1.2 空间向量基本定理 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以“概念理解—基底表示—综合应用”为分层路径，通过梯度化题组设计巩固空间向量基本定理，培养数学抽象、空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |题组一|空间向量基本定理及基底概念|多选题为主，辨析基底共面性等核心概念，强化数学抽象| |题组二|用基底表示空间向量|结合阳马、堑堵等古代数学情境，通过选择与填空题提升数学建模能力| |题组三|综合应用解决立体几何问题|解答题与多选题结合，涉及平行六面体、正三棱锥等模型，深化逻辑推理与空间观念|

1.2　空间向量基本定理 基础练习 题组一　空间向量基本定理及相关概念的理解 1.(多选题)(2026广东清远第二中学月考)设{a,b,c}是空间的一个基底,下列说法正确的是(　　) A.a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面 B.有且仅有一对实数λ,μ,使得c=λa+μb C.对空间中任一向量p,总存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc D.a,b,c一定能构成空间的另一个基底 2.(多选题)(2026福建福州期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,能构成空间的一个基底的一组向量为(　　) A.,,　　B.,,　　 C.,,　　D.,, 3.(教材习题改编)已知{a,b,c}为空间的一个基底,则下列各组向量中能构成空间的另一个基底的是　(　　) A.a+b,c+b,a-c　　B.a+2b,b,a-c C.2a+b,2c+b,a+b+c　　D.a+b,a+b+c,c 题组二　用空间的基底表示空间向量 4.(2026吉林长春东北师大附中开学考试)我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示,已知四棱锥P-ABCD是阳马,PA⊥平面ABCD,且PE=PC,若=a,=b,=c,则=(　　) A.-a+b+c　　B.-a-b+c　　 C.a+b-c　　D.a-b-c 5.(2026四川广元川师大万达中学月考)如图,在四面体OABC中,=a,=b,=c,点M是OA的中点,点N在BC上,且=2,设=xa+yb+zc,则x,y,z的值为(　　) A.,,　　B.,,　　 C.-,,　　D.-,, 6.(多选题)(2026湖北孝感汉川第一高级中学月考)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1与B1D1相交于点O,记=a,=b,=c,G为△A1BC1的重心,则(　　) A.=c-b　　B.=a+b+c C.=-a+b+c　　D.=a+b+c 7.(2026广东河源龙川第一中学月考)《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形状图形体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1C1,BB1的中点,AB=2AA1=2AC,动点G在线段MN上运动,若=x+y+z,则x+y+z=　　　　.  题组三　利用空间向量基本定理解决立体几何问题 8.(多选题)(2026湖南长沙第一中学月考)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,||=||=||=1,且∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=,M为A1C1与B1D1的交点,设=a,=b,=c,则下列结论正确的是(　　) A.=a+b+c　　B.AC1⊥BD1　　 C.||=　　D.cos<,>= 9.(2025河南郑州一中质检)在正三棱锥P-ABC中,PA=AB=3,点M满足=x+y+(2-x-y),则AM的长的最小值为(　　) A.　　B.　　 C.　　D.2 10.(2026河南九师联盟质检)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,BC=2AD,=,=2,=2,H在棱PD上,若E,F,G,H四点共面,则=　　　　.  11.(2025安徽阜阳月考)如图,在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,底面ABCDEF是正六边形,设=a,=b,=c. (1)用a,b,c表示,; (2)若cos∠BAA1=cos∠FAA1=,AB=2,AA1=4,求: (i)·; (ii)AE1的长. 12.(2025天津河西月考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为棱CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.求证: (1)B1D⊥平面ABD; (2)平面EFG∥平面ABD. 答案 1.2　空间向量基本定理 基础练习 1.ACD　由空间向量是自由向量知a,b,c两两共面,由基底的定义知a,b,c不可能共面,故A正确; 由A知a,b,c不共面,所以不存在实数λ,μ,使得c=λa+μb,故B不正确; 因为{a,b,c}是空间的一个基底,所以由空间向量基本定理可知C正确; 因为a,b,c不共面,且a与a平行,b与b平行,c与c平行,所以a,b,c也不共面,因此它们一定能构成空间的另一个基底,故D正确. 2.AC　作出正方体ABCD-A1B1C1D1,如图所示, 对于A,直线AB,AC同在平面ABCD内,而直线AA1与平面ABCD相交,所以,,不共面,因此A正确;对于B,,,满足+=,所以这三个向量共面,因此B错误;对于C,连接BC1,可知直线AC1,BD1同在平面ABC1D1内,而直线CB与平面ABC1D1相交,所以,,不共面,所以C正确;对于D,连接CD1,因为=+=+,所以,,共面,所以D错误. 3.B　对于A,设a+b=x(c+b)+y(a-c),即a+b=ya+xb+(x-y)c,解得x=y=1, 所以a+b,c+b,a-c共面,不能构成空间的另一个基底,因此A错误; 对于B,设a+2b=xb+y(a-c),即a+2b=ya+xb-yc,此时y无解, 所以a+2b,b,a-c不共面,能构成空间的另一个基底,因此B正确; 对于C,设2a+b=x(2c+b)+y(a+b+c),即2a+b=ya+(x+y)b+(2x+y)c,解得 所以2a+b,2c+b,a+b+c共面,不能构成空间的另一个基底,因此C错误; 对于D,易知a+b=a+b+c-c, 所以a+b,a+b+c,c共面,不能构成空间的另一个基底,因此D错误. 4.A　由PE=PC且E在PC上可得==(++)=(-++)=(a+b-c), 所以=-=+-=c+(a+b-c)-a=-a+b+c. 5.C　连接ON.依题意得,=-=(+)-=+-=+(-)-=-++,又=a,=b,=c,=xa+yb+zc,所以x=-,y=,z=. 6.BC　连接AD1,由题知==+=c+b,故A错误; 连接AC,易知=+=+(+)=a+b+c,故B正确; =+=+(-)=+(-)=-a+b+c,故C正确; 连接A1G,易知=+=+×(+)=+(-)+(+)=++=a+b+c,故D错误. 7.答案　 解析　由动点G在线段MN上运动,可设=λ,0≤λ≤1, 连接AM,AN,因为M,N分别是A1C1,BB1的中点, 所以=++=++λ=++λ(-)=++λ+--=+λ+, 又=x+y+z,故x+y+z=1-+λ+-=. 8.ACD　对于A,=++=++=a+b+c,故A正确; 对于B,连接AD1,则=-=+-=b+c-a,∴·=(a+b+c)·(b+c-a)=b2+c2-a2+2b·c=1+1-1+2×=2≠0,∴与不垂直,即AC1与BD1不垂直,故B错误; 对于C,||== ==,故C正确; 对于D,cos<,>====,故D正确. 9.B　如图所示,分别延长PA,PB,PC至点D,E,F,使得=2,=2,=2,连接DE,DF,EF, (解题关键:题目条件“=x+y+(2-x-y)”中,x+y+(2-x-y)=2,故作将基向量伸长为原来的2倍的变换) 则=x+y+(2-x-y)=++, 又++=1,且,,不共面,故M,D,E,F四点共面, ∴AM的长的最小值即为点A到平面DEF的距离. 由已知可得,△DEF是等边三角形,且DE=DF=EF=6, 设等边三角形DEF的中心为O,连接PO,DO,可求得DO=2, 在直角△POD中,PO===2,即点P到平面DEF的距离为2, 则AM的长的最小值为. 10.答案　 解析　由题可设=λ,λ∈[0,1], 则=-=λ-, 易得=-=-, 连接EG,则=+=-+-=-+-=-+, 因为AD∥BC,BC=2AD,所以=,即-=(-),所以=2-2+, 所以=-=+-, 因为E,F,G,H四点共面,所以=x+y,x,y∈R, 所以λ-=x+y=-x-y++y, 所以解得故=,所以=. 11.解析　(1)如图所示,连接AD, 因为六边形ABCDEF为正六边形, 所以+=,则=2a+2b, 所以=-=2a+2b-c,=+=-=2a+b-c. (2)因为六边形ABCDEF为正六边形,所以∠BAF=, 又cos∠BAA1=cos∠FAA1=,AB=2,AA1=4, 所以|a|=|b|=2,|c|=4,a·b=|a||b|·cos =-2,a·c=b·c=|a||c|×=2. (i)·=(2a+b-c)·(2a+2b-c)=4a2+2b2+c2+6a·b-3b·c-4a·c=16+8+16-12-6-8=14. (ii)由(1)知=2a+2b.因为=++=-+=2a+2b-a+c=a+2b+c, 所以AE1=||= = ==2. 12.证明　(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为矩形,又∠ABC=90°,所以A1B1⊥BB1,AB⊥BC,A1B1⊥B1C1,易得=+=+,=+=-, ∴·=·=0, ·=·-=-=0, ∴B1D⊥BA,B1D⊥BD,又BA,BD⊂平面ABD,BA∩BD=B,∴B1D⊥平面ABD. (2)连接B1G.易得=-=(+)-=+-,=, ∴·=+·+-=-=0,·=+·=0, ∴B1D⊥EG,B1D⊥FG, 又EG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G, ∴B1D⊥平面EFG.又由(1)知B1D⊥平面ABD,且易知平面ABD与平面EFG不重合,∴平面EFG∥平面ABD. 7 学科网（北京）股份有限公司 $