C.S+S3=S2+Sa D.S1+S3+S4=S2 【对点2】图1所示的图形在数学中占有重要地位，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票 (如图2)，也用到了这个图形，这个图形之所以被如此重视，是因为它蕴含了一个重要的 数学定理，这个定理是() 4/14 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 E4-4PX30 图1 图2 A.勾股定理 B.平行线的判定定理 C.平行线的性质定理 D.三角形内角和定理 考点03勾股定理的应用 考点梳理 利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的问题，主要应用如下： (1)己知直角三角形的任意两边长，求第三边长； (2)已知直角三角形的任意一边长，确定另外两边长的关系： (3)解决包含平方关系的几何问题； (4)构造方程计算有关线段的长度问题，解决生产生活中的一些实际问题 典例引领 考向01 以弦图为背景的计算题 【例1】如图，平平同学从刘徽设计的“青朱出入图”出发，将两个边长不等的正方形纸片 ABCD,GCEF剪拼成一个大正方形纸片BQPG.P,M,N为剪痕与原正方形边的交点， 已知AB=12,EN=3.那么正方形BQPG的边长为 G 青出 M/ A D ◇ 朱入 青入 考向02用勾股定理构造图形解决问题 【例2】如图，在ABC中，LACB=90°，将ABC的一部分折叠，点C落在边AB上的点 E处，折痕交BC于点D,测得BDE的周长为12，BE=4,则边AC= 5/14 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 B D 考向03求旗杆高度 【例3】如图所示，小黔在放风筝，己知BD=12m,BC=15m,BD⊥CE,若要使风筝沿 CD方向下降4m,则他应该往回收线m. O E ifhniia 考向04求小鸟飞行距离 【例4】南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演.5000架无人机通过高 精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面.在彩排期间，小 杨在平地上操控无人机，从点A处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点B处，如 图所示，则点A与点B之间的距离是() B 7777777777777777777777 A.5米 B.√米 C.6米 D.7米 考向05求大树折断前的高度 【例5】《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它莫定了中国传统数学的基本框架， 其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？” 题意是：一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺，若 设折断处离地面的高度为x尺，则根据勾股定理，可列方程为： 6/14 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 对点提升 【对点1】学习了勾股定理后，小明将如图1所示的“赵爽弦图”中的四个全等直角三角形与 中间的小正方形恰好拼成如图2所示的图形.若图1中大正方形的边长为5，则图2中点A与 点D之间的距离为 图1 图2 【对点2】如图是长、宽、高分别是50cm,40cm,30cm的长方体木箱，一根75cm长的木 棒 (填“能”或“不能”)完全放进这个长方体木箱. D A 小 30cm D C 40cm A 50cm B 【对点3】如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条钢索，若地面钢索固定点A到电线 杆底部B的距离为2m,求钢索的长度， 7777777 【对点4】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵 树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米. 7/14 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 10米 8米 4米 【对点5】如图，一棵大树在一次强台风中在距地面5m处折断，倒下后树顶端落地点A距 树底端B的距离为12m,则这棵大树在折断前的高度为() B A A.10m B.20m C.17m D.18m 能力提升 一、选择题 1.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,则AB=() A.10 B.14 C.12 D.5 2.以直角三角形的三边为边分别向外作正方形，三个正方形的面积如图所示，则A为() A 14 A.6 B.4 C.2 D.8 3.如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A,离地距离AB=1.6米，当人体进入感 应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高1.1米的学生CD刚走到离门间距CB=1.2米的 地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度AD为() 8/14 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 感应器1A B A.1.2米 B.1.3米 C.1.5米 D.2米 4.如图是一块正方形草地，在AB边上取定一个点E,经测量知EC=20m,BE=10m·则 这块草地的面积是() B A.200m2 B.300m2 C.400m2 D.500m2 5.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.如 图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形ABCD,正方形EFGH,正方形 MNKT的面积分别为S,S2,S.若正方形EFGH的边长为2，则S,+S2+S的值为(). D B A.6 B.8 C.12 D.16 6.如图，波平如镜一湖面，3尺高处出红莲.亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.离开原 处6尺远，花贴湖面像睡莲.请君动脑想一想，湖水在此深(）尺 A.3 C.3W5 D.3V5 9/14 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 7.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90°，分别以四边形ABCD的四条边为边， 向外作四个正方形，面积分别为S,S2,S,S4,若S,=8,S2=11,S=15,则S的值 是() S2 S S D C S4 A.18 B.19 C.26 D.34 8.若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为() A.5或√ B.1 C.7 D.25 9.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2√2，∠A=90°，P是ABC内部一点，且 满足S.=)S,则PB+PC的最小值为() 21 A B A.3√5 B.25 C.3W2 D.2√2 10.如图，点E,D分别在ABC的边AC,BC上，AD⊥BE,垂足为点F,AF=3DF, BF=3EF,AE=2V6,BD=4,则AB的长为() E D B A.4 B.5 c.6 D.8 二、填空题 11.如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若AB=√5，则图中 阴影部分的面积为。 10/14 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 12.己知Rt△ABC的两条直角边分别为a,b,斜边为C,若a+b=9,c=7,则ABC的面积 为 13.如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记 为S,S2,S,若S,+S2-S,=20,则图中阴影部分的面积为 B S3 S2 14.如图，在ABC中，AC=BC=√5，过点A作直线AD⊥BC于点D,E、F分别是直 线AD、边AC上的动点，且AE=CF,则BF+CE的最小值为· 15.如图，在ABC中，CE1AB于E,D是CE的中点，若BC=4,△ABD的面积是3， 则△ACD面积的最小值是一· 三、解答题 16,为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂 11/14 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实 验数据， 【采集数据】如图，利用皮尺测量水平距离BD=16米，然后根据手中剩余风筝线的长度得 出风筝线的长度BF,最后测量放风筝的小康同学的身高AB=1.6米. 777777 【数据应用】已知图中各点均在同一平面内，点C,F,D,E在同一直线上. (1)若BF=20米，求此时风筝的垂直高度EF (2)若站在点A不动，想把风筝沿着DC的方向从点F的位置上升到点C的位置，此时测得 CD=32米，且BF=CF,求风筝上升的高度CF多少米？ 17.在“欢乐周末.非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、 “迷”住了心.小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的 方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m;根据手中余线长度，计算出AC的长度 为17m;牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m.已知点A,B,C,D在同一平面内. A D (1)求风筝离地面的垂直高度CD; (2)在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m,请问能否成功？请 运用数学知识说明， 18.如图1是一个底面为直角三角形的直三棱柱包装盒，∠BAC=90°，其表面展开图如图 2所示. 12/14 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 单位：cm 图1 图2 (1)根据表面展开图填写实物尺寸：侧棱BE= cm,底面斜边BC= cm. (2)求直三棱柱的全面积， 19.【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后 面的问题 例：求代数式2+3+12-x)+2的最小值. 分析：√2+3和V12-x)+22是勾股定理的形式，√2+32是直角边分别是x和3的直角 三角形的斜边，、 12-x)+2是直角边分别是12-x和2的直角三角形的斜边，因此，我们 构造两个直角ABC和aDEF,并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角 ABC使点B和E重合（图2），这时CF=x+12-x=I2,AC=3,DF=2,问题就变成 “点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？"根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们 的最小值. 12-x B(E)12-x 图1 图2 图3 【模型应用】 (1)代数式 2+32+12-为°+2的最小值为 2 (2)变式训练：利用图3，求代数式 +16+8-x+46<x<8) 的最小值： 【模型拓展】 根据以上学习，解决问题：已知正数x满足52-2+22-x2=13,求x的值. 20.漫步绿道，悦享人生 13/14 暑季研思·八年级上册数学暑期培优专项讲 社区准备在矩形空地ABCD内设计如图①所示的环形绿道，绿道由两个半圆形道路和两条平 行直道组成，其中一条直道在边BC上.己知AB=80m,BC=160m. 0 (① D D ② (备用图) (1)绿道可设计的最大周长为 m (2)如图②，因国防建设需要，场地一角△DEF区域不参与设计，己知DE=40m, DF=30m,求此时绿道可设计的最大周长.（画出示意图，并说明理由） 14/14