3.2 平面直角坐标系 教学设计 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦平面直角坐标系的概念、点与坐标关系、坐标特征及建系方法。通过复习数轴引入坐标系（第1课时），衔接坐标系概念复习坐标特征（第2课时），再以坐标特征复习过渡到建系（第3课时），构建从一维到二维的知识支架。 资料以情境化探究驱动学习，如北京景点图助理解坐标系（数学眼光），笑脸图分析象限特征（数学思维），长方形建系实践（数学语言）。培养抽象能力、推理意识与应用意识，学生易掌握数形结合，教师教学有清晰步骤与检测，提升课堂效率。

3.2 平面直角坐标系 第1课时 平面直角坐标系 教学设计 课题 第1课时 平面直角坐标系 授课人 教学目标 1.经历建立平面直角坐标系的过程，进一步认识平面上的点与坐标之间的关系，发展数形结合意识。 2.认识并能画出平面直角坐标系；在给定的平面直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。 3.通过直观感知、操作验证的方式理解平面直角坐标系中点与有序实数对的关系，进一步渗透数形结合的思想。 教学重点 理解平面直角坐标系的有关概念，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。 教学难点 平面直角坐标系中点与有序实数对的关系。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 复习导入 在直线上规定了原点、正方向、单位长度就构成了数轴。 数轴上的点可以用一个数来表示，这个数叫做这个点在数轴上的坐标。 例如点 A 在数轴上的坐标为 －3 ，点 B 在数轴上的坐标为 2。 知道数轴上一个点的坐标，这个的点在数轴上的位置也就确定了。 ☀思考 类比数轴，在平面能否用点表示具体位置？如何表示？ 通过复习，体会点的位置特征，从而引入本节课内容。 探究新知 1.平面直角坐标系 右图呈现了北京市部分景点的大致位置，小亮和来访的朋友位于卢沟桥，小亮如何向来访的朋友介绍图中各个景点的位置呢? 思考 （1）如图,小亮在景点图上画上了方格，标上数字，并用(0,0)表示卢沟桥的位置，用(11,4)表示天安门广场的位置，那么北京奥林匹克公园的位置如何表示?(5,12)表示哪个景点的位置?(6,5)呢? 解：(11，12)表示北京奥林匹克公园； (5，12)表示圆明园； (6，5)表示玉渊潭公园。 （2）如图，如果小亮和他的朋友位于天安门广场，并用(0,0)表示天安门广场的位置，那么你能表示北京奥林匹克公园的位置吗？卢沟桥的位置呢？ 解：北京奥林匹克公园：(0，8)， 卢沟桥：(－11，－4)。 教师提问：这里的位置是如何确定的？ 教师归纳： 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。 三要素：(1)两条数轴；(2)互相垂直；(3)公共原点。 水平的数轴称为 x 轴或横轴； 铅直的数轴称为 y 轴或纵轴； x 轴和 y 轴统称坐标轴； 它们的公共点O叫平面直角坐标系的原点。 建立了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一组有序实数对来表示了。 思考：如图,点 P 的位置如何表示呢？ 先由 点P 向 x 轴画垂线，垂足 M 在 x轴上的坐标是是 a ；称为点 P 的横坐标。 后由点 P 向 y 轴画垂线，垂足 N 在 y 轴上的坐标是 b 。 称为 P 点的纵坐标。 这样点 P 的横坐标是 a，纵坐标是 b，规定把横坐标写在前，纵坐标在后，记作：P(a，b) 教师归纳：有序实数对(a，b)称为点 P 的坐标。 针对练习 在平面直角坐标系中找点 A(3,－2)。 思考 观察如图所示的平面直角坐标系，有什么发现？ 在平面直角坐标系中，两条坐标轴（即横轴和纵轴）把平面分成四个区域。 分别称为第一，二，三，四象限。 教师提示：坐标轴上的点不属于任何一个象限。 2.已知点位置写出点坐标 （链接例1） 3.已知点的坐标描述位置 思考 （1）在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点： A(－5,0)，B(1,4)， C(3,3)，D(1,0)， E(3,－3)，F(1,－4)。 （2）依次连接A,B,C,D,E,F,A,你能得到什么图形？ 如图所示，得到的图形是心形。 （3）在平面直角坐标系中，点与有序实数对之间有何关系？ 一一对应。 教师归纳： 在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点,都有唯一的一个有序实数(即点的坐标）与它对应； 反过来，对于任意一个有序实数对,都有平面上唯一的一点与它对应。 也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的。 通过以上充分的操作交流活动，类比数轴学生容易得出坐标平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系，实现了从一维到二维，从 特殊到一般的跨越，从而达成教学目标二，并且突出重点，突破难点。 典例精析 【例1（教材P59例1）】 写出下图中的多边形 ABCDEF 各个顶点的坐标。 【解】A（-2，0）；B（0，-3）；C（3，-3）；D（4，0）；E（3，3）；F（0，3）。 巩固本节所学知识。 随堂检测 1．如图，平面直角坐标系的画法正确的是( C ) 2．在平面直角坐标系中，点 A(2，－3)位于( D ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为( A ) A．(3，－2) B．(－2，3) C．(－3，2) D．(2，－3) 4．如图，小手盖住的点的坐标可能为( C ) A．(5，2) B．(－6，3) C．(－4，－6) D．(3，－4) 5．写出满足条件的 A，B 两点的坐标． (1)点 A 在 x 轴上，位于原点右侧，距离原点 2 个单位长度； (2)若点 B 在 x 轴的下侧，y 轴的左侧，距离每条坐标轴的距离都是 3 个单位长度． 解：(1)∵点 A 在 x 轴上，位于原点右侧，距离原点 2 个单位长度， ∴点 A 的横坐标为 2，纵坐标为 0， ∴ A (2，0)。 (2)∵点 B 在 x 轴下侧，y 轴的左侧， ∴点 B 是第三象限内的点。 ∵点 B 到各坐标轴的距离都是3， ∴点 B 的坐标为(－3，－3)。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学识的掌握情况。 课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第1课时 平面直角坐标系 习题解析 教学反思 第2课时 点的坐标特征 教学设计 课题 第2课时 点的坐标特征 授课人 教学目标 1.知道在坐标轴上的点以及与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征。 2.知道各象限内点的坐标特征。 3.经历描点、连线、画图以及由点找坐标等过程，进一步体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系，发展数形结合意识。 教学重点 1.坐标轴上点的坐标特征和各象限内点的坐标的符号特征。 2.平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征。 教学难点 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 复习导入 在平面内，两条互相垂直且具有公共原点的数轴组成的平面直角坐标系； 其中，水平的数轴叫x轴或横轴，竖直的数轴叫y轴或纵轴，O为坐标原点。 为本节内容做铺垫。 探究新知 1.坐标轴上的点的坐标特征 （链接例题第（1）小题） 教师归纳： 在平面直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有什么特点？ 2.平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 （链接例题第（2）（3）小题） 教师追问：线段 EC 与 y 轴有什么位置关系？ 线段 FG 与 x 轴有什么位置关系？ 教师归纳： 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征： (1)与 x 轴平行的直线上各点的 纵 坐标都相同； (2)与 y 轴平行的直线上各点的 横 坐标都相同。 3.象限内的点的坐标特征 思考： 下图中有一个笑脸。 （1）在“笑脸”上找出几个位于第一象限的点，指出它们的坐标，说说这些点的坐标有什么特点。 （2）在其他象限内分别找几个点，看看其他各个象限内的点的坐标有什么特点。 （3）不描出点，分别判断 A(1, 2)，B(－1,－3), C(2, －1), D(－3, 4)所在的象限。 解：(1)如图，第一象限坐标E(5,2),F(2,3)；这些点的横、纵坐标都是正实数。 （2）如图，第二象限坐标 G(-2,3),H(-5,2),这些点的横坐标是负实数，纵坐标是正实数； 第三象限坐标 M(－3,－3),P(－1,－1),这些点的横、纵坐标都是负实数； 第四象限坐标 N(3,－3),Q(1,－1),这些点的横坐标是正实数，纵坐标是负实数. （3）点 A(1, 2)在第一象限，点 B(-1, -3)在第三象限, 点 C(2, -1)在第四象限, 点 D(-3, 4)在第二象限。 教师归纳： 象限内点的特征： 思考： 满足下列条件的点 P（a，b）具有什么特征？ （1）当点 P 落在一、三象限的两条坐标轴夹角平分线上时。 （2）当点 P 落在二、四象限的两条坐标轴夹角平分线上时。 解：（1）a＝b （2）a＝－b 教师归纳： 特殊位置的点的特征： 典例精析 【例1（教材P61例2）】在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点用线段依次连接。 ① D(-3,5), E(-7, 3),C(l,3),D(-3,5)； ② F(-6,3), G(-6,0),A(0,0),B(0,3)。 观察所描出的图形，它像什么？根据图形回答下列问题： （1）图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点？ （2）线段 EC 与 x 轴有什么位置关系？点 E 和点 C 的坐标有什么特点？线段 EC 上其他点的坐标呢？ （3）点 F 和点 G 的横坐标有什么共同特点？线段 FG 与 y 轴有怎样的位置关系？ 【解】如图，各点连接起来的图形像房子。 （1）线段 AG 上的点都在 x 轴上，它们的纵坐标都是 0；线段 AB 上的点、线段 CD 与 y 轴的交点都在 y 轴上，它们的横坐标都是 0。 （2）线段 EC 与 x 轴平行，点 E 和点 C 的纵坐标相同；线段 EC 上其他点的纵坐标也相同，都是 3。 （3）点 F 和点 G 的横坐标相同，线段 FG 与 y 轴平行。 随堂检测 1．点 P (－3，2)到 x 轴的距离为( D ) A．－3 B．－2 C．3 D．2 【变式】若点 P (1，b)到 x 轴的距离为2，则 b 等于( C ) A．2 B．－2 C．2或－2 D．± 2．若 P (a，0)中 a＜0，则点 P 位于( B ) A．x轴正半轴 B．x轴负半轴 C．y轴正半轴 D．y轴负半轴 3．已知点 P (m＋3，2m＋4)在 y 轴上，那么点 P 的坐标为( C ) A．(－2，0) B．(1，0) C．(0，－2) D．(0，1) 4．过点 A(－3，2)和点 B(－3，5)作直线，则直线AB( A ) A．平行于 y 轴 B．平行于 x 轴 C．与 y 轴相交 D．与 y 轴垂直 5．在如图所示的平面直角坐标系中，描出 A(－2，1)，B(3，1)，C(－2，－2)，D(3，－2)四个点。 (1)线段 AB，CD 有什么关系？并说明理由； (2)顺次连接 A，B，C，D 四点组成的图形，你认为它像什么？请写出一个具体名称。 解：(1)AB∥CD，AB＝CD。 理由如下： ∵ A(－2，1)，B(3，1)， ∴点 A，B 的纵坐标相同。 ∴ AB∥x 轴。 同理，CD∥x轴。 ∴ AB∥CD。 ∵ AB＝|－2－3|＝5，CD＝|－2－3|＝5， ∴ AB＝CD。 (2)如图，顺次连接 A，B，C，D四点组成的图形像字母“Z”。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况。 课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你收获了什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第2课时 点的坐标特征 习题解析 教学反思 第3课时 建立适当的平面直角坐标系 教学设计 课题 第3课时 建立适当的平面直角坐标系 授课人 教学目标 1.能结合所给图形的特点，建立适当的坐标系，写出点的坐标，灵活的选取既简便又易懂的方法求解。 2.能根据已知点的坐标复原坐标系。 3.经历建立坐标系描述图形和复原坐标系的过程，进一步发展数形结合思想和优化思想。 教学重点 （1）根据实际问题，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标。 （2）根据特殊点的坐标复原坐标系。 教学难点 （1）能自主选择合适的直角坐标系来研究图形的性质，体会优化的思想。 （2）根据特殊点的坐标复原坐标系。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 复习导入 1.位于 x 轴上的点的坐标的特征: ; 位于 y 轴上的点的坐标的特征: 。 2.与 x 轴平行的直线上点的坐标的特征: ； 与 y 轴平行的直线上点的坐标的特征: 。 通过复习，为本节内容做铺垫。 探究新知 1.建立适当的平面直角坐标系表示点的坐标 （链接例1） 探究 对于例 1 的问题，你还有其他建立平面直角坐标系的方法吗？它们分别有什么特点? 教师归纳： 建立平面直角坐标系的步骤: (1)定原点。尽可能选择一些特殊点作为坐标原点(如垂足、顶点、中心等)； (2)定坐标轴。坐标轴尽可能建立在已知图形中的线段上； (3)完善平面直角坐标系,如箭头、坐标轴符号、原点、单位长度等。 注意： （1）选取的坐标系不同，同一点的坐标不同； （2）为使计算简化，证明方便，需要恰当地选取坐标系； （3）“恰当”意味着要充分利用图形的特点： 垂直关系、对称关系、平行关系、中点等。 2.根据已知点的坐标确定平面直角坐标系 （链接例2） 教师提醒：想一想，还有其他方法吗？ 思考： 如图，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了坐标为 A (3，2)和 B (3，－2)的两个标志点，并且知道藏宝地点的坐标为(4，4)，如何确定平面直角坐标系找到“宝藏”？ 解：由题意，建立如图所示平面直角坐标系。 则“宝藏”的位置为点P(4,4)。 鼓励学生用多种方法解题并总结，拓展学生思维。关注学生所建立的不同坐标系的特点，在鼓励学生的同时，组织同学们尽可能的总结优法。 通过问题的设计，让学生展示自己的成果，激发求知欲，提高学习兴趣。 典例精析 【例1（教材P63例3）】 如图,长方形 ABCD 的长与宽分别是 6 和 4 ，建立适当的平面直角坐标系,写出各个顶点的坐标。 【解】如图,以点 C 为坐标原点,分别以CD, CB 所在的直线为 x 轴、 y 轴，建立平面直角坐标系。此时 C 点坐标为(0,0)。 由 CD＝6, CB＝4 ,可得 D, B , A 的坐标分别为 D(6,0), B(0,4),A(6,4)。 【例2（教材P63例4）】如图1，对于边长为 4 的等边三角形 ABC , 建立适当的平面直角坐标系 ,写出各个顶点的坐标。 【解】如图 2 ,以边 BC 所在的直线为 x 轴,以边 BC 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系。 由等边三角形的性质可知，△ABO是直角三角形。 ∴ AO＝ ＝ ＝2。 ∴ 顶点 A,B,C 的坐标分别为 A (0,2)，B (－2,0)，C (2,0)。 通过例1和例2让学生感受建立直角坐标系方法的多样性，为自主选择合适的直角坐标系研究图形的性质做好铺垫。 随堂检测 1．如图，把狮子座的星座图放在网格中，若点 A 的坐标是(1，1)，点 B 的坐标是(2，3)，则点 C 的坐标是( B ) A．(0，2) B．(－1，2) C．(－2，0) D．(－1，1) 2．如图是 A，B，C，D 四位同学的家所在位置，若以 A 同学家的位置为坐标原点建立平面直角坐标系，C 同学家的位置的坐标为(1，5)，则 B，D 两同学家的位置的坐标分别为( D ) A．(2，3)，(3，2) B．(3，2)，(2，3) C．(2，3)，(－3，2) D．(3，2)，(－2，3) 3．如图，长方形 ABCD 的边 CD 在 y 轴上，原点 O 为 CD 的中点。已知 AB＝4，边 AB 交 x 轴于点 E(－5，0)，则点 B 的坐标为( ) A．(－5，2) B．(－2，－5) C．(5，－2) D．(－5，－2) 4．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱。如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(0，－2)，“马”位于点(4，－2)，则“卒”位于点 （-1,1） 。 5．如图，正方形 ABCD 的边长为 6 。 (1)如果以点 A 为原点，AB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，那么 y 轴是哪条直线？ (2)写出正方形的顶点 A，B，C，D 的坐标； (3)请另建立一个平面直角坐标系，此时正方形的顶点 A，B，C，D 的坐标又分别是多少？ 解：(1) y 轴是 AD 所在的直线。 (2)A(0，0)，B(6，0)，C(6，6)，D(0，6)。 (3)此题答案不唯一，如：以 D 为原点，DC 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系。 则 A(0，－6)，B(6，－6)，C(6，0)，D(0，0)。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况。 课堂小结 1.本节课你学到了哪些知识？ 2.数学思想方法方面你有哪些收获？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第3课时 建立适当的平面直角坐标系 一、建系原则： 1.点在坐标轴上 2.特殊线段所在直线为坐标轴 3.以某已知点为原点 二、例题展示 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $