1.3空间向量及其运算的坐标表示 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量坐标表示，通过基础巩固、中档综合、提升应用三层设计，实现从单一向量运算到综合空间应用的知识进阶，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一向量线性表示与坐标运算|选择题1-3以空间四边形为情境，强化向量线性运算的直观理解| |中档层|向量共面/基底判断与模长计算|多选题8辨析基底概念，填空题9结合二面角求向量模，提升推理意识| |提升层|平行六面体中向量综合表示与化简|解答题13整合多面体向量表示与化简，培养综合应用与空间观念|

数学人教A版选择性必修第一册 1.3空间向量及其运算的坐标表示 同步练 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．如图所示,空间四边形中,,点M在上,且,N为中点,则等于(      ) A. B. C. D. 2．在正四面体中,E为中点,F在上．且,M为中点,若,则(      ) A. B. C. D. 3．在平行六面体中,M为AB的中点,,若,则 (      ) A. B. C. D. 4．在正方体中,O为棱的中点,,则(      ) A. B. C. D. 5．如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于(      ) A. B. C. D. 6．如图,空间四边形中,E是的中点,点F在上,且满足,设,,,则(      ) A. B. C. D. 二、多项选择题 7．在长方体中，M是的中点，（），则(      ) A. B. C. D. 8．给出下列命题,其中正确的有(      ) A.若非零空间向量,,满足,,则有 B.若三个非零向量,,不能构成空间的一个基底,则,,必定共面 C.若两个非零向量,与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则,共线 D.已知是空间向量的一个基底,则也是空间向量的一个基底 三、填空题 9．如图，二面角等于，A，B是棱l上两点，，分别在半平面，内，，，且，则的长等于_____________. 10．已知，，，若三个向量不能作为空间向量的一组基底，则实数等于_____________. 11．空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量________________,可将它们组成空间的一组基,把这组基称为标准正交基. 四、解答题 12．已知空间向量，，. （1）若，求； （2）若，求的值. 13．如图，在平行六面体中，，，，E为的中点，F为与的交点. （1）用基分别表示向量，，； （2）化简，并在图中标出化简结果. 参考答案 1．答案：B 解析：因为,N为中点, 所以,, 故. 故选:B 2．答案：A 解析：因为,M为中点, 所以 . 故选：A. 3．答案：C 解析：在平行六面体中,M为AB的中点,, 有, 又,则, 所以.故选:C 4．答案：C 解析：如下图所示: 因为O为的中点,所以, 又因为,,且, 即 , 显然、、不共面,所以,解得,故. 故选:C. 5．答案：B 解析：由图得，. 6．答案：B 解析：在空间四边形中,E是的中点,, 则. 故选:B 7．答案：BD 解析：因为，故，. 故选：BD 8．答案：BCD 解析：当非零空间向量,,时, 满足,,但与不平行,A错误； 三个非零向量,,不能构成空间的一个基底,则它们必共面,B正确； 能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的三个向量, 由于非零向量,与任何一个向量都不能构成空间的一个基底, 即向量,与任何一个向量均共面,则,必共线,C正确； 若,,共面,则, 可知,,共面,与为空间向量的一个基底相矛盾, 故可以构成空间向量的一个基底,D正确, 故选：BCD. 9．答案：4 解析：由二面角的平面角的定义知，. 由，，得，. ， ，所以，即. 10．答案：4 解析：因为三个向量不能作为空间向量的一组基底， 所以共面（只有不共面的三个向量才能作为空间向量的一组基底）， 则存在，使得，即， 所以，解得. 故答案为：4 11．答案：不共面 12．答案：（1） （2） 解析：（1），设， 则解得. ，故. （2）由，可得，解得. ，，， . 13．答案：（1） （2） 解析：（1）. . . （2）. 如图，连接，则即为所求. 学科网（北京）股份有限公司 $数学人教A版选择性必修第一册 1.3空间向量及其运算的坐标表示 同步练 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．如图所示,空间四边形中,,点M在上,且,N为中点,则等于(      ) A. B. C. D. 2．在正四面体中,E为中点,F在上．且,M为中点,若,则(      ) A. B. C. D. 3．在平行六面体中,M为AB的中点,,若,则 (      ) A. B. C. D. 4．在正方体中,O为棱的中点,,则(      ) A. B. C. D. 5．如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于(      ) A. B. C. D. 6．如图,空间四边形中,E是的中点,点F在上,且满足,设,,,则(      ) A. B. C. D. 二、多项选择题 7．在长方体中，M是的中点，（），则(      ) A. B. C. D. 8．给出下列命题,其中正确的有(      ) A.若非零空间向量,,满足,,则有 B.若三个非零向量,,不能构成空间的一个基底,则,,必定共面 C.若两个非零向量,与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则,共线 D.已知是空间向量的一个基底,则也是空间向量的一个基底 三、填空题 9．如图，二面角等于，A，B是棱l上两点，，分别在半平面，内，，，且，则的长等于_____________. 10．已知，，，若三个向量不能作为空间向量的一组基底，则实数等于_____________. 11．空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量________________,可将它们组成空间的一组基,把这组基称为标准正交基. 四、解答题 12．已知空间向量，，. （1）若，求； （2）若，求的值. 13．如图，在平行六面体中，，，，E为的中点，F为与的交点. （1）用基分别表示向量，，； （2）化简，并在图中标出化简结果. 参考答案 1．答案：B 解析：因为,N为中点, 所以,, 故. 故选:B 2．答案：A 解析：因为,M为中点, 所以 . 故选：A. 3．答案：C 解析：在平行六面体中,M为AB的中点,, 有, 又,则, 所以.故选:C 4．答案：C 解析：如下图所示: 因为O为的中点,所以, 又因为,,且, 即 , 显然、、不共面,所以,解得,故. 故选:C. 5．答案：B 解析：由图得，. 6．答案：B 解析：在空间四边形中,E是的中点,, 则. 故选:B 7．答案：BD 解析：因为，故，. 故选：BD 8．答案：BCD 解析：当非零空间向量,,时, 满足,,但与不平行,A错误； 三个非零向量,,不能构成空间的一个基底,则它们必共面,B正确； 能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的三个向量, 由于非零向量,与任何一个向量都不能构成空间的一个基底, 即向量,与任何一个向量均共面,则,必共线,C正确； 若,,共面,则, 可知,,共面,与为空间向量的一个基底相矛盾, 故可以构成空间向量的一个基底,D正确, 故选：BCD. 9．答案：4 解析：由二面角的平面角的定义知，. 由，，得，. ， ，所以，即. 10．答案：4 解析：因为三个向量不能作为空间向量的一组基底， 所以共面（只有不共面的三个向量才能作为空间向量的一组基底）， 则存在，使得，即， 所以，解得. 故答案为：4 11．答案：不共面 12．答案：（1） （2） 解析：（1），设， 则解得. ，故. （2）由，可得，解得. ，，， . 13．答案：（1） （2） 解析：（1）. . . （2）. 如图，连接，则即为所求. 学科网（北京）股份有限公司 $