1.3 勾股定理的应用（讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦勾股定理的应用这一核心知识点，系统梳理勾股定理与逆定理的内涵，构建从实际生活情境、立体图形情境中识别直角三角形模型的学习支架，涵盖最短路径（通过侧面展开转化为平面问题）、梯子滑动、航海方位、折叠问题等经典模型的解题流程，强调“找直角、定斜边、代公式、算结果”的规范步骤。 该资料以模型观念和几何直观素养为核心设计亮点，通过场景模型化将梯子滑动、航海测距等实际问题抽象为直角三角形，动态问题中抓恒定条件（如梯子长度不变）培养模型观念，立体图形展开（圆柱、长方体）过程发展几何直观。课中借助易错提醒和解题贴士辅助教师高效授课，课后随学随练与拓展题型帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

第一章 勾股定理 1.3 勾股定理的应用 课标要点 1.掌握勾股定理与勾股定理逆定理的核心内涵，能在真实生活情境、立体图形情境中，识别直角三角形模型，完成边长计算、垂直判定等基础应用。 2.掌握立体图形最短路径求解方法，能通过侧面展开，将立体问题转化为平面直角三角形问题，落实转化与化归数学思想。 3.能利用勾股定理解决生活经典模型问题，包括梯子滑动、旗杆高度、池塘测距、门框过杆、航海方位测距等实际题型。 4.能利用勾股定理逆定理，通过三边数量关系判定直角、验证垂直，解决工程测量、方位判断类实际问题。 5.经历实际问题抽象为几何模型的全过程，发展几何直观、模型观念、运算能力与应用意识四大核心素养。 学习重难点 重点： 1.熟练运用勾股定理求解实际情境中直角三角形的未知边长，规范书写解题步骤。 2.熟练掌握立体图形（圆柱、长方体）侧面展开方法，利用勾股定理求解最短爬行路径问题。 3.能准确从生活场景中抽象出直角三角形模型，掌握“找直角、定斜边、代公式、算结果” 的标准解题流程。 4.熟练运用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形，解决生活中垂直、直角验证类实操问题。 难点： 1.立体图形展开的空间转化，无法精准判断展开后直角三角形的两条直角边长度，容易混淆立体边长与平面边长。 2.复杂生活情境中隐藏直角的挖掘，不会通过作辅助线构造直角三角形，导致无法套用勾股定理解题。 3.区分勾股定理与逆定理的使用场景：已知直角求边长用勾股定理，已知边长证直角用逆定理，容易混淆误用。 4.最短路径问题的逻辑推理，无法理解 “两点之间线段最短” 结合勾股定理的原理，出现路径判断错误。 知识点 勾股定理应用的总体思路 概念：勾股定理应用的本质：把生活实际问题、立体图形问题、折叠问题、方位问题，抽象转化为直角三角形模型，再利用勾股定理求解未知边长、距离、高度、路径。. 特别提醒 1）勾股定理只用于直角三角形，非直角三角形不可直接使用. 2）所有应用题第一步：找直角、构造直角三角形. 3）这里指的是斜边、最长边，不可随意代换. 易错提醒 1.不建模、不画图，凭感觉代公式，极容易会错。 2.分不清直角边与斜边，公式代入颠倒。 3.单位不统一直接计算。 教材延伸 本节所有题型均基于三种数学思想：建模思想、转化思想、方程思想，是整个八上几何的核心解题思维。 随学随练 1．如图所示，一轮船以6海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（   ） A．20海里 B．10海里 C．30海里 D．25海里 【答案】A 【分析】如图（见解析），先求出，的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，设向东北方向航行的轮船到达地为处，向东南方向航行的轮船到达地为处，连接， 由题意得：，（海里），（海里）， ∴， ∴在中，海里， 即两船相距20海里． 2．把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，，则的长度是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：四边形为长方形，，， ，， 根据折叠的性质可得，，，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 3．如图，一只蚂蚁沿棱长为1的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】将正方体沿着它的一条棱展开，由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段的长，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：将正方体展开，连接A、B， 由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段的长， 由题意得，在中，， ∴， ∴蚂蚁走过的最短路程为． 4．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将该圆柱的侧面展开，作关于的对称点，可得即为最短距离，在直角中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作关于的对称点， 则， 连接，则即为最短距离， 在直角中，由勾股定理得：． 5．一架云梯长分米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙分米，如果梯子的顶端下滑了分米，那么梯子的底端在水平方向滑动了______分米． 【答案】 【分析】由题意知分米，分米，分米，由勾股定理求得分米，分米，然后通过线段的和与差即可求解． 【详解】解：如图，由题意知分米，分米，分米， 在中，（分米）， ∴（分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）， ∴梯子的底端在水平方向滑动了分米． 6．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 【答案】(1)共需购买68平方米的地毯 (2)购买地毯需花费8160元 【分析】（1）求出台阶的水平宽，计算地毯长度，再计算地毯的面积即可； （2）用地毯的单价乘以面积求出购买地毯的费用． 【详解】（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：， 则需购买地毯的长为， 因为地毯的宽则是台阶的宽4米， 所以面积是：． 故共需购买的地毯． （2）解：由地毯的价格为120 元， 则购买地毯的费用为：元， 故购买地毯需花费8160元． 知识点 梯子滑动模型 基本概念：墙、地面互相垂直，构成固定直角三角形。 梯子长度=斜边（恒定不变），滑动前后斜边长度不变，利用两次勾股定理求滑动距离。 特别提醒 1.梯子长度永远不变，是本题唯一隐藏条件。 2.下滑距离=原高−现高。 3.外移距离=现底距−原底距。 易错提醒 1.误以为梯子长度会变短或变长。 2.直接用原始边长加减，不重新计算前后高度。 教材延伸 梯子模型常考方程题型：已知滑动距离，设未知高建立方程求解。 随学随练 1．如图，长的梯子斜靠在一竖直的墙边，梯子的底端离墙脚的距离为，则梯子顶端距离地面的高度为（   ） A．1.8 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【详解】解：由勾股定理得，． 2．如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯足将滑动（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴ ∴， ∴； 故选A． 3．如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（   ） A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理；在中，利用勾股定理，求出，在中，利用勾股定理，求出，再求和即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴在中，， 即， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴两个书柜之间的距离为2.2米； 故选：B． 4．学习了“勾股定理”之后，小明同学为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；（）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③若小明同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线___________． 【答案】2 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，利用勾股定理求得、是解答的关键．设风筝下降到点M处，连接，利用勾股定理分别求得、，即可求解． 【详解】解：如图，设风筝下降到点M处，连接，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：2． 5．如图，是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度为3米，为1米．则滑道的长度为______． 【答案】5米/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设的长为米，则米，米，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设的长为米，则米，米， 由题意得：，米， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即：滑道的长为5米； 故答案为：5米． 知识点 航海方位角应用模型形 定义：利用上北下南左西右东，正北、正南与正东、正西互相垂直，航行路线构成直角三角形，用勾股定理求直线距离。 特别提醒 1.北偏东、北偏西、南偏东一定先南北、后东西。 2.必须画图确定直角顶点。 易错提醒 1.方位理解颠倒（东偏北≠北偏东）。 2.看不出垂直关系，建不出直角三角形。 教材延伸 常结合勾股定理逆定理判断航行是否垂直、是否原路折返。 随学随练 1．一艘轮船以12海里/时的速度从港口出发向北航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时后两船相距（　　） A．12海里 B．8海里 C．10海里 D．13海里 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 两船分别向北和向东航行，方向垂直，构成直角三角形，利用勾股定理求出离开港口1小时后两船的距离即可． 【详解】解：第一艘船向北航行距离：（海里）， 第二艘船向东航行距离：（海里）， 且两方向垂直， 则两船距离为直角三角形的斜边：（海里）， 故选：D． 2．如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（　　） A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里 【答案】C 【分析】本题考查了方向角、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），先根据方向角可得，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 离开港口3小时后，（海里），（海里）， ∴海里， 即甲、乙两轮船相距60海里， 故选：C． 3．一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行海里到达处，此时与灯塔的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用．先求得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于， 根据题意得，，海里，海里， ， 在中，根据勾股定理得， （海里）， 故此时与灯塔的距离为海里． 故选：B． 4．如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表，以点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理．根据题意得出及、后即可根据勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接，数轴交点为， 由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为， ， 又个单位长度代表， ，， 根据勾股定理可得， 中，． 故选：C． 5．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口一个半小时后分别位于、处，此时两艘轮船相距________． 【答案】30 【分析】根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：根据题意得到，， ． 知识点 折叠问题中的勾股定理应用 概念：根据图形折叠性质：折叠前后全等、对应边相等、对应角相等。 解题通常方法：设未知边长为 ；用折叠等量表示其余边长；在Rt△中列勾股方程求解。 特别提醒 1.折叠题必考方程思想，不用方程基本无法解。 2.重点抓取：折叠重合边=等量边。 易错提醒 1.找不到折叠相等边，无法列式。 2.代数式表达边长出错，方程列错。 教材延伸 属于八上期末大题高频：长方形折叠求边长、求折痕、求面积。 随学随练 1．如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得到，设，在中结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 2．如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解得：， 故选：A． 3．如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质和勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质可得，，，，设，则，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】解：如图，记点C的对应点为， 长方形中，，， ，，， 由折叠可得，，，， 设，则， 在中，， ，解得， 则的长为． 故选：C． 4．如图，在中，，，，将折叠，使点C 与点A重合，得折痕，则的周长等于_______． 【答案】7 【分析】根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得， 由翻折的性质，得． 的周长． 知识点 圆柱体图形最短路径问题 内容：圆柱侧面为曲面，曲面最短路径不能直接求。解题方法：侧面展开变长方形→两点连线为线段最短→构造直角三角形用勾股定理。直角边：圆柱高、底面半周长。 特别提醒 1.圆柱展开底面长度是 半周长，不是直径！ 2.最短路径一定是平面线段。 易错提醒 1.把底面直径当成展开底边（本节最大易错点）。 2.不展开直接在曲面上连线计算。 教材延伸 圆柱最短路径公式：；属于期末高频填空压轴。 随学随练 1．如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（     ） A．13cm B． C．8cm D． 【答案】B 【分析】将圆柱侧面展开，构建直角三角形，确定两直角边的长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将圆柱侧面沿过点的母线展开，如图所示： ∵圆柱底面周长为，高为，点为对侧中点， ∴在展开图中，点到点的水平距离为底面周长的一半，即， 点到底面的垂直距离为高的一半，即， ∴由勾股定理，得蚂蚁爬行的最短路程为 ． 2．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心．如图所示，在底面周长为，高为的柱子上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在柱子上的巨龙长至少为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，柱身高为米，底面周长为米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕圈到达柱顶正上方的点， ∴，，，，，， ∴， ∴（米）， ∴雕刻在柱子上的巨龙长至少为米． 3．如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为4，是上底的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到，则爬行的最短距离是________． 【答案】5 【分析】根据圆柱的性质、两点之间线段最短以及勾股定理解题． 【详解】解：如图，圆柱体的侧面展开图如下，蚂蚁从点出发，沿着线段爬行时，距离最短； 由题意知，，为圆柱体底面周长的一半，即， ∴， 即爬行的最短距离是． 知识点6 长方体（立方体）表面最短路径 定义：长方体表面行走，有三种展开方式，得到三种斜边长度，取最小值即为最短路径。设长宽高分别为：可得三种展开的计算公式： 1.长宽合并：；2.长高合并：；3.宽高合并： 特别提醒 1.必须三算对比取最小，不能只算一种。 2.越“扁平”的展开面，路径越短。 易错提醒 1.只算一种直接写答案。 2.展开后找错两条直角边。 教材延伸 正方体任意两点最短路径只有两类结果，可直接秒杀选择题。 随学随练 1．如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将蚂蚁经过的表面展开如下： 由题意可知，，， 由勾股定理可得，． 2．如图，长方体的长，宽，高，点在上，且．如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，那么它爬行的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算到的距离，需分三种情况讨论：一是将前面和右面展开在同一平面；二是将前面和顶面展开在同一平面，三是将长方体的底面和右面展开在同一平面内，比较三种情况下的路径长度即可得出答案． 【详解】解：分三种情况讨论： 情况一：将长方体的前面和右面展开在同一平面内，如图1， 此时、、在同一直线上， 在中，，， 根据勾股定理得：； 情况二：将长方体的前面和顶面展开在同一平面内，如图2， 此时、、在同一直线上， 在中，，， 根据勾股定理得：； 情况三：将长方体的底面和右面展开在同一平面内，如图3， 由题意得：，， 在中，根据勾股定理得：， ，， ， 需要爬行的最短路程是． 3．如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长米，宽米，高米．工作人员要从箱底的点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 【答案】 【分析】根据三种平面展开图，利用勾股定理计算的长度，再比较即可求解． 【详解】解：情况一：米，米， 米； 情况二：米，米， 米； 情况三：米，米， 米； ， 这根软管的最短长度是米． 拓展 模型观念素养内涵 能够将生活实际场景、立体图形场景、动态变化场景，剥离无关信息，抽象固化为直角三角形数学模型，利用勾股定理解决现实问题，是本章应用题的核心解题素养。 1.场景模型化能力：所有实际问题（梯子、航海、折叠、立体路径、工程测量），本质全部是直角三角形模型，解题第一步必须完成“实景→几何图形”的转化，拒绝凭题意硬算。 2.动态模型不变量思维：梯子滑动、图形折叠、路径变换等动态问题中，抓恒定条件（梯子长度不变、折叠边长不变），以不变应万变，是压轴题核心突破口。 3.方程模型构建能力：遇到边长未知、边长存在数量关系的题型，主动设未知数，建立勾股方程模型，突破单纯公式计算的局限，适配所有中高难度题型。 4.模型归类迁移能力：掌握经典固定模型（圆柱展开模型、长方体三路径模型、方位角垂直模型、梯子滑动模型），可直接迁移到同类变式题，实现举一反三。 活学活用 1．综合与实践 物理知识：光的反射定律：反射角等于入射角． 如图，直线为水平平面镜，，，垂足分别为C、D，入射点O是线段的中点，为法线，已知，． (1)求入射光线的长度； (2)求反射光线的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用中点的性质求出直角三角形的直角边长，再根据勾股定理求出的长度； （2）根据光的反射定律推导出，从而得到，最后根据勾股定理求出的长度． 【详解】（1）点O是线段的中点，， ， ， ， 在中，， 所以入射光线的长度为． （2）反射角等于入射角， ， 为法线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）知， 在中，， 所以反射光线的长度为． 2．项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 【答案】(1)15 (2)设计方案不符合规划要求 【分析】（1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理逆定理可得，可求出绿化区的面积，即可求解． 【详解】（1）解：因为，，， 所以． 答：这条直道的长度为． （2）解：因为，，， 所以． 所以． 所以绿化区的面积为． ． 因为， 所以设计方案不符合规划要求． 3．春节即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动广播车在公路上进行广播宣传．如图，已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶，嘉嘉家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，，又，假如移动广播车周边米以内能听到广播宣传． (1)判断的形状并说明理由； (2)请你通过计算说明嘉嘉在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，嘉嘉在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，嘉嘉在家刚好不再听到广播，即米，问嘉嘉在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】(1) 解：过点作于点， 则， 即， 解得（米）， ∵， ∴嘉嘉在家能听到广播； (2)嘉嘉在家能听到广播 (3)秒 【分析】（）利用勾股定理的逆定理解答即可求解； （）过点作于点，利用三角形的面积可得米，进而即可判断求解； （）利用勾股定理可得米，即得米，进而即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： 是直角三角形，理由如下： ，， ， ∴是直角三角形； （2）略 （3）解：由题意得，在中，（米）, 同理得，（米）， （米）， ∵（秒）， ∴嘉嘉在家听到广播宣传的时长是秒． 拓展 几何直观素养内涵 通过画图、展开图形、还原立体结构，直观感知图形边角关系、垂直关系、线段长短关系，依托图形辅助推理，规避逻辑漏洞，解决无图、立体、动态几何难题。 1.无图题主动作图能力：航海、测距、高度测量等无题干图形的题型，必须自主绘制简易几何示意图，精准定位直角、边长、方位，避免审题错误。 2.立体图形平面化直观能力：具备空间想象能力，可将圆柱、长方体曲面或立体表面，直观展开为平面图形，理解“立体最短路径=平面线段”的几何原理。 3.图形折叠直观推理能力：能直观识别折叠前后重合边、相等角、全等图形，快速锁定直角三角形位置，精准抓取解题等量条件。 4.数形结合纠错能力：依托图形直观区分直角边与斜边、垂直与不垂直关系，杜绝公式代反、边长找错、模型用错等低级易错点。 活学活用 4．课外活动上，老师带着科技小组进行滑轮实验．同学们将一根没有弹性的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示（），物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，绳长（）为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮A，滑块B和物体C的大小忽略不计，都看作一个点） (1)求实验初始状态下的长； (2)如图2，若物体C上升到达的高度时，滑块B水平向左滑动到，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）由已知得，由（1）知，即可求出，再根据求出的长，在中，利用勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为； （2）解：∵物体上升到达的高度， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中，，， ∴， ∵， ∴， 即滑块水平向左滑动到的距离为． 5．如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即），如图1到达的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度； (2)当秋千静止后，如果将秋千往前推送（即），如图2求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设秋千的长度为，在中，由勾股定理建立方程进行求解即可； （2）在中，由勾股定理得到的长，进而求出的长，即可. 【详解】（1）解：由题意知，，， ，，， ， ， ， ， ， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 即秋千的长度是； （2）解：在中，，， 由勾股定理得， ， ， ， ， 即此时踏板离地的垂直高度为． 6．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”． 在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理； 图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理． (1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理． (2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______； A．函数思想         B．整体思想         C．分类讨论思想         D．数形结合思想 【知识应用】 (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 【答案】(1)见解析 (2)D (3)新修路的长为0.8千米 【分析】（1）在图1中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子后化简即可证明；在图2中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明． （2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答； （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．设千米，则（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：根据赵爽弦图进行证明： ∵， ∴， ∴； 根据“总统证法”进行证明： ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选：D； （3）解：当时，最小，能最大限度节省铺路的费用． 设千米，则（千米） ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， ∴（千米）． 答：新修路的长为0.8千米． 题型 勾股定理在网格问题中的应用 解题贴士 利用网格横、竖线互相垂直的特点构造直角三角形，数方格得到两条直角边长；运用勾股定理计算网格内斜线段长度；若需要判断三角形形状，则结合勾股定理逆定理验证，注意找准线段对应的直角三角形，不要随意选取方格边长. ▌例1 如图，网格中的的顶点都在格点上，若小方格边长均为1，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出，再由勾股定理逆定理解答即可． 【详解】解：小方格边长均为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． ▌对点练1-1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的四个顶点均在格点上． (1)求四边形的面积； (2)探究四边形对角线、的位置关系． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了根据网格求面积，勾股定理逆定理． （1）根据割补法求面积即可； （2）连接，，作交格点于E，连接，根据勾股定理逆定理证明，即可得到． 【详解】（1）解：四边形的面积 ； （2）解：如图，连接，，作交格点于E，连接， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． ▌对点练1-2．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度． (1)使三边的长度都是有理数的直角三角形． (2)使三边的长度都是无理数的直角三角形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 对于（1），以3,4,5为边作出直角三角形即可； 对于（2），以为边长画出直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示，，则即为所求作； （2）解：如图所示，，，，可知， 所以是直角三角形． 题型 折叠问题 解题贴士 依据折叠性质，折叠前后对应边相等、对应角相等；设未知边长为，利用等量关系用含的代数式表示直角三角形各边长；在直角三角形中列出方程求解；找准折叠后形成直角三角形的位置，不要找错等量线段. ▌例1如图．在直角三角形纸片中，，，，现将直角边沿过点的直线折叠，使它落在边上、若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程． 【答案】 【详解】解：∵在直角三角形纸片中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，∴． ▌对点练1-1如图，在长方形中，点E在边上，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点F处，，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)18 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）由折叠的性质可知，，然后再直角中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：由折叠可知：， 在长方形中，， 在中，由勾股定理得： ， ∴； （2）解：由折叠可知：， 在长方形中，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得： ∴， 解之得：， ∴， ∴． ▌对点练1-2在四边形中，，，． (1)为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处），当点落在边上时，利用尺规作图，在图中作出满足条件的图形（不写作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑）．并直接写出此时_______； (2)点为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)图形见解析， (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理： （1）以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求；设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）如图所示，以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，． 在中 ． 则． 在中 ，即 ． 解得 ． 即． （2）①如图所示，当点在线段上时． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，，． 在中 ． 则． 在中 ，即 解得． 即． ②如图所示，当点在线段的延长线上时． 根据图形折叠的性质可知． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中 ． ∴． 综上所述，或． 题型 解决梯子下滑问题 解题贴士 墙面与地面垂直，梯子长度为斜边且长度恒定不变；初始状态由求出初始直角边；梯子滑动后，再次利用求出滑动后的直角边长；前后边长作差，得到梯子下滑距离或底部外移距离，禁止直接对边长进行加减运算. ▌例1如图，长的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚的距离． (1)求梯子顶端距地面的高度； (2)若梯子顶端沿墙面向下滑动，则梯子底端向右滑动______． 【答案】(1)梯子顶端距地面的高度为； (2) 【分析】本题考查勾股定理的实际运用，理解并熟练运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意直接利用勾股定理求解即可； （2）由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，， 则， 答：梯子顶端距地面的高度为； （2）解：如图，梯子顶端A沿墙面向下滑动，即， ∴， ∴， ∴， 则梯子底端向右滑动． 故答案为：． ▌对点练1-1如图，一架长为米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为米，如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】米 【分析】在中根据勾股定理求出的长度，从而得出的长度，然后根据和勾股定理求出的长度，从而得出答案． 【详解】解：∵是直角三角形，，米，米， ∴（米）， ∵米， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∴（米）． 故梯子的底端在水平方向滑动了0.8米． ▌对点练1-2某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬长的云梯到高的宿舍楼顶营救“被困”学生．已知消防车按如图停放，云梯的底端A离地面、与宿舍外墙的距离是．云梯够长吗？请说明理由． 【答案】云梯够长 解：云梯够长．理由如下： 如图，连接． ，， ， 在中利用勾股定理，得， ， 云梯够长． 题型 解决水杯中深度、高度问题 解题贴士 将水杯竖直高度、底面半径作为两条直角边，杯内倾斜木棒为斜边，构建直角三角形；设水杯深度、木棒外露长度等未知量，结合列方程求解；分清水平底面半径、竖直高度、倾斜线段三者的对应关系，避免混淆直角边与斜边. ▌例1我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度与水的深度分别是多少？ 【答案】这根芦苇的长度为尺，水深为尺． 【分析】设水深为尺，则芦苇的长度为尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇的长度为尺， ∵水面是一个边长为尺的正方形，芦苇在水池正中央， ∴尺， 在中，, ∴， 解得：， ∴（尺）． 答：这根芦苇的长度为尺，水深为尺． ▌对点练1-1如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，求的长． 【答案】 【分析】该题考查了勾股定理的应用，在中和中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，因为， 所以． 在中， 因为， 所以， 所以． ▌对点练1-2《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）设为x尺， 则，尺． 在中，， 由勾股定理，得 ． ． 解得  ． 答：水池的深度为12尺． （2）图中，，， 则，， 在中，， 由勾股定理，得． ． 解得． 题型 航海问题 解题贴士 按照“上北下南，左西右东”画出方位示意图，南北方向与东西方向互相垂直，形成直角三角形；提取两段航行路程作为直角边，利用求出两点直线距离；区分行进路程与直线距离，准确解读北偏东、北偏西等方位描述. ▌例1如图所示，一艘轮船以的速度离开港口O点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？ 【答案】它们航行两小时后，相距． 【分析】本题考查解决航海问题（勾股定理的应用）． 根据题意可得，，，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ， ∴， ∴它们航行两小时后，相距． ▌对点练1-1如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置． (1)求的长： (2)求船向岸边移动了多少米？ 【答案】(1)10米 (2)船向岸边移动了米 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，正确计算是解题的关键． （1）用绳子的长减去收起的绳长即可求解； （2）先根据勾股定理求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：此人以米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置， （米）， （2）解：在中，，米，米，由勾股定理得， （米）， 在中，米，米，由勾股定理得， （米）， 米. 答：船向岸边移动了米． ▌对点练1-2海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日，美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，向我领海区域行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多少海里/小时？ 【答案】34海里/小时 【分析】先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意，得，，， 因为， 所以， 所以， 因为， 故， 故我军巡逻舰队的航行速度为（海里/小时）； 题型 台阶地毯长度问题 解题贴士 运用平移思想，地毯总长度=台阶所有竖直高度之和+台阶所有水平宽度之和；若给出台阶斜边长，可借助勾股定理求出总高度、总水平长度，再相加得到地毯总长，无需分段计算每一级台阶. ▌例1如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（  ）    A．65 B．85 C．90 D．150 【答案】B 【分析】勾股定理求出，平移的性质推出防滑毯的长为，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解： 由图可知：， ∵米，米， ∴米， 由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度（米），铅直的防滑毯的长度（米）， ∴至少需防滑毯的长为：（米）， ∵防滑毯宽为5米 ∴至少需防滑毯的面积为：（平方米）． 故选：． ▌对点练1-1如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 【答案】5100元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，运用勾股定理得，则得出在楼梯上铺地毯需要的长度，然后结合楼梯宽为，以及每平方米的地毯售价是150元，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得，， 在楼梯上铺地毯需要的长度为， ∵楼梯宽为， ∴需要铺地毯的面积为， ∵每平方米的地毯售价是150元， ∴购买这种地毯至少需要的费用为（元）． ▌对点练1-2某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 【答案】1020 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【详解】解：由勾股定理得， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要（元）． 故答案为：1020． 题型7 判断是否超速问题 解题贴士 根据道路垂直关系构造直角三角形，用求出车辆实际直线行驶距离；结合已知行驶时间，利用公式计算行驶速度，将计算速度与道路限速对比，判断车辆是否超速. ▌例1交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． ▌对点练1-1如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】(1)外来车辆的平均速度为 (2)能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； （2）略． ▌对点练如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】(1)米 (2)大巴车超速了 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案； （2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； （2）解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 题型8 选址问题 解题贴士 根据题目“两处距离相等”的条件设定未知数，在线段上确定选址位置；在图中找出两个直角三角形，分别用含的代数式表示边长；依据距离相等列出勾股方程 ，解方程求出选址位置. ▌例1如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，，，于A，于B，现要在上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？ 【答案】E应建在距A处 【分析】设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵于A，于B， ∴，， ∵C、D两村到E站的距离相等，即， ∴， ∴， 解得， ∴E应建在距A处． ▌对点练1-1如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设出未知数，根据勾股定理求解未知数即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴快递投放点B，C之间的距离为； （2）解：设， ∴， 在中，， ∴， 则有，解得， ∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为． ▌对点练1-2【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 【答案】 探索求证：证明：， ， ∴， 即； 问题解决：千米； 延伸扩展： 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）略 （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 题型9 河宽问题 解题贴士 河岸垂线为直角边（河宽，设为），沿岸水平距离为另一条直角边，两点斜线距离为斜边；选用变形公式 直接计算河宽；作图明确垂直关系，河宽一定是垂线段长度，不可当成斜边. ▌例1为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 【答案】A、B两点之间的距离是． 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，关键是明确直角三角形的直角顶点（），从而确定直角边与斜边，再利用勾股定理的变形公式（已知斜边和一条直角边求另一条直角边）进行计算． 题目中是直角三角形且，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即．要求、两点间的距离即求的长度，已知，，需将已知数值代入勾股定理公式，通过移项、开方计算出的长度． 【详解】解：是直角三角形且， 和为直角边，为斜边． 根据勾股定理可得：． ，，将其代入上述公式，可得： ， ， 由于线段长度为正数，得： ． 故A、B两点之间的距离是． ▌对点练1-1如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米． (1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行） (2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间． 【答案】(1)米 (2)航行总时间为67.5秒 【分析】（1）根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边的距离． （2）根据时间路程速度，求出行驶的时间即可． 【详解】（1）解：设米，则米， 在中，根据勾股定理得： ， 解得：， 答：河宽240米． （2）解：（秒）， （秒）， （秒）， 答：航行总时间为67.5秒． ▌对点练1-2学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 【答案】水潭的宽度为米． 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，直接利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴水潭的宽度为米． 题型10 最短路径问题 解题贴士 立体图形表面最短路径遵循“两点之间线段最短”，将立体侧面展开为平面图形；构造直角三角形，两条直角边对应立体图形的高与底面展开长度，使用计算斜边；长方体存在多种展开方式，需要算出多个结果后选取最小值. ▌例1如图，圆柱的底面周长为6，是底面圆的直径，点P是上一点，且，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短路程是多少？（请画出示意图） 【答案】5 【分析】本题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，首先画出圆柱的侧面展开图，可得，，在中，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面周长为6， ∴， ∵， ∴在中，． 故一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短路程是5． ▌例2如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）如图1，标记顶点，，连接，，根据勾股定理先算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． （2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出的长进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 即点到点的距离为． （2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图． 如图2所示，， 如图3所示，， 如图4所示，， 因为， 所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为． ▌对点练1-1你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在如图所示的高、宽的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，则这根木条的长至少为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， 即这根木条的长至少． ▌对点练1-2如图所示，壁虎在一座油罐的下底边处，它发现在自己的正上方，油罐上边缘的处有一只害虫，壁虎决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击，请问：壁虎沿着螺旋线至少要爬行多少米才能捕到害虫？取，底面周长取整数） 【答案】壁虎沿着螺旋线至少要爬行13米才能捕到害虫 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，用到的知识点是圆柱的侧面展开图、两点之间线段最短的运用，在解答时将实际问题转化为数学问题是解答的关键．右边的图是圆柱侧面展开图，是底面周长，是圆柱的高，根据两点之间线段最短，是壁虎至少要爬行的米数，根据勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：（米）， ∵ ∴米． 答：壁虎沿着螺旋线至少要爬行13米才能捕到害虫． ▌对点练1-3如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 【答案】(1)每一级台阶的高为2分米． (2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论； （2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米， 根据题意得，18×（4＋x）×4＝432， 解得x＝2， 答：每一级台阶的高为2分米； （2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米， 则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：AC＝（分米）， 答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． ▌对点练1-4综合与实践，如图1，点代表某工厂大门，水平直线代表一条笔直的道路，工厂计划在道路上建一个储物点． (1)如图，若车间在道路的另一侧点处． ①工作人员每天进入工厂后，先到储物点处取物品，然后到车间，请画图说明，储物点设在道路的何处，工作人员所走的路程最短，并说明画图的理论依据． ②如图3，在道路上增加一个储物点，要求储物点在储物点的右侧，两个储物点的间距固定，工作人员每天进入工厂后，先到储物点处取物品，然后沿着道路走到储物点取物品，最后到车间，请画图说明，储物点设在道路的何处，工作人员所走的路程最短． (2)如图4，若车间与大门在道路的同一侧，点、点到水平直线的距离分别为500米、300米，点、点之间的水平距离为700米，的长度为100米，工作人员所走的最短路程是多少？ 【答案】(1)①图见解析；两点之间线段最短；②图见解析 (2)1100米 【分析】（1）①根据两点之间线段最短，直接连接，与直线的交点即为储物点的位置； ②将点向右平移的长度至点，连接，与直线的交点即为储物点的位置； （2）将点向右平移的长度至点，作点关于直线的对称点，连接，作，得到，进而得到当三点共线时，，即工作人员所走的路程最短，进行求解即可. 【详解】（1）解：①如图，点即为所求，理论依据为：两点之间线段最短； ②如图，点即为所求； （2）解：将点向右平移的长度至点，作点关于直线的对称点，连接，作，如图， 则：， ∴当三点共线时，，即工作人员所走的路程最短， 由题意，， ∴， ∴的最小值为； 答：工作人员所走的最短路程是1100米. ▌对点练1-5【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点在点的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______（填字母） A．    B． C．    D． (2)【拓展应用】如图②，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱，为底面．现在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，画出示意图，并求出此最短路程的长度．（木板的厚度忽略不计，只画出路程最短的一种情况即可） 【答案】(1) (2)示意图见解析， 【分析】本题主要考查了立体图形展开、平面几何基本原理以及勾股定理的应用，解题的关键在于将立体表面转化为平面，利用平面几何知识解决最短路径问题． （1）根据圆柱的侧面展开图为长方形，再结合过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝，即可得出结论； （2）先将长方体的侧面和侧面展开，再作点关于的对称点，连接交于点，则，把立体表面的折线路径转化为平面内的线段，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：由题知，过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝， 根据两点之间线段最短可知，将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是， 故选：； （2）如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点关于的对称点，连接交于点，则， 所以， 根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，的值最小，即的值最小， 此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程， 在中，，根据勾股定理，得， 所以最短路程为． 题型11 勾股定理的逆定理的实际应用 解题贴士 设三角形三边为，先确定最长边；分别计算与，若，则该三角形为直角三角形，对应场景两条线段互相垂直；若不相等，则不存在直角，多用于检测墙角、道路、支架是否垂直. ▌例1为了响应“绿色汉中，文明汉中”的号召，某小区要在一块四边形空地上补种草皮．如图，经测量，若补种草皮的单价是20元，求完成补种共需要多少钱． 【答案】2880元 【详解】解：如图，连接，    ， ，， ，，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积， （元）， 答：完成补种共需要元． ▌例2图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】(1)线段的长度为 (2)解：该车符合安全标准， 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，． （2）解：该车符合安全标准， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴， 即该车符合安全标准． ▌对点练1-1如图，东湖景区内有一块四边形空地，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经测量，，，，． (1)请你计算出这块空地的面积； (2)观赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花多少元． 【答案】(1)234平方米 (2)7020元 【分析】（1）连接，首先利用勾股定理求出，然后利用勾股定理的逆定理得到，然后利用求解； （2）用（1）中求出的面积乘以单价即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，由勾股定理得：（米）． 在中，， ． （平方米）． （2）解：购买草坪需要的总价为（元） 答：购买草坪需要花7020元． ▌对点练1-2如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口、，其中，，由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少？ 【答案】(1)解：∵，，， ∴，， ∵ ∴ ∴是直角三角形， ∴ ∴从村庄到公路，是距离最近的路； (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，得到，即可说明； （2）利用勾股定理运算出的长，再作比较即可． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴在中，， ∴． ▌对点练1-3项目化学习：以下是某同学利用数学定理检验他的自行车是否合格的方案： 课题 检验自行车架是否合格 检验方式 说明书，数学定理 测量示意图 说明：上管，下管，，后下叉，后上叉． 设计要求：保证． 检验过程 检验步骤 数值 1．计算的长度 …… 2．确定的角度 …… 结论 …… 请你帮他判断该车架是否符合设计要求，并写出检验过程． 【答案】该车架符合设计要求，检验过程见解析 【分析】利用勾股定理求出，再证明，得到，则可得到，进而可得，故该车架符合设计要求． 【详解】解：该车架符合设计要求，检验过程如下： ∵，，， ∴， ∵，， ∵，， ∴． ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， ∴该车架符合设计要求． 基础通关 1．一块三角形沙地三边长分别为，则这块沙地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断三角形形状，再利用直角三角形面积公式计算面积即可. 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形，两条直角边长分别为和， ∴这块沙地的面积为. 2．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据勾股定理列方程，先根据题意表示出长方形对角线的长度，再利用直角三角形勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设长方形田的宽为步，宽与对角线的和为步， 则对角线长为步， ∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为步， ∴根据勾股定理可得 ，C选项符合题意． 3．如图所示，有一个棱长为2米的正方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（   ） A．6米 B．米 C．米 D．4米 【答案】B 【分析】先把正方体展开，连接，再根据勾股定理求出的值即可． 【详解】解：将正方体展开，如图所示： 在直角中， ∵，，， ∴， ∴这只蚂蚁爬行的最短路径为米． 4．如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理和折叠问题．勾股定理求出的长，折叠得到，利用即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由翻折的性质得， ∴． 故选：B． 5．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为， 最小长度为， 故箭在投壶外面部分的长度可能是， 故选：D． 6．如图，超市在医院的南偏东的方向，且到医院的距离为，公园到医院的距离为．若公园到超市的距离为，则公园在医院的北偏东_________的方向． 【答案】/60度 【分析】由题意得，，根据勾股定理逆定理得到，即可求解的度数． 【详解】解：如图，由题意得，， ∴ ∴， ∴ ∴， 故公园在医院的北偏东的方向． 7．一个圆柱形饮料罐底面周长为，高为．一只蚂蚁从底面圆周上的点处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______． 【答案】 【分析】蚂蚁爬行的最短路径长度为圆柱侧面展开图对角线的长度． 【详解】解：该圆柱形饮料罐底面周长为，高为， 如下图，其侧面展开图长为，宽为， 由勾股定理得，其侧面展开图对角线长为， 蚂蚁爬行的最短路径长度为 ． 8．手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______． 【答案】/90度 【分析】首先根据勾股定理得出的长，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形， 且． 9．如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为_________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了折叠的性质与勾股定理的综合应用，利用折叠的性质转化线段是解题的关键． 通过折叠得到对应边相等，运用勾股定理建立方程，进而求出线段长度． 【详解】解：∵四边形是长方形，且，， ∴，，， 设， ∴， 由折叠性质得：，，， ∵直线恰好经过点B， ∴， ∴和都是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 10．一艘轮船以5千米/时的速度离开港口向正北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12千米/时的速度向正东方向航行，它们离开港口一个小时后相距多少千米？ 【答案】 它们离开港口一个小时后相距13千米 【分析】本题考查勾股定理，根据已知条件，构建直角三角形，利用勾股定理进行解答． 【详解】解：如图， 由已知得，（千米），（千米）， 在中，， 则（千米）， 答：它们离开港口一个小时后相距13千米． 11．如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． (1)判断支架，是否垂直； (2)求点C到的距离 【答案】(1) 解：， 理由：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． (2) 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）过C作于D，利用等面积法进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过C作于D， ∵， ∴，解得， 即点C到的距离为． 12．某小区临街的拐角处有一块四边形空地（如图），物业准备进行绿化．经测量，，，若绿化的费用为120元，则绿化这片区域需要多少钱？ 【答案】28080元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形．且，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：如图，连接AC． ， ． ， ． 是直角三角形，且． ， （元）． 答：绿化这片区域需要28080元． 13．如图1，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图2，云梯最多能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 【答案】消防车从处向着火的楼房靠近的距离为13米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 在中，根据勾股定理得到和，于是得到结论． 【详解】解：在中， ，，， ， 在中， ，，， ， ． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为13米． 素养提升 1．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】吸管垂直放置时长度最短，斜放至底面边缘时长度最长，利用勾股定理求解． 【详解】解：当吸管垂直于底面时，在罐内部分长度最短，此时 ． 当吸管底端接触底面边缘时，在罐内部分长度最长，此时吸管、圆柱高、底面半径构成直角三角形． 由勾股定理得 ． 则 的取值范围是 ． 2．如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用网格构建直角三角形，通过勾股定理求出线段的长度． 【详解】解：根据题意可知，，，连接， ， 在中，根据勾股定理，，代入数值得 ， 点在线段上， ． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，若是的边上的高，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理计算的长，利用割补法可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ， ． 4．某公园有一处荷花池如图所示，池边有一观景栈道长100米. 为了方便市民赏花，公园决定规划一条步行观光路线(折线 )，为起点，为终点．已知、到观景栈道的距离米、米，要使池边观景路线为40米，则步行观光路线的最短长度为（       ）． A．100米 B．120米 C．140米 D．160米 【答案】C 【分析】将定长线段平移，把折线 的最短问题，转化为两点之间线段最短求解．先平移线段，再作对称点，利用勾股定理计算最短距离． 【详解】解： 米（定长）， 要使折线 最短，只需使 最短， 过点作 ，交的延长线于点，在上取， 又， ， 四边形为平行四边形，四边形为矩形， 则，即， 作点关于直线的对称点，连接，交于点， 此时最短， 有即，则四点共线， 根据米，米，米，米， 米， 米， 根据勾股定理，米， 所以步行观光路线最短长度米． 5．如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为________． 【答案】13 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键． 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点B最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得，， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程是； 故答案为：13 6．如图，在中，，点E、F在边上，将边沿翻折，使点A落在上的点D处，再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处．若，，则线段的长为______，的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质及勾股定理的应用，掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 由折叠可得，，，再根据，得出，在中，根据勾股定理可得；设，则，根据勾股定理可得，即，求得，即可得出． 【详解】解：由折叠可得，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； 设，则， ∵在中，， 在中，， ∴， 即， 解得 ∴ ∴． 故答案为：，． 7．【问题情境】如图①，在中，为边上的高． (1)【数学知识】若，，，求证：； (2)【学以致用】如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 【答案】(1)证明：∵为边上的高， ∴， ∴，， ∵，， ∴，则， ∴， ∴是直角三角形，且． (2)小华设计的房梁不安全，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴与不垂直， ∴小华设计的房梁不安全． 【分析】（1）先利用勾股定理求得，，然后求得，则；最后根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而证明结论； （2）由勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】（1）略 （2）略 8．剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支流在此汇合，自古得名“九溪归一”．如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A，沿河步道设有两个观景打卡点B，C．已知，为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条观光小路，测得，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 【答案】(1)解：为直角三角形，理由如下：            ，，， ，， ，             为直角三角形． (2)原路线的长为 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）设，则，再利用勾股定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：设，则， 由（1）知为直角三角形， ， 为直角三角形， ， 即， 解得， ， 原路线的长为． 9．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级学生在学习了“勾股定理”后，开展了测量风筝高度的实践活动，如图所示，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的学生手离地面的距离为米． (1)根据以上操作，求风筝的垂直高度； (2)如果该学生保持原地不动，想让风筝沿方向下降米到点，那么他应该往回收线多少米？（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的应用，进行解答，即可． （1）由题意可得，，，根据勾股定理求出，即可； （2）由题意可得，，求出，根据勾股定理求出，即可得到他应该往回收线的距离． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， ∴（负值已舍去）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米． （2）解：由题意得，米， ∴（米）， 在中， 由勾股定理得，（米）， （米）， 答：他应该往回收线米． 迁移创新 1．综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？” 解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长． (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 (2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长． 【答案】(1)①两点之间，线段最短；②；③13 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，能够掌握最短路径的解题思路是解题的关键． （1）根据题意填空即可； （2）连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，当点A，P，共线时，有最小值，最小值为，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为①两点之间，线段最短，将延长至点F，使得②，连接，则，，易求得③，即的最小值为的长． （2）解：如图，连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，连接，则，， 当点A，P，共线时，有最小值，最小值为， 过点A作交其延长线于点E， 到的垂直距离为，，， ， ， 从A到B的最短路程是． 2．日常生活中经常会遇到最短路径问题，数学最值常用于生活． 主题    探究最短路径问题与用数学知识设计车位 活动一：如图1，点A、B是直线l上方两点，点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，在直线l上找一点P，使最短． (1)如图2，作点与点A关于直线l对称，连接交直线l于点O，连接交直线l于点P，连接，则点P即为所求，则______， _____ （选填或）； (2)如图3，过作，过B作于C，若，则____，_____； 活动二：某小区有一个矩形停车场，长，宽，大门设在处，如图4，小区内电车日益增多，为满足电车充电需求，该小区准备在停车场地内修建相同的充电桩，每个充电桩是边长为的正方形（指修建时的占地面积，充电桩建在正方形中心点上），要求充电桩（正方形边缘）与停车场的边界及充电桩之间的距离都不小于，是两个充电桩的中心，叫做充电桩的中心距． (3)如图5，若沿方向修建一排充电桩，最多可以修建_______个充电桩，此时相邻两个充电桩的中心距为_______； (4)调研发现，在停车场四个角落修4个充电桩最合理，如图6，充电桩与停车场的边界的距离都为，需在边上修一个总电箱（视为一个点），使该电箱到的距离的和最短，则这个最短距离为__________． 【答案】(1)1， (2)4，5 (3)11，3 (4) 【分析】（1）根据轴对称的性质解答即可； （2）根据勾股定理解答即可； （3）根据题意得：沿方向修建一排充电桩，两边需要留，充电桩的中心距最小为，再由，即可求解； （4）作点关于的对称点G，连接，交于点L，连接交于点H，过点作，交于点K，则点H即为总电箱所在的位置，则，可得该电箱到的距离的和最短为的长，即可求解． 【详解】（1）解：由作法得：，； （2）解：根据题意得：， 在中，，， ， ∴； （3）解：根据题意得：沿方向修建一排充电桩，两边需要留， 充电桩的中心距最小为， 因为， 所以最多可以修建11个充电桩， 此时此时相邻两个充电桩的中心距为； （4）解：如图，作点关于的对称点G，连接，交于点L，连接交于点H，过点作，交于点K，则点H即为总电箱所在的位置，则， ∴，即该电箱到的距离的和最短为的长， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴该电箱到的距离的和最短为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 勾股定理 1.3 勾股定理的应用 课标要点 1.掌握勾股定理与勾股定理逆定理的核心内涵，能在真实生活情境、立体图形情境中，识别直角三角形模型，完成边长计算、垂直判定等基础应用。 2.掌握立体图形最短路径求解方法，能通过侧面展开，将立体问题转化为平面直角三角形问题，落实转化与化归数学思想。 3.能利用勾股定理解决生活经典模型问题，包括梯子滑动、旗杆高度、池塘测距、门框过杆、航海方位测距等实际题型。 4.能利用勾股定理逆定理，通过三边数量关系判定直角、验证垂直，解决工程测量、方位判断类实际问题。 5.经历实际问题抽象为几何模型的全过程，发展几何直观、模型观念、运算能力与应用意识四大核心素养。 学习重难点 重点： 1.熟练运用勾股定理求解实际情境中直角三角形的未知边长，规范书写解题步骤。 2.熟练掌握立体图形（圆柱、长方体）侧面展开方法，利用勾股定理求解最短爬行路径问题。 3.能准确从生活场景中抽象出直角三角形模型，掌握“找直角、定斜边、代公式、算结果” 的标准解题流程。 4.熟练运用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形，解决生活中垂直、直角验证类实操问题。 难点： 1.立体图形展开的空间转化，无法精准判断展开后直角三角形的两条直角边长度，容易混淆立体边长与平面边长。 2.复杂生活情境中隐藏直角的挖掘，不会通过作辅助线构造直角三角形，导致无法套用勾股定理解题。 3.区分勾股定理与逆定理的使用场景：已知直角求边长用勾股定理，已知边长证直角用逆定理，容易混淆误用。 4.最短路径问题的逻辑推理，无法理解 “两点之间线段最短” 结合勾股定理的原理，出现路径判断错误。 知识点 勾股定理应用的总体思路 概念：勾股定理应用的本质：把生活实际问题、立体图形问题、折叠问题、方位问题，抽象转化为直角三角形模型，再利用勾股定理求解未知边长、距离、高度、路径。. 特别提醒 1）勾股定理只用于直角三角形，非直角三角形不可直接使用. 2）所有应用题第一步：找直角、构造直角三角形. 3）这里指的是斜边、最长边，不可随意代换. 易错提醒 1.不建模、不画图，凭感觉代公式，极容易会错。 2.分不清直角边与斜边，公式代入颠倒。 3.单位不统一直接计算。 教材延伸 本节所有题型均基于三种数学思想：建模思想、转化思想、方程思想，是整个八上几何的核心解题思维。 随学随练 1．如图所示，一轮船以6海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（   ） A．20海里 B．10海里 C．30海里 D．25海里 2．把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，，则的长度是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．如图，一只蚂蚁沿棱长为1的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为（   ） A． B． C．3 D． 4．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（     ） A． B． C． D． 5．一架云梯长分米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙分米，如果梯子的顶端下滑了分米，那么梯子的底端在水平方向滑动了______分米． 6．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 知识点 梯子滑动模型 基本概念：墙、地面互相垂直，构成固定直角三角形。 梯子长度=斜边（恒定不变），滑动前后斜边长度不变，利用两次勾股定理求滑动距离。 特别提醒 1.梯子长度永远不变，是本题唯一隐藏条件。 2.下滑距离=原高−现高。 3.外移距离=现底距−原底距。 易错提醒 1.误以为梯子长度会变短或变长。 2.直接用原始边长加减，不重新计算前后高度。 教材延伸 梯子模型常考方程题型：已知滑动距离，设未知高建立方程求解。 随学随练 1．如图，长的梯子斜靠在一竖直的墙边，梯子的底端离墙脚的距离为，则梯子顶端距离地面的高度为（   ） A．1.8 B．2.4 C．2.5 D．2.6 2．如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯足将滑动（   ）． A． B． C． D． 3．如图，两个书柜相对平行摆放，当一架梯子倾斜靠在左侧书柜时，梯子底端与左侧书柜的距离为1.5米，顶端与地面的距离为2米．在保持梯子底端不变的情况下，将梯子顶端倾斜靠在右侧书柜上时，顶端与地面的距离为2.4米，则两个书柜之间的距离为（   ） A．1.5米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.5米 4．学习了“勾股定理”之后，小明同学为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；（）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③若小明同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线___________． 5．如图，是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度为3米，为1米．则滑道的长度为______． 知识点 航海方位角应用模型形 定义：利用上北下南左西右东，正北、正南与正东、正西互相垂直，航行路线构成直角三角形，用勾股定理求直线距离。 特别提醒 1.北偏东、北偏西、南偏东一定先南北、后东西。 2.必须画图确定直角顶点。 易错提醒 1.方位理解颠倒（东偏北≠北偏东）。 2.看不出垂直关系，建不出直角三角形。 教材延伸 常结合勾股定理逆定理判断航行是否垂直、是否原路折返。 随学随练 1．一艘轮船以12海里/时的速度从港口出发向北航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时后两船相距（　　） A．12海里 B．8海里 C．10海里 D．13海里 2．如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（　　） A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里 3．一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行海里到达处，此时与灯塔的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 4．如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表，以点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（   ） A． B． C． D． 5．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口一个半小时后分别位于、处，此时两艘轮船相距________． 知识点 折叠问题中的勾股定理应用 概念：根据图形折叠性质：折叠前后全等、对应边相等、对应角相等。 解题通常方法：设未知边长为 ；用折叠等量表示其余边长；在Rt△中列勾股方程求解。 特别提醒 1.折叠题必考方程思想，不用方程基本无法解。 2.重点抓取：折叠重合边=等量边。 易错提醒 1.找不到折叠相等边，无法列式。 2.代数式表达边长出错，方程列错。 教材延伸 属于八上期末大题高频：长方形折叠求边长、求折痕、求面积。 随学随练 1．如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，将折叠，使点C 与点A重合，得折痕，则的周长等于_______． 知识点 圆柱体图形最短路径问题 内容：圆柱侧面为曲面，曲面最短路径不能直接求。解题方法：侧面展开变长方形→两点连线为线段最短→构造直角三角形用勾股定理。直角边：圆柱高、底面半周长。 特别提醒 1.圆柱展开底面长度是 半周长，不是直径！ 2.最短路径一定是平面线段。 易错提醒 1.把底面直径当成展开底边（本节最大易错点）。 2.不展开直接在曲面上连线计算。 教材延伸 圆柱最短路径公式：；属于期末高频填空压轴。 随学随练 1．如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（     ） A．13cm B． C．8cm D． 2．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心．如图所示，在底面周长为，高为的柱子上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在柱子上的巨龙长至少为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为4，是上底的直径，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到，则爬行的最短距离是________． 知识点6 长方体（立方体）表面最短路径 定义：长方体表面行走，有三种展开方式，得到三种斜边长度，取最小值即为最短路径。设长宽高分别为：可得三种展开的计算公式： 1.长宽合并：；2.长高合并：；3.宽高合并： 特别提醒 1.必须三算对比取最小，不能只算一种。 2.越“扁平”的展开面，路径越短。 易错提醒 1.只算一种直接写答案。 2.展开后找错两条直角边。 教材延伸 正方体任意两点最短路径只有两类结果，可直接秒杀选择题。 随学随练 1．如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，长方体的长，宽，高，点在上，且．如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，那么它爬行的最短路程是（     ） A． B． C． D． 3．如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长米，宽米，高米．工作人员要从箱底的点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 拓展 模型观念素养内涵 能够将生活实际场景、立体图形场景、动态变化场景，剥离无关信息，抽象固化为直角三角形数学模型，利用勾股定理解决现实问题，是本章应用题的核心解题素养。 1.场景模型化能力：所有实际问题（梯子、航海、折叠、立体路径、工程测量），本质全部是直角三角形模型，解题第一步必须完成“实景→几何图形”的转化，拒绝凭题意硬算。 2.动态模型不变量思维：梯子滑动、图形折叠、路径变换等动态问题中，抓恒定条件（梯子长度不变、折叠边长不变），以不变应万变，是压轴题核心突破口。 3.方程模型构建能力：遇到边长未知、边长存在数量关系的题型，主动设未知数，建立勾股方程模型，突破单纯公式计算的局限，适配所有中高难度题型。 4.模型归类迁移能力：掌握经典固定模型（圆柱展开模型、长方体三路径模型、方位角垂直模型、梯子滑动模型），可直接迁移到同类变式题，实现举一反三。 活学活用 1．综合与实践 物理知识：光的反射定律：反射角等于入射角． 如图，直线为水平平面镜，，，垂足分别为C、D，入射点O是线段的中点，为法线，已知，． (1)求入射光线的长度； (2)求反射光线的长度． 2．项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 3．春节即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动广播车在公路上进行广播宣传．如图，已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶，嘉嘉家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，，又，假如移动广播车周边米以内能听到广播宣传． (1)判断的形状并说明理由； (2)请你通过计算说明嘉嘉在家能听到广播吗？ (3)若移动广播车在笔直的公路上以米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，嘉嘉在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，嘉嘉在家刚好不再听到广播，即米，问嘉嘉在家听到广播宣传的时长是多长？ 拓展 几何直观素养内涵 通过画图、展开图形、还原立体结构，直观感知图形边角关系、垂直关系、线段长短关系，依托图形辅助推理，规避逻辑漏洞，解决无图、立体、动态几何难题。 1.无图题主动作图能力：航海、测距、高度测量等无题干图形的题型，必须自主绘制简易几何示意图，精准定位直角、边长、方位，避免审题错误。 2.立体图形平面化直观能力：具备空间想象能力，可将圆柱、长方体曲面或立体表面，直观展开为平面图形，理解“立体最短路径=平面线段”的几何原理。 3.图形折叠直观推理能力：能直观识别折叠前后重合边、相等角、全等图形，快速锁定直角三角形位置，精准抓取解题等量条件。 4.数形结合纠错能力：依托图形直观区分直角边与斜边、垂直与不垂直关系，杜绝公式代反、边长找错、模型用错等低级易错点。 活学活用 4．课外活动上，老师带着科技小组进行滑轮实验．同学们将一根没有弹性的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示（），物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，绳长（）为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮A，滑块B和物体C的大小忽略不计，都看作一个点） (1)求实验初始状态下的长； (2)如图2，若物体C上升到达的高度时，滑块B水平向左滑动到，求的长． 5．如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即），如图1到达的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度； (2)当秋千静止后，如果将秋千往前推送（即），如图2求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 6．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”． 在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理； 图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理． (1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理． (2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______； A．函数思想         B．整体思想         C．分类讨论思想         D．数形结合思想 【知识应用】 (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 题型 勾股定理在网格问题中的应用 解题贴士 利用网格横、竖线互相垂直的特点构造直角三角形，数方格得到两条直角边长；运用勾股定理计算网格内斜线段长度；若需要判断三角形形状，则结合勾股定理逆定理验证，注意找准线段对应的直角三角形，不要随意选取方格边长. ▌例1 如图，网格中的的顶点都在格点上，若小方格边长均为1，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 ▌对点练1-1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形的四个顶点均在格点上． (1)求四边形的面积； (2)探究四边形对角线、的位置关系． ▌对点练1-2．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度． (1)使三边的长度都是有理数的直角三角形． (2)使三边的长度都是无理数的直角三角形． 题型 折叠问题 解题贴士 依据折叠性质，折叠前后对应边相等、对应角相等；设未知边长为，利用等量关系用含的代数式表示直角三角形各边长；在直角三角形中列出方程求解；找准折叠后形成直角三角形的位置，不要找错等量线段. ▌例1如图．在直角三角形纸片中，，，，现将直角边沿过点的直线折叠，使它落在边上、若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程． ▌对点练1-1如图，在长方形中，点E在边上，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点F处，，． (1)求的长； (2)求的面积． ▌对点练1-2在四边形中，，，． (1)为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处），当点落在边上时，利用尺规作图，在图中作出满足条件的图形（不写作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑）．并直接写出此时_______； (2)点为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 题型 解决梯子下滑问题 解题贴士 墙面与地面垂直，梯子长度为斜边且长度恒定不变；初始状态由求出初始直角边；梯子滑动后，再次利用求出滑动后的直角边长；前后边长作差，得到梯子下滑距离或底部外移距离，禁止直接对边长进行加减运算. ▌例1如图，长的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚的距离． (1)求梯子顶端距地面的高度； (2)若梯子顶端沿墙面向下滑动，则梯子底端向右滑动______． ▌对点练1-1如图，一架长为米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为米，如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ ▌对点练1-2某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬长的云梯到高的宿舍楼顶营救“被困”学生．已知消防车按如图停放，云梯的底端A离地面、与宿舍外墙的距离是．云梯够长吗？请说明理由． 题型 解决水杯中深度、高度问题 解题贴士 将水杯竖直高度、底面半径作为两条直角边，杯内倾斜木棒为斜边，构建直角三角形；设水杯深度、木棒外露长度等未知量，结合列方程求解；分清水平底面半径、竖直高度、倾斜线段三者的对应关系，避免混淆直角边与斜边. ▌例1我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度与水的深度分别是多少？ ▌对点练1-1如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，求的长． ▌对点练1-2《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 题型 航海问题 解题贴士 按照“上北下南，左西右东”画出方位示意图，南北方向与东西方向互相垂直，形成直角三角形；提取两段航行路程作为直角边，利用求出两点直线距离；区分行进路程与直线距离，准确解读北偏东、北偏西等方位描述. ▌例1如图所示，一艘轮船以的速度离开港口O点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？ ▌对点练1-1如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置． (1)求的长： (2)求船向岸边移动了多少米？ ▌对点练1-2海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日，美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，向我领海区域行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多少海里/小时？ 题型 台阶地毯长度问题 解题贴士 运用平移思想，地毯总长度=台阶所有竖直高度之和+台阶所有水平宽度之和；若给出台阶斜边长，可借助勾股定理求出总高度、总水平长度，再相加得到地毯总长，无需分段计算每一级台阶. ▌例1如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（  ）    A．65 B．85 C．90 D．150 ▌对点练1-1如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ ▌对点练1-2某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 题型7 判断是否超速问题 解题贴士 根据道路垂直关系构造直角三角形，用求出车辆实际直线行驶距离；结合已知行驶时间，利用公式计算行驶速度，将计算速度与道路限速对比，判断车辆是否超速. ▌例1交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    ▌对点练1-1如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． ▌对点练1-2如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 题型8 选址问题 解题贴士 根据题目“两处距离相等”的条件设定未知数，在线段上确定选址位置；在图中找出两个直角三角形，分别用含的代数式表示边长；依据距离相等列出勾股方程 ，解方程求出选址位置. ▌例1如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，，，于A，于B，现要在上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？ ▌对点练1-1如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． ▌对点练1-2【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 题型9 河宽问题 解题贴士 河岸垂线为直角边（河宽，设为），沿岸水平距离为另一条直角边，两点斜线距离为斜边；选用变形公式 直接计算河宽；作图明确垂直关系，河宽一定是垂线段长度，不可当成斜边. ▌例1为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． ▌对点练1-1如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米． (1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行） (2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间． ▌对点练1-2学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 题型10 最短路径问题 解题贴士 立体图形表面最短路径遵循“两点之间线段最短”，将立体侧面展开为平面图形；构造直角三角形，两条直角边对应立体图形的高与底面展开长度，使用计算斜边；长方体存在多种展开方式，需要算出多个结果后选取最小值. ▌例1如图，圆柱的底面周长为6，是底面圆的直径，点P是上一点，且，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短路程是多少？（请画出示意图） ▌例2如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． ▌对点练1-1你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在如图所示的高、宽的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，则这根木条的长至少为多少？ ▌对点练1-2如图所示，壁虎在一座油罐的下底边处，它发现在自己的正上方，油罐上边缘的处有一只害虫，壁虎决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击，请问：壁虎沿着螺旋线至少要爬行多少米才能捕到害虫？取，底面周长取整数） ▌对点练1-3如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ ▌对点练1-4综合与实践，如图1，点代表某工厂大门，水平直线代表一条笔直的道路，工厂计划在道路上建一个储物点． (1)如图，若车间在道路的另一侧点处． ①工作人员每天进入工厂后，先到储物点处取物品，然后到车间，请画图说明，储物点设在道路的何处，工作人员所走的路程最短，并说明画图的理论依据． ②如图3，在道路上增加一个储物点，要求储物点在储物点的右侧，两个储物点的间距固定，工作人员每天进入工厂后，先到储物点处取物品，然后沿着道路走到储物点取物品，最后到车间，请画图说明，储物点设在道路的何处，工作人员所走的路程最短． (2) 如图4，若车间与大门在道路的同一侧，点、点到水平直线的距离分别为500米、300米，点、点之间的水平距离为700米，的长度为100米，工作人员所走的最短路程是多少？ ▌对点练1-5【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点和下底面上与点相对的点嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点在点的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______（填字母） A．    B． C．    D． (2)【拓展应用】如图②，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱，为底面．现在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，画出示意图，并求出此最短路程的长度．（木板的厚度忽略不计，只画出路程最短的一种情况即可） 题型11 勾股定理的逆定理的实际应用 解题贴士 设三角形三边为，先确定最长边；分别计算与，若，则该三角形为直角三角形，对应场景两条线段互相垂直；若不相等，则不存在直角，多用于检测墙角、道路、支架是否垂直. ▌例1为了响应“绿色汉中，文明汉中”的号召，某小区要在一块四边形空地上补种草皮．如图，经测量，若补种草皮的单价是20元，求完成补种共需要多少钱． ▌例2图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． ▌对点练1-1如图，东湖景区内有一块四边形空地，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经测量，，，，． (1)请你计算出这块空地的面积； (2)观赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花多少元． ▌对点练1-2如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口、，其中，，由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少？ ▌对点练1-3项目化学习：以下是某同学利用数学定理检验他的自行车是否合格的方案： 课题 检验自行车架是否合格 检验方式 说明书，数学定理 测量示意图 说明：上管，下管，，后下叉，后上叉． 设计要求：保证． 检验过程 检验步骤 数值 1．计算的长度 …… 2．确定的角度 …… 结论 …… 请你帮他判断该车架是否符合设计要求，并写出检验过程． 基础通关 1．一块三角形沙地三边长分别为，则这块沙地的面积为（    ） A． B． C． D． 2．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，有一个棱长为2米的正方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（   ） A．6米 B．米 C．米 D．4米 4．如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 6．如图，超市在医院的南偏东的方向，且到医院的距离为，公园到医院的距离为．若公园到超市的距离为，则公园在医院的北偏东_________的方向． 7．一个圆柱形饮料罐底面周长为，高为．一只蚂蚁从底面圆周上的点处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______． 8．手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______． 9．如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为_________． 10．一艘轮船以5千米/时的速度离开港口向正北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12千米/时的速度向正东方向航行，它们离开港口一个小时后相距多少千米？ 11．如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． (1)判断支架，是否垂直； (2)求点C到的距离 12．某小区临街的拐角处有一块四边形空地（如图），物业准备进行绿化．经测量，，，若绿化的费用为120元，则绿化这片区域需要多少钱？ 13．如图1，某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图2，云梯最多能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 素养提升 1．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（     ） A． B． C． D． 2．如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，若是的边上的高，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．某公园有一处荷花池如图所示，池边有一观景栈道长100米. 为了方便市民赏花，公园决定规划一条步行观光路线(折线 )，为起点，为终点．已知、到观景栈道的距离米、米，要使池边观景路线为40米，则步行观光路线的最短长度为（       ）． A．100米 B．120米 C．140米 D．160米 5．如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为________． 6．如图，在中，，点E、F在边上，将边沿翻折，使点A落在上的点D处，再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处．若，，则线段的长为______，的面积为______． 7．【问题情境】如图①，在中，为边上的高． (1)【数学知识】若，，，求证：； (2)【学以致用】如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 8．剑江河发源于斗篷山，谷江、杨柳街河、邦水河、清塘河等九条支流在此汇合，自古得名“九溪归一”．如图，在剑江河笔直的河流一侧有一露营地A，沿河步道设有两个观景打卡点B，C．已知，为方便游客，计划在沿河步道建一处休憩平台D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条观光小路，测得，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 9．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级学生在学习了“勾股定理”后，开展了测量风筝高度的实践活动，如图所示，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的学生手离地面的距离为米． (1)根据以上操作，求风筝的垂直高度； (2)如果该学生保持原地不动，想让风筝沿方向下降米到点，那么他应该往回收线多少米？（结果保留根号） 迁移创新 1．综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？” 解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长． (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 (3) 如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长． 2．日常生活中经常会遇到最短路径问题，数学最值常用于生活． 主题    探究最短路径问题与用数学知识设计车位 活动一：如图1，点A、B是直线l上方两点，点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，在直线l上找一点P，使最短． (1)如图2，作点与点A关于直线l对称，连接交直线l于点O，连接交直线l于点P，连接，则点P即为所求，则______， _____ （选填或）； (2)如图3，过作，过B作于C，若，则____，_____； 活动二：某小区有一个矩形停车场，长，宽，大门设在处，如图4，小区内电车日益增多，为满足电车充电需求，该小区准备在停车场地内修建相同的充电桩，每个充电桩是边长为的正方形（指修建时的占地面积，充电桩建在正方形中心点上），要求充电桩（正方形边缘）与停车场的边界及充电桩之间的距离都不小于，是两个充电桩的中心，叫做充电桩的中心距． (3)如图5，若沿方向修建一排充电桩，最多可以修建_______个充电桩，此时相邻两个充电桩的中心距为_______； (4)调研发现，在停车场四个角落修4个充电桩最合理，如图6，充电桩与停车场的边界的距离都为，需在边上修一个总电箱（视为一个点），使该电箱到的距离的和最短，则这个最短距离为__________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $