5.2 二元一次方程组的解法 同步讲义 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

本讲义聚焦二元一次方程组的解法这一核心知识点，先通过题型1梳理二元一次方程的解（含整数解求法），再过渡到题型2系统讲解代入法和加减法的步骤，辅以解题知识总结与典例，构建从基础到应用的学习支架。 该资料亮点在于分层设计题型，从基础典例到变式拓展（如消元方法辨析、参数问题），融入新定义解法（轮换对称、整体代换）和实际应用（搭积木），培养抽象能力、推理意识和模型观念。课中辅助教师系统授课，课后通过多样化过关题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第5章 5.2 二元一次方程组的解法 内 容 导 航 题型1 解二元一次方程 题型2 解二元一次方程组 考 点 演 练 题型1 解二元一次方程 解｜题｜知｜识 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 【典例1】已知方程3x+4y＝6，用含x的式子表示y为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：方程3x+4y＝6移项得，4y＝6﹣3x， 两边同时除以4得，， 故选：C． 题型2 解二元一次方程组 解｜题｜知｜识 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 【典例1】二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：， ②﹣①得：x＝3， 将x＝3代入①得：y＝2， ∴原方程组的解为， 故选：B． 【变式1】解方程组时，下列消元方法不正确的是（　　） A．由（1）×3﹣（2）×2，消去a B．由（2）×2﹣（1），消去b C．由（1）+（2）×2，消去b D．由（2）得：b＝4﹣3a（3），把（3）代入（1）中消去b 【答案】C 【解答】解：由（1）×3﹣（2）×2得4b＝1，消去了a，故选项A正确； 由（2）×2﹣（1）得4a＝5，消去了b，故选项B正确； 由（1）+（2）×2得8a+4b＝11，无法消去b，故选项C错误； 由（2）得b＝4﹣3a（3），把（3）代入（1）中得2a+2（4﹣3a）＝3，能消去b，故选项D正确． 故选：C． 【变式2】已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式kx﹣y（k是常数）的值始终不变，则k的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：∵（a是常数）， ∴y＝﹣a﹣1， x＝a+3， 则kx﹣y＝（a+3）k﹣（﹣a﹣1）， ∴kx﹣y＝（k+1）a+3k+1， 故k的值为﹣1， 故选：A． 【变式3】若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2026，则k的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【解答】解：， ①+②，得6x+6y＝6k+6，即x+y＝k+1， ∵x+y＝2026， ∴k+1＝2026， 解得：k＝2025． 故选：D． 过 关 验 收 1．老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中，出现错误的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【解答】解：由2x+3y＝8， 移项可得：2x＝8﹣3y， 方程两边同时乘以可得：， 故甲计算正确， 故A不符合题意； 把③代入②得：， ∴乙计算正确， 故B不符合题意； 去分母可得：3（8﹣3y）﹣10y＝10， 去括号可得：24﹣9y﹣10y＝10， ∴丙计算错误， 故C符合题意； 丁看到的是24﹣9y﹣10y＝5， 移项可得：﹣9y﹣10y＝5﹣24， 合并同类项得：﹣19y＝﹣19， 解得：y＝1， 把y＝1代入③可得：， ∴丁计算正确， 故D不符合题意． 故选：C． 2．已知x，y满足方程组，则（x﹣y）2025的值为（　　） A．2025 B．﹣1 C．1 D．﹣2025 【答案】B 【解答】解：将方程组中的两个方程相加得5x﹣5y＝﹣5， 则x﹣y＝﹣1， 那么（x﹣y）2025＝（﹣1）2025＝﹣1， 故选：B． 3．在解二元一次方程组时，若①﹣②可直接消去未知数y，则⊗和⊕（　　） A．互为倒数 B．大小相等 C．互为相反数 D．都等于0 【答案】B 【解答】解：， ①﹣②得，（6x﹣2x）+（⊗y﹣⊕y）＝6﹣（﹣6）， 4x+（⊗﹣⊕）y＝12， 又∵①﹣②可直接消去未知数y， ∴⊗﹣⊕＝0， 即⊗＝⊕． 故选：B． 4．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　） A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3 【答案】D 【解答】解：用加减消元法解二元一次方程组时，①×2﹣②或①×（﹣2）+②消去x或②×（﹣3）﹣①消去y． 故选：D． 5．用加减法解方程组时，如果消去y，最简捷的方法是（　　） A．①×4﹣②×3 B．①×4+②×3 C．②×2﹣① D．②×2+① 【答案】D 【解答】解：用加减法解方程组时，如果消去y，最简捷的方法是②×2+①． 故选：D． 6．已知a，b满足方程组，则a+b的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 【答案】B 【解答】解：法1：， ①+②×5得：16a＝32，即a＝2， 把a＝2代入①得：b＝2， 则a+b＝4， 法2：①+②得：4a+4b＝16， 则a+b＝4， 故选：B． 7．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则a，b，c正确的值应为（　　） A．a＝﹣3，b＝﹣1，c＝﹣5 B．a＝1，b＝﹣1，c＝﹣10 C．a＝2，b＝﹣4，c＝﹣10 D．a＝3，b＝1，c＝﹣10 【答案】C 【解答】解：把代入方程组得： 把代入ax+by＝2得：﹣3a﹣2b＝2， 把含a，b的方程联立方程组得， 解得：， 由﹣c﹣7＝3，得到c＝﹣10， 故选：C． 8．已知，，是二元一次方程x+2y＝5的三个解，是二元一次方程2x﹣y＝0的三个解，则二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意得：二元一次方程组的解是． 故选：D． 9．对x、y定义一种新运算“※”，规定：x※y＝mx+ny（其中m、n均为非零常数）．若※1，1※2＝3，则2※1的值是（　　） A．3 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【解答】解：根据题中的新定义得：， 解得：， 则原式＝2×5+1×（﹣1）＝10﹣1＝9． 故选：C． 10．已知|x﹣3y+6|+（x+2y﹣2）2＝0，则x＝　　 ，y＝　　 ． 【答案】； 【解答】解：由题意，得， 解得． 因此x，y． 11．已知，则用含x的式子表示y为y＝9﹣2x ． 【答案】y＝9﹣2x． 【解答】解：由x＝3+t得t＝x﹣3， 把t＝x﹣3代入y＝3﹣2t中，得y＝3﹣2（x﹣3）＝3﹣2x+6＝9﹣2x， 故答案为：y＝9﹣2x． 12．下面是小明同学解方程组过程的框图表示，请你帮他补充完整： 其中，①为 　代入　 ，②为 　消去x ，③为 　解得x ． 【答案】代入，消去x，解得x． 【解答】解：由代入法求解二元一次方程组的步骤可知： ①为代入，②为消去x，③为解得x． 故答案为：代入，消去x，解得x． 13．解方程组：． 【答案】． 【解答】解：， ①+②×2得：7x＝7， 解得：x＝1， 将x＝1代入②得：2+y＝1， 解得：y＝﹣1， 故原方程组的解为． 14．解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， ①+②，得3x＝15， 解得x＝5， 把x＝5代入①，得y＝1， 故方程组的解为； （2）， 把①代入②，得3x+2（2x﹣3）＝8， 解得x＝2， 把x＝2代入①，得y＝1， 故方程组的解为． 15．解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）， ①×2+②得，6x﹣2y+2y﹣5x＝﹣14+7， 6x﹣5x＝﹣7， 解得：x＝﹣7， 将x＝﹣7代入①得， 3×（﹣7）﹣y＝﹣7， 解得：y＝﹣14， ∴原方程组的解为； （2）方程组可化为， 由②得，x＝﹣2+9y③， 将③代入①得，5（﹣2+9y）+y＝36， 解得：y＝1， 将y＝1代入③得，x＝﹣2+9×1＝7， ∴原方程组的解为． 16．定义：在解方程组时，我们可以先①+②，得x+y＝1，再②﹣①得x﹣y＝9，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． （1）用轮换对称解法解方程组，解得 　　 ； （2）如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为32cm，小红所搭的“小树”高度为31cm，设每块A型积木的高为xcm，每块B型积木的高为ycm，求x与y的值（用轮换对称解法求解）． 【答案】（1）； （2）x＝4，y＝5． 【解答】解：（1）， ①+②得：15x+15y＝15， 两边同时除以15得：x+y＝1③， ①﹣②得：﹣x+y＝13④， ③+④得：2y＝14， 解得：y＝7， 把y＝7代入③得x+7＝1， 解得：x＝﹣6， 则原方程组的解为， 故答案为：； （2）由题意得， ①+②得：7x+7y＝63， 两边同时除以7得：x+y＝9③， ②﹣①得：x﹣y＝﹣1④， ③+④得：2x＝8， 解得：x＝4， 将x＝4代入③得：4+y＝9， 解得：y＝5， 即x＝4，y＝5． 17．阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5即y＝﹣1，把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为． 请你解决以下问题 （1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； （2）已知x，y满足方程组； （i）求xy的值； （ii）求出这个方程组的所有整数解． 【答案】（1）； （2）（i）xy＝﹣2； （ii）或． 【解答】解：（1）， 将方程②变形：6x+8y+y＝25， 即2（3x+4y）+y＝25③， 把方程①代入③得：2×16+y＝25， 解得y＝﹣7， 把y＝﹣7代入方程①，得， 所以方程组的解为； （2）（i）原方程组化为， 由①得：x2+3y2＝11﹣xy③， 将③代入方程②得：﹣8xy＝16， ∴xy＝﹣2； （ii）由（i）得xy＝﹣2， ∵x与y是整数， ∴或或或， 由（i）可求得x2+3y2＝13， ∴和符合题意， 故原方程组的所有整数解是或． 18．在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标等于横坐标的n倍的点称为“n倍关联点”，如（2，4）是“2倍关联点”，（4，﹣16）是“﹣4倍关联点”． （1）我们已知，当am＝an（a≠0，1，﹣1）时，则有m＝n．若点P（32x+4，3y），是“3倍关联点”，Q（25x，2y﹣1）是“2倍关联点”，请求出x和y的值； （2）若t为正整数，点M（﹣x2t，18）是“﹣9倍关联点”，求4（x3t）2﹣（x2）5t的值； （3）若点A（x，y）的坐标满足方程y＝3kx+s﹣1（k，s是常数），请问点A能否成为“﹣1倍关联点”？若能，请求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）x＝1，y＝7． （2）0． （3）见解析． 【解答】（1）解：∵P（32x+4，3y），是“3倍关联点”，Q（25x，2y﹣1）是“2倍关联点”， ∴3×32x+4＝3y，2×25x＝2y﹣1， ∴32x+5＝3y，25x+1＝2y﹣1， ∴， 解得：x＝1，y＝7； （2）解：∵点M（﹣x2t，18）是“﹣9倍关联点”， ∴﹣9×（﹣x2t）＝18， ∴﹣x2t＝﹣2， ∴x2t＝2， ∴4（x3t）2﹣（x2）5t， ＝4（x2t）3﹣（x2t）5， ＝4×23﹣25， ＝0； （3）解：∵若点A（x，y）是“﹣1倍关联点”， 则有﹣x＝y， ∵点A（x，y）的坐标满足方程y＝3kx+s﹣1， ∴﹣x＝3kx+s﹣1， 整理得（1+3k）x＝1﹣s， 当1+3k≠0时，， ∴点A的坐标为； 当1+3k＝0，1﹣s＝0时，A点有无数个； 当1+3k＝0，1﹣s≠0时，A点不存在； 综上所述：当时，A点坐标；当，s＝1时，A点无数个；当，s≠1时，A点不存在． 19．已知|3x﹣y﹣5|和互为相反数，求点P（x，y）所在的象限． 【答案】第四象限． 【解答】解：∵|3x﹣y﹣5|和互为相反数， ∴， ∵ ∴， ①+②得：x＝1， 把x＝1代入②得：y＝﹣2， ∴方程组的解为：， ∴P的坐标为（1，﹣2）， ∴点P在第四象限． 20．已知关于x、y的方程组满足，且它的解是一对正数． （1）试用m表示方程组的解； （2）求m的取值范围； （3）化简． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1） 由①﹣②×2得：y＝1﹣m③， 把③代入②得：x＝3m+2， ∴原方程组的解为； （2）∵原方程组的解为是一对正数， ∴， 解得， ∴m＜1； （3）∵m＜1， ∴m﹣1＜0，m0， ， ＝1﹣m+m， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 5.2 二元一次方程组的解法 内 容 导 航 题型1 解二元一次方程 题型2 解二元一次方程组 考 点 演 练 题型1 解二元一次方程 解｜题｜知｜识 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 【典例1】已知方程3x+4y＝6，用含x的式子表示y为（　　） A． B． C． D． 题型2 解二元一次方程组 解｜题｜知｜识 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 【典例1】二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【变式1】解方程组时，下列消元方法不正确的是（　　） A．由（1）×3﹣（2）×2，消去a B．由（2）×2﹣（1），消去b C．由（1）+（2）×2，消去b D．由（2）得：b＝4﹣3a（3），把（3）代入（1）中消去b 【变式2】已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式kx﹣y（k是常数）的值始终不变，则k的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【变式3】若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2026，则k的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 过 关 验 收 1．老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中，出现错误的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．已知x，y满足方程组，则（x﹣y）2025的值为（　　） A．2025 B．﹣1 C．1 D．﹣2025 3．在解二元一次方程组时，若①﹣②可直接消去未知数y，则⊗和⊕（　　） A．互为倒数 B．大小相等 C．互为相反数 D．都等于0 4．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　） A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3 5．用加减法解方程组时，如果消去y，最简捷的方法是（　　） A．①×4﹣②×3 B．①×4+②×3 C．②×2﹣① D．②×2+① 6．已知a，b满足方程组，则a+b的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 7．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则a，b，c正确的值应为（　　） A．a＝﹣3，b＝﹣1，c＝﹣5 B．a＝1，b＝﹣1，c＝﹣10 C．a＝2，b＝﹣4，c＝﹣10 D．a＝3，b＝1，c＝﹣10 8．已知，，是二元一次方程x+2y＝5的三个解，是二元一次方程2x﹣y＝0的三个解，则二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 9．对x、y定义一种新运算“※”，规定：x※y＝mx+ny（其中m、n均为非零常数）．若※1，1※2＝3，则2※1的值是（　　） A．3 B．5 C．9 D．11 10．已知|x﹣3y+6|+（x+2y﹣2）2＝0，则x＝　 ，y＝　 ． 11．已知，则用含x的式子表示y为 ． 12．下面是小明同学解方程组过程的框图表示，请你帮他补充完整： 其中，①为 　 　 ，②为 　 ，③为 　 ． 13．解方程组：． 14．解方程组： （1）； （2）． 15．解方程组： （1）； （2）． 16．定义：在解方程组时，我们可以先①+②，得x+y＝1，再②﹣①得x﹣y＝9，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． （1）用轮换对称解法解方程组，解得 　 ； （2）如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为32cm，小红所搭的“小树”高度为31cm，设每块A型积木的高为xcm，每块B型积木的高为ycm，求x与y的值（用轮换对称解法求解）． 17．阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5即y＝﹣1，把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为． 请你解决以下问题 （1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组； （2）已知x，y满足方程组； （i）求xy的值； （ii）求出这个方程组的所有整数解． 18．在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标等于横坐标的n倍的点称为“n倍关联点”，如（2，4）是“2倍关联点”，（4，﹣16）是“﹣4倍关联点”． （1）我们已知，当am＝an（a≠0，1，﹣1）时，则有m＝n．若点P（32x+4，3y），是“3倍关联点”，Q（25x，2y﹣1）是“2倍关联点”，请求出x和y的值； （2）若t为正整数，点M（﹣x2t，18）是“﹣9倍关联点”，求4（x3t）2﹣（x2）5t的值； （3）若点A（x，y）的坐标满足方程y＝3kx+s﹣1（k，s是常数），请问点A能否成为“﹣1倍关联点”？若能，请求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由． 19．已知|3x﹣y﹣5|和互为相反数，求点P（x，y）所在的象限． 20．已知关于x、y的方程组满足，且它的解是一对正数． （1）试用m表示方程组的解； （2）求m的取值范围； （3）化简． 学科网（北京）股份有限公司 $