2.1认识实数 讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

1.1 认识实数 学习目标 1. 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。 2. 会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力。 3. 掌握实数的相反数、绝对值、倒数等概念，并能进行相关运算。 4. 理解有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然适用，并能运用它们进行实数的运算。 知识点讲解 （一）无理数 1. 定义：无限不循环小数叫做无理数。 · 例如：，等都是无理数。 · 注意：常见的无理数有三种形式： · 开方开不尽的数，如，等。 · 含有的数，如，，等。 · 有规律但不循环的无限小数，如（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）。 （二）实数 1. 定义：有理数和无理数统称为实数。 2. 实数的分类 · 按定义分类： · 有理数：整数（正整数、(0)、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数。 · 无理数：无限不循环小数。 · 按正负分类： · 正实数：正有理数（正整数、正分数）和正无理数。 · (0)。 · 负实数：负有理数（负整数、负分数）和负无理数。 （三）实数与数轴的关系 1. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的。 2. 在数轴上，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 （四）实数的相关概念 1. 相反数：实数 (a) 的相反数是 (-a)，(a) 与 (-a) 互为相反数。例如，的相反数是，(0) 的相反数是 (0)。 2. 绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；(0) 的绝对值是 (0) 3. 倒数：如果，那么 (a) 的倒数是。例如，的倒数是，(3) 的倒数是。 （五）实数的运算 1. 有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然适用。 · 加法交换律：。 · 加法结合律：。 · 乘法交换律：。 · 乘法结合律：。 · 乘法分配律：。 2. 实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 例题解析 （一）无理数的判断 1. 下列数中，哪些是无理数？ (3.14159)，，，(0)，，（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1），， （二）实数的分类 2. 将下列实数按要求分类： (-3)，，，(0)，，，(3.14)，，， 正实数： 负实数： 有理数： （三）实数的相关概念 3. 求下列各数的相反数、绝对值和倒数。 （1） （2） （四）实数的运算 4. 计算： （1） （2） 巩固练习 （一）选择题 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. (0) B. . . (-3) 2. 的相反数是（ ） A. (3) B. (-3) C. . 3. 下列说法正确的是（ ） A. 无限小数都是无理数 B. 带根号的数都是无理数 C. 无理数都是无限小数 D. 有理数只是有限小数 （二）填空题 1. 写出一个大于 (2) 且小于 (3) 的无理数：______。 2. 的绝对值是______，的倒数是______。 3. 比较大小：。 （三）解答题 1. 计算： 2. 已知 (a) 是的整数部分，(b) 是的小数部分，求的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 认识实数 学习目标 1. 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。 2. 会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力。 3. 掌握实数的相反数、绝对值、倒数等概念，并能进行相关运算。 4. 理解有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然适用，并能运用它们进行实数的运算。 知识点讲解 （一）无理数 1. 定义：无限不循环小数叫做无理数。 · 例如：，等都是无理数。 · 注意：常见的无理数有三种形式： · 开方开不尽的数，如，等。 · 含有的数，如，，等。 · 有规律但不循环的无限小数，如（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）。 （二）实数 1. 定义：有理数和无理数统称为实数。 2. 实数的分类 · 按定义分类： · 有理数：整数（正整数、(0)、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数。 · 无理数：无限不循环小数。 · 按正负分类： · 正实数：正有理数（正整数、正分数）和正无理数。 · (0)。 · 负实数：负有理数（负整数、负分数）和负无理数。 （三）实数与数轴的关系 1. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的。 2. 在数轴上，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 （四）实数的相关概念 1. 相反数：实数 (a) 的相反数是 (-a)，(a) 与 (-a) 互为相反数。例如，的相反数是，(0) 的相反数是 (0)。 2. 绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；(0) 的绝对值是 (0) 3. 倒数：如果，那么 (a) 的倒数是。例如，的倒数是，(3) 的倒数是。 （五）实数的运算 1. 有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然适用。 · 加法交换律：。 · 加法结合律：。 · 乘法交换律：。 · 乘法结合律：。 · 乘法分配律：。 2. 实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 例题解析 （一）无理数的判断 1. 下列数中，哪些是无理数？ (3.14159)，，，(0)，，（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1），， 解析： · (3.14159) 是有限小数，属于有理数。 · 是分数，属于有理数。 · 是开方开不尽的数，属于无理数。 · (0) 是整数，属于有理数。 · ，是整数，属于有理数。 · （相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）是有规律但不循环的无限小数，属于无理数。 · ，是整数，属于有理数。 · 是含有的数，属于无理数。 所以无理数有，（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1），。 （二）实数的分类 2. 将下列实数按要求分类： (-3)，，，(0)，，，(3.14)，，， 正实数： 负实数： 有理数： 无理数： 解析： · 先对部分数化简：，。 · 正实数：，，，(3.14)，， · 负实数：(-3)，， · 有理数：(-3)，，(0)，，(3.14)，， · 无理数：，， （三）实数的相关概念 3. 求下列各数的相反数、绝对值和倒数。 （1） （2） 解析： （1）的相反数是； 绝对值是； 倒数是。 （2）的相反数是； 绝对值是； 倒数是。 （四）实数的运算 4. 计算： （1） （2） 解析： （1） （2） 巩固练习 （一）选择题 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. (0) B. . . (-3) 2. 的相反数是（ ） A. (3) B. (-3) C. . 3. 下列说法正确的是（ ） A. 无限小数都是无理数 B. 带根号的数都是无理数 C. 无理数都是无限小数 D. 有理数只是有限小数 （二）填空题 1. 写出一个大于 (2) 且小于 (3) 的无理数：______。 2. 的绝对值是______，的倒数是______。 3. 比较大小：。 （三）解答题 1. 计算： 2. 已知 (a) 是的整数部分，(b) 是的小数部分，求的值。 巩固练习答案 （一）选择题 1. 答案：C · 解析：(0) 是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；是开方开不尽的数，属于无理数；(-3) 是整数，属于有理数，所以选 C。 2. 答案：B · 解析：，(3) 的相反数是 (-3)，所以选 B。 3. 答案：C · 解析：无限不循环小数才是无理数，无限循环小数是有理数，所以 A 错误；带根号且开方开不尽的数才是无理数，如是有理数，所以 B 错误；无理数是无限不循环小数，所以无理数都是无限小数，C 正确；有理数包括有限小数和无限循环小数，所以 D 错误，选 C。 （二）填空题 1. 答案：（答案不唯一） · 解析：因为，，所以大于且小于的无理数如满足条件。 2. 答案：； · 解析：正数的绝对值是它本身，所以的绝对值是；的倒数是。 3. 答案：> · 解析：因为，，所以。 （三）解答题 1. 解析： 2. 解析： 因为 (4<7<9)，所以，即，所以 ，。 学科网（北京）股份有限公司 $