第七章 证明复习讲义2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第七章 证明 知识归纳与题型总结 题型01 为什么要证明 【典例1-1】【探究】相邻两个数其平方数的差值规律． 【特例】 序号 式子 差值 第1个 3 第2个 5 第3个 7 第4个 9 第5个 11 … … … 【任务】 (1)按照上述规律，请你写出第6个式子； (2)观察表格可知，相邻两个数其平方数的差值为________(填“奇数”或“偶数”)，请你用所学的知识证明该结论． 【典例1-2】观察下列各式： ； ； ； ． (1)根据上面各式的规律可得______；为正整数 (2)利用（1）中的结论，求的值； (3)若，求的值． 【典例1-3】观察下列等式：，…．归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是________． 题型02 认识证明 一、命题 1. 判断某一件事情的语句叫命题． 2. 命题的定义包含两层含义 （1）命题必须是一个完整的句子，常为陈述句； （2）命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断． 二、命题的组成与分类 1. 许多命题由条件和结论两部分组成．条件是已知的事项；结论是由已知事项推出的事项．这样的命题通常可写成“如果……，那么……”的形式．用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分就是结论． 2. 命题分真假命题，正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了．在数学中，这种方法称为“举反例”． 三、定义 我们需要用不同的语句来说明我们学过的许多名词各自所包含的确切意义，例如，我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义．这样的语句叫做这些名词的定义． 四、定理 公认的真命题称为基本事实．数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理． 对于基本事实，它是不需要推理论证的真命题，它可以作为判断其他命题真假的依据，它是经过证明的真命题，但并不是所有的真命题都是定理，定理可以作为进一步判断其他命题真假的依据． 五、证明及证明的一般步骤 1. 根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明． 2. 证明的一般步骤 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据． 【典例2-1】对于下列四个命题： ①如果有两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ②如果和是对顶角，那么 ③一个角的余角一定小于这个角的补角 ④如果和互余，与的余角互补，那么和互补 真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【典例2-2】说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 【典例2-3】判断下列命题的真假．如果是假命题，请举出反例． (1)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)四边形的两条对角线相等； (3)若，则； (4)若两个有理数的和小于，则这两个有理数的积也小于． 题型03 平行线的证明 【典例3-1】如图，，． (1)延长线段，交于点，请根据题意补全图形； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)在（2）的条件下，若平分，于点，，求的度数． 【典例3-2】如图，在中，点是边上一点，，，，判断与的数量关系，并说明理由． 【典例3-3】如图，在三角形中，D，E分别是边，上的点，连接，，点F在线段上，连接，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 一、选择题 1．下列命题中，真命题是（     ） A．是无理数 B．介于3到4之间 C．的平方根是 D．平方根是它本身的数是0和1 2．下列关于三角形的命题不是真命题的是（     ） A．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 B．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 C．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 D．一条直角边相等且斜边上的高相等的两个直角三角形全等 3．下列命题：①相等的角是对顶角；②三角形的三条高线交于一点；③三角形的重心是三条角平分线的交点；④三条边对应相等的两个三角形全等．其中真命题有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．下面命题为真命题的是（     ） A．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； B．若，满足，，则； C．在平面直角坐标系中，点P的坐标是，轴，且，则点一定在第二象限； D．若，为整数，则最小值是． 5．对于命题“若，则．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（     ） A．， B．， C．， D．， 6．如图，在中，、相交于点，平分．可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例是（     ） A． B． C． D． 7．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（     ） A．， B． C．， D．， 8．下列命题中：其中真命题有（     ） ①实数与数轴上的点一一对应；②某校七年级有400名学生，随机抽取40名学生进行视力调查，样本是抽取的40名学生；③过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；④若点在坐标轴上，则．⑤已知点，点，则轴． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 9．小华和小益进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小华出了6次石头，1次剪刀，3次布；②小益出了4次石头，3次剪刀，3次布；③10次对决中没有平局；④你不知道他们的出拳顺序，则这十次对决中小华赢了（   ）次． A．4 B．5 C．6 D．7 10．下面四个命题： ①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ②一个有理数与一个无理数的积一定是无理数； ③两个无理数的和一定是无理数； ④两个无理数的积一定是无理数． 其中真命题的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．要证明命题“若，为有理数，且，则”为假命题，可以举的反例为__________．（写出一种情况即可） 12．请写出一个能说明命题“若，则”是假命题的实数：________． 13．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数 ， 的值为____________，____________． 14．“互为补角的两个角中一定有一个钝角”是假命题，请举出一个反例：___________． 15．某学校大力普及校园足球运动，在各年级分别举行了足球比赛，要求每两支参赛球队均要比赛一场，根据积分进行排名，比赛的积分规则为每胜一场得3分，每负一场得0分，每平一场各得1分．该校九年级共有5支球队参赛，最终各支球队的积分均不相同，积分最低的球队积1分． （1）积分最低的球队负________场； （2）积分排名第三的球队最低积________分， 三、解答题 16．判断下列说法是否正确，若不正确，请举出反例： (1)只要一组数据中新添加一个数据，平均数就一定会跟着变动； (2)只要一组数据中有一个数据变动，中位数就一定会跟着变动． 17．某校信息科技社团用语言编写了一个多位数转换程序，其核心算法逻辑如下： 读取一个多位数，统计该数中每一位数字在整个数中出现的频次，再将原数每一位替换为对应数字的频次，生成新的多位数并输出． 程序运行示例如下： 输入：111→输出：333 输入：4421→输出：2211 输入：988→输出：122 将上述转换过程记为，例如，，． 求： (1)______； (2)对于一个多位数M，记，，． （ⅰ）若M是一个两位数，且满足，则M为______； （ⅱ）若M是一个四位数，当时，直接列出对应的所有四位数． 18．命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题请说明理由，如果是假命题请举出反例． 19．对于正数和，如果整数满足（且），定义一种能求出的新运算： ． 例如：因为，所以； (1)填空： ； (2)这个新运算的性质与我们所学的幂运算有联系，探究它的性质． ①举一个反例说明“若，则”是假命题： ， ， ； ②，该性质的证明过程如下： 设，则，． 由此新运算的定义可得：． 请参考以上方法，证明性质：． 20．2014年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组，在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场．根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分．已知： ①这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数； ②乙队总得分排在第一； ③丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的． 根据以上条件可以推断：总得分排在第四的是_____队．（要有推断过程） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 第七章 证明 知识归纳与题型总结 题型01 为什么要证明 【典例1-1】【探究】相邻两个数其平方数的差值规律． 【特例】 序号 式子 差值 第1个 3 第2个 5 第3个 7 第4个 9 第5个 11 … … … 【任务】 (1)按照上述规律，请你写出第6个式子； (2)观察表格可知，相邻两个数其平方数的差值为________(填“奇数”或“偶数”)，请你用所学的知识证明该结论． 【答案】(1) (2) 奇数． 证明：设相邻两个整数为n和， 则它们的平方差为， ∵n为整数， ∴也为偶数， ∴为奇数， ∴相邻两个整数其平方数的差值为奇数． 【分析】本题考查了平方差公式，数字规律探究及奇数与偶数的性质． （1）通过特例中的序号、式子、差值的规律即可表示出第6个式子； （2）设较小的数为n，较大的数位，再计算平方数的差值，最后分析的奇偶性即可． 【详解】（1）解：按照上述规律可知，第6个式子为：． （2）解：略． 【典例1-2】观察下列各式： ； ； ； ． (1)根据上面各式的规律可得______；为正整数 (2)利用（1）中的结论，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查代数式规律问题，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键． （1）根据题干中的等式总结规律即可； （2）将原式乘以后利用规律计算即可； （3）将方程左边乘以后利用规律计算即可． 【详解】（1）由已知等式可得，为正整数， 故答案为：； （2）由（1）可得，为正整数， 原式； （3）， ， ， ． 【典例1-3】观察下列等式：，…．归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是________． 【答案】4 【分析】根据题意，得出的个位数字的变化规律即可解决问题. 【详解】解：由题意可得： 所以的个位数字按循环. 又因为 所以的个位数字是4. 故答案为：4. 题型02 认识证明 一、命题 1. 判断某一件事情的语句叫命题． 2. 命题的定义包含两层含义 （1）命题必须是一个完整的句子，常为陈述句； （2）命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断． 二、命题的组成与分类 1. 许多命题由条件和结论两部分组成．条件是已知的事项；结论是由已知事项推出的事项．这样的命题通常可写成“如果……，那么……”的形式．用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分就是结论． 2. 命题分真假命题，正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了．在数学中，这种方法称为“举反例”． 三、定义 我们需要用不同的语句来说明我们学过的许多名词各自所包含的确切意义，例如，我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义．这样的语句叫做这些名词的定义． 四、定理 公认的真命题称为基本事实．数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理． 对于基本事实，它是不需要推理论证的真命题，它可以作为判断其他命题真假的依据，它是经过证明的真命题，但并不是所有的真命题都是定理，定理可以作为进一步判断其他命题真假的依据． 五、证明及证明的一般步骤 1. 根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明． 2. 证明的一般步骤 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据． 【典例2-1】对于下列四个命题： ①如果有两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ②如果和是对顶角，那么 ③一个角的余角一定小于这个角的补角 ④如果和互余，与的余角互补，那么和互补 真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题结合平行线性质，对顶角性质，余角补角的定义，逐个判断命题真假，即可得到真命题个数． 【详解】①根据平行线的性质，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故①是真命题； ②由对顶角的性质可知，对顶角相等，因此如果和是对顶角，那么，故②是真命题； ③设这个角为，因为该角有余角，因此，该角的余角为，补角为，因为，因此，即一个角的余角一定小于这个角的补角，故③是真命题； ④因为和互余，因此的余角为，又因为与的余角互补，因此，即和互补，故④是真命题； 综上，四个命题均为真命题． 故选：A． 【典例2-2】说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 【答案】见解析 【分析】根据题意写出已知和求证，再利用数的整除证明． 【详解】解：已知：能被3整除，其中，，，且都为整数． 求证：能被3整除． 证明： ， ∵，，，且都为整数， ∴能被3整除， 又∵能被3整除， ∴能被3整除， 即“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 【典例2-3】判断下列命题的真假．如果是假命题，请举出反例． (1)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)四边形的两条对角线相等； (3)若，则； (4)若两个有理数的和小于，则这两个有理数的积也小于． 【答案】(1)真命题 (2)假命题，反例见解析 (3)假命题，反例见解析 (4)假命题，反例见解析 【详解】（1）解：“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”是真命题； （2）解：“四边形的两条对角线相等”是假命题，反例：普通的平行四边形（非矩形），对角线的长度不相等； （3）解：“若，则”是假命题，反例：当，时，，但，，此时； （4）解：“若两个有理数的和小于，则这两个有理数的积也小于”是假命题，反例：两个有理数和，它们的和为，而它们的积为． 题型03 平行线的证明 【典例3-1】如图，，． (1)延长线段，交于点，请根据题意补全图形； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)在（2）的条件下，若平分，于点，，求的度数． 【答案】(1)补全图形如图所示； (2)证明：， ． ， ， ． (3) 【分析】（1）按照题目要求延长线段与交于点，补全几何图形即可． （2）根据已知得到同旁内角互补，结合进行等量代换得到内错角相等，进而证明． （3）利用平行线的性质得到对应角相等，结合角平分线定义、垂直的定义，通过角的和差计算求出的度数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，， ，． 平分， ． ， ． ， ， ， ． 【典例3-2】如图，在中，点是边上一点，，，，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 【分析】由可得，结合已知可证，即可得． 【详解】略 【典例3-3】如图，在三角形中，D，E分别是边，上的点，连接，，点F在线段上，连接，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据同角的补角相等，得到，即可得证； （2）根据平行线的性质，角平分线的定义以及角的和差关系求出的度数，再根据平角的定义即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 一、选择题 1．下列命题中，真命题是（     ） A．是无理数 B．介于3到4之间 C．的平方根是 D．平方根是它本身的数是0和1 【答案】C 【分析】根据立方根、无理数、平方根估算、平方根的概念，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，2是有理数，故本选项的命题是假命题； B、由得，即介于4到5之间，故本选项的命题是假命题； C、，4的平方根是，则的平方根是，故本选项的命题是真命题； D、1的平方根是，不是1本身，只有0的平方根是它本身，故本选项的命题是假命题． 2．下列关于三角形的命题不是真命题的是（     ） A．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 B．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 C．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 D．一条直角边相等且斜边上的高相等的两个直角三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，需根据全等三角形的判定定理判断各选项命题的真假，全等三角形判定必须至少有一组对应边相等才能成立． 【详解】∵ 判定两个三角形全等，必须至少有一组对应边相等. 对各选项逐一判断： A、两条直角边对应相等，直角是两直角边的夹角，符合全等判定，是真命题； B、 斜边对应相等，且一锐角对应相等，符合全等判定，是真命题； C、 只有两个锐角对应相等，没有对应边相等，不能判定全等，因此该命题不是真命题； D、 一条直角边相等且斜边上的高相等，可先通过证明直角边与高构成的小直角三角形全等，得到对应锐角相等，再通过证明两个大直角三角形全等，是真命题． 3．下列命题：①相等的角是对顶角；②三角形的三条高线交于一点；③三角形的重心是三条角平分线的交点；④三条边对应相等的两个三角形全等．其中真命题有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】根据对顶角的概念，三角形的高、重心的概念，全等三角形的判定，逐个判断每个命题的真假，统计真命题个数即可. 【详解】解：①对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时同位角相等，因此①是假命题； ②钝角三角形的三条高线作为线段不存在公共交点，仅三条高线所在直线交于一点，因此②是假命题； ③三角形的重心是三条中线的交点，因此③是假命题； ④根据全等三角形的判定定理，三条边对应相等的两个三角形全等，因此④是真命题； 综上，真命题共有1个. 4．下面命题为真命题的是（     ） A．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； B．若，满足，，则； C．在平面直角坐标系中，点P的坐标是，轴，且，则点一定在第二象限； D．若，为整数，则最小值是． 【答案】B 【分析】逐一判断每个选项命题的真假，用到平行线性质、绝对值性质、平面直角坐标系的相关初中知识推导即可． 【详解】解：选项A：两个角的两边互相平行时，这两个角相等或互补，故选项A是假命题； 选项B：， ， 可得：， ； 将代入， 得：，把代入得：， 整理得； 若，则， ，则， 代入得， 解得：， 则， ， 故B选项是真命题； 选项C：，轴，， 的纵坐标为，横坐标为或， 即Q为（第一象限）或（第二象限）， 不一定在第二象限， 故C选项是假命题； 选项D：，，为整数， 的取值为，，，，，，，最小值是，不是， 故D选项是假命题． 5．对于命题“若，则．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】要说明命题“若，则”是假命题，只需找到满足条件，但不满足结论的的值即可． 【详解】解：选项A：∵，， ∴，，可得，满足命题条件，又，不满足命题结论， ∴可以说明该命题是假命题； 选项B：，，满足，也满足，不能说明命题是假命题； 选项C：，，满足，也满足，不能说明命题是假命题； 选项D：，，，不满足命题条件，不能说明命题是假命题． 6．如图，在中，、相交于点，平分．可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要说明命题“相等的角是对顶角”是假命题，需要举出一个反例，即找到两个角相等，但它们不是对顶角；根据角平分线的定义可得，这两个角相等但不是对顶角，符合反例的要求． 【详解】解：∵平分， ∴； 又∵与有公共边，它们不是对顶角， ∴可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例； 对于B选项，与是对顶角，不能作为反例； 对于A、C选项，角不相等，不满足命题的题设． 7．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（     ） A．， B． C．， D．， 【答案】B 【分析】能说明原命题是假命题的反例，需要满足原命题的条件，但不满足原命题的结论，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，且，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意； B、∵， ∴，且，可以说明原命题是假命题，故此选项符合题意； C、∵，， ∴，不满足，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，不满足，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意． 8．下列命题中：其中真命题有（     ） ①实数与数轴上的点一一对应；②某校七年级有400名学生，随机抽取40名学生进行视力调查，样本是抽取的40名学生；③过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；④若点在坐标轴上，则．⑤已知点，点，则轴． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】根据实数与数轴的对应关系、样本的定义、垂直的基本性质、坐标轴上点的坐标特征、平行于坐标轴的点的坐标特征依次判断即可 【详解】解：逐个判定命题真假： ① 实数与数轴上的点一一对应，符合实数的基本性质，是真命题； ② 样本是总体中抽取的个体的研究指标，本题总体是400名学生的视力，样本应为抽取的40名学生的视力，不是40名学生本身，因此是假命题； ③ 正确定理为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”，原命题缺少“在同一平面内”的限定条件，因此是假命题； ④ 若点在坐标轴上，则点在轴时，在轴时，两种情况都满足，因此是真命题； ⑤ 点和点纵坐标相等，因此轴，是真命题； 综上，真命题共有3个 9．小华和小益进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小华出了6次石头，1次剪刀，3次布；②小益出了4次石头，3次剪刀，3次布；③10次对决中没有平局；④你不知道他们的出拳顺序，则这十次对决中小华赢了（   ）次． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查推理论证，需根据无平局的规则，结合双方出拳次数对应分析赢的情况． 【详解】解：∵10次对决无平局， ∴小华出石头（6次）时，小益只能出剪刀或布（小益共3次剪刀、3次布，总数6次，刚好对应）， ∵石头赢剪刀， ∴这6局中小华赢了3次， 又∵小华剩余1次剪刀、3次布，对应小益的4次石头（）， ∵布赢石头， ∴这4局中小华赢了3次， ∴小华共赢了次， 故选：C． 10．下面四个命题： ①一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ②一个有理数与一个无理数的积一定是无理数； ③两个无理数的和一定是无理数； ④两个无理数的积一定是无理数． 其中真命题的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】通过反例判断各命题真假，即可判断． 本题考查了命题的判断，实数的运算及无理数、有理数的定义，熟知以上知识是解题关键． 【详解】对于命题①：设为有理数，为无理数，若为有理数，则为有理数，矛盾，∴为无理数，命题①真； 对于命题②：取反例，有理数0与无理数的积为0，是有理数，∴命题②假； 对于命题③：取反例，无理数与的和为0，是有理数，∴命题③假； 对于命题④：取反例，无理数与的积为2，是有理数，∴命题④假； ∴真命题只有1个； 故选：A． 二、填空题 11．要证明命题“若，为有理数，且，则”为假命题，可以举的反例为__________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】要证明该命题为假命题，只需举出满足命题条件，不满足命题结论的反例即可． 命题条件为为有理数且，命题结论为，因此只需找到满足条件不满足结论的一组即可． 【详解】解：取，， ，都是有理数， ，， 满足， 但，即不满足， ∴可作为该命题的反例． 12．请写出一个能说明命题“若，则”是假命题的实数：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】要说明一个命题是假命题，只需举出满足命题题设，不满足命题结论的反例即可，本题题设为，结论为，只需找出符合要求的反例即可． 【详解】解：当时，，满足题设条件，，不满足的结论，因此可以说明原命题是假命题． 13．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数 ， 的值为____________，____________． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【详解】解：取，满足，但， 故能说明该命题是假命题．（答案不唯一，满足 且即可） 14．“互为补角的两个角中一定有一个钝角”是假命题，请举出一个反例：___________． 【答案】 两个的角互为补角 【分析】根据补角的定义，找出和为且两个角都不是钝角的例子，即可得到原命题的反例． 【详解】解：根据补角定义，互为补角的两个角和为， 当两个角均为时，两角和为，满足互为补角的条件，且两个角都不是钝角，符合反例要求， 因此可举反例为：两个的角互为补角 ． 15．某学校大力普及校园足球运动，在各年级分别举行了足球比赛，要求每两支参赛球队均要比赛一场，根据积分进行排名，比赛的积分规则为每胜一场得3分，每负一场得0分，每平一场各得1分．该校九年级共有5支球队参赛，最终各支球队的积分均不相同，积分最低的球队积1分． （1）积分最低的球队负________场； （2）积分排名第三的球队最低积________分， 【答案】 3 4 【分析】（1）先确定每支球队共比赛4场，结合积分规则分析最低积分1分的组成，即可得到负场数； （2）要使排名第三的球队积分最低，需让前两名积分尽可能高，再结合各队积分均不同的条件，构造验证得到第三的最低积分． 【详解】解：每两支参赛球队均要比赛一场，每支球队共比赛场． （1）已知积分最低的球队积1分，根据积分规则，1分只能是 ，即该队0胜1平3负，因此负场数为3． （2）设五支球队按积分从高到低为，其中积1分，要使积分最低，需让积分尽可能高． 安排四战全胜，积分；负于，战胜，积分，满足积分不同． 再安排比赛结果：负于，平，得1分，符合要求；负于，平，得分；负于，平，胜，得分． 此时积分排序为 ，所有积分均不同，符合题意． 若积3分，则第四位只能是2分，无论如何安排，都会出现积分重复或第三名为更高积分的球队，因此最低积4分． 三、解答题 16．判断下列说法是否正确，若不正确，请举出反例： (1)只要一组数据中新添加一个数据，平均数就一定会跟着变动； (2)只要一组数据中有一个数据变动，中位数就一定会跟着变动． 【答案】(1)说法不正确，反例见解析 (2)说法不正确，反例见解析 【分析】根据两个统计量的计算方法，构造反例即可说明两个说法均错误． 【详解】（1）解：说法不正确． 取原数据为 原平均数为 ． 新添入数据后，新数据为 新平均数为 ，平均数未发生变动． （2）解：说法不正确． 取原数据为 原数据从小到大排列后，中位数为． 将原数据中变动为，新数据为， 新数据从小到大排列后，中位数仍为，中位数未发生变动． 17．某校信息科技社团用语言编写了一个多位数转换程序，其核心算法逻辑如下： 读取一个多位数，统计该数中每一位数字在整个数中出现的频次，再将原数每一位替换为对应数字的频次，生成新的多位数并输出． 程序运行示例如下： 输入：111→输出：333 输入：4421→输出：2211 输入：988→输出：122 将上述转换过程记为，例如，，． 求： (1)______； (2)对于一个多位数M，记，，． （ⅰ）若M是一个两位数，且满足，则M为______； （ⅱ）若M是一个四位数，当时，直接列出对应的所有四位数． 【答案】(1) (2)（ⅰ）22；（ⅱ）或或或或 【分析】（1）根据算法逻辑求解； （2）（ⅰ）根据算法逻辑得出十位和个位上的数字相同，且等于频次2，求解即可； （ⅱ）根据算法逻辑可得，每个数位上的数字等于频次，求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：（ⅰ）若M是一个两位数，且满足， ∴输出的数和输入的数相同， ∴根据算法逻辑可得，十位和个位上的数字相同，且等于频次2， ∴M为； （ⅱ）∵，， ∴，且M是一个四位数， ∴输出的数和输入的数相同， ∴根据算法逻辑可得，每个数位上的数字等于频次， ∴为或或或或， ∴对应的所有四位数为或或或或． 18．命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题请说明理由，如果是假命题请举出反例． 【答案】(1)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；命题的条件是：两个数的绝对值相等；结论：这两个数也相等 (2)是假命题，反例：，但 【分析】（1）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论； （2）根据有关性质与定理，对命题的真假进行判断，如果是假命题，再举出反例即可． 【详解】（1）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； 命题的条件是：两个数的绝对值相等； 结论：这两个数也相等． （2）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，是假命题， 反例：，但． 19．对于正数和，如果整数满足（且），定义一种能求出的新运算： ． 例如：因为，所以； (1)填空： ； (2)这个新运算的性质与我们所学的幂运算有联系，探究它的性质． ①举一个反例说明“若，则”是假命题： ， ， ； ②，该性质的证明过程如下： 设，则，． 由此新运算的定义可得：． 请参考以上方法，证明性质：． 【答案】(1) (2)①；；；②证明见解析 【分析】（1）根据题干的新定义进行计算即可； （2）①当时，该命题不成立，举一个小于1的反例即可； ②设，，则，，利用同底数幂的乘法法则，仿照题干的解法进行证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①举例，当，，时， ∵，， ∴，， ∵，而， ∴“若，则”是假命题； ②证明：设，， ∴，， ∴， ∴． 20．2014年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组，在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场．根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分．已知： ①这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数； ②乙队总得分排在第一； ③丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的． 根据以上条件可以推断：总得分排在第四的是_____队．（要有推断过程） 【答案】丙 【分析】本题考查了逻辑推理问题的应用，根据比赛规则以及3个已知条件不难解答本题，4队单循环比赛，合计比赛（）场比赛，即每队比赛3场，根据积分规则，每队最多积分9分，最少积分0分。根据（1）这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数可知，四队积分可能为1、3、5、7或3、5、7、9，有且仅有这两种可能；而6场比赛全部分出胜负时四队合计积分为（分），即四队积分和最高18分，而，显然不可能，故四队积分只可能为1、3、5、7；根据（2）乙队总得分排在第一可知，乙队2胜1平积分7分，排名第一；根据（3）丁队恰有两场同对方踢平，平2场积分为2分，根据四队积分均为奇数分可知丁队另一场比赛胜了对方，积分3分，合计积分5分，即丁队1胜2平积分5分，排名第二，据此解答． 【详解】解：甲、乙、丙、丁4支队合计比赛场次：（场）， 因为每场比赛获胜的队可得3分：失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分， 所以6场比赛如果全部分出胜负，则四队积分和：（分）， 根据（1）这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数， 所以四队积分可能为1、3、5、7或3、5、7、9 而， 所以四队积分只能为1、3、5、7， 因为（2）乙队总得分排在第一， 所以乙队积分7分（2胜1平）， 因为（3）丁队恰有两场同对方踢平，两场比赛积分：（分） 所以丁队另外一场比赛一定胜了对方，积分3分， 即丁队一共积分：（分） 所以丁队总得分排在第二，积分5分（1胜2平）， 因为（3）丁队有一场是与丙队踢平的， 此时剩余两队（甲、丙）的积分为3分和1分， 积3分的队伍战绩为1胜2负（0场平局），积1分的队伍战绩为1平2负（1场平局）， 根据条件③，丁队与丙队踢平，说明丙队必有1场平局， 故丙队只可能积分1分（1平2负），最后甲队积分3分（1胜2负）． 综上： 甲1胜2负，积分3分，即甲胜丙，负乙和丁； 乙2胜1平，积分7分，即乙胜甲和丙，平丁； 丙1平2负，积分1分，即丙平丁，负甲和乙； 丁1胜2平，积分5分，即丁胜甲，平乙和丙． 所以总得分排在第四的是丙队． 故答案为：丙． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $