4.1 函数 初中 同步讲义 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“函数”核心知识点，系统梳理常量与变量的概念、函数的定义、自变量取值范围的确定及函数图象的应用，构建从基础概念到实际问题解决的学习支架，帮助学生形成完整知识脉络。 资料通过题型分类、解题知识归纳及典例变式设计，以圆的周长、汽车行驶油量等实例，培养学生抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）和模型意识（数学语言）。课中辅助教师高效授课，课后助力学生强化练习，弥补知识盲点。

第4章 4.1 函数 内 容 导 航 题型1 常量与变量 题型2 函数的概念 题型3 函数自变量的取值范围 题型4 函数的图象 考 点 演 练 题型1 常量与变量 解｜题｜知｜识 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 【典例1】半径是r的圆的周长为C＝2πr，下列说法正确的是（　　） A．C，r是变量，2π是常量 B．C是变量，2，r是常量 C．C是变量，π，r是常量 D．C，π是变量，2是常量 题型2 函数的概念 解｜题｜知｜识 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【典例1】下列选项中，y不是x函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列选项中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 题型3 函数自变量的取值范围 解｜题｜知｜识 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【典例1】在函数y中，自变量x的取值范围是 ． 题型4 函数的图象 解｜题｜知｜识 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 【典例1】如图，张师傅驾车从甲地到乙地，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示，汽车加油后还可行驶（　　） A．3小时 B．3.5小时 C．3.75小时 D．4小时 【变式1】在平面直角坐标系xOy中，若函数图象上任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）均满足（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，下列四个函数图象中，所有正确的函数图象的序号是（　　） A．① B．③ C．①③ D．②④ 【变式2】已知方程的解与下列选项中两个函数图象的交点相对应的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】一辆快车从实验中学开往锦绣中学，一辆慢车从锦绣中学开往实验中学，两车同时出发，设快车离锦绣中学的距离为y1（km），慢车离锦绣中学的距离为y2（km），行驶时间为x（h），两车之间的距离为s（km）．y1，y2与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中a＝3；②当x时，两车相遇；③当x时，两车相距60km；④当x或时，两车相距200km．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 过 关 验 收 1．A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；②甲出发4h后被乙追上；③甲比乙晚到；④甲车行驶8h或，甲，乙两车相距80km．其中错误的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下面的三个问题中都有两个变量： ①正方形的周长y与边长x； ②汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x； ③水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y与放水时间x． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小亮从学校骑车回家用的时间是（　　） A．37.2分钟 B．48分钟 C．30分钟 D．33分钟 4．某装满水的水池按一定的速度放掉水池的一半水后．停止放水并立即按一定的速度注水，水池注满后，停止注水，又立即按一定的速度放完水池的水．若水池的存水为v（立方米），放水或注水的时间为t（分钟），则v与t只能是（　　） A． B． C． D． 5．如果函数（k为常数）的图象经过点（﹣1，﹣2），那么y随着x的增大而　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 4.1 函数 内 容 导 航 题型1 常量与变量 题型2 函数的概念 题型3 函数自变量的取值范围 题型4 函数的图象 考 点 演 练 题型1 常量与变量 解｜题｜知｜识 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 【典例1】半径是r的圆的周长为C＝2πr，下列说法正确的是（　　） A．C，r是变量，2π是常量 B．C是变量，2，r是常量 C．C是变量，π，r是常量 D．C，π是变量，2是常量 【答案】A 【解答】解：∵常量是指始终不变的量，变量是指会发生变化的量． ∴圆的周长C和半径r是变量，2π是常量． 故选：A． 题型2 函数的概念 解｜题｜知｜识 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【典例1】下列选项中，y不是x函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、自变量x每取一个值，y都有唯一确定的值和它对应， ∴y是x函数，该选项不合题意； B、自变量x每取一个值，y有两个值和它对应， ∴y不是x函数，该选项符合题意； C、自变量x每取一个值，y都有唯一确定的值和它对应， ∴y是x函数，该选项不合题意； D、自变量x每取一个值，y都有唯一确定的值和它对应， ∴y是x函数，该选项不合题意； 故选：B． 【变式1】下列选项中，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据函数的定义，A中y不是x的函数，BCD中y是x的函数， ∴A符合题意，BCD不符合题意． 故选：A． 题型3 函数自变量的取值范围 解｜题｜知｜识 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【典例1】在函数y中，自变量x的取值范围是 x＞﹣3且x≠﹣2　 ． 【答案】x＞﹣3且x≠﹣2． 【解答】解：由题意得：3+x＞0且x+2≠0， 解得：x＞﹣3且x≠﹣2， 故答案为：x＞﹣3且x≠﹣2． 题型4 函数的图象 解｜题｜知｜识 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 【典例1】如图，张师傅驾车从甲地到乙地，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示，汽车加油后还可行驶（　　） A．3小时 B．3.5小时 C．3.75小时 D．4小时 【答案】C 【解答】解：根据函数图象求出汽车每小时的耗油量，再根据加油后的油量计算如下： 加油前行驶2小时，耗油25﹣9＝16（升）． ∴汽车每小时耗油量为16÷2＝8（升）． 加油后油箱中有油30升． ∴汽车加油后还可行驶的时间为30÷8＝3.75（小时）． 故选：C． 【变式1】在平面直角坐标系xOy中，若函数图象上任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）均满足（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，下列四个函数图象中，所有正确的函数图象的序号是（　　） A．① B．③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【解答】解：∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0， ∴（x1﹣x2）与（y1﹣y2）异号， 当x1﹣x2＞0时，y1﹣y2＜0； 当x1﹣x2＜0时，y1﹣y2＞0． ∴y随x的增大而减小， 故正确的函数图象的序号是①． 故选：A． 【变式2】已知方程的解与下列选项中两个函数图象的交点相对应的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由条件可得， 解得， ∴两个函数图象的交点坐标为（1，3）， ∴交点在第一象限且纵坐标大于横坐标，即A选项符合题意． 故选：A． 【变式3】一辆快车从实验中学开往锦绣中学，一辆慢车从锦绣中学开往实验中学，两车同时出发，设快车离锦绣中学的距离为y1（km），慢车离锦绣中学的距离为y2（km），行驶时间为x（h），两车之间的距离为s（km）．y1，y2与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中a＝3；②当x时，两车相遇；③当x时，两车相距60km；④当x或时，两车相距200km．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【解答】解：①当x＝3时，快车到达实验中学， ∴a＝3，故①正确； ②V快车，V慢车， 相遇时即100x+60x＝300， 解得：，故②正确； ③当时，快车行驶的路程为，慢车行驶的路程为， ∴两车相距300﹣150﹣90＝60km，故③正确； ④当两车相遇之前，相距200km，即100x+200+60x＝300， 解得：； 当两车相遇之后，相距200km，即100x+60x﹣200＝300， 解得：， ∴此时快车早已到达，故不合题意， ∴当时，两车相距200km，故④错误． 综上可知①②③正确． 故选：A． 过 关 验 收 1．A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法：①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h；②甲出发4h后被乙追上；③甲比乙晚到；④甲车行驶8h或，甲，乙两车相距80km．其中错误的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解答】解：①由图可得，甲车行驶的速度是60÷1＝60（km/h）， ∵甲先出发1h，乙出发3h后追上甲， ∴3（v乙﹣60）＝60， ∴v乙＝80km/h， 即乙车行驶的速度是80km/h，故①正确，不符合题意； ②∵当t＝1时，乙出发，当t＝4时，乙追上甲， ∴甲出发4h后被乙追上，故②正确，不符合题意； ③由图可得，当乙到达B地时，甲乙相距100km， ∴甲比乙晚到，故③正确，不符合题意； ④设甲车行驶th，甲，乙两车相距80km， 由图可得，当乙车在甲车前，且未到达B地时，则60t+80＝80（t﹣1）， 解得t＝8； 当乙车到达B地后时，60t+80＝640， 解得， ∴甲车行驶8h或，甲，乙两车相距80km，故④不正确，符合题意； 综上所述，错误的个数是1个． 故选：B． 2．下面的三个问题中都有两个变量： ①正方形的周长y与边长x； ②汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x； ③水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y与放水时间x． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【解答】解：正方形的周长y与边长x的关系式为y＝4x，故①符合题意； 汽车以30千米/时的速度行驶，它的路程y与时间x的关系式为y＝30x，故②符合题意； 水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y与放水时间d关系式为：水箱中的剩余水量＝水箱的水量﹣0.8x，故③不符合题意； 所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①②． 故选：A． 3．小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小亮从学校骑车回家用的时间是（　　） A．37.2分钟 B．48分钟 C．30分钟 D．33分钟 【答案】A 【解答】解：由图可得，去校时，上坡路的距离为36百米，所用时间为18分， ∴上坡速度＝36÷18＝2（百米/分）， 下坡路的距离是96﹣36＝60百米，所用时间为30﹣18＝12（分）， ∴下坡速度＝60÷12＝5（百米/分）； ∵去学校时的上坡回家时变为下坡、去学校时的下坡回家时变为上坡， ∴小亮从学校骑车回家用的时间是：60÷2+36÷5＝30+7.2＝37.2（分钟）． 故选：A． 4．某装满水的水池按一定的速度放掉水池的一半水后．停止放水并立即按一定的速度注水，水池注满后，停止注水，又立即按一定的速度放完水池的水．若水池的存水为v（立方米），放水或注水的时间为t（分钟），则v与t只能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意：装满水的水池按一定的速度放掉水池的一半水后．停止放水，排除B； 并立即按一定的速度注水，排除C； 水池注满后，停止注水，又立即按一定的速度放完水池的水，排除D． 分析可得：存水v的变化为A． 故选：A． 5．如果函数（k为常数）的图象经过点（﹣1，﹣2），那么y随着x的增大而　增大．　 ． 【答案】增大． 【解答】解：正比例函数的性质：当k＜0时，正比例函数自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小， 当k＞0时，正比例函数自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大； 根据题意代入点（﹣1，﹣2），得：y＝2x， ∴如果函数（k为常数）的图象经过点（﹣1，﹣2），y 随着x的增大而增大． 学科网（北京）股份有限公司 $