4.4一次函数的应用 讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

一次函数的应用 学习目标 1. 知识与技能目标 · 能够理解一次函数在实际问题中的意义，明确函数中自变量与因变量的关系。 · 熟练掌握利用一次函数的表达式解决实际生活中的最值问题，如最大利润、最小成本等。 · 学会根据实际问题的条件，准确地建立一次函数模型，并求出函数的表达式。 2. 过程与方法目标 · 通过对实际问题的分析和解决，培养从实际问题中抽象出数学模型的能力，提高运用数学知识解决实际问题的水平。 · 在解决问题的过程中，体会函数思想、方程思想以及分类讨论思想的应用，增强逻辑思维能力。 3. 情感态度与价值观目标 · 感受一次函数在实际生活中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，激发学习数学的兴趣。 · 通过小组合作和自主探究等学习方式，培养合作精神和创新意识，提升克服困难的信心和勇气。 知识点讲解 （一）一次函数与实际问题的联系 1. 确定自变量和因变量 在实际问题中，首先要明确哪个量是随着另一个量的变化而变化的。例如，在行程问题中，路程(s)随着时间(t)的变化而变化，这里时间(t)是自变量，路程(s)是因变量。 2. 建立函数关系 根据实际问题中的数量关系，设出一次函数的表达式（(k)，(b)为常数，）。然后通过题目中给出的条件，找到两个满足函数关系的点，将其坐标代入函数表达式，得到关于(k)和(b)的方程组，解方程组求出(k)和(b)的值，从而确定函数表达式。 （二）一次函数的最值问题 1. 一次函数的增减性 对于一次函数，当(k > 0)时，(y)随(x)的增大而增大；当(k < 0)时，(y)随(x)的增大而减小。 2. 求最值 在实际问题中，根据自变量的取值范围，结合一次函数的增减性来求函数的最值。例如，若（(k > 0)），且(x)的取值范围是，那么当时，(y)取得最大值；当时，(y)取得最小值。 （三）分段函数 1. 定义 在实际问题中，有时函数关系在不同的范围内有不同的表达式，这样的函数叫做分段函数。 2. 解决分段函数问题的关键 要明确自变量在不同取值范围内对应的函数表达式，在计算时要根据自变量的取值选择合适的表达式进行计算。 例题解析 （一）行程问题 1. 已知汽车以(60km/h)的速度匀速行驶，行驶路程(s(km))与行驶时间(t(h))之间的函数关系是。 · 当时，求行驶的路程(s)。 解析：把代入，得(s = 60×3 = 180(km))。 · 若行驶路程，求行驶时间(t)。 解析：把代入，得，解得。 （二）销售问题 2. 某商店销售一种商品，进价为每件(20)元，售价为每件(30)元，每天可卖出(100)件。经市场调查发现，若每件商品的售价每上涨(1)元，则每天的销售量就减少(5)件。设每件商品的售价上涨(x)元，每天的销售利润为(y)元。 · 求(y)与(x)之间的函数表达式。 解析：每件商品的利润为((30 + x - 20))元，每天的销售量为((100 - 5x))件。 根据利润 = 每件利润×销售量，可得 。 · 当时，求每天的销售利润(y)。 解析：把代入，得 （元）。 （三）方案选择问题 3. 学校计划租用甲、乙两种客车送(400)名师生去参加植树活动，已知甲种客车每辆最多可坐(45)人，租金为(400)元；乙种客车每辆最多可坐(30)人，租金为(280)元。设租用甲种客车(x)辆，总租金为(y)元。 · 求(y)与(x)之间的函数表达式，并写出自变量(x)的取值范围。 解析：租用甲种客车(x)辆，则租用乙种客车辆。 。 因为(x)，都应为非负整数，且， 由得，恒成立。 又因为，解得，且，所以，(x)为整数。 · 若学校要求租用甲种客车不少于(7)辆，求最省钱的租车方案及总租金。 解析：因为，，(y)随(x)的增大而减小。 又因为且，(x)为整数，所以当时，(y)有最小值。 此时，车辆数应为整数，所以时，，向上取整租用乙种客车(2)辆。 （元）。 最省钱的租车方案是租用甲种客车(8)辆，乙种客车(2)辆，总租金为元。 （四）分段函数问题 4. 某城市按以下规定收取每月的水费：用水量如果不超过(6)吨，按每吨(1.2)元收费；如果超过(6)吨，未超过的部分仍按每吨(1.2)元收取，而超过部分则按每吨(2)元收费。如果某用户(5)月份水费平均为每吨(1.4)元，那么该用户(5)月份应交水费多少元？ 解析：设该用户(5)月份用水(x)吨。 因为(1.4 > 1.2)，所以(x > 6)。 则(6×1.2 + 2×(x - 6)=1.4x) 。 应交水费(1.4×8 = 11.2)（元）。 巩固练习 （一）选择题 1. 小明家离学校(1.5km)，小明步行上学需(x min)，那么小明步行速度(y(m/min))可以表示为；水平地面上重(1500N)的物体，与地面的接触面积为，那么该物体对地面压强可以表示为，函数还可以表示许多不同情境中变量之间的关系，请你再列举一例： A. 三角形的面积为，底边长为(x cm)，则这条边上的高(y cm)与(x)的关系 B. 用(1500)元购买单价为(x)元/千克的水果，则购买水果的重量(y)千克与(x)的关系 C. 长方形的面积为，长为(x cm)，则宽(y cm)与(x)的关系 D. 以上都对 答案：D 解析： 对于A选项，三角形面积公式，已知，则，可得，变形可得，若把看作一个整体，可表示为的形式。 对于B选项，总价 = 单价×重量，即，则。 对于C选项，长方形面积公式，已知，则。所以以上都对。 2. 已知一次函数的图象经过点，，则(k)与(b)的值分别为 A. ， B. ， C. ， D. ， 答案：C 解析：把，代入得： 用减去得： ，解得。 把代入得：，解得。 （二）填空题 1. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则(m)的取值范围是（ ） 。 答案： 解析：因为函数图象经过第一、二、四象限，所以 解(m - 3 < 0)得(m < 3)； 解(2m - 1 > 0)得(2m > 1)，。 所以。 2. 已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积为(9)，则(b)的值为( ) 。 答案： 解析：当时，；当时，，，。 所以与两坐标轴的交点坐标分别为((0,b))，。 则三角形面积 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 一次函数的应用 学习目标 1. 知识与技能目标 · 能够理解一次函数在实际问题中的意义，明确函数中自变量与因变量的关系。 · 熟练掌握利用一次函数的表达式解决实际生活中的最值问题，如最大利润、最小成本等。 · 学会根据实际问题的条件，准确地建立一次函数模型，并求出函数的表达式。 2. 过程与方法目标 · 通过对实际问题的分析和解决，培养从实际问题中抽象出数学模型的能力，提高运用数学知识解决实际问题的水平。 · 在解决问题的过程中，体会函数思想、方程思想以及分类讨论思想的应用，增强逻辑思维能力。 3. 情感态度与价值观目标 · 感受一次函数在实际生活中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，激发学习数学的兴趣。 · 通过小组合作和自主探究等学习方式，培养合作精神和创新意识，提升克服困难的信心和勇气。 知识点讲解 （一）一次函数与实际问题的联系 1. 确定自变量和因变量 在实际问题中，首先要明确哪个量是随着另一个量的变化而变化的。例如，在行程问题中，路程(s)随着时间(t)的变化而变化，这里时间(t)是自变量，路程(s)是因变量。 2. 建立函数关系 根据实际问题中的数量关系，设出一次函数的表达式（(k)，(b)为常数，）。然后通过题目中给出的条件，找到两个满足函数关系的点，将其坐标代入函数表达式，得到关于(k)和(b)的方程组，解方程组求出(k)和(b)的值，从而确定函数表达式。 （二）一次函数的最值问题 1. 一次函数的增减性 对于一次函数，当(k > 0)时，(y)随(x)的增大而增大；当(k < 0)时，(y)随(x)的增大而减小。 2. 求最值 在实际问题中，根据自变量的取值范围，结合一次函数的增减性来求函数的最值。例如，若（(k > 0)），且(x)的取值范围是，那么当时，(y)取得最大值；当时，(y)取得最小值。 （三）分段函数 1. 定义 在实际问题中，有时函数关系在不同的范围内有不同的表达式，这样的函数叫做分段函数。 2. 解决分段函数问题的关键 要明确自变量在不同取值范围内对应的函数表达式，在计算时要根据自变量的取值选择合适的表达式进行计算。 例题解析 （一）行程问题 1. 已知汽车以(60km/h)的速度匀速行驶，行驶路程(s(km))与行驶时间(t(h))之间的函数关系是。 （二）销售问题 2. 某商店销售一种商品，进价为每件(20)元，售价为每件(30)元，每天可卖出(100)件。经市场调查发现，若每件商品的售价每上涨(1)元，则每天的销售量就减少(5)件。设每件商品的售价上涨(x)元，每天的销售利润为(y)元。 · 求(y)与(x)之间的函数表达式。 （三）方案选择问题 3. 学校计划租用甲、乙两种客车送(400)名师生去参加植树活动，已知甲种客车每辆最多可坐(45)人，租金为(400)元；乙种客车每辆最多可坐(30)人，租金为(280)元。设租用甲种客车(x)辆，总租金为(y)元。 · 求(y)与(x)之间的函数表达式，并写出自变量(x)的取值范围。 （四）分段函数问题 某城市按以下规定收取每月的水费：用水量如果不超过(6)吨，按每吨(1.2)元收费；如果超过(6)吨，未超过的部分仍按每吨(1.2)元收取，而超过部分则按每吨(2)元收费。如果某 巩固练习 （一）选择题 1. 小明家离学校(1.5km)，小明步行上学需(x min)，那么小明步行速度(y(m/min))可以表示为；水平地面上重(1500N)的物体，与地面的接触面积为，那么该物体对地面压强可以表示为，函数还可以表示许多不同情境中变量之间的关系，请你再列举一例： A. 三角形的面积为，底边长为(x cm)，则这条边上的高(y cm)与(x)的关系 B. 用(1500)元购买单价为(x)元/千克的水果，则购买水果的重量(y)千克与(x)的关系 C. 长方形的面积为，长为(x cm)，则宽(y cm)与(x)的关系 D. 以上都对 2. 已知一次函数的图象经过点，，则(k)与(b)的值分别为 A. ， B. ， C. ， D. ， （二）填空题 1. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则(m)的取值范围是（ ） 。 2. 已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积为(9)，则(b)的值为( ) 。 学科网（北京）股份有限公司 $