1.2空间向量基本定理 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练针对高中数学“空间向量基本定理”，以三级梯度分层设计，通过选择、填空、解答题递进，实现从单一向量表示到综合几何体应用的知识巩固，培养空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|向量线性表示|选择题1-6直接应用定理，结合平移、中点等简单情境，强化基本表示方法| |能力提升|基底判断与性质|多选题7-8辨析基底条件，填空题9-10涉及折叠、正方体中点问题，提升推理能力| |综合应用|复杂几何体运算|解答题11-12以正四面体、三棱锥为背景，融合中点、重心等综合考点，深化空间向量工具性|

数学人教A版选择性必修第一册 1.2空间向量基本定理 同步练 学校： 姓名 班级： 考号： 一、选择题 1.如图，在空间中平移△ABC到△AB'C',连接对应顶点.设AA=a,AB=b,AC=CM 是BC的中点，则AM用向量a,b,c表示为() + 1a-16-1 2 2 B.2a- 22 1-1,1- D.-2a+26+2 2.如图，三棱锥O-ABC中，G为△ABC的重心，M是OC的中点，则MG=() G B Aoi+05+oc 3 5oi+o+oc 3 6 cgoi+o-ac 3 6 .i08-oc 3 6 3.在正方体ABCD-ABCD中，AB=2AE,CF=2FC,则EF=() A46+0+号4 B6+0+号4 cB+号D+ 2 +而+ 3 数学人教A版选择性必修第一册 4.如图，在四面体0ABC中，OA=a,OB=i,0C=c,C0=20B,P为线段0A的中点，则 PQ等于() P 0 a++号8 33 G-1512 1-21→ 3 D.2a+3b+3 5.如图所示，空间四边形0ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上，且OM=2MA,N 为BC中点，则MN等于() B++ b+ 32 C.zat3B-38 2-.2,1- 23 Da+b-29 6.在正方体ABCD-AB,CD,中，O为棱B,B的中点，4O=xAB+yAD+z4D,则 x+y+z=() A.-1 B.-3 C.1 D.3 二、多项选择题 7.己知{ā，b,}是空间的一个基底，那么下列选项中可作为基底的是() 数学人教A版选择性必修第一册 A.a,b,a+c B.a,b,a+26 C.a+2c,b,c D.a,a+b,a+c 8.给出下列命题，其中正确的有() A.空间任意三个向量都可以作为一个基底 B.已知向量a1b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底 C.已知向量a/仍，则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底 DA,B,M,N是空间中的四个点，若BA,BM,BN不能构成空间的一个基底，那么 A,B,M,N共面 三、填空题 9.如图，在平行四边形ABCD中，AC=BC=1,AC⊥BC,将△ACD沿AC折起到△PAC 位置，使得二面角P-AC-B的大小为3则PB=— 10.在正方体ABCD-ABCD中，点P是CD的中点，且AP=AD+xAB+yAA,则实 数+y的值为 四、解答题 I1.棱长为1的正四面体ABCD中，点E,F,G分别为AB,AD,DC中点，求： (1)AB·AD; (2)EF.BD; (3)CA.CE: (4)AB.FG: (5)EF.FG. 数学人教A版选择性必修第一册 12.如图三棱锥p-ABC中MV分别是CP4上的点，且8-MC,不=2设 AB=a,AC=b,AP=c. B (1)试用a,b,c表示向量MN; (②已知∠BAC=受，∠PAB=∠PMC-5且PM=AB=4AC=2若(a+)1瓜求天 的值数学人教A版选择性必修第一册 1.2空间向量基本定理 同步练 学校： 姓名 班级： 考号： 一、选择题 1.如图，在空间中平移△ABC到△AB'C',连接对应顶点.设AA=a,AB=b,AC=CM 是BC的中点，则AM用向量a,b,c表示为() + 1a-16-1 2 2 B.2a- 22 1-1,1- D.-2a+26+2 2.如图，三棱锥O-ABC中，G为△ABC的重心，M是OC的中点，则MG=() G B Aoi+05+oc 3 5oi+o+oc 3 6 cgoi+o-ac 3 6 .i08-oc 3 6 3.在正方体ABCD-ABCD中，AB=2AE,CF=2FC,则EF=() A46+0+号4 B6+0+号4 cB+号D+ 2 +而+ 3 数学人教A版选择性必修第一册 4.如图，在四面体0ABC中，OA=a,OB=i,0C=c,C0=20B,P为线段0A的中点，则 PQ等于() P 0 a++号8 33 G-1512 1-21→ 3 D.2a+3b+3 5.如图所示，空间四边形0ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上，且OM=2MA,N 为BC中点，则MN等于() B++ b+ 32 C.zat3B-38 2-.2,1- 23 Da+b-29 6.在正方体ABCD-AB,CD,中，O为棱B,B的中点，4O=xAB+yAD+z4D,则 x+y+z=() A.-1 B.-3 C.1 D.3 二、多项选择题 7.己知{ā，b,}是空间的一个基底，那么下列选项中可作为基底的是() 数学人教A版选择性必修第一册 A.a,b,a+c B.a,b,a+26 C.a+2c,b,c D.a,a+b,a+c 8.给出下列命题，其中正确的有() A.空间任意三个向量都可以作为一个基底 B.已知向量a1b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底 C.已知向量a/仍，则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底 DA,B,M,N是空间中的四个点，若BA,BM,BN不能构成空间的一个基底，那么 A,B,M,N共面 三、填空题 9.如图，在平行四边形ABCD中，AC=BC=1,AC⊥BC,将△ACD沿AC折起到△PAC 位置，使得二面角P-AC-B的大小为3则PB=— 10.在正方体ABCD-ABCD中，点P是CD的中点，且AP=AD+xAB+yAA,则实 数+y的值为 四、解答题 I1.棱长为1的正四面体ABCD中，点E,F,G分别为AB,AD,DC中点，求： (1)AB·AD; (2)EF.BD; (3)CA.CE: (4)AB.FG: (5)EF.FG. 数学人教A版选择性必修第一册 12.如图三棱锥p-ABC中MV分别是CP4上的点，且8-MC,不=2设 AB=a,AC=b,AP=c. B (1)试用a,b,c表示向量MN; (②已知∠BAC=受，∠PAB=∠PMC-5且PM=AB=4AC=2若(a+)1瓜求天 的值 数学人教A版选择性必修第一册 参考答案 1.答案：A 详解：W=+B丽=孤+8C=B+8C+)=西+8C+丽 2 +29 故选：A 2.答案：D 详解：因为G为△1BC的重心，所以OG-O+O5+OC, 3 3 又M是oc的中点，所以0M=}Oc 所以MG=oc-om=（6oi+5o5+0c0d =10A+10-1oC 3.答案：B 详解：由题意得，E是AB的中点，F是靠近C的三等分点，如图： D B B EF=AF-AE -AC+CF-1AB =B+0+号C +而： 数学人教A版选择性必修第一册 4.答案：D 详解：由已知P0=oc+c0-OP=c+2cB-1Oi 3 -+号o-00--号6-0-=-+ 1 3 3 故选：D. 5.答案：B 详解：因为OM=2MA,N为BC中点， 所以M0=-号01,0N=3O丽+oc). 放w=wo+丽=号0i+0丽+50c=号++5 2 故选：B 6.答案：C 详解：如下图所示： D C B A D B 因为0为BB的中点所以40=AB+B,0=4B+)4, 又因为AB=AA+4B,AD=AA+AD,且40=x4B+yAD+zAD, 即244+48=x4B+y4D+z4D=x(4A+4B）+y(4A+4D)+z4D =(x+y)A4+xAB+(y+z)AD, 数学人教A版选择性必修第一册 x+y= x=1 2 1 显然、 不共面，所以 x=1,解得 2故 y+z=0 AA AB AD Z= 2 x+y+z=1 故选：C 7.答案：ACD 详解： 8.答案：CD 详解：A项，空间任意三个不共面的向量可以作为一个基底，故A项错误； B项，若c⊥方且c⊥a,则a,6与C可以构成空间的一个基底，故B项错误； C项，因为向量a/b,则a,b与任意向量均共面，即a,b与任何向量都不能构成空间的一个 基底，故C项正确： D项，因为BA,BM,BN不能构成空间的一个基底，则A,B,MN共面，故D项正确. 故选：CD 9.答案：√2 详解：因为二面角p-4C-B的大小为写所以PAC网= 3 又，0-(ac.画-且丽-P丽+C+西 PB=(PA+AC+CB)=PA'+AC+CB+2P4.4C+24C.CB+2CB.PA =3+20丽A=3+21x月-2 所以PB=√2 故答案为：V② 3 10.答案：2/1.5 数学人教A版选择性必修第一册 详解：如下图所示： A C D 由题意可知，点P为CD的中点， 则AP=AA+4D+DP=M+AD+号AB=AD+xAB+yA, 1 3 所以，x= 2’y=1,则x+y 2 故答案为： 2 11.答案：(1)2 (2)2 3 (3)4 (4)4 (5)0 详解：(1)AB·ADAB-AD1cos∠BAD=1xIx{= 22； (2)因为点E,F分别为AB,AD的中点， 所以F-BD,且EFBD所以F-号而， 数学人教A版选择性必修第一册 所以欧丽-号DD=: 3)a.i-aa+0 -1c+C4.CB 11×1x1×5 22 (4)因为点F,G分别为AD,DC的中点， 所以FG=4C,且FGHC,所以FG=4C, 所以元-C孤=1 11 (5)因为F-号而，G=4C, 所以EF.FG=BD.4C=4C.(D-AB 4 c而-c沥=12110 24 E G 12.答案：(1)=-2。-1方 2- -b+-c 33 (2)2 详解：（山m-丽+所+而-}丽++号P(丽-C)-丽+号P 数学人教A版选择性必修第一册 c+号-号+ (2)由(a+LM可得(a+dM=0, 闻a+0含0号+到-0 3 84_4_2282=0, 即3+3333 24 即3=3.九=2