5,3 ：二元一次方程组的应用 教案 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

二元一次方程组的应用 一、教学目标 1、掌握列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤； 2、通过小组合作，分析“鸡兔同笼”等简单问题中的数量关系，学生能准确找出等量关系； 3、会利用列表分析题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题； 4、利用二元一次方程解决数字问题和行程问题； 5、进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程。 二、教学重难点 重点：列二元一次方程 难点：解决对应的综合应用题 3、 知识精讲 解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 四、例题精析 考点1：列方程组解应用题: 例1．（2024秋•金牛区校级月考）成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（　　） AB．C．D 例2．（2024•双流区校级模拟）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　） A ．B． C．D． 变式练习： 1．（2024秋•金堂县期中）《九章算术•盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出7钱，就少了4钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（　　） A．B． C．D． 2．（2024秋•金牛区期中）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（　　） A．B． C．D． 考点2：方案问题列方程组解应用题: 例1（2024秋•武侯区校级期末）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． 变式练习： 1．（2024秋•双流区校级月考）某公司组织员工去三星堆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知3辆A客车和2辆B客车可以坐260人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． （1）请问A，B两种客车分别可坐多少人？ （2）已知该公司共有320名员工，请问如何安排租车方案，可以使得所有员工恰好坐下？ 2．（2024秋•武侯区校级月考）某医药超市销售A、B两种品牌的消毒液，购买2瓶A品牌和3瓶B品牌的消毒液共需160元；购买3瓶A品牌和1瓶B品牌的消毒液共需135元． （1）求这两种品牌消毒液的单价； （2）某学校为了给教室进行充分消杀，准备花1050元购进A、B两种品牌的消毒液，且要求A品牌的消毒液的数量比B品牌多，请你给出有哪几种购买方案？ 3．（2023秋•新都区期末）“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售；据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买）共20辆，且A型汽车不超过6辆，根据市场调查，销售1辆A型汽车可获利0.8万元，销售1辆B型汽车可获利0.5万元，请问怎么安排采购方案获利最大？ 考点3：数字问题列方程组解应用题: 例1．小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 9：00 9：48 11：00 里程碑 上的数 是一个两位数，它的两个数字之和为6 也是一个两位数，十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了 是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0 如果设小明9：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，那么： (1)小明9：00时看到的两位数为______； (2)小明9：48时看到的两位数为______，11：00时看到的三位数为______； (3)请你列二元一次方程求小明在9：00时看到里程碑上的两位数． 变式练习： 1．（2024·成都·八年级阶段练习）甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的151倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1089．求这两个两位数？如果设甲数为x，乙数为y．则得方程组(    ) A． B． C． D． 考点4：配套问题列方程组解应用题: 例1．学完书中例题后，小聪想用现有的硬纸板裁成如图①的长方形和正方形作为侧面与底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．已知一张硬纸板的裁剪方式有两种（均有余料），方式一：裁成3个长方形与一个正方形；方式二：裁成2个长方形与2个正方形．现小聪将m张硬纸板用方式一裁剪，n张硬纸板用方式二裁剪，则 （1）两种方式共裁出长方形______张，正方形______张．（用m、n的代数式表示） （2）当时，所裁得的长方形与正方形纸板恰好用完，做成的两种无盖纸盒一共可能是______个． 变式练习： 1、 某车间有14名工人生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓6个或螺母9个，要求1个螺栓配2个螺母，应怎样分配工人才能使每天生产的螺栓和螺母恰好配套？ 2某玩具厂共有300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架20个或车轮40个，且1个车架与4个车轮可配成一套，设有x个工人生产车架，y个工人生产车轮，下列方程组正确的是（　　） A．B． C．D． 3．（2025春•宝山区校级期末）某网店用24000元的资金购进A、B两种玩具共700件，准备在“双十一”期间销售，A、B两种玩具的进价分别为60元、15元： （1）网店本次购进A、B两种玩具的数量分别是多少？ （2）该网店的A种玩具在“双十一”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加A种玩具，厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产A种玩具．一个A种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？ 五、课堂小结 解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 六、家庭作业 1．六年前，A的年龄是B的年龄的3倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是(　　)． A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁 2．某玩具车间每天能生产甲种玩具零件200个或乙种玩具零件100个，甲种零件1个与乙种零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在30天内组装出最多的玩具？设生产甲种零件x天，生产乙种零件y天，则有（    ） A． B． C． D． 3．小明要用80元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号的口罩必须都买，80元钱全部用尽，A型每个6元，B型口罩每个4元，则小明的购买方案有（    ） A．4种 B．6种 C．8种 D．10种 4．台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大63，这样的两位数共有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x﹣y＝1的解，则k的值为 　 　 ． 7．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝3，则m的值为　 　 8． 解方程组 ． ． ． ． 课堂过关检测 时间： 姓名： 1．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则a+b＝ 　 　 ． 2．若关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，则m的值为 　 　 3（2024秋•武侯区校级月考）已知是关于x，y的方程x+ky＝3的一个解，则k的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 4．（2024•天府新区模拟）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有x人，物品价值y元，则所列方程组正确的是（　　） A．B． C．D． 5．（2024春•温江区校级期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　） A．B． C．D． 6、（2024春•双流区校级期中）天府七中组织初中年级共600名学生到广元剑门关参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生150人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生125人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满： ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆租金400元，大客车每辆租金500元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金． ( 第 1 页 共 16 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $