3.3 轴对称与坐标变化 讲义 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

3.3 轴对称与坐标变化 考点1: 图形的坐标变化与轴对称 1. 图形的坐标变化与轴对称的关系 (1)横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，所得图形与原图形关于x轴成轴对称； (2)纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1，所得图形与原图形关于y轴成轴对称. · 横、纵坐标都乘－1，所得图形与原图形关于原点对称. 2. 在平面直角坐标系中作关于坐标轴对称的图形的方法 (1)确定对称点的坐标； (2)根据对称点的坐标描点； (3)依次连接所描各点得到所求图形. 考点2: 关于坐标轴对称的点的坐标变化 1. 关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标是P'(a，－b)； 2. 关于y轴对称：纵坐标相同，横坐标互为相反数，即点P(a，b)关于y轴对称的点的坐标是P″(－a，b). · ①点P，P'关于x轴对称，点P，P″关于y轴对称. ②反过来，横坐标相同，纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称；纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于y轴对称. ③关于原点对称的两个点的坐标，横、纵坐标都互为相反数. 练习1. 1. 直角坐标系中，点A(3，4)与点B(3，－4)关于( ). A.原点对称　　B.y轴对称 C.x轴对称　　　D.以上都不对 2. 已知图形A在y轴的右侧，如果将图形A上的所有点的横坐标都乘－1，纵坐标不变，得到图形B，那么( ). A.两个图形关于x轴对称 B.两个图形关于y轴对称 C.两个图形重合 D.两个图形不关于任何一条直线对称 3. 在平面直角坐标系中，点A与点B关于x轴对称，点B与点C关于y轴对称，若点C的坐标为(－3，4)，则点A的坐标( ). A. (3，4) B.(－3，4) C.(－3，－4) D.(3，－4) 4. 如果点P(3，b)和点Q(a，－4)关于y轴对称，则a＋b的值是( ). A.－7　    B.1　    C.－1　    D.7 5. 已知点P(m－1，4)与点Q(2，n＋2)关于y轴对称，则nm的值为( ). A.－2　    B.　    C.－　    D.1 6. 将第一象限的“小旗”各点的横坐标分别乘－1，纵坐标保持不变，得到一个新图形符合上述要求的选项是( ). 7. 如图，若以直线MN为对称轴，则与线段AB成轴对称的线段是( ). A. CD B. DE C. FG D. GH 8. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的坐标分别为A(－1，4)，B(－3，0)，C(1，－1). (1)请画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'； (2)请写出点A'，B'的坐标：A'(　 ，　 )，B'(　 ，　 )． 9. △ABC与△A1B1C1在如图所示的直角坐标系中，仔细观察，完成下列各题： (1)△ABC与△A1B1C1有怎样的位置关系? (2)如果点P(m，n)在△ABC内，那么它在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是　 　 ； (3)点M是y轴上的一个动点，求MA＋MC的最小值. 10. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上. (1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点C1的坐标. (2)在y轴上求作点D，使得AD＋BD的值最小，请你直接写出D点坐标. (3)若点P为x轴正半轴上一动点，且满足△BCP的面积为1，请你直接写出P点坐标.   巩固练习： 1. 若点A(m，3)与点B(4，n)关于y轴对称，则m＋n＝( ). A．－1 B．0 C．1 D．－7 2. 一个图案上各点的横坐标都不变，纵坐标变为原来的相反数，但图案却未发生任何变化.下列叙述中，正确的是( ). A．原图案各点一定都在x轴上 B．原图案各点一定都在y轴上 C．原图案是轴对称图形，对称轴是x轴 D．原图案是轴对称图形，对称轴是y轴 3. 在平面直角坐标系中，已知点A与点B关于x轴对称，点B与点C关于y轴对称，点A的坐标为(－1，2)，则点C的坐标为( ). A.(－1，2) B.(1，－2) C.(－1，－2) D.(2，－1) 4. 已知，＋|b＋1|＝0，则点P(a，b)关于原点对称的点的坐标是( ). A.(2，－1) B.(－2，－1) C.(－2，2) D.(2，1) 5. 若点A(4，m＋5)与点B(n－5，3)关于y轴对称，则(m＋n)24( ). A．1 B．－1 C．24 D．－7 6. 如图，一只跳蚤从M点出发，先向上爬了2个单位，又向左爬了3个单位到达P点，然后跳到点P关于x轴对称的点P1，则点P1的坐标为　 　 　 . 7. 在平面直角坐标系中，如果点A(2a－1，－8)绕原点旋转180°后与点B(－5，3b－1)重合，那么a＝　 ，b＝　 . 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线l为第一、三象限的角平分线.点P关于y轴的对称点为P的一次反射点，记为P1，点P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记为P2.例如，点(－1，2)的一次反射点为(1，2)，二次反射点为(2，1).根据定义，回答下列问题： (1)点(3，－4)的一次反射点为　 　 ,二次反射点为　 　 ； (2)若P(m＋1，2n－1)的一次反射点和Q(－3，4)的二次反射点重合，求m＋n的值. 9. 如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(4，2)，C(3，5)，请回答下列问题： (1)作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出△A1B1C1的顶点坐标; (2)求△A1B1C1的面积. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2，8)和(6，0)，C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上. (1) 求AB的长； (2) 求△ABC的周长的最小值. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 轴对称与坐标变化 考点1: 图形的坐标变化与轴对称 1. 图形的坐标变化与轴对称的关系 (1)横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，所得图形与原图形关于x轴成轴对称； (2)纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1，所得图形与原图形关于y轴成轴对称. · 横、纵坐标都乘－1，所得图形与原图形关于原点对称. 2. 在平面直角坐标系中作关于坐标轴对称的图形的方法 (1)确定对称点的坐标； (2)根据对称点的坐标描点； (3)依次连接所描各点得到所求图形. 考点2: 关于坐标轴对称的点的坐标变化 1. 关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标是P'(a，－b)； 2. 关于y轴对称：纵坐标相同，横坐标互为相反数，即点P(a，b)关于y轴对称的点的坐标是P″(－a，b). · ①点P，P'关于x轴对称，点P，P″关于y轴对称. ②反过来，横坐标相同，纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称；纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于y轴对称. ③关于原点对称的两个点的坐标，横、纵坐标都互为相反数. 练习1. 1. 直角坐标系中，点A(3，4)与点B(3，－4)关于( C ). A.原点对称　　B.y轴对称 C.x轴对称　　　D.以上都不对 2. 已知图形A在y轴的右侧，如果将图形A上的所有点的横坐标都乘－1，纵坐标不变，得到图形B，那么( B ). A.两个图形关于x轴对称 B.两个图形关于y轴对称 C.两个图形重合 D.两个图形不关于任何一条直线对称 3. 在平面直角坐标系中，点A与点B关于x轴对称，点B与点C关于y轴对称，若点C的坐标为(－3，4)，则点A的坐标( D ). A. (3，4) B.(－3，4) C.(－3，－4) D.(3，－4) 4. 如果点P(3，b)和点Q(a，－4)关于y轴对称，则a＋b的值是( A ). A.－7　    B.1　    C.－1　    D.7 5. 已知点P(m－1，4)与点Q(2，n＋2)关于y轴对称，则nm的值为( B ). A.－2　    B.　    C.－　    D.1 6. 将第一象限的“小旗”各点的横坐标分别乘－1，纵坐标保持不变，得到一个新图形符合上述要求的选项是( C ). 7. 如图，若以直线MN为对称轴，则与线段AB成轴对称的线段是( B ). A. CD B. DE C. FG D. GH 8. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的坐标分别为A(－1，4)，B(－3，0)，C(1，－1). (1)请画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'；如图，△A'B'C'即为所求. (2)请写出点A'，B'的坐标：A'(　 2 ，　 4 　)，B'(　 3 ，　 0 　)． 9. △ABC与△A1B1C1在如图所示的直角坐标系中，仔细观察，完成下列各题： (1)△ABC与△A1B1C1有怎样的位置关系? △ABC与△A1B1C1关于x轴对称. (2)如果点P(m，n)在△ABC内，那么它在△A1B1C1内的对应点P1的坐标是　(m，－n) ； (3)点M是y轴上的一个动点，求MA＋MC的最小值. (3)如图，作点C关于y轴的对称点D，连接AD，交y轴于点M，此时MA＋MC的值最小.由勾股定理得MA＋MC的最小值为2. 10. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上. (1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点C1的坐标. 如图所示，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标是(3，－2). (2)在y轴上求作点D，使得AD＋BD的值最小，请你直接写出D点坐标. 使得AD＋BD的值最小，D点坐标是(0，2). (3)若点P为x轴正半轴上一动点，且满足△BCP的面积为1，请你直接写出P点坐标.  当△BCP的面积为1时，P点坐标为(1，0). 巩固练习： 1. 若点A(m，3)与点B(4，n)关于y轴对称，则m＋n＝( A ). A．－1 B．0 C．1 D．－7 2. 一个图案上各点的横坐标都不变，纵坐标变为原来的相反数，但图案却未发生任何变化.下列叙述中，正确的是( C ). A．原图案各点一定都在x轴上 B．原图案各点一定都在y轴上 C．原图案是轴对称图形，对称轴是x轴 D．原图案是轴对称图形，对称轴是y轴 3. 在平面直角坐标系中，已知点A与点B关于x轴对称，点B与点C关于y轴对称，点A的坐标为(－1，2)，则点C的坐标为( B ). A.(－1，2) B.(1，－2) C.(－1，－2) D.(2，－1) 4. 已知，＋|b＋1|＝0，则点P(a，b)关于原点对称的点的坐标是( C ). A.(2，－1) B.(－2，－1) C.(－2，2) D.(2，1) 5. 若点A(4，m＋5)与点B(n－5，3)关于y轴对称，则(m＋n)24( A ). A．1 B．－1 C．24 D．－7 6. 如图，一只跳蚤从M点出发，先向上爬了2个单位，又向左爬了3个单位到达P点，然后跳到点P关于x轴对称的点P1，则点P1的坐标为 (－3，－3) . 7. 在平面直角坐标系中，如果点A(2a－1，－8)绕原点旋转180°后与点B(－5，3b－1)重合，那么a＝　 3 　，b＝　 3 　. 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线l为第一、三象限的角平分线.点P关于y轴的对称点为P的一次反射点，记为P1，点P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记为P2.例如，点(－1，2)的一次反射点为(1，2)，二次反射点为(2，1).根据定义，回答下列问题： (1)点(3，－4)的一次反射点为 (－3，－4) ,二次反射点为 (－4，－3) ； (2)若P(m＋1，2n－1)的一次反射点和Q(－3，4)的二次反射点重合，求m＋n的值. m＝－5，n＝2，所以m＋n＝－3. 9. 如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(4，2)，C(3，5)，请回答下列问题： (1)作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出△A1B1C1的顶点坐标; (2)求△A1B1C1的面积. 解：(1)△A1B1C1如图所示，其中A1(1，－4)，B1(4，－2)，C1(3，－5). (2)△A1B1C1的面积为3.5. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2，8)和(6，0)，C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上. (1) 求AB的长； (2) 求△ABC的周长的最小值. 解：(1) AB＝4 (2) 如图△ABC 的周长最小，周长的最小值为4 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $