3.2 平面直角坐标系同步讲义 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“平面直角坐标系”核心知识点，系统梳理有序数对、坐标系构成（x轴、y轴、原点）、坐标平面划分（象限及坐标轴上的点）、点与有序数对一一对应关系，通过“点的坐标-坐标确定位置-坐标与图形性质”的学习支架，实现从概念到应用的递进。 该资料特色在于结合生活实例（如“典籍传习”社团坐标、树叶标本位置）培养数学眼光，通过典例与变式题训练推理能力和运算能力发展数学思维，利用坐标解决图形问题（如面积计算）强化模型意识。课中辅助教师构建知识体系，课后过关验收助力学生查漏补缺。

第3章 3.2 平面直角坐标系 内 容 导 航 题型1 点的坐标 题型2 坐标确定位置 题型3 坐标与图形性质 考 点 演 练 题型1 点的坐标 解｜题｜知｜识 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取向上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 【典例1】若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣4） B．（4，﹣2） C．（﹣4，2） D．（﹣2，4） 【变式1】在平面直角坐标系内，点M（2，﹣10）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】平面直角坐标系中，在第四象限的点是（　　） A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2） 【变式3】已知第二象限的点P（﹣4，5），那么点P到x轴的距离为（　　） A．5 B．4 C．﹣5 D．﹣4 题型2 坐标确定位置 解｜题｜知｜识 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 【典例1】为培养青少年阅读经典和传承中华文化，某校创建了“典籍传习”社团，小红将“典”“籍”“传”“习”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使得“籍”“习”的坐标分别为（0，﹣1），（1，﹣2），则“典”所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为（﹣3，3），（﹣1，0），则叶柄底部点C的坐标为（　　） A．（2，0） B．（2，1） C．（1，0） D．（1，﹣1） 【变式2】五子棋的比赛规则：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子为获胜方．在如图所示的一盘棋中，若①的位置是（1，﹣1），②的位置是（2，0），现轮到黑棋走，小明认为黑棋放在（2，4）位置胜利；小亮认为黑棋放在（7，﹣1）位置胜利．下列说法正确的是（　　） A．小明、小亮均正确 B．小明、小亮均错误 C．小明正确，小亮错误 D．小明错误，小亮正确 【变式3】如图是某市部分区域平面示意图，若汽车站的坐标为（﹣1，0），图书馆的坐标为（5，﹣2），则公园的坐标为（　　） A． （﹣3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣1，3） D．（0，﹣2） 题型3 坐标与图形性质 解｜题｜知｜识 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点C（m，m）在第一象限，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA+OB等于（　　） A．m B．2m C．3m D．4m 【变式1】已知线段AB＝3，AB∥y轴，若点A的坐标为（2，1），则点B的坐标为（　　） A．（2，4） B．（5，1） C．（5，1）或（﹣1，1） D．（2，4）或（2，﹣2） 【变式2】已知平面直角坐标系中有A（﹣3，a）和B（b，﹣2）两点，且点B位于第三象限，AB＝4且直线AB∥x轴，则2a﹣b＝（　　） A．3 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣5或3 【变式3】在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B（﹣6，0），坐标轴上有一点C，使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C一共有（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 过 关 验 收 1．下列说法正确的是（　　） A．（3，2）和（2，3）表示同一个点 B．点（1，0）在y轴的正半轴上 C．点（﹣2，1）到y轴的距离为2 D．点（﹣3，2）到x轴的距离为3 2．已知点P（4，m）到y轴的距离是它到x轴距离的2倍，则m的值为（　　） A．2 B．8 C．2或﹣2 D．8或﹣8 3．若点P（a，b）在第三象限，则点Q（﹣a，b﹣1）在第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 4．点A（m+3，2m+4）在y轴上，则点A的坐标为　 　 ． 5．平面直角坐标系中有一点A（x﹣2，2x+2），若点A到两坐标轴的距离相等，则x的值为　 　 ． 6．点（a，2a﹣1）一定不在第　 　 象限． 7．平面直角坐标系内一点到x轴、y轴的距离分别为3和5，且该点在第二象限，则该点坐标为　 　 ． 8．2025年是红军长征胜利90周年，如图，是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的坐标为（2，2），瑞金的坐标为（5，﹣4），则表示会宁会师的点的坐标为　 　 ． 9．若点P（﹣a，b）在第二象限，则点Q（a+b，ab）在第　 　 象限． 10．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣5，3）的“长距”为 　 　 ； （2）若点B（4a﹣1，7）是“完美点”，求a的值； （3）若点D（9﹣2b，﹣5）是“完美点”，求点C（﹣5，3b﹣2）的长距． 11．俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以O为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后，点A恰好落在点B（3，1）处，则上方的方块移动前点A所在位置的坐标为（　　） A．（4，7） B．（5，6） C．（5，7） D．（7，5） 12．象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图，是中国象棋的一部分，若“帅”位于点（2，﹣1），“炮”位于点（3，1）上，则“兵”位于点（　　）上． A．（0，2） B．（﹣3，3） C．（﹣2，0） D．（﹣2，1） 13．褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点A的坐标为（﹣3，2），表示尾部点B的坐标为（2，0），则表示足部点C的坐标为（　　） A．（0，1） B．（﹣1，﹣1） C．（0，﹣2） D．（0，﹣1） 14.下列数据能确定物体位置的是（　　） A．教室6排10座 B．东北方向 C．经九路 D．东经107.40° 15．2025年3月28日，缅甸曼德勒附近发生7.9级强烈地震，云南多地有明显震感．已知昆明在曼德勒北偏东64°，780千米处，若用有序数对（北偏东64°，780）表示昆明相对曼德勒的位置，则曼德勒相对昆明的位置表示正确的是（　　） A．（北偏东64°，780） B．（北偏东26°，780） C．（南偏西64°，780） D．（南偏西26°，780） 16．如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示法，目标A，B的位置表示为A（8，60°），B（5，120°），按照此方法在表示目标C，D，E，F的位置时，下列表示不正确的是（　　） A．C（6，180°） B．D（4，270°） C．E（7，300°） D．F（5，30°） 17．根据下列表述，能确定具体位置的是（　　） A．奥斯卡影院2号厅3排 B．东经118°，北纬51° C．南偏东30° D．中原路与建设路交叉口左转 18．天文学家以流星雨辐射的区域的星座给流星雨命名，如图，把狮子座的星座图放在网格中，若点A的坐标是（2，6），点C的坐标是（﹣1，3），则点B的坐标是　 　 ． 19．如图是一轰炸机群的飞行队形示意图，若在图上建立平面直角坐标系，使最后两架轰炸机分别位于点M（﹣1，1）和点N（﹣1，﹣3），则第一架轰炸机位于点P的坐标是 　 　 ． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足． （1）填空：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）若在第三象限内有一点M（﹣2，m），用含m的式子表示△ABM的面积； （3）在（2）条件下，线段BM与y轴相交于C（0，），当时，点P是y轴上的动点，当满足△PBM的面积是△ABM的面积的2倍时，求点P的坐标． 21．下列说法不正确的是（　　） A．若x+y＝0，则点P（x，y）一定在第二、四象限的角平分线上 B．已知点P（2，3），Q（﹣5，3），则PQ∥x轴 C．若P（x，y）满足xy＝0，则点P在x轴上 D．点A（﹣a2﹣1，|b|+1）一定在第二象限 22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，下列说法中正确的是（　　） A．点A与点D的纵坐标相同 B．点A与点B的横坐标相同 C．点A与点C的纵坐标相同 D．点B与点D的横坐标相同 23．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 24．如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（﹣2，0），C（4，4），D（﹣2，6），点E在x轴上，满足∠BED＝∠DEC，则点E的坐标为 　 　 ． 25．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B是x轴上的一个动点．以AB为边向右侧作等边三角形ABC，连接OC，在运动过程中，OC的最小值为 　 　 ． 26．定义：任意三点A，B，C的“矩面积”计算方法：“水平底”a是任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah．例如，三点坐标分别为A（0，3），B（﹣3，4），C（1，﹣2），则“水平底”a＝4，“铅垂高”h＝6，“矩面积”S＝ah＝24．若D（2，2），E（﹣2，1），F（3，m）三点的“矩面积”为20，则m＝　 　 ． 27．平面直角坐标系中，已知点M（m+2，m﹣5）． （1）若点M在x轴上，求m的值， （2）在同一平面直角坐标系中，点A（4，6），且AM∥y轴，求点M的坐标． （3）若点M在第二、第四象限的角平分线上，求点M的坐标． 28．问题背景：（1）平面直角坐标系中，已知点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C是线段AB的中点，则点C的坐标为（，），如：A（﹣1，1），B（3，3），则AB的中点C的坐标为（，）即点C的坐标为（1，2）． 解决问题： （1）已知A（6，﹣2），B（﹣3，﹣3），则线段AB的中点M的坐标是：　 ． （2）若点P（﹣3，7），线段PQ的中点坐标为（﹣1，5），则点Q的坐标是：　 ． （3）已知三点E（4，﹣2），F（﹣3，﹣1），G（﹣1，﹣4），第四个点H（x，y）与点E，点F、点G中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 3.2 平面直角坐标系 内 容 导 航 题型1 点的坐标 题型2 坐标确定位置 题型3 坐标与图形性质 考 点 演 练 题型1 点的坐标 解｜题｜知｜识 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取向上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 【典例1】若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣4） B．（4，﹣2） C．（﹣4，2） D．（﹣2，4） 【答案】D 【解答】解：设点P的坐标为（x，y）， |x|＝2，|y|＝4， 解得：x＝±2，y＝±4， ∵点P在第二象限， ∴x＝﹣2，y＝4， ∴点P的坐标为（﹣2，4）， 故选：D． 【变式1】在平面直角坐标系内，点M（2，﹣10）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解答】解：点M（2，﹣10）的横坐标大于0，纵坐标小于0，故点M所在的象限是第四象限， 故选：D． 【变式2】平面直角坐标系中，在第四象限的点是（　　） A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2） 【答案】B 【解答】解：A、（1，2）位于第一象限，故A错误； B、（1，﹣2）位于第四象限，故B正确； C、（﹣1，2）位于第二象限，故C错误； D、（﹣1，﹣2）位于第三象限，故D错误； 故选：B． 【变式3】已知第二象限的点P（﹣4，5），那么点P到x轴的距离为（　　） A．5 B．4 C．﹣5 D．﹣4 【答案】A 【解答】解：根据一个点到x轴的距离为其纵坐标的绝对值可知： 点P到x轴的距离为|5|＝5， 故选：A． 题型2 坐标确定位置 解｜题｜知｜识 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 【典例1】为培养青少年阅读经典和传承中华文化，某校创建了“典籍传习”社团，小红将“典”“籍”“传”“习”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使得“籍”“习”的坐标分别为（0，﹣1），（1，﹣2），则“典”所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解答】解：如图建立直角坐标系，则“典”在第三象限， 故选：C． 【变式1】如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为（﹣3，3），（﹣1，0），则叶柄底部点C的坐标为（　　） A．（2，0） B．（2，1） C．（1，0） D．（1，﹣1） 【答案】B 【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为（﹣3，3），（﹣1，0）， ∴建立坐标系如图所示： ∴叶柄底部点C的坐标为（2，1）． 故选：B． 【变式2】五子棋的比赛规则：率先在棋盘上形成横、纵或斜线的连续五颗同色棋子为获胜方．在如图所示的一盘棋中，若①的位置是（1，﹣1），②的位置是（2，0），现轮到黑棋走，小明认为黑棋放在（2，4）位置胜利；小亮认为黑棋放在（7，﹣1）位置胜利．下列说法正确的是（　　） A．小明、小亮均正确 B．小明、小亮均错误 C．小明正确，小亮错误 D．小明错误，小亮正确 【答案】A 【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，黑棋放在（2，4）或（7，﹣1）位置就胜利了， ∴小明、小亮均正确， 综上所述：A选项符合题意， 故选：A． 【变式3】如图是某市部分区域平面示意图，若汽车站的坐标为（﹣1，0），图书馆的坐标为（5，﹣2），则公园的坐标为（　　） A．（﹣3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣1，3） D．（0，﹣2） 【答案】D 【解答】解：如图所示：公园的坐标为（0，﹣2）． 故选：D． 题型3 坐标与图形性质 解｜题｜知｜识 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，点C（m，m）在第一象限，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA+OB等于（　　） A．m B．2m C．3m D．4m 【答案】B 【解答】解：过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N， 则∠CMA＝∠CNB＝90°， ∵C（m，m）， ∴CN＝CM＝m， ∵∠MON＝∠CNO＝∠CMO＝90°， ∴∠MCN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠MCN， ∴∠ACM＝∠BCN， 在△ACM和△BCN中， ， ∴△ACM≌△BCN（ASA）， ∴AM＝BN， ∴OA+OB＝OA+ON+BN＝OA+ON+AM＝ON+OM＝m+m＝2m． 故选：B． 【变式1】已知线段AB＝3，AB∥y轴，若点A的坐标为（2，1），则点B的坐标为（　　） A．（2，4） B．（5，1） C．（5，1）或（﹣1，1） D．（2，4）或（2，﹣2） 【答案】D 【解答】解：∵AB∥y轴， ∴A、B两个点的横坐标相同，都是2， ∵AB＝3，点A的坐标为（2，1）， ∴点B的纵坐标为：1±3， ∴点B的坐标为（2，4）或（2，﹣2）． 故选：D． 【变式2】已知平面直角坐标系中有A（﹣3，a）和B（b，﹣2）两点，且点B位于第三象限，AB＝4且直线AB∥x轴，则2a﹣b＝（　　） A．3 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣5或3 【答案】A 【解答】解：由条件可知A、B两点的纵坐标相等， ∴a＝﹣2， 由条件可知b＝﹣7或1， ∵点B位于第三象限， ∴b＝﹣7， ∴2a﹣b＝3． 故选：A． 【变式3】在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B（﹣6，0），坐标轴上有一点C，使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C一共有（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解答】解：当BC＝AB时，以点B为圆心、AB为半径画圆，与坐标轴分别交于点C1、C2、C3（不包括点A）． 当AC＝AB时，以点A为圆心、AB为半径画圆，与坐标轴分别交于点C4、C5、C6（不包括点B）． 当AC＝BC时，点C应该在AB的垂直平分线上． ∵OA＝OB， ∴点O在AB的垂直平分线上． 综上，这样的C点共有7个，分别是点C1、C2、C3、C4、C5、C6、O． 故答案为：C． 过 关 验 收 1．下列说法正确的是（　　） A．（3，2）和（2，3）表示同一个点 B．点（1，0）在y轴的正半轴上 C．点（﹣2，1）到y轴的距离为2 D．点（﹣3，2）到x轴的距离为3 【答案】C 【解答】解：（3，2）和（2，3）表示不同的点， ∴A不正确，不符合题意； 点（1，0）在x轴的正半轴上， ∴B不正确，不符合题意； 点（﹣2，1）到y轴的距离为|﹣2|＝2， ∴C正确，符合题意； 点（﹣3，2）到x轴的距离为2， ∴D不正确，不符合题意． 故选：C． 2．已知点P（4，m）到y轴的距离是它到x轴距离的2倍，则m的值为（　　） A．2 B．8 C．2或﹣2 D．8或﹣8 【答案】C 【解答】解：∵点P（4，m）到y轴的距离是它到x轴距离的2倍， ∴2|m|＝4 ∴m＝±2， 故选：C． 3．若点P（a，b）在第三象限，则点Q（﹣a，b﹣1）在第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【解答】解：∵点P（a，b）在第三象限， ∴a＜0，b＜0， ∴﹣a＞0，b﹣1＜0， ∴点Q（﹣a，b﹣1）在第四象限， 故选：D． 4．点A（m+3，2m+4）在y轴上，则点A的坐标为　（0，﹣2）　 ． 【答案】（0，﹣2）． 【解答】解：由题意得，m+3＝0， ∴m＝﹣3， ∴2m+4＝2×（﹣3）+4＝﹣2， ∴点A的坐标为（0，﹣2）， 故答案为：（0，﹣2）． 5．平面直角坐标系中有一点A（x﹣2，2x+2），若点A到两坐标轴的距离相等，则x的值为　﹣4或0　 ． 【答案】﹣4或0． 【解答】解：∵平面直角坐标系中有一点A（x﹣2，2x+2），点A到两坐标轴的距离相等， ∴|x﹣2|＝|2x+2|， 解得x＝﹣4或x＝0； 故答案为：﹣4或0． 6．点（a，2a﹣1）一定不在第　二　 象限． 【答案】二． 【解答】解：分四个象限讨论，分别根据象限坐标符号特点，列出不等式组，解不等式组可得： 当点（a，2a﹣1）在第一象限时，，解得， ∴点（a，2a﹣1）有可能在第一象限； 当点（a，2a﹣1）在第二象限时，，不等式组无解， ∴点（a，2a﹣1）不可能在第二象限； 当点（a，2a﹣1）在第三象限时，，解得a＜0， ∴点（a，2a﹣1）有可能在第三象限； 当点（a，2a﹣1）在第四象限时，，解得， ∴点（a，2a﹣1）有可能在第四象限﹒ 故答案为：二． 7．平面直角坐标系内一点到x轴、y轴的距离分别为3和5，且该点在第二象限，则该点坐标为　（﹣5，3）　 ． 【答案】（﹣5，3）． 【解答】解：∵点到x轴的距离等于它的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于它的横坐标的绝对值，点P到x轴、y轴的距离分别为3、5， ∴|x|＝5，|y|＝3， ∴x＝±5，y＝±3， ∵该点在第二象限， ∴x＜0，y＞0， ∴x＝﹣5，y＝3， ∴该点坐标为（﹣5，3）， 故答案为：（﹣5，3）． 8．2025年是红军长征胜利90周年，如图，是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的坐标为（2，2），瑞金的坐标为（5，﹣4），则表示会宁会师的点的坐标为　（1，1）　 ． 【答案】（1，1） 【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示： ∴表示会宁会师的点的坐标为（1，1）， 故答案为：（1，1）． 9．若点P（﹣a，b）在第二象限，则点Q（a+b，ab）在第　一　 象限． 【答案】一． 【解答】解：由题意得，即， ∴a+b＞0，ab＞0， ∴点Q（a+b，ab）在第一象限， 故答案为：一． 10．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣5，3）的“长距”为 　5　 ； （2）若点B（4a﹣1，7）是“完美点”，求a的值； （3）若点D（9﹣2b，﹣5）是“完美点”，求点C（﹣5，3b﹣2）的长距． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵|﹣5|＝5，|3|＝3，5＞3， ∴点A（﹣5，3）的“长距”为5， 故答案为：5； （2）由题意，得：|4a﹣1|＝7， ∴4a﹣1＝7或4a﹣1＝﹣7， ∴a＝2或a＝﹣1.5； （3）由题意，得：|9﹣2b|＝|﹣5|＝5， ∴9﹣2b＝5或9﹣2b＝﹣5， ∴b＝2或b＝7， 当b＝2时，C（﹣5，4）， ∵|﹣5|＝5，|4|＝4，5＞4， ∴长距为5； 当b＝7时，C（﹣5，19）， ∵|﹣5|＝5，|19|＝19，19＞5， ∴长距为19， 综上：点C（﹣5，3b﹣2）长距为5或19． 11．俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以O为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后，点A恰好落在点B（3，1）处，则上方的方块移动前点A所在位置的坐标为（　　） A．（4，7） B．（5，6） C．（5，7） D．（7，5） 【答案】C 【解答】解：根据坐标平移的性质， ∵点A先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后的位置为点B， ∴将点B（3，1）先向上移动6个格于，再向右移动2个格子后得到点A， ∴上方的方块移动前点A所在位置的坐标为（5，7）， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 12．象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图，是中国象棋的一部分，若“帅”位于点（2，﹣1），“炮”位于点（3，1）上，则“兵”位于点（　　）上． A．（0，2） B．（﹣3，3） C．（﹣2，0） D．（﹣2，1） 【答案】A 【解答】解：如图所示，可建立如下坐标系， ∴“兵”位于点（0，2）， 故选：A． 13．褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点A的坐标为（﹣3，2），表示尾部点B的坐标为（2，0），则表示足部点C的坐标为（　　） A．（0，1） B．（﹣1，﹣1） C．（0，﹣2） D．（0，﹣1） 【答案】D 【解答】解：根据A（﹣3，2）或B（2，0）确定原点位置，建立如图所示的坐标系： 根据坐标系，表示足部点C的坐标为（0，﹣1）． 故选：D． 14.下列数据能确定物体位置的是（　　） A．教室6排10座 B．东北方向 C．经九路 D．东经107.40° 【答案】A 【解答】解：A．教室6排10座，能确定物体位置，符合题意； B．东北方向，没有具体描述，不能确定物体位置，不符合题意； C．经九路，没有纬度，不能确定物体位置，不符合题意； D．东经107.40°，没有纬度，不能确定物体位置，不符合题意； 故选：A． 15．2025年3月28日，缅甸曼德勒附近发生7.9级强烈地震，云南多地有明显震感．已知昆明在曼德勒北偏东64°，780千米处，若用有序数对（北偏东64°，780）表示昆明相对曼德勒的位置，则曼德勒相对昆明的位置表示正确的是（　　） A．（北偏东64°，780） B．（北偏东26°，780） C．（南偏西64°，780） D．（南偏西26°，780） 【答案】C 【解答】解：由题意知曼德勒相对昆明的位置表示正确的是（南偏西64°，780）． 故选：C． 16．如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F，按照规定的目标表示法，目标A，B的位置表示为A（8，60°），B（5，120°），按照此方法在表示目标C，D，E，F的位置时，下列表示不正确的是（　　） A．C（6，180°） B．D（4，270°） C．E（7，300°） D．F（5，30°） 【答案】D 【解答】解：由题意可知C（6，180°）、D（4，270°）、E（7，300°）、F（6，30°）， 即D选项F（5，30°）表示错误， 故选：D． 17．根据下列表述，能确定具体位置的是（　　） A．奥斯卡影院2号厅3排 B．东经118°，北纬51° C．南偏东30° D．中原路与建设路交叉口左转 【答案】B 【解答】解：A．奥斯卡影院2号厅3排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； B．东经118°，北纬51°，能确定具体位置，故本选项符合题意； C．南偏东30°，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； D．中原路与建设路交叉口左转，不能确定具体位置，故本选项不符合题意． 故选：B． 18．天文学家以流星雨辐射的区域的星座给流星雨命名，如图，把狮子座的星座图放在网格中，若点A的坐标是（2，6），点C的坐标是（﹣1，3），则点B的坐标是　（3，2）　 ． 【答案】（3，2）． 【解答】解：∵点C的坐标是（﹣1，3），点A的坐标是（2，6）， 建立如图所示， 由图可知，B（3，2）， 故答案为：（3，2）． 19．如图是一轰炸机群的飞行队形示意图，若在图上建立平面直角坐标系，使最后两架轰炸机分别位于点M（﹣1，1）和点N（﹣1，﹣3），则第一架轰炸机位于点P的坐标是 　（3，﹣1）　 ． 【答案】（3，﹣1）． 【解答】解：∵M（﹣1，1）和点N（﹣1，﹣3）， 则建立平面直角坐标系如图： ∴点P（3，﹣1）， 故答案为：（3，﹣1）． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足． （1）填空：a＝ 　﹣1　 ，b＝ 　3　 ； （2）若在第三象限内有一点M（﹣2，m），用含m的式子表示△ABM的面积； （3）在（2）条件下，线段BM与y轴相交于C（0，），当时，点P是y轴上的动点，当满足△PBM的面积是△ABM的面积的2倍时，求点P的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵a、b满足（b﹣3）2＝0， ∴a+1＝0，且b﹣3＝0， ∴a＝﹣1，b＝3， 故答案为：﹣1，3； （2）∵a＝﹣1，b＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝4， ∵M（﹣2，m），且M在第三象限， ∴m＜0， ∴△ABM的面积4×（﹣m）＝﹣2m； （3）当m时， 则M（﹣2，），S△ABM＝﹣2m＝﹣2×（）＝3， ∵△PBM的面积＝△ABM的面积的2倍＝6， ∵△PBM的面积＝△MPC的面积+△BPC的面积PC×2PC×3＝6， 解得：PC， ∵C（0，）， ∴OC， 当点P在点C的下方时，P（0，），即P（0，）； 当点P在点C的上方时，P（0，），即P（0，）； 综上所述，点P的坐标为（0，）或（0，）． 21．下列说法不正确的是（　　） A．若x+y＝0，则点P（x，y）一定在第二、四象限的角平分线上 B．已知点P（2，3），Q（﹣5，3），则PQ∥x轴 C．若P（x，y）满足xy＝0，则点P在x轴上 D．点A（﹣a2﹣1，|b|+1）一定在第二象限 【答案】C 【解答】解：A．若x+y＝0，则x，y互为相反数，点P（x，y）一定在第二、四象限的角平分线上，原说法正确，故此选项不符合题意； B．∵点P，Q的纵坐标相等，∴PQ∥x轴，原说法正确，故此选项不符合题意； C．若P（x，y）满足xy＝0，则点P在x轴或y轴上，原说法不正确，故此选项符合题意； D．∵﹣a2﹣1＜0，|b|+1＞0，∴点A（﹣a2﹣1，|b|+1）一定在第二象限，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，下列说法中正确的是（　　） A．点A与点D的纵坐标相同 B．点A与点B的横坐标相同 C．点A与点C的纵坐标相同 D．点B与点D的横坐标相同 【答案】A 【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴， ∴点A与D的纵坐标相同，点B与C的纵坐标相同． 故选：A． 23．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E， ∵四边形OABC是正方形， ∴OA＝OC，∠AOC＝90°， ∴∠COE+∠AOD＝90°， 又∵∠OAD+∠AOD＝90°， ∴∠OAD＝∠COE， 在△AOD和△OCE中， ， ∴△AOD≌△OCE（AAS）， ∴OE＝AD，CE＝OD＝1， ∵点C在第二象限， ∴点C的坐标为（，1）． 故选：D． 24．如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（﹣2，0），C（4，4），D（﹣2，6），点E在x轴上，满足∠BED＝∠DEC，则点E的坐标为 　（1，0）或（4，0）　 ． 【答案】（1，0）或（4，0）． 【解答】解：①如图，过D作DT⊥AC于T， ∵A （4，0），B （﹣2，0），C （4，4），D （﹣2，6）， ∴∠DBA＝∠BAT＝∠ATD＝90°， BD＝BA＝6， ∴四边形ABDT是正方形， 连接AD，则∠BAD＝∠TAD＝45°， ∴E，A重合时，有∠BED＝∠DEC， ∴E点的坐标为 （4，0）． ②如图，过D作DH⊥EC 于H， ∵∠BED＝∠DEC，DB⊥BE， ∴DB＝DH＝6， ∵C （4，4），D （﹣2，6）， ∴CD， CH， 由三角形内角和定理可得：∠BDE＝∠HDE， ∵DB⊥BE，DH⊥EH， ∴BE＝HE 设BE＝x， 则HE＝x，CE＝x+2，AE＝6﹣x， ∵CA⊥EA，CA＝4， ∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42， 解得，x＝3， ∴BE＝3， ∴E点的坐标为（1，0）； 综上，E点的坐标为（1，0）或（4，0）． 故答案为：（1，0）或（4，0）． 25．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B是x轴上的一个动点．以AB为边向右侧作等边三角形ABC，连接OC，在运动过程中，OC的最小值为 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：如图，以OA为边向左侧作等边△AOE，连接BE， ∴OA＝EA＝OE，∠OAE＝∠AOE＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴∠BAC﹣∠OAB＝60°﹣∠OAB＝∠OAE﹣∠OAB，即∠OAC＝∠EAB， 在△ABE和△ACO中， ， ∴△ABE≌△ACO（SAS）， ∴BE＝OC， 由垂线段最短可知，当BE⊥x轴，BE的值最小， ∵点A的坐标是（0，6）， ∴OA＝6， ∴OE＝6， 又∵∠AOE＝60°，∠AOB＝90°， ∴∠BOE＝30°， 则在Rt△BOE中，， 所以在运动过程中，OC的最小值为3， 故答案为：3． 26．定义：任意三点A，B，C的“矩面积”计算方法：“水平底”a是任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah．例如，三点坐标分别为A（0，3），B（﹣3，4），C（1，﹣2），则“水平底”a＝4，“铅垂高”h＝6，“矩面积”S＝ah＝24．若D（2，2），E（﹣2，1），F（3，m）三点的“矩面积”为20，则m＝　5或﹣2　 ． 【答案】5或﹣2． 【解答】解：∵D（2，2），E（﹣2，1），F（3，m）， ∴“水平底”a＝3﹣（﹣2）＝5， “铅垂高“h＝4或|m﹣2|或|m﹣1|， ①当h＝|m﹣1|时，三点的“矩面积”S＝5×|m﹣1|＝20， 解得：m＝5或m＝﹣3（舍去）； ②当h＝|m﹣2|时，三点的“矩面积”S＝5×|2﹣m|＝20， 解得：m＝﹣2或m＝6（舍去）； 综上：m＝5或﹣2． 故答案为：5或﹣2． 27．平面直角坐标系中，已知点M（m+2，m﹣5）． （1）若点M在x轴上，求m的值， （2）在同一平面直角坐标系中，点A（4，6），且AM∥y轴，求点M的坐标． （3）若点M在第二、第四象限的角平分线上，求点M的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）因为点M在x轴上， 所以m﹣5＝0， 解得m＝5． （2）因为点A坐标为（4，6），且AM∥y轴， 所以m+2＝4， 解得m＝2， 则m﹣5＝2﹣5＝﹣3， 所以点M的坐标为（4，﹣3）． （3）因为点M在第二、四象限的角平分线上， 所以m+2+m﹣5＝0， 解得m， 所以m+2，m﹣5， 所以点M的坐标为（）． 28．问题背景：（1）平面直角坐标系中，已知点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C是线段AB的中点，则点C的坐标为（，），如：A（﹣1，1），B（3，3），则AB的中点C的坐标为（，）即点C的坐标为（1，2）． 解决问题： （1）已知A（6，﹣2），B（﹣3，﹣3），则线段AB的中点M的坐标是：　（）　 ． （2）若点P（﹣3，7），线段PQ的中点坐标为（﹣1，5），则点Q的坐标是：　（1，3）　 ． （3）已知三点E（4，﹣2），F（﹣3，﹣1），G（﹣1，﹣4），第四个点H（x，y）与点E，点F、点G中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标． 【答案】（1）（）；（2）（1，3）；（3）（﹣8，﹣3）（6，﹣5）或（2，1）． 【解答】解：（1）∵A（6，﹣2），B（﹣3，﹣3），则线段AB的中点M的坐标是（），即（）， 故答案为：（）． （2）设点Q的坐标（a，b），由题意得， ， 解得a＝1，b＝3， ∴点Q的坐标（1，3）， 故答案为：（1，3）； （3）（分类讨论：①HE与FG中点重合时， ，， ∴x＝﹣8，y＝﹣3， 此时H（﹣8，﹣3）； ②HF与EG中点重合时， ， ∴x＝6，y＝﹣5， 此时H（6，﹣5）； ③HG与EF中点重合时， ， ∴x＝2，y＝1， 此时H（2，1）， ∴点H的坐标为：（﹣8，﹣3）（6，﹣5）或（2，1）． 学科网（北京）股份有限公司 $