1.3空间向量及其运算的坐标表示同步练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层递进设计，从基础运算到创新应用，覆盖空间向量坐标表示全知识点，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|空间向量坐标表示、线性运算、数量积|基础选择填空，直接考查概念与运算，如长方体顶点坐标、向量垂直判断，巩固基础知识| |B级|空间几何距离、夹角、动点问题|中档综合题，结合教材例题，如直三棱柱中线段长度计算、四棱锥中向量数量积，提升运算与推理能力| |C级|动态几何与内切球综合|创新情境题，正方体体对角线动点与内切球直径问题，需数学抽象与创新思维，发展核心素养|

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 A级　必备知识基础练 1.如图,在长方体OABC-O1A1B1C1中,OA=4,OC=6,OO1=2,P是B1C1的中点,则点P的坐标为(　　) A.(2,6,2) B.(3,4,2) C.(4,6,2) D.(6,2,1) 2.已知点A(2,4,0),B(1,3,3),且满足2,则点Q的坐标为(　　) A.(,1) B.(,1) C.(,1,0) D.(1,0,1) 3.(多选题)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3),则以下说法中正确的是(　　) A.=(-2,3,-3) B.=(-4,6,-6) C.线段AC的中点坐标为(-2,0,-1) D.四边形ABCD是一个梯形 4.已知点A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量的夹角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 5.已知向量a=(-1,1,0),b=(1,0,2),且ka+b与a-2b互相垂直,则k=(　　) A.- B. C. D. 6.(多选题)(2026新疆高二期中)已知空间向量a=(1,2,3),b=(2,1,0),则下列计算正确的是(　　) A.a·b=1×2+2×1+3×0=4 B.|a|= C.a与b的夹角θ满足cos θ= D.a⊥b 7.已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=-2,则实数x=　　　　　.  8.向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥c,b∥c,则|2a+b|=　　　　.  9.(人教B版教材例题)如图所示,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=C1C=2,AC⊥CB,且D,E分别是棱AB,B1C1的中点.建立适当的空间直角坐标系,求A1B与DE的长. B级　关键能力提升练 10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,AB=4,∠DAB=,M为棱PC的中点,且=5,则=(　　) A.-2 B.0 C.2 D.4 11.已知动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线BD1(不含端点)上.设=λ,若 ∠APC为钝角,则实数λ的取值范围为(　　) A.(0,) B.(0,) C.(,1) D.(,1) 12.已知A(1,1,0),B(0,3,0),C(2,2,2),则向量上的投影向量的坐标是　　　　　.  13.在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当取得最小值时,||=　　　　　.  14.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求以AB和AC为邻边的平行四边形的面积; (2)若|a|=,且a分别与垂直,求向量a的坐标. 15.(北师大版教材习题)已知A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=. (1)设|c|=3,c∥,求c的坐标; (2)求a与 b的夹角的余弦值; (3)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值. C级　学科素养创新练 16.(2026浙江金华高二期末)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为其体对角线BD1上的动点,点P在该正方体表面上运动,球O为该正方体的内切球,MN为球O的一条直径,则(　　) A.当点E在体对角线BD1上运动时,的值也在随之变化 B.当点P在底面A1B1C1D1内运动时,的值也在随之变化 C.的取值范围是[0,2] D.的最大值为2 答案 1.A　由题可得,B1(4,6,2),C1(0,6,2).因为P为B1C1的中点,由中点坐标公式可得,点P的坐标为(2,6,2).故选A. 2.B　设点Q(x,y,z),由2, 则2(x-2,y-4,z)=(1-x,3-y,3-z), 所以解得 故点Q(,1).故选B. 3.AD　∵A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3),∴=(-2,3,-3),=(4,-6,6),故A正确,故B错误; 线段AC的中点坐标为(1,0,-),故C错误; =-2,故共线,即AB∥CD,=(0,-4,1),=(-2,-1,-2),不共线,即AD与BC不平行,故四边形ABCD为梯形,故D正确.故选AD. 4.C　由已知得=(0,3,3),=(-1,1,0), 因此cos<>=, 所以向量的夹角为60°. 5.D　由题可得,ka+b=(-k+1,k,2),a-2b=(-3,1,-4). ∵ka+b与a-2b垂直,∴(ka+b)·(a-2b)=-3(-k+1)+k-8=0,解得k=.故选D. 6.ABC　对于A,由题可得a·b=1×2+2×1+3×0=4,故A正确; 对于B,因为|a|=,故B正确; 对于C,因为|b|=,所以cos θ=,故C正确; 对于D,因为a·b=4≠0,所以a与b不垂直,故D错误. 故选ABC. 7.-8　由已知得c+a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2), 所以4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8. 8.3　因为a⊥c,则a·c=2x-4+2=0,解得x=1,即a=(1,1,1). 又b=(1,y,1),且b∥c,则, 解得y=-2,即b=(1,-2,1).故2a+b=(3,0,3), 则|2a+b|==3. 9.解 以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可知B(0,2,0),A1(2,0,2),D(1,1,0),E(0,1,2). 因此A1B==2,DE=. 10.C　作AG⊥BC,以A为原点,AG,AD所在直线为x轴、y轴,建立如图所示空间直角坐标系, A(0,0,0),B(2,-2,0),C(2,2,0),P(x,y,z),M(), =(2,-2,0),=(). ∵=5,∴(2+x)-2-y=5,即x-y=1. 又=(x,y,z),∴=2x-2y=2,故C正确. 故选C. 11.C　由题设,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1), ∴=(1,1,-1),则=(λ,λ,-λ), ∴=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ,-λ,λ-1), =(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1). ∵∠APC为钝角,则cos∠APC<0,显然不共线,∴<0, ∴(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)2=(λ-1)(3λ-1)<0,解得<λ<1,∴λ的取值范围是(,1).故选C. 12.　因为A(1,1,0),B(0,3,0),C(2,2,2),所以=(-1,2,0),=(1,1,2), 所以||=, ||==(-1)×1+2×1+0×2=1, 所以向量上的投影向量是, 所以向量上的投影向量的坐标是. 13.　因为点Q在直线OP上运动,=(1,1,2),所以设Q(t,t,2t), 则=(1-t,2-t,3-2t)·(2-t,1-t,2-2t)=(1-t)(2-t)+(2-t)(1-t)+(3-2t)(2-2t)=6t2-16t+10, 所以当t=时,取得最小值,此时Q,则,所以||=. 14.解 (1)由题中条件可知,=(-2,-1,3),=(1,-3,2), 所以cos<>=. 于是sin<>=. 故以AB和AC为邻边的平行四边形的面积为S=||||sin<>=14×=7. (2)设a=(x,y,z),由题意得解得 故a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1). 15.解 (1)=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2), c=λ(-2,-1,2)=(-2λ,-λ,2λ). 所以|c|==3|λ|=3,所以λ=±1, 所以c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2). (2)a==(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),b==(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2), a·b=1×(-1)+1×0+0×2=-1, |a|=,|b|=, 所以cos<a,b>==-. (3)由(ka+b)⊥(ka-2b)得(ka+b)·(ka-2b)=0, 所以k2a2-2ka·b+ka·b-2b2=0,所以2k2-k·(-1)-2×5=0,所以2k2+k-10=0,所以k=2或k=-. 16.D　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2), 设E(x,y,z),则=(x-2,y-2,z),=(-2,-2,2),由=λ=(-2λ,-2λ,2λ)(0≤λ≤1), 则解得所以E(2-2λ,2-2λ,2λ), 所以=(-2λ,2-2λ,2λ). 又=(-2,0,-2),所以=-2λ×(-2)+0×(2-2λ)-2×2λ=0,故A错误. 因为点P在底面A1B1C1D1内运动,故设P(x1,y1,2), 则=(x1-2,y1,2),=(0,0,2),所以=0×(x1-2)+0×y1+2×2=4,故B错误. 因为=(-2λ,2-2λ,2λ),=(0,2,0),所以=0×(-2λ)+2(2-2λ)+0×2λ=4-4λ∈[0,4],故C错误. 因为MN为球O的一条直径,所以=()·()=()·()=-1.又因为点P在该正方体表面上运动,所以||∈[1,],所以∈[0,2],所以的最大值为2,故D正确.故选D. 7 学科网（北京）股份有限公司 $