2.3 二次根式（一）——认识二次根式 暑假预科讲义 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 2.3二次根式（一）——认识二次根式 知识归纳与题型总结 考点01 二次根式的概念 1.定义：一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号，a叫做被开方数． 2.拓展：二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）． 考向01 二次根式的识别 【例1】下列式子中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义“形如的式子叫做二次根式”逐一判断选项即可． 【详解】解：A、当时，，无意义，不是二次根式，因此A不符合要求； B、是分数，不含二次根号，不是二次根式，因此B不符合要求； C、的根指数是2，被开方数，满足二次根式的定义，因此C符合要求； D、的根指数是3，属于三次根式，不是二次根式，因此D不符合要求． 考向02 求二次根式的值 【例2】当时，二次根式的值为______． 【答案】 【分析】将代入给定的二次根式，根据二次根式的运算规则计算即可得到结果． 【详解】解：把代入， 得． 考向03 求二次根式中的参数 【例3】已知是整数，则正整数的最小值为____________． 【答案】4 【详解】解：是正整数，是整数， 是完全平方数， ∵大于的最小完全平方数是， ∴， 解得． 【对点1】下列各式中，属于二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式要求被开方数是非负数，逐项判断即可． 【详解】解：A选项：，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：当时，无意义，不一定是二次根式，故B选项不符合题意； C选项：当时，无意义，不一定是二次根式，故C选项不符合题意； D选项：，是二次根式，故D选项符合题意． 【对点2】当时，二次根式的值是______． 【答案】 【详解】解：把代入二次根式，得 ． 【对点3】若是整数，则的值可以是_______（写出一个即可） 【答案】20（答案不唯一） 【分析】根据二次根式的定义，若为整数，则被开方数必须是非负的完全平方数，据此即可求出的一个符合条件的值． 【详解】解：是整数， 是非负的完全平方数， 设，其中为非负整数， 整理得， 取，得． 考点02 二次根式有无意义的条件 例如：因为，所以二次根式恒有意义． 考向01 二次根式有意义的条件 【例1】若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足非负要求， 即， 解不等式得． 【对点1】式子有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义，要求被开方数为非负数 ∴ 解不等式得． 考点03 二次根式的性质 1.二次根式具有双重非负性： 2.，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如． 3.即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如． 拓展：和的区别 运算结果 a的取值 任意实数 作用 ①用来去根号，化简二次根式； ②可用将任意一个非负实数写成一个数的平方的形式 ①用来去根号，化简二次根式； ②将根号外的非负因式平方后移到根号内. 例如：若,则= 考向01 利用二次根式的性质化简 【例1】将化成最简二次根式的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的化简，解题思路是先分解被开方数，分离出能开得尽方的完全平方因数，再利用二次根式的性质化简得到结果． 【详解】解：． 考向02 复合二次根式的化简 【例2】计算：_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 【对点1】如图所示，圆柱的底面圆的半径是，高为2，若一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的侧面爬行到C点，则蚂蚁爬行的最短路程是（结果保留根号）（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将侧面展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出． 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开， 根据题意得，，， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路程是． 【对点2】，像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如   ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________． 【答案】 【分析】观察题目给出的复合二次根式，构造完全平方的方法化简即可． 【详解】解：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 2.3二次根式（一）——认识二次根式 知识归纳与题型总结 考点01 二次根式的概念 1.定义：一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号，a叫做被开方数． 2.拓展：二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）． 考向01 二次根式的识别 【例1】下列式子中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 考向02 求二次根式的值 【例2】当时，二次根式的值为______． 考向03 求二次根式中的参数 【例3】已知是整数，则正整数的最小值为____________． 【对点1】下列各式中，属于二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【对点2】当时，二次根式的值是______． 【对点3】若是整数，则的值可以是_______（写出一个即可） 考点02 二次根式有无意义的条件 例如：因为，所以二次根式恒有意义． 考向01 二次根式有意义的条件 【例1】若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【对点1】式子有意义，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 考点03 二次根式的性质 1.二次根式具有双重非负性： 2.，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如． 3.即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如． 拓展：和的区别 运算结果 a的取值 任意实数 作用 ①用来去根号，化简二次根式； ②可用将任意一个非负实数写成一个数的平方的形式 ①用来去根号，化简二次根式； ②将根号外的非负因式平方后移到根号内. 例如：若,则= 考向01 利用二次根式的性质化简 【例1】将化成最简二次根式的结果是________． 考向02 复合二次根式的化简 【例2】计算：_______． 【对点1】如图所示，圆柱的底面圆的半径是，高为2，若一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的侧面爬行到C点，则蚂蚁爬行的最短路程是（结果保留根号）（     ） A． B． C． D． 【对点2】，像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如   ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $