1.2 一定是直角三角形吗（暑假预科讲义）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 1.2一定是直角三角形吗 知识归纳与题型总结 考点01 直角三角形的判别条件 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 考向01 判断三边能否构成直角三角形 【例1】在中，，，，若，则的度数是__________． 考向02 在网格中判断直角三角形 【例2】如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 考向03 利用勾股定理的逆定理求解 【例3】如图，在中，点是边上一点，连接．若，，．，求的长． 考向04 勾股定理逆定理的拓展问题 【例4】如图，在四边形中，，过D作交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 【对点1】下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（     ） A．1，1， B．1，2，3 C．2，3，5 D．1，1，2 【对点2】如图，在平面直角坐标系中，A，B，C各点坐标分别为，，． (1)仅用直尺在给出的图形中画出的重心G；（不写作法） (2)画出关于x轴对称的图形，并写出点，，的坐标； (3)判断的形状，并说明理由； (4)直接写出的面积：　　　　． 【对点3】如图，在四边形中，，，，，，判断与的位置关系，并说明理由． 【对点4】定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 考点02 勾股数 1. 勾股数 定义 满足的三个正整数，称为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数 ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 常见形式 ①，，（大于1的全部数）； ②，，（n为正整数）等 2. 判断勾股数的方法步骤: (1)确定三个是正整数； (2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和； (3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是． 考向01 勾股树（数）问题 【例1】下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．7，8，10 B．8，24，25 C．5，12，13 D．5，10，13 【对点1】如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形的面积分别是，则正方形E的边长为_________． 一、选择题 1．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第2026个图形中正方形的个数为（     ） A．2027 B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（   ） A．14 B．16 C．25 D．32 3．下列各组数中，能构成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 4．分别以下列各组数为边的三角形，不是直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．下列各组数中，属于勾股数的一组是（     ） A． B．，， C．，， D．5，12，13 6．如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 7．一个三角形的三边长分别为，则这个三角形最长边上的高是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，点是的中点，连接，则的长为（   ） A．6 B． C．7 D． 9．如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 10．我们知道，如果直角三角形的三边长都是正整数，这样的三个正整数就叫作一组勾股数．如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方和，即：，那么称为广义勾股数，给出下面的结论：①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数；⑤若，，，其中，，，，均为正整数，则，，为一组勾股数；⑥一个正奇数（除1外）与两个和等于此正奇数平方的连续正整数是一组勾股数．结论正确的是（    ） A．②③⑤⑥ B．①③④⑤ C．②⑤⑥ D．②④⑤⑥ 二、填空题 11．如图，，，，，，则四边形的面积是______． 12．如图是一株美丽的勾股树，图中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，的面积分别为，，则正方形的面积是________． 13．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2026次后形成的图形中所有正方形的面积和是______． 14．对于一个四位正整数，满足各个数位上的数字均不相等，且千位数字与个位数字的平方和等于百位数字与十位数字所组成的两位数，则称这个数为“勾股形数”．如：四位数3254，是“勾股形数”；四位数7846，不是“勾股形数”，则最小的四位“勾股形数”为___________．对于一个“勾股形数”，记能被9整除，为整数，则的最大值与最小值的和为___________． 15．如果正整数满足方程，且互素，那么就称这三个数是一组本原勾股数．若为一组“本原勾股数”，则______． 三、解答题 16．下面给出了勾股定理的逆定理及其证明方法，请根据证明中辅助线的作法用尺规完成作图，并将证明过程补充完整． 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形． 已知：在中，，，，且． 求证：是直角三角形． 证明：作，在上截取，上截取，连接． （________）（填推理的依据）， 即． ________（已知）， ． 在和中， ，，________， （________）（填推理的依据）． ，即是直角三角形． 17．如图，在中，，，，．求： (1)的周长； (2)判断是否是直角三角形？为什么？ 18．如图，在四边形中，，，，．如果，判断与是否也垂直，并说明理由． 19．如图1，在中，为的中点，为延长线上一点，连接交于点，过点作，垂足为点，交的延长线于点．延长至点，使，连接、．已知． (1)求证：； (2)如图2，当时： ①求证：； ②若，，求线段的长． 20．如图1，四边形中，，分别以线段，，，边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，连接，利用勾股定理可以得到：．根据材料提示完成下列问题： (1)如图2，是中边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，请写出，，，的等量关系___________； (2)如图3，在中，，，点是上一点，且，若，求证：是直角三角形； (3)如图4，在中，分别以线段，，为边向外作正方形，正方形的面积分别，，试求出的面积． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 1.2一定是直角三角形吗 知识归纳与题型总结 考点01 直角三角形的判别条件 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 考向01 判断三边能否构成直角三角形 【例1】在中，，，，若，则的度数是__________． 【答案】 【分析】先对已知等式变形，得到三角形三边的数量关系，再利用勾股定理的逆定理判断的形状，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且． 考向02 在网格中判断直角三角形 【例2】如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【答案】/45度 【分析】将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至，可得，证明为等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至， 则点的对应点为点，点的对应点为，， ， ，，， ，， 为等腰直角三角形， ． 考向03 利用勾股定理的逆定理求解 【例3】如图，在中，点是边上一点，连接．若，，．，求的长． 【答案】21 【分析】由勾股定理的逆定理可证为直角三角形，得出，从而得出为直角三角形，再用勾股定理可求出，最后根据即可求出． 【详解】解：， ， 为直角三角形，， ， ， ． 考向04 勾股定理逆定理的拓展问题 【例4】如图，在四边形中，，过D作交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线性质，得，结合，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得到证明即可． （2）根据，结合得，只需证明即，故证明即可． 本题考查了平行线的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【对点1】下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（     ） A．1，1， B．1，2，3 C．2，3，5 D．1，1，2 【答案】A 【分析】先利用三角形三边关系判断能否构成三角形，再根据勾股定理的逆定理，验证两短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断． 【详解】解：对于选项A：∵，满足三角形三边关系， ∴能构成三角形， 又∵， ∴能构成直角三角形，故A正确； 对于选项B：，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故B错误； 对于选项C：，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故C错误； 对于选项D：，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故D错误． 【对点2】如图，在平面直角坐标系中，A，B，C各点坐标分别为，，． (1)仅用直尺在给出的图形中画出的重心G；（不写作法） (2)画出关于x轴对称的图形，并写出点，，的坐标； (3)判断的形状，并说明理由； (4)直接写出的面积：　　　　． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，，， (3)是直角三角形，理由见解析 (4)8 【分析】（1）过点A、B分别连接其对边的中点，二者交于点G； （2）作出A、B、C关于x轴对称的对应点，，，顺次连接即可； （3）分别计算出，，，然后利用勾股定理的逆定理求解即可； （4）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，点G即为所求； （2）解：如图，即为所求； ∴，，； （3）解：是直角三角形， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （4）解：的面积． 【对点3】如图，在四边形中，，，，，，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】先利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理逆定理求出是直角三角形，则，从而得出结论． 【详解】解：，理由如下： ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，、， ， ， ， ． 【对点4】定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)BN＝12或13 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 考点02 勾股数 1. 勾股数 定义 满足的三个正整数，称为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数 ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 常见形式 ①，，（大于1的全部数）； ②，，（n为正整数）等 2. 判断勾股数的方法步骤: (1)确定三个是正整数； (2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和； (3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是． 考向01 勾股树（数）问题 【例1】下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．7，8，10 B．8，24，25 C．5，12，13 D．5，10，13 【答案】C 【分析】根据勾股数的定义，勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，利用勾股定理的逆定理逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A中， ， ，，故A不符合题意． 选项B中， ，，，故B不符合题意． 选项C中，，，即，且三个数均为正整数，故C符合题意． 选项D中， ，，，故D不符合题意． 【对点1】如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形的面积分别是，则正方形E的边长为_________． 【答案】 【分析】根据勾股定理的几何意义：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，因此： 正方形A面积 + 正方形B面积 = 中间第一个正方形的面积， 正方形C面积 + 正方形D面积 = 中间第二个正方形的面积， 正方形E的面积 = 两个中间正方形的面积和 = ． 【详解】解：∵， ∴正方形的边长为． 一、选择题 1．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第2026个图形中正方形的个数为（     ） A．2027 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题图可知，第1个图形有1个正方形， 第2个图形中共有个正方形， 第3个图形中共有个正方形， 第4个图形中共有个正方形， 第5个图形中共有个正方形， …… 第2026个图形中共有个正方形． 2．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（   ） A．14 B．16 C．25 D．32 【答案】B 【分析】根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ . 3．下列各组数中，能构成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理判断，若三角形两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，逐一计算验证即可． 【详解】解：A选项，最长边为，，，，不能构成直角三角形，故A不符合题意； B选项，最长边为，，，，不能构成直角三角形，故B不符合题意； C选项，最长边为，，，，能构成直角三角形，故C符合题意； D选项，最长边为，，，，不能构成直角三角形，故D不符合题意； 故选：C． 4．分别以下列各组数为边的三角形，不是直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理，验证每个选项中三边是否满足两短边的平方和等于最长边的平方，不满足的即为所求． 【详解】选项A：最长边为，， 是直角三角形，故A选项不符合题意； 选项B：最长边为，，，， 不是直角三角形，故B选项符合题意； 选项C：最长边为，， 是直角三角形，故C选项不符合题意； 选项D：最长边为，， 是直角三角形，故D选项不符合题意． 5．下列各组数中，属于勾股数的一组是（     ） A． B．，， C．，， D．5，12，13 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义，勾股数是能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，需同时满足“三个数都是正整数”“两个较小数的平方和等于最大数的平方”两个条件，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．都不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意． B．不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意． C．，，都不是正整数，不符合勾股数定义，该选项不符合题意． D．三个数都是正整数，，符合勾股数定义，该选项符合题意． 6．如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，推而广之即可求出“生长”2025次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：设直角三角形的三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得，即． “生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是； “生长”2次后，所有的正方形的面积和是， “生长”3次后，所有的正方形的面积和是， … “生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是． 7．一个三角形的三边长分别为，则这个三角形最长边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题先利用勾股定理逆定理判断三角形的形状，确定最长边为直角三角形的斜边，再利用三角形面积的两种表示方法列方程求解最长边上的高． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形，最长边是斜边， 设最长边上的高为， ∵ 三角形面积可表示为，也可表示为， ∴， 解得． 8．如图，在中，，点是的中点，连接，则的长为（   ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再根据中点的定义求出的长度，最后在中用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ∴， ∴． ∵点是的中点， ∴． ∴在中， ． 9．如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 10．我们知道，如果直角三角形的三边长都是正整数，这样的三个正整数就叫作一组勾股数．如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方和，即：，那么称为广义勾股数，给出下面的结论：①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数；⑤若，，，其中，，，，均为正整数，则，，为一组勾股数；⑥一个正奇数（除1外）与两个和等于此正奇数平方的连续正整数是一组勾股数．结论正确的是（    ） A．②③⑤⑥ B．①③④⑤ C．②⑤⑥ D．②④⑤⑥ 【答案】C 【分析】根据广义勾股数和勾股数的定义，逐个判断每个结论，通过举例排除错误结论，计算验证正确结论，最终得到正确选项． 【详解】解：① 小于7的正整数平方为，，，，不存在两个正整数平方和等于7，所以7不是广义勾股数，故①不符合题意； ②因为，所以13是广义勾股数，故②符合题意； ③因为，，均为广义勾股数，和为，而无法写成两个正整数的平方和，所以不是广义勾股数，故③不符合题意 ④因为，，均为广义勾股数，积为，而无法表示两个正整数的平方和，故④不符合题意； ⑤ ， 又∵均为正整数， ∴，，为一组勾股数，故⑤符合题意； ⑥设除外的正奇数为，两个连续正整数为，由题意得， 解得：， ∴，二者均为正整数， ∵， 即，三个数均为正整数，符合勾股数定义，故⑥符合题意， 综上，正确结论为②⑤⑥． 二、填空题 11．如图，，，，，，则四边形的面积是______． 【答案】24 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据四边形的面积求解即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积． 12．如图是一株美丽的勾股树，图中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，的面积分别为，，则正方形的面积是________． 【答案】 5 【分析】设正方形，，的边长分别为，，，根据勾股定理可知，结合正方形面积公式即可求解． 【详解】解：设正方形，，的边长分别为，，． 由题意得：，． 由勾股定理得：， ∴正方形的面积是5． 13．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2026次后形成的图形中所有正方形的面积和是______． 【答案】2027 【分析】根据直角三角形性质得到“生长”规律，进而求解即可． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为：、，斜边为， ∴， ∵正方形的边长为， ∴， 由图可知，“生长”次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， ∴所有正方形的面积和为：， 由图可知，“生长”次后，所有正方形的面积和为：， …… 按此规律，“生长”次后，所有正方形的面积和为：． 14．对于一个四位正整数，满足各个数位上的数字均不相等，且千位数字与个位数字的平方和等于百位数字与十位数字所组成的两位数，则称这个数为“勾股形数”．如：四位数3254，是“勾股形数”；四位数7846，不是“勾股形数”，则最小的四位“勾股形数”为___________．对于一个“勾股形数”，记能被9整除，为整数，则的最大值与最小值的和为___________． 【答案】 1265 8111 【分析】依据要求，最小的四位“勾股形数”千位数字应为1，个位数字至少应为4，但，则百位数字与千位数字重合，不合题意，则当个位数字为5时，符合题意；由题意可得，，则只能是9，再就a与d的取值一一讨论并验证为整数即可． 【详解】解：最小的四位“勾股形数”千位数字应为1，个位数字至少应为4，但，则百位数字与千位数字重合，不合题意，则当个位数字为5时，百位数字与十位数字分别为2与6，满足题意，故最小的四位“勾股形数”为1265； ∵为一个四位“勾股形数”， ∴， ∴ ， ∵能被9整除， ∴是9的倍数， 由题意得M的各个数位上的数字均不相等，则， ∴只能是9， 当时，， 但不为整数，不符合题意； 当时，， 但不为整数，不符合题意； 当时，， 但不为整数，不符合题意； 当时，， 且为整数，符合题意； 此时M最大为6453； 当时，， 且为整数，符合题意； 此时M最小为1658； 而， 即的最大值与最小值的和为8111． 15．如果正整数满足方程，且互素，那么就称这三个数是一组本原勾股数．若为一组“本原勾股数”，则______． 【答案】50或800 【分析】根据题意，易得40必为直角边，设直角三角形的斜边长为，另一条直角边的长为，推出，设，得到，进而得到或，求出或，即可得出结果. 【详解】解：∵正整数满足方程，且互素， 则必为一奇一偶， ∴为奇数， ∵为一组“本原勾股数”，且40为偶数， ∴40必为直角三角形的一条直角边的长，为一条直角边和一条斜边的长， 设直角三角形的斜边长为，另一条直角边的长为， 则， ∴， ∵和互素， ∴均为偶数，且最大公约数为2， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴满足条件的只有两组：或， ∴或， 解得：或， ∴或. 三、解答题 16．下面给出了勾股定理的逆定理及其证明方法，请根据证明中辅助线的作法用尺规完成作图，并将证明过程补充完整． 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形． 已知：在中，，，，且． 求证：是直角三角形． 证明：作，在上截取，上截取，连接． （________）（填推理的依据）， 即． ________（已知）， ． 在和中， ，，________， （________）（填推理的依据）． ，即是直角三角形． 【答案】解：如图 勾股定理； ； ； ． 【分析】先作一个直角，使其两条直角边与已知的两边对应相等，利用勾股定理算出新三角形斜边长度等于，再通过证明两个三角形全等，从而推出有直角，完成逆定理证明． 【详解】略 17．如图，在中，，，，．求： (1)的周长； (2)判断是否是直角三角形？为什么？ 【答案】(1) (2)直角三角形，原因见详解 【分析】（1）先由勾股定理分别求出长度，再求的周长即可； （2）由（1）中求出的的三边长度，由勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】（1）解：， ， 在中，，，，则由勾股定理可得； 在中，，，，则由勾股定理可得； 的周长为； （2）解：是直角三角形， 原因如下： 由（1）知，， ， 即， 是直角三角形． 18．如图，在四边形中，，，，．如果，判断与是否也垂直，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】先计算出，再结合、的长度，利用勾股定理的逆定理进行判断． 【详解】解：．理由如下： ∵，即， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 19．如图1，在中，为的中点，为延长线上一点，连接交于点，过点作，垂足为点，交的延长线于点．延长至点，使，连接、．已知． (1)求证：； (2)如图2，当时： ①求证：； ②若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析②线段的长为 【分析】（1）根据证明得出，，可得，得出，再根据勾股定理逆定理证明即可得； （1）①连接，可得，证明，，由可证明，根据证明即可得出； ②根据勾股定理得，求出，得出，设，则，由面积关系得，可求出，故线段的长为． 【详解】（1）证明∵是的中点， ∴ ∵，， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴； （2）解：①证明：连接， ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴由勾股定理得， ∵由①知，， ∴， ∵是的角平分线， ∴点到直角边，的距离均为4 ∴， ∵，， ∴ 设，则， ∴， 解得， ∴线段的长为． 20．如图1，四边形中，，分别以线段，，，边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，连接，利用勾股定理可以得到：．根据材料提示完成下列问题： (1)如图2，是中边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，请写出，，，的等量关系___________； (2)如图3，在中，，，点是上一点，且，若，求证：是直角三角形； (3)如图4，在中，分别以线段，，为边向外作正方形，正方形的面积分别，，试求出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）在两个直角三角形中利用勾股定理分别表示，得出各边平方的关系，将正方形面积转化为边长平方，即可得出四个面积的等量关系； （2）设表示出，利用双直角三角形共高列方程求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形即可； （3）由正方形面积得三边平方与长，作高设元，利用共高列方程求高，最后用面积公式计算的面积即可． 【详解】（1）解：在和中， ，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴； （2）证明：∵， ∴设，则， ∵ ∴， ∵，， ∴在和中， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：如图，过点作于点， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴和中， ， 解得， ∴， ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $