1.2 空间向量基本定理 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.2　空间向量基本定理

基础练习

题组一　空间向量基本定理及相关概念的理解

1.(多选题)(2026广东清远第二中学月考)设{a,b,c}是空间的一个基底,下列说法正确的是(　　)

A.a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面

B.有且仅有一对实数λ,μ,使得c=λa+μb

C.对空间中任一向量p,总存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc

D.a,b,c一定能构成空间的另一个基底

2.(多选题)(2026福建福州期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,能构成空间的一个基底的一组向量为(　　)

A.,,　　B.,,　　

C.,,　　D.,,

3.(教材习题改编)已知{a,b,c}为空间的一个基底,则下列各组向量中能构成空间的另一个基底的是　(　　)

A.a+b,c+b,a-c　　B.a+2b,b,a-c

C.2a+b,2c+b,a+b+c　　D.a+b,a+b+c,c

题组二　用空间的基底表示空间向量

4.(2026吉林长春东北师大附中开学考试)我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示,已知四棱锥P-ABCD是阳马,PA⊥平面ABCD,且PE=PC,若=a,=b,=c,则=(　　)

A.-a+b+c　　B.-a-b+c　　

C.a+b-c　　D.a-b-c

5.(2026四川广元川师大万达中学月考)如图,在四面体OABC中,=a,=b,=c,点M是OA的中点,点N在BC上,且=2,设=xa+yb+zc,则x,y,z的值为(　　)

A.,,　　B.,,　　

C.-,,　　D.-,,

6.(多选题)(2026湖北孝感汉川第一高级中学月考)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1与B1D1相交于点O,记=a,=b,=c,G为△A1BC1的重心,则(　　)

A.=c-b　　B.=a+b+c

C.=-a+b+c　　D.=a+b+c

7.(2026广东河源龙川第一中学月考)《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形状图形体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1C1,BB1的中点,AB=2AA1=2AC,动点G在线段MN上运动,若=x+y+z,则x+y+z=　　　　. 

题组三　利用空间向量基本定理解决立体几何问题

8.(多选题)(2026湖南长沙第一中学月考)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,||=||=||=1,且∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=,M为A1C1与B1D1的交点,设=a,=b,=c,则下列结论正确的是(　　)

A.=a+b+c　　B.AC1⊥BD1　　

C.||=　　D.cos<,>=

9.(2025河南郑州一中质检)在正三棱锥P-ABC中,PA=AB=3,点M满足=x+y+(2-x-y),则AM的长的最小值为(　　)

A.　　B.　　

C.　　D.2

10.(2026河南九师联盟质检)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,BC=2AD,=,=2,=2,H在棱PD上,若E,F,G,H四点共面,则=　　　　. 

11.(2025安徽阜阳月考)如图,在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,底面ABCDEF是正六边形,设=a,=b,=c.

(1)用a,b,c表示,;

(2)若cos∠BAA1=cos∠FAA1=,AB=2,AA1=4,求: