第1章 1.3 勾股定理的应用同步讲义2026-2027学年数学八年级上册（北师大版）

本讲义聚焦初中数学“勾股定理的应用”核心知识点，在勾股定理基础上拓展实际应用，涵盖几何图形线段长度与面积计算、实际问题建模、数轴表示无理数等类型，提供添加辅助线构造直角三角形、方程与勾股定理结合等解题知识作为学习支架。 该资料特色在于精选生活实例，如梯子靠墙、秋千摆动等问题，通过典例与变式题引导学生用数学眼光观察现实世界，注重方程思想与数形结合培养数学思维，课中助力教师系统教学，课后通过过关验收题帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

第1章 1.3 勾股定理的应用 内 容 导 航 题型1 勾股定理的应用 考 点 演 练 题型1 勾股定理的应用 解｜题｜知｜识 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 【典例1】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（　　） A．2m B．2.5m C．2.6m D．2.7m 【变式1】勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.8m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.6m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.2m B．3.4m C．3.6m D．3.8m 【变式2】如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 【变式3】如图铁路上A、B两点相距40千米，C、D为铁路两边的两个村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米，现在要在铁路旁修建一个候车点E，使得C、D两村到该候车点的距离相等．则候车点E应距A点（　　） A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 过 关 验 收 1．为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知AB为吊车起重臂，长为20米，点B到路灯杆的水平距离BC为16米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（　　） A．12米 B．14米 C．16米 D．18米 2．如图，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A+∠B＝90°，AB＝5km，BC＝4km．若把隧道AC凿通需要15天，则每天凿隧道的长度为（　　） A．0.1km B．0.2km C．2km D．5km 3．如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（　　） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 4．学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离AB＝5米（如图2），则旗杆的高度BC为（　　） A．10米 B．11米 C．12米 D．13米 5．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 6．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（　　） A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm 7．如图所示，一棵树被风刮断了，树顶落在离树根12m处，折断处的高度AB为5m，则这棵树折断前高　18　 m． 8．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 　9　 米． 9．为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：28cm，30cm，34cm，42cm，48cm，则其中有 　 款扫地机可以购买． 10．如图是一台手机支架的示意图，AB，CD可分别绕点A，B转动，测得BD＝5cm，AB＝12cm，若AB⊥BD，DE⊥AP，垂足为点E，DE＝AE，则点D到AP的距离为　 　 cm． 11．已知在地平面上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距10米．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少要飞行　　 米． 12．若将15只空油桶（每只油桶底面的直径均为2m）堆在一起，并且最下面的个数是5只，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码高为 　 　 m（结果保留根号）． 13．如图，将一根长为18cm的牙刷放置在底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形牙刷筒中，则牙刷露在筒外的长度最小值为 　 cm． 14．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行 　 　 海里． 15．如图，一块边长24米的正方形绿地四周被小路环绕，点B在正方形的边上，则居民从A→C→B比从A沿直线AB直接到B处要多走　 　 米． 16．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D、C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸）两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和AB为 寸． 17．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了　 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 18．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高5米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米． （1）求B处与地面的距离； （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 19．6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，经测量，距离台风中心520km及以内的地区会受到影响． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为50千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 20．如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）连接AC，判断△ADC的形状； （3）求这块空地的面积． 21．如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． （1）求旗杆AB的高度； （2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？ 22．如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地ABCD，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，∠ACB＝90°，AB＝15m，BC＝9m，AD＝5m，DC＝13m．请用学过的知识求出这块空地的面积． 23．小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 24．综合与实践 （1）如图1，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝24千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为 　 千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，求AP的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（0＜x＜16）的最小值为 　 　 ． 25．小朋友荡秋千的侧面示意图如图所示，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点A时，点A到地面的距离AE＝1.5m．当他从点A处摆动到点A′处时，过点A′作A′F⊥BD于点F．若A′B⊥AB，求点A′到BD的距离A′F． 26．某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如表． 项目背景 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量． 测量实物图： 项目方案 测量过程 步骤一：如图2，线段MN表示旗杆高度，MN垂直地面于点N．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段NE．用皮尺测出NE的长度． 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点A与点B之间的距离． 步骤三：用皮尺测量出小丽直立位置距旗杆底端的水平距离． 测量示意图 各项数据 测量项目 数据 绳子垂到地面多出的部分 0.5m 小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 6m 小丽身高 1.5m 请根据表格所给信息，完成下列问题． （1）直接写出线段MN与AM之间的数量关系； （2）根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆MN的高． 27．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为　 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 28．一辆卡车装满货物后，高4m，宽2.8m，这辆卡车能通过横截面如图所示的隧道吗？ 29．十一黄金周期间，为了给顾客更好的购物体验，某超市便利店在店门口离地面一定高度的墙上D处，设置了一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口2.4m及2.4m以内（BC≤2.4m）时，门铃就会自动发出“欢迎光临”的语音．如图，一个身高1.8m的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃到地面的距离CD与到该生头顶的距离AD相等． （1）请计算迎宾门铃到地面的距离CD等于多少米？ （2）若该生继续向前走1.7m，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 30．党的十八大以来，各地积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山、某小区物业在小区拐角清理出了一块空地进行绿化改造，如图，∠ABC＝90°，AB＝12m，BC＝9m，AD＝17m，CD＝8m． （1）为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点A直通点C的小路，求小路AC的长度； （2）若该空地的改造费用为每平方米150元，试计算改造这片空地共需花费多少元？ 31．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 1.3 勾股定理的应用 内 容 导 航 题型1 勾股定理的应用 考 点 演 练 题型1 勾股定理的应用 解｜题｜知｜识 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 【典例1】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（　　） A．2m B．2.5m C．2.6m D．2.7m 【答案】D 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2.5（m）， ∴A′B＝AB＝2.5米， 在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD2（m）， ∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m）， 即小巷的宽为2.7米， 故选：D． 【变式1】勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.8m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.6m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.2m B．3.4m C．3.6m D．3.8m 【答案】B 【解答】解：由题意可知，CF＝2.6m，BE＝0.8m， ∴BD＝1.8m． 设AC的长为xm，则AB＝AC＝xm， 所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m． 在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣1.8）2+32＝x2， 解得：x＝3.4， 即绳索AC的长是3.4米． 故选：B． 【变式2】如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 【答案】C 【解答】解：由图可得， x2+62＝（10﹣x）2， 故选：C． 【变式3】如图铁路上A、B两点相距40千米，C、D为铁路两边的两个村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米，现在要在铁路旁修建一个候车点E，使得C、D两村到该候车点的距离相等．则候车点E应距A点（　　） A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 【答案】B 【解答】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km， ∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到候车点E的距离相等， ∴AD2+AE2＝BE2+BC2， 故242+x2＝（40﹣x）2+162， 解得：x＝16， 则候车点E应距A点16km． 故选：B． 过 关 验 收 1．为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知AB为吊车起重臂，长为20米，点B到路灯杆的水平距离BC为16米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（　　） A．12米 B．14米 C．16米 D．18米 【答案】B 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC12， 过点B作BE⊥ED于E， ∵CD⊥DE，BE⊥AD， ∴∠BED＝∠BCD＝∠B＝90°， ∴四边形BEDC是矩形， ∴CD＝BE＝2米， ∴AD＝AC+CD＝12+2＝14（米）， 答：起重臂顶端A离地面的高度为14米． 故选：B． 2．如图，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A+∠B＝90°，AB＝5km，BC＝4km．若把隧道AC凿通需要15天，则每天凿隧道的长度为（　　） A．0.1km B．0.2km C．2km D．5km 【答案】B 【解答】解：∵∠A+∠B＝90°， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，AB＝5km，BC＝4km， ∴3（km）， ∴每天凿隧道的长度为3÷15＝0.2km． 故选：B． 3．如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（　　） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 【答案】A 【解答】解：∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴AB＝6米，（米）， ∴（米）， 故雕刻在石柱上的巨龙至少为10×2＝20（米）， 故选：A． 4．学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离AB＝5米（如图2），则旗杆的高度BC为（　　） A．10米 B．11米 C．12米 D．13米 【答案】C 【解答】解：（1）设旗杆的高度BC为x米，则绳子的长度为（x+1）米， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+52＝（x+1）2， 解得：x＝12， 答：旗杆的高度BC为12米， 故选：C． 5．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中，AC4（米）， 故可得地毯长度＝AC+BC＝7（米）， 故选：C． 6．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（　　） A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm 【答案】A 【解答】解：依题意，AC＝24，BC＝7cm， 在Rt△ABC中，cm， ∵AB＝AD＝25，DE＝20， 在Rt△ADE中，cm， 故选：A． 7．如图所示，一棵树被风刮断了，树顶落在离树根12m处，折断处的高度AB为5m，则这棵树折断前高　18　 m． 【答案】18． 【解答】解：根据题意得AB＝5m，BC＝12m， 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2， ∴， ∴13+5＝18（m）， ∴这棵树折断前高为18m． 故答案为：18． 8．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了 　9　 米． 【答案】9 【解答】解：在Rt△ABC中： ∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米， ∴AB15（米）， ∵CD＝10（米）， ∴AD6（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米）， 答：船向岸边移动了9米， 故答案为：9． 9．为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：28cm，30cm，34cm，42cm，48cm，则其中有　3　 款扫地机可以购买． 【答案】3 【解答】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C， 则AC＝108﹣80＝28（cm），BC＝80﹣59＝21（cm）， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2， 即282+212＝AB2， ∴AB＝35（cm）， ∵扫地机能从角落自由进出， ∴扫地机的直径不大于AB长， ∴小洪可以购买的扫地机尺寸直径可以为：28cm，30cm，34cm，共3款． 故答案为：3． 10．如图是一台手机支架的示意图，AB，CD可分别绕点A，B转动，测得BD＝5cm，AB＝12cm，若AB⊥BD，DE⊥AP，垂足为点E，DE＝AE，则点D到AP的距离为　　 cm． 【答案】 【解答】解：连接AD， ∵AB⊥BD， ∴∠ABD＝90°， ∴AD13， ∵DE⊥AP， ∴∠AED＝90°， ∵AE＝DE， ∴DEAD， ∴点D到AP的距离为cm， 故答案为：． 11．已知在地平面上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距10米．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少要飞行　　 米． 【答案】． 【解答】解：两棵树的间距为10米，高度差为6﹣2＝4（米）， 鸟至少飞行的距离为（米）． 故答案为：． 12．若将15只空油桶（每只油桶底面的直径均为2m）堆在一起，并且最下面的个数是5只，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码高为 　（42）　 m（结果保留根号）． 【答案】（42）． 【解答】解：由题意得：A、B、C是三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是4×2＝8（m），AD为等边△ABC的高， ∴AB＝BC＝8m，BD＝CDBC8＝4（m）， 在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD4（m）， ∴遮雨棚起码高为：（42）m， 故答案为：（42）． 13．如图，将一根长为18cm的牙刷放置在底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形牙刷筒中，则牙刷露在筒外的长度最小值为 　5　 cm． 【答案】5． 【解答】解：如图，AB为底面直径，BC为高，当牙刷AD如图放置时露在筒外的长度最小， ∵AB＝5，BC＝12， ∴， ∴CD＝AD﹣AC＝18﹣13＝5， 即牙刷露在筒外的长度最小5cm， 故答案为：5． 14．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行 　16　 海里． 【答案】16 【解答】解：∵甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行， ∴AO⊥BO， ∵1小时后两艘轮船相距20海里， ∴OA＝12×1＝12（海里），AB＝20海里， 在Rt△AOB中，OB16（海里）， ∴乙轮船平均每小时航行16÷1＝16（海里）． 故答案为：16． 15．如图，一块边长24米的正方形绿地四周被小路环绕，点B在正方形的边上，则居民从A→C→B比从A沿直线AB直接到B处要多走　6　 米． 【答案】6 【解答】解：由正方形的性质得：∠C＝90°，AC＝24米， ∴AB25（米）， ∴AC+BC﹣AB＝7+24﹣25＝6（米）， 即居民从A→C→B比从A沿直线AB直接到B处要多走6米， 故答案为：6． 16．在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D、C两点到门槛AB的距离为1尺（1尺＝10寸）两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和AB为 　101　 寸． 【答案】101． 【解答】解：过D作DE⊥AB于E， 设OA＝OB＝AD＝BC＝r， 则DE＝10，，AE＝r﹣1， 在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2， 解得2r＝101， 所以门的宽度的和AB为101寸． 故答案为：101． 17．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了　8　 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 【答案】8 【解答】解：由题意可得：AB10（m）， 则AC+BC﹣AB＝14﹣10＝4（m）， 故他们仅仅少走了：4×2＝8（步）． 故答案为：8． 18．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高5米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米． （1）求B处与地面的距离； （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 【答案】（1）B处与地面的距离是25米； （2）消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为8米． 【解答】解：（1）在Rt△OAB中， ∵AB＝25米，OA＝15米，OE＝5米， ∴OB20（米）， ∴BE＝OB+OE＝20+5＝25（米）， 答：B处与地面的距离是25米； （2）由题意得BD＝4米， ∵CD＝25米，OD＝OB+BD＝20+4＝24（米）， ∴OC7（米）， ∴AC＝OA﹣OC＝15﹣7＝8（米）． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为8米． 19．6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，经测量，距离台风中心520km及以内的地区会受到影响． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为50千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）∵AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km， ∴根据勾股定理得，AC2+BC2＝6002+8002＝10002， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°， 过点C作CD⊥AB于D， ∴， ∴，即500CD＝240000， 解得CD＝480， ∵以台风中心为圆心周围520km以内为受影响区域， ∴海港C受台风影响； （2）台风影响该海港持续的时间为8小时． 【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由如下： ∵AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km， ∴根据勾股定理得，AC2+BC2＝6002+8002＝10002， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°， 过点C作CD⊥AB于D， ∴， ∴，即500CD＝240000， 解得CD＝480， ∵以台风中心为圆心周围520km以内为受影响区域， ∴海港C受台风影响； （2）如图，当CE＝520km，CF＝520km时，正好影响港口C， ∵， ∴EF＝2ED＝400km， ∵台风的速度为50千米/小时， ∴400÷50＝8（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 20．如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）连接AC，判断△ADC的形状； （3）求这块空地的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°． 在Rt△ABE中， ∵AB＝15m，AE＝12m， ∴． ∵E是BC的中点， ∴BC＝2BE＝18m． （2）∵AE⊥BC，E是BC的中点， ∴AC＝AB＝15m． ∵AD＝17m，CD＝8m， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴△ADC是直角三角形． （3）由（2）可知，△ADC是直角三角形，AC＝15m， ∴， 由（1）可知，BC＝18m， ∴ ∴这块空地得面积为：． 21．如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． （1）求旗杆AB的高度； （2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，C处到旗杆底部B的距离为9米， 设旗杆AB的高度为xm，则AC＝（x+3）m， 在Rt△ABC中，∠B＝90°， 由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2， ∴x2+92＝（x+3）2， 解得：x＝12， 答：旗杆AB的高度为12m； （2）过E作EM⊥AB重为M，如图， 则∠MEB＝∠MBD＝∠EDB＝90°， ∴四边形BDEM为矩形， ∴MB＝ED＝2m，BD＝ME， ∵AB＝12m， ∴AM＝12﹣2＝10（m），AE＝12+3＝15（m）， 在Rt△AME中，∠AME＝90°， 由勾股定理得：， ∴， 答：小明需后退． 22．如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地ABCD，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，∠ACB＝90°，AB＝15m，BC＝9m，AD＝5m，DC＝13m．请用学过的知识求出这块空地的面积． 【答案】这块空地的面积为84m2． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝15m，BC＝9m， ∴， ∵AD＝5m，DC＝13m，AC＝12m， 且AC2+AD2＝122+52＝132＝CD2， ∴∠DAC＝90°， ∴四边形ABCD面积为：， ， 答：这块空地的面积为84m2． 23．小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由勾股定理得，CD20（米）， ∴CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米）； （2）如图，由勾股定理得， BF17（米）， 25﹣17＝8（米）， ∴他应该往回收线8米． 24．综合与实践 （1）如图1，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝24千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为 　8　 千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，求AP的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（0＜x＜16）的最小值为 　20　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，连接CD，过点C作CE⊥AD于点E， 则CE＝AB＝40千米，DE＝AD﹣BC＝24﹣16＝8（千米）， ∴CD8（千米）， 故答案为：8； （2）如上图所示．设AP＝x 千米，则 BP＝（40﹣x）千米， 在Rt△ADP 中，DP2＝AP2+AD2＝x2+242， 在Rt△BPC 中，PC2＝BP2+BC2＝（40﹣x）2+162， ∵PC＝PD， ∴x2+242＝（40﹣x）2+162， 解得x＝16， 即AP＝16千米． （3）如图，作点C关于AB的对称点F，连接DF，交AB于点P，连接PC，BF，过点F作EF⊥AD交DA的延长线于点E， 则DF的长就是代数式的最小值， 设PB＝x，则AP＝16﹣x， 最小值20， ∴代数式的最小值为20． 故答案为：20． 25．小朋友荡秋千的侧面示意图如图所示，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点A时，点A到地面的距离AE＝1.5m．当他从点A处摆动到点A′处时，过点A′作A′F⊥BD于点F．若A′B⊥AB，求点A′到BD的距离A′F． 【答案】A′到BD的距离A′F为1m． 【解答】解：过点A作AC⊥BD于点C， ∵AC⊥BD于点C，A′F⊥BD， ∴∠ACB＝∠A′FB＝90°， ∴∠3+∠1+＝90°， ∵A′B⊥AB， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠3， 在△ACB和△BFA′中， ， ∴△ACB≌△BFA′（AAS）， ∴A′F＝BC， ∵BD＝2.5m，AE＝CD＝1.5m， ∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m）， ∴A′F＝1m． ∴若A′B⊥AB，点A′到BD的距离A′F为1m． 26．某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如表． 项目背景 如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量． 测量实物图： 项目方案 测量过程 步骤一：如图2，线段MN表示旗杆高度，MN垂直地面于点N．将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段NE．用皮尺测出NE的长度． 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点A与点B之间的距离． 步骤三：用皮尺测量出小丽直立位置距旗杆底端的水平距离． 测量示意图 各项数据 测量项目 数据 绳子垂到地面多出的部分 0.5m 小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 6m 小丽身高 1.5m 请根据表格所给信息，完成下列问题． （1）直接写出线段MN与AM之间的数量关系； （2）根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆MN的高． 【答案】（1）MN＝AM﹣0.5； （2）9.5米． 【解答】解：（1）MN＝AM﹣0.5；理由如下： 根据题意，可知NE＝0.5m， 则MN＝AM﹣NE＝AM﹣0.5； （2）如图2，AC⊥MN于点N， ∵∠ACN＝∠CNB＝∠ABN＝90°， ∴四边形ABNC是矩形， ∴NC＝AB＝1.5m，AC＝NB＝6m，AC⊥MN， 设AM＝xm，则MC＝MN﹣NC＝AM﹣0.5﹣1.5＝（x﹣2）m， 在Rt△ACM中，由勾股定理得：AC2+MC2＝AM2， 即62+（x﹣2）2＝x2， 解得x＝10， ∴AM＝10m， ∴MN＝AM﹣0.5＝10﹣0.5＝9.5（m）， 答：学校旗杆MN的高为9.5m． 27．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为　13　 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，设CF＝12，BC＝x，点A在CF的上方，且AC⊥CF，AC＝3，点D在CF的下方，且DF⊥CF，DF＝2，对于CF任意一点B，过点D作DG⊥AC，交AC延长线于点G，连接AD， 则CG＝DF＝2，DG＝CF＝12， ∴代数式表示AB+DB， ∵AB+DB的最小值为AD的长， 即代数式的最小值为AD的长， 在Rt△ADG中，由勾股定理得， 即的最小值为13； 故答案为：13． （2）设CF＝5，BC＝x，点A在CF的上方，且AC⊥CF，AC＝2，点D在CF的下方，且DF⊥CF，DF＝1，对于CF任意一点B，过点D作DH⊥AC，交AC延长线于点H，连接AD， 则AH＝2+1＝3，DH＝CF＝5， ∴代数式表示AB+BD， ∵AB+DB的最小值为AD的长， ∴代数式的最小值为AD的长， ∵， 即代数式的最小值为． 28．一辆卡车装满货物后，高4m，宽2.8m，这辆卡车能通过横截面如图所示的隧道吗？ 【答案】这辆卡车能通过隧道． 【解答】解：作弦EF∥AD，且EF＝2.8m，OH⊥EF于H，连接OF， 则HF＝1.4m， 又OH（m）， ∴隧道高HG＝OH+OG＝OH+AB＝2.6（m）， ∵2.64， ∴这辆卡车能通过隧道． 29．十一黄金周期间，为了给顾客更好的购物体验，某超市便利店在店门口离地面一定高度的墙上D处，设置了一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口2.4m及2.4m以内（BC≤2.4m）时，门铃就会自动发出“欢迎光临”的语音．如图，一个身高1.8m的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃到地面的距离CD与到该生头顶的距离AD相等． （1）请计算迎宾门铃到地面的距离CD等于多少米？ （2）若该生继续向前走1.7m，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 【答案】（1）2.5m； （2）m． 【解答】解：（1）如图1，过点A作AE⊥CD于点E， 由题意知，AD＝CD，BC＝2.4m，AB＝1.8m，∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴CE＝AB＝1.8m，AE＝BC＝2.4m， 设迎宾门铃距离地面xm，则AD＝CD＝xm，DE＝（x﹣1.8）m， 在Rt△AED中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2， ∴2.42+（x﹣1.8）2＝x2， 解得：x＝2.5， 答：迎宾门铃到地面的距离CD等于2.5m； （2）MN为该生向前走1.7m后的位置，如图2， 则AN＝1.7m， ∴NE＝AE﹣AN＝2.4﹣1.7＝0.7（m）， 由（1）可知，DE＝2.5﹣1.8＝0.7（m）， 在Rt△NED中，由勾股定理得：DN（m）， 答：此时迎宾门铃距离该生头顶． 30．党的十八大以来，各地积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山、某小区物业在小区拐角清理出了一块空地进行绿化改造，如图，∠ABC＝90°，AB＝12m，BC＝9m，AD＝17m，CD＝8m． （1）为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点A直通点C的小路，求小路AC的长度； （2）若该空地的改造费用为每平方米150元，试计算改造这片空地共需花费多少元？ 【答案】（1）15m； （2）17100元． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得， AC15（m）， 答：小路AC的长度为15m； （2）∵AC2+CD2＝152+82＝172＝AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴S四边形ABCD114（m2）， 114×150＝17100（元）． 答：改造这片空地共需花费17100元． 31．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠ACB＝90° ∴由勾股定理可得：BC40， 40米＝0.04千米， 2秒小时． 0.0472＞70． 所以超速了． 学科网（北京）股份有限公司 $