第8讲 有理数的减法 讲义（9大题型共68题+解题技巧） 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的减法这一核心知识点，系统梳理从减法法则（减去一个数等于加这个数的相反数）到运算步骤（两变一不变），再到省略加号和括号、加减混合运算（转化为加法、运用运算律）的完整脉络，搭建从基础到综合的学习支架。 该资料通过多样化题型（如温差计算、海拔比较、新定义运算）和解题模版，强化运算能力与应用意识，结合实际情境培养抽象能力。课中辅助教师分层教学，课后综合检测与中考真题助力学生查漏补缺，提升知识运用能力。

第8讲 有理数的减法 学习目标 1、掌握有理数减法法则. 2、会进行有理数加减混合运算，并进行应用. 核心素养： 抽象能力 运算能力 应用意识 知识结构 知识点一 有理数的减法 1、有理数的减法法则 (1)内容:减去一个数,等于加这个数的相反数. (2)用字母表示: 2、有理数的减法的运算步骤 第一步:把减号变为加号(改变运算符号); 第二步:把减数变为它的相反数(改变性质符号); 第三步：按照有理数的加法法则进行计算. 注意：(1)有理数的减法运算的实质是把减法运算转化为加法运算. (2)在有理数的减法运算中，被减数和减数的位置不能互换. 提醒：法则中的“两变”和“一不变” “两变”是指把运算符号“”号变为运算符号“”号把减数变为它的相反数;“一不变”是指被减数和减数的位置固定不变. 【基础练习1-1】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）某地一天中午的气温由早晨的零下上升了，傍晚又下降了，该地傍晚的气温为 _______． 【基础练习1-2】（25-26六年级上·山东·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 省略算式中的加号和括号 知识点二 1、依据：有理数减法法则. 2、步骤： = 第一步：转化为加法运算 = 第二部：省略括号和加号 3、读法:对于算式“”的读法 读法一:把每个数前面的符号看作这个数的性质符号,读作“负12、负8、负6、正5的和”; 读法二:把每个数前面的符号看作运算符号,读作“负12减8减6加5”. 注意：省略加号和括号后的和式，每一个数连同它前面的性质符号可以看成式子中的一项，作为和式中的一个加数. 提醒：第一个加数的符号只能读作“正”或“负”，不能读作“加”或“减”. 【基础练习2-1】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）把写成省略括号和加号的形式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【基础练习2-2】（24-25七年级上·四川眉山·期中）把算式写成省略加号的形式为：______读法为：______． 有理数加减混合运算 知识点三 1、有理数加减混合运算的方法 根据有理数的减法法则,首先把其中的减法运算转化为加法运算,从而把加减混合运算转化为加法运算，然后利用加法运算法则或加法运算律进行运算. 2、有理数加减混合运算的步骤示例 示例：计算 解题模版 解题依据 = 统一成加法 减法法则 = 省略括号和加号 符号法则 = 交换加数位置 加法交换律 = 分别计算 加法结合律 = 求得结果 加法法则 注意：(1)在有理数加减混合运算中，交换加数的位置时，要将数连同它前面的性质符号一起交换； (2)如果算式中的第一个加数是省略了“+”号的正数,那么交换位置时要补上“+”号. 点拨：进行有理数加减混合运算时，要根据算式的特点，灵活选择加法运算律，从而使计算简便. 【基础练习3-1】（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）计算： (1)； (2)； 【基础练习3-2】（24-25七年级上·山西太原·阶段检测）阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是______，体现了数学中的______思想； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了______、______； (3)请将过程补充完整． 题型1 有理数的减法法则 【典例】（24-25七年级上·全国·课前预习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式练习1-1】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）比小2的数是___________． 【变式练习1-2】（25-26七年级上·北京昌平·期中）如图是小明和小乐在学习有理数运算后的一段对话． 解： （　　）（依据：___________） （ ___________） ___________．       有理数的减法运算的关键是将减法转化为加法，再按照加法法则求得结果。 题型2 有理数减法的应用 【典例】（26-27七年级·全国·暑假作业）月球表面白天温度可达，夜间可降至，求月球表面的温差． 【变式练习2-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知甲、乙、丙三地的海拔分别为10米、米、米，则这三地中海拔最高的地方比海拔最低的地方高_______米． 【变式练习2-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知甲地海拔为 120 米，乙地海拔为米，求甲地比乙地高多少米？下列列式中正确的是（    ） A． B． C． D． 解决这类问题时要注意读懂题意，正确列出算式，按照减法法则计算出结果即可。 题型3 省略加号和括号的形式 【典例】（24-25七年级上·重庆万州·阶段检测）将式子省略括号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式练习3-1】（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）将式子写成省略加号的形式______，读作：______． 【变式练习3-2】（24-25七年级上·全国·课后作业）把写成省略加号的和的形式，并把它读出来． 在省略括号和加号之前，必须统一转化为加法运算。 题型4 有理数的加减混合运算 【典例】（24-25七年级上·重庆九龙坡·周测）计算：． 【变式练习4-1】（24-25七年级上·四川宜宾·阶段检测）若，则________． 【变式练习4-2】（25-26七年级上·河北邢台·期中）若，则a的位置在如图所示数轴上的（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 进行有理数加减混合运算时，要根据算式的特点，灵活选择加法运算律，从而使计算简便. 有理数加减混合运算的三个步骤： 第一步：把有理数的减法运算统一成加法运算； 第二步：把加法算式写成省略加号和括号的形式； 第三步：应用加法法则或加法运算律进行计算. 题型5 有理数加减中的简便计算 【典例】（24-25七年级上·山东德州·阶段检测） 用简便方法计算： (1) (2) (3) 【变式练习5-1】（24-25七年级上·河北沧州·阶段检测）阅读下面的解题过程并填空． 计算：． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） ． (1)在计算过程中，第一步把原式化成________的形式；第二步是根据________得到的，目的是简便计算； (2)请根据以上的解题技巧计算：． 【变式练习5-2】（25-26七年级上·全国·课堂例题）先阅读例题的计算方法，再根据例题的计算方法计算． 例  计算：． 解： ． 上面这种解题方法叫做拆项法． 计算：． 在运用加法交换律交换加数的位置时，一定连同前面的符号一起移动。 题型6 有理数加减法的实际应用 【典例】（24-25七年级上·重庆·期中）小茗从学校了解到，上周五学校超市共售出牛奶500袋，喜欢数学的他统计了本周周一到周五学校超市牛奶的销量，以500袋为标准，超过500袋的数量记为“”，不足500袋的数量记为“”，统计表格如下： 周一 周二 周三 周四 周五 (1)本周哪一天学校超市牛奶的销量最大，数量是多少袋？ (2)本周售出的所有牛奶分为两种，种牛奶3元一袋，种牛奶4元一袋．其中种牛奶的销量是种牛奶的2倍，求本周售出的所有牛奶的总金额． 【变式练习6-1】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段检测）为了解某学习小组学生某次测试成绩的情况，老师以小组平均分作为基准，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数，制作了如下的成绩分析表格，但是他不小心把墨水洒到了表格上，使一些数看不清了（表格中的空白部分）．则被墨水遮住的数之和为________． 【变式练习6-2】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）兴平辣椒是兴平市的特产，并获得了中国国家地理标志产品的称号．其以色泽鲜红、椒身细长、肉厚籽多、皱纹均匀的特点而著称，且辣香浓郁，品质优良，富含多种维生素、蛋白质和氨基酸．某超市销售这种袋装辣椒粉，原计划每天卖50袋，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入．若超出部分记为正，少于部分记为负，下表是某一周的销售情况．（单位：袋） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)该周销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售____袋袋装辣椒粉； (2)这家超市这一周共卖出多少袋袋装辣椒粉？ (3)该超市老板以每袋8.5元的价格购进这种辣椒粉，按每袋12元的价格出售，则这家超市该周售卖这种辣椒粉一共赚了多少元？ 加减运算解决实际问题，读题列式最关键 有理数的加减运算（或混合运算）在实际生活中有着广泛的应用，解决这类问题时要注意读懂题意，正确列出算式，这是解题的关键所在.在求解时要恰当运用运算律来简化运算，还要注意结果所表达的实际意义！ 题型7 绝对值与有理数的加减法 【典例】（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）若，，且，则_____． 【变式练习7-1】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）若，，且，则的值是______． 【变式练习7-2】（24-25七年级上·陕西西安·期中）根据绝对值的概念，我们在一些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，如：，，，．请你根据以上规律解答下列问题： (1)写出下列各式去掉绝对值符号后的形式：（不需要计算出结果）________，________； (2)计算：； (3)计算：． 把握好已知一个数的绝对值（非0），这一个数有两个，且互为相反数即可。 题型8 有理数的加减法与数轴 【典例】（24-25七年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知，． (1)请直接写出原点在第几部分； (2)已知点A与点C之间的距离为5，点B与点C之间的距离是3． ①若，求的值； ②若a，c互为相反数，求的值； (3)设原点为O，若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，在这三点中，当相邻两点的距离相等时，直接写出d的值． 【变式练习8-1】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且，则点C表示的数是__．    【变式练习8-2】（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段检测）在数轴上表示数和2的点分别是点A和点B，则点A与点B的距离为（    ） A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1 题型9 有理数加减法运算与新定义问题 【典例】（25-26七年级上·吉林白城·阶段检测）定义一种新运算：，如，按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 【变式练习9-1】（24-25七年级上·福建三明·期中）探究规律，完成相关题目老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子： （+2）※（+4）=+6；（3）※（4）=+7 （2）※（+3）=5；（+5）※（6）=11 0※（+9）=+9；（7）※0=+7 小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了，聪明的你看出来了吗？请你运用你找到的※（加乘）运算法则进行计算： （1）计算：（11）※（4）；（+7）※（9） （2）计算：（5）※〔0※（3）〕 【变式练习9-2】（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）若定义运算：，则__________． 理解新定义，转化很重要 新定义题的本质是一种规定，规定某种运算方式，然后按照规定去计算、求值.解决此类问题，关键是理解新定义，将其转化为我们所熟知的加、减等运算。 综合检测 一．选择题 1．（25-26六年级上·山东烟台·期中）计算的结果是（    ） A．4 B．2 C．0 D． 2．（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）把写成省略括号的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）杭州某天的最低气温为，最高气温为，则这天的温差为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）计算的结果是（     ）． A．6 B．0 C．10 D． 5．（25-26七年级上·青海海东·阶段检测）小磊解题时，将式子先变成再计算结果，则小磊运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．以上均不正确 6．（24-25七年级上·吉林·阶段检测）某地冬季中的一天，中午12时的气温是，经过2小时上升了，再经过4小时气温又下降了，那么当天18时的气温是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 8．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）数m在数轴上的位置如图所示，则m与6的距离为（    ）    A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·广东惠州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的新运算，已知表示不超过的最大整数，例如，现定义，例如，则(   ) A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·河北邢台·阶段检测）小明设计了填数游戏，在如图所示的各个圆圈内填上适当的数，使每个圆圈内的数都等于与它相邻的两个圆圈内的数字之和．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：m的值为2； 结论Ⅱ：在圆圈a和圆圈b之间增加6个圆圈后，m的值不变 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 二．填空题 11．（25-26七年级上·湖南娄底·阶段检测）计算：______，______，______． 12．（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）把写成省略加号的代数和的形式是______． 13．（24-25七年级上·福建厦门·期中）海拔比高________m；比海拔低的海拔高度是________m． 14．（25-26六年级上·山东威海·期末）的绝对值与4的差，再加上，结果为______． 15．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）填写下列运算的依据 ________ ________． 16．（24-25七年级上·河南新乡·阶段检测）小明的爸爸买了某只股票，每股8元，下表记录了在一周内该股票的涨跌情况（用正数记股票价格比前一日上升数，用负数记股票价格比前一日下降数）： 星期 一 二 三 四 五 股票涨跌/元 则该股票这星期中最高价格是___元． 17．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）若，，且，则的值为______． 18．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）数轴上表示﹣1的点为A，则数轴上到点A的距离为3个单位长度的点表示的数是_____． 19．（24-25六年级上·山东济南·阶段检测）数学课上，徐老师给同学们出了一道题：规定了一种运算“”，对于任意有理数a，b有，请你根据新定义运算，计算的结果是________． 20．（25-26七年级上·福建泉州·期末）代数式的最小值为____________． 三．解答题 21．（25-26七年级上·甘肃庆阳·阶段检测）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：． 22．（24-25七年级上·重庆万州·阶段检测）计算 (1) (2) 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）水银的凝固点是，酒精的凝固点是．那么，水银的凝固点比酒精的凝固点高多少摄氏度？ 24．（25-26七年级上·湖南益阳·阶段检测）计算： (1)； (2)． 25．（24-25七年级上·全国·随堂练习）简便计算： (1)； (2)． 26．（24-25七年级上·贵州黔南·期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 27．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）刚刚过去的一年是中国新能源市场竞争最为激烈的一年，大量的低价新车扎堆上市，引发了一连串的官方降价，等等党绝对是赢麻了．如今的中国新能源市场，不仅价格持续走低，技术迭代周期也大幅缩短，还有众多传统汽车厂商、科技企业．某电车制造商为测试电车每公里的耗电量，现在一条南北方向的路上进行测试，从地出发，约定向南走为正，当天的行走记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，，，，． (1)测试结束时，该车在地的哪个方向？求此电车与地的距离； (2)若电车每千米耗电度，求该车在测试过程中共耗电多少度． 28．（24-25七年级上·广西防城港·阶段检测）【阅读思考】 根据绝对值的运算性质可知一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是其相反数，0的绝时值是0，由此可知求一个算式整体的绝对值，可先判断数的正负性，再求它的绝对值，再化简． 例如：， (1)【牛刀小试】 根据上面的规律，把下列各式去掉绝对值符号，不要算出最后结果． ________；      ________； (2)【拓展延伸】 29．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段检测）同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求__________； (2)同样道理表示数轴上有理数x所对点到和1005所对的两点距离相等，则__________； (3)类似的表示数轴上有理数x所对点到和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的正整数x，使得，这样的正整数是__________； (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由． 30．（25-26七年级上·湖北宜昌·阶段检测）定义一种新运算：，如，按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 31．（24-25七年级上·北京西城·期末）小东对有理数定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同， 用“乘减法”计算：______． 小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明不成立． 32．（24-25七年级上·山东临沂·期中）数学来源于生活，又服务于生活，生活中处处都有数学的身影．如图1是2024年11月份的日历，请仔细观察该日历，回答下列问题： 【观察发现】 （1）小乐在日历画出一个的方框，框住四个数（如图1阴影区域），若第一个数字表示为，则四个数的和可以表示为______． 【数学思考】 （2）小明又在日历画出一个的方框，框住九个数（如图2阴影区域），若方框正中心的数表示为，则阴影区域中的9个数之和可以表示为______，图中______． 【解决问题】 （3）小华发现的方框在日历上移动的过程中（如图3所示），四个数存在特定的规律，即的值不变．小芳认为小华的猜想正确，她进行了推理证明，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． 【类比探究】 （4）借助图2中的日历，继续进行如下探究：在日历中用“型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”值的规律，直接写出你的结论． 中考真题 1．(2024·天津·中考真题）计算的结果等于（  ） A． B．0 C．3 D．6 2．（2026·福建·中考真题）福建省首届“闽超”足球比赛正如火如荼进行中，在某轮比赛中甲队与乙队的比赛结果为，丙队与丁队的比赛结果为．若把这轮比赛中甲队的净胜球数记作，则丙队的净胜球数应记作（     ） A． B． C． D． 3．(2023·山东滨州·中考真题）计算的结果为___________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 有理数的减法 学习目标 1、掌握有理数减法法则. 2、会进行有理数加减混合运算，并进行应用. 核心素养： 抽象能力 运算能力 应用意识 知识结构 知识点一 有理数的减法 1、有理数的减法法则 (1)内容:减去一个数,等于加这个数的相反数. (2)用字母表示: 2、有理数的减法的运算步骤 第一步:把减号变为加号(改变运算符号); 第二步:把减数变为它的相反数(改变性质符号); 第三步：按照有理数的加法法则进行计算. 注意：(1)有理数的减法运算的实质是把减法运算转化为加法运算. (2)在有理数的减法运算中，被减数和减数的位置不能互换. 提醒：法则中的“两变”和“一不变” “两变”是指把运算符号“”号变为运算符号“”号把减数变为它的相反数;“一不变”是指被减数和减数的位置固定不变. 【基础练习1-1】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）某地一天中午的气温由早晨的零下上升了，傍晚又下降了，该地傍晚的气温为 _______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算的实际应用，用早晨的温度加上上升的温度，再减去下降的温度即可得到答案． 【详解】解：， ∴该地傍晚的气温为， 故答案为：． 【基础练习1-2】（25-26六年级上·山东·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】 (1)12 (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了有理数的减法，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接去括号，利用有理数的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案； （3）直接去括号，利用有理数的加减运算法则计算得出答案； （4）直接去括号，利用有理数的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 省略算式中的加号和括号 知识点二 1、依据：有理数减法法则. 2、步骤： = 第一步：转化为加法运算 = 第二部：省略括号和加号 3、读法:对于算式“”的读法 读法一:把每个数前面的符号看作这个数的性质符号,读作“负12、负8、负6、正5的和”; 读法二:把每个数前面的符号看作运算符号,读作“负12减8减6加5”. 注意：省略加号和括号后的和式，每一个数连同它前面的性质符号可以看成式子中的一项，作为和式中的一个加数. 提醒：第一个加数的符号只能读作“正”或“负”，不能读作“加”或“减”. 【基础练习2-1】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）把写成省略括号和加号的形式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把加减法统一成加法，再省略括号和加号即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则，必须统一成加法后，才能省略括号和加号． 【基础练习2-2】（24-25七年级上·四川眉山·期中）把算式写成省略加号的形式为：______读法为：______． 【答案】 、、、的和 【分析】利用去括号法则去括号，再写出读法， 【详解】解： ， 读作：、、、的和． 故答案为：；、、、的和． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题关键是熟练掌握去括号法则． 有理数加减混合运算 知识点三 1、有理数加减混合运算的方法 根据有理数的减法法则,首先把其中的减法运算转化为加法运算,从而把加减混合运算转化为加法运算，然后利用加法运算法则或加法运算律进行运算. 2、有理数加减混合运算的步骤示例 示例：计算 解题模版 解题依据 = 统一成加法 减法法则 = 省略括号和加号 符号法则 = 交换加数位置 加法交换律 = 分别计算 加法结合律 = 求得结果 加法法则 注意：(1)在有理数加减混合运算中，交换加数的位置时，要将数连同它前面的性质符号一起交换； (2)如果算式中的第一个加数是省略了“+”号的正数,那么交换位置时要补上“+”号. 点拨：进行有理数加减混合运算时，要根据算式的特点，灵活选择加法运算律，从而使计算简便. 【基础练习3-1】（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）计算： (1)； (2)； 【答案】 (1) (2) 【分析】此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据有理数的减法运算法则，减去一个负数等于加上它的相反数计算； （2）带分数和分数的加减运算，需先将带分数化为假分数形式，再计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 【基础练习3-2】（24-25七年级上·山西太原·阶段检测）阅读下面的解题过程并解决问题 计算：； 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） …… (1)计算过程中，第一步变形的依据是______，体现了数学中的______思想； (2)为了计算简便，第二步和第三步分别应用了______、______； (3)请将过程补充完整． 【答案】 (1)有理数的减法法则，转化 (2)加法交换律，加法结合律 (3) 原式 ． 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算步骤及运算定律可得出答案； （2）仿照题意运用有理数加法交换律及结合律，使用简便方法计算即可； （3）根据有理数的加减混合运算计算即可． 【详解】（1）解：根据有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数， 所以第一步变形的依据是有理数的减法法则，体现了数学中的转化思想； 故答案为：有理数的减法法则，转化； （2）解：为了计算简便，第二步和第三步分别应用了加法交换律，加法结合律； 故答案为：加法交换律，加法结合律； （3）略 【点睛】本题主要考查有理数的加减混合运算，掌握混合运算的步骤及运算法则是解题关键． 题型1 有理数的减法法则 【典例】（24-25七年级上·全国·课前预习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】 (1) (2) (3)119 【分析】本题考查的是有理数的减法，掌握有理数的减法运算法则是解题的关键． （1）利用有理数减法法则运算即可； （2）利用有理数减法法则运算即可； （3）利用有理数减法法则运算即可． 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 【变式练习1-1】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）比小2的数是___________． 【答案】 【分析】由减法的意义列出，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 故答案：． 【点睛】本题考查了有理数的减法应用，掌握减法的意义是解题的关键． 【变式练习1-2】（25-26七年级上·北京昌平·期中）如图是小明和小乐在学习有理数运算后的一段对话． 解： （　　）（依据：___________） （ ___________） ___________．       【答案】，有理数的减法法则，5，2 【分析】根据有理数的加法法则和加法法则计算即可． 【详解】解： （依据：有理数的减法法则） ， 故答案为：，有理数的减法法则，5，2． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 有理数的减法运算的关键是将减法转化为加法，再按照加法法则求得结果。 题型2 有理数减法的应用 【典例】（26-27七年级·全国·暑假作业）月球表面白天温度可达，夜间可降至，求月球表面的温差． 【答案】 【分析】理解题意，根据温差的定义列式计算，即可作答． 【详解】解：． 【变式练习2-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知甲、乙、丙三地的海拔分别为10米、米、米，则这三地中海拔最高的地方比海拔最低的地方高_______米． 【答案】22 【分析】本题考查有理数的减法运算的实际应用，有理数大小比较的实际应用，由题意列出算式，利用减法法则计算，即可得到结果．熟练掌握减法法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴甲地的海拔最高，乙地的海拔最低， ∴（米）， ∴最高的地方比最低的地方高米． 故答案为：． 【变式练习2-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知甲地海拔为 120 米，乙地海拔为米，求甲地比乙地高多少米？下列列式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的减法及正数和负数，根据甲地的海拔高度减乙地的海拔高度，直接列式即可． 【详解】解：根据题意得，甲地比乙地高列式为， 故选：B． 解决这类问题时要注意读懂题意，正确列出算式，按照减法法则计算出结果即可。 题型3 省略加号和括号的形式 【典例】（24-25七年级上·重庆万州·阶段检测）将式子省略括号后变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的加减运算法则即可求出答案． 【详解】 ， 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的加减运算，解题的关键是熟练运用有理数的加减运算法则，本题属于基础题型．注意：括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 【变式练习3-1】（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）将式子写成省略加号的形式______，读作：______． 【答案】 负、、负、、负的和(或负加减加减) 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数去括号法则直接计算即可得到结果，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解： ， 读作：、、、、的和或加减加减， 故答案为：；负、、负、、负的和(或负加减加减） 【变式练习3-2】（24-25七年级上·全国·课后作业）把写成省略加号的和的形式，并把它读出来． 【答案】；读作“、负、负、、负1的和”，也可读作“减减加减1” 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数加减混合运算中，先把加减法统一成加法后，再写成省略加号和括号的和的形式，再用两种方式读出即可． 【详解】解： 读作“、负、负、、负1的和”，也可读作“减减加减1”． 在省略括号和加号之前，必须统一转化为加法运算。 题型4 有理数的加减混合运算 【典例】（24-25七年级上·重庆九龙坡·周测）计算：． 【答案】 【分析】根据有理数加减混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式练习4-1】（24-25七年级上·四川宜宾·阶段检测）若，则________． 【答案】 【分析】首先依据绝对值的非负数的性质求得、、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， 而，，， ∴，，， 解得，，， ∴． 【变式练习4-2】（25-26七年级上·河北邢台·期中）若，则a的位置在如图所示数轴上的（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加减运算及数轴上有理数的表示，熟练掌握有理数的加减运算及数轴上有理数的表示是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴a的位置在如图所示数轴上的段①； 故选A． 进行有理数加减混合运算时，要根据算式的特点，灵活选择加法运算律，从而使计算简便. 有理数加减混合运算的三个步骤： 第一步：把有理数的减法运算统一成加法运算； 第二步：把加法算式写成省略加号和括号的形式； 第三步：应用加法法则或加法运算律进行计算. 题型5 有理数加减中的简便计算 【典例】（24-25七年级上·山东德州·阶段检测） 用简便方法计算： (1) (2) (3) 【答案】 (1)65 (2)0 (3) 【分析】（1）先用加法结合律分别将整数和负数结合在一起，然后再计算即可； （2）先把分数化成小数，然后再运用加法结合律计算即可； （3））先把小数化成分数，然后再运用加法结合律计算即可. 【详解】（1）解： = = =65. （2）解： = = = =0. （3）解： = = = = = =-9. 【点睛】本题主要考查了有理数加减简便运算，掌握有理数加法交换律和去括号法则成为解答本题的关键. 【变式练习5-1】（24-25七年级上·河北沧州·阶段检测）阅读下面的解题过程并填空． 计算：． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） ． (1)在计算过程中，第一步把原式化成________的形式；第二步是根据________得到的，目的是简便计算； (2)请根据以上的解题技巧计算：． 【答案】 (1)省略加号和括号；加法的交换律和结合律 (2) 【分析】（1）根据去括号法则、加法的交换律和结合律即可得； （2）先去括号、把小数化成分数，再利用加法的交换律和结合律进行计算即可得． 【详解】（1）解：在计算过程中，第一步把原式化成省略加号和括号的形式；第二步是根据加法的交换律和结合律得到的，目的是简便计算， 故答案为：省略加号和括号；加法的交换律和结合律． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了去括号法则、加法的交换律和结合律、有理数的加减法，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题关键． 【变式练习5-2】（25-26七年级上·全国·课堂例题）先阅读例题的计算方法，再根据例题的计算方法计算． 例  计算：． 解： ． 上面这种解题方法叫做拆项法． 计算：． 【答案】 【分析】根据题干中提供的计算方法进行运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了有理加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则，准确计算． 在运用加法交换律交换加数的位置时，一定连同前面的符号一起移动。 题型6 有理数加减法的实际应用 【典例】（24-25七年级上·重庆·期中）小茗从学校了解到，上周五学校超市共售出牛奶500袋，喜欢数学的他统计了本周周一到周五学校超市牛奶的销量，以500袋为标准，超过500袋的数量记为“”，不足500袋的数量记为“”，统计表格如下： 周一 周二 周三 周四 周五 (1)本周哪一天学校超市牛奶的销量最大，数量是多少袋？ (2)本周售出的所有牛奶分为两种，种牛奶3元一袋，种牛奶4元一袋．其中种牛奶的销量是种牛奶的2倍，求本周售出的所有牛奶的总金额． 【答案】 (1)周四；548袋 (2)8400元 【分析】题目主要考查有理数的乘法运算及加减运算的应用，理解题意，列式计算是解题关键． （1）根据有理数的大小比较方法求解即可； （2）先求出本周牛奶的总销量，然后计算种牛奶和种牛奶的销量，求解费用即可． 【详解】（1）解：因为 所以周四的销量最大， 最大数量是（袋） （2）本周牛奶的总销量为：（袋） 根据题意：其中种牛奶数量为（袋） 种牛奶数量为（袋） 总金额为（元） 答：本周售出的所有牛奶的总金额为8400元． 【变式练习6-1】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段检测）为了解某学习小组学生某次测试成绩的情况，老师以小组平均分作为基准，超过的分数记为正数，不足的分数记为负数，制作了如下的成绩分析表格，但是他不小心把墨水洒到了表格上，使一些数看不清了（表格中的空白部分）．则被墨水遮住的数之和为________． 【答案】 【分析】此题考查了正数与负数的意义、有理数的加减法混合运算．根据题意，整个表格中数值之和为0，先计算没有被污染的格子中的数值之和，则可知被污染的格子中的数值之和． 【详解】解：没有被污染的格子中的数值之和为：， 整个表格中数值之和为0， 被污染的格子中的数值之和为． 故答案为：． 【变式练习6-2】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）兴平辣椒是兴平市的特产，并获得了中国国家地理标志产品的称号．其以色泽鲜红、椒身细长、肉厚籽多、皱纹均匀的特点而著称，且辣香浓郁，品质优良，富含多种维生素、蛋白质和氨基酸．某超市销售这种袋装辣椒粉，原计划每天卖50袋，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入．若超出部分记为正，少于部分记为负，下表是某一周的销售情况．（单位：袋） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)该周销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售____袋袋装辣椒粉； (2)这家超市这一周共卖出多少袋袋装辣椒粉？ (3)该超市老板以每袋8.5元的价格购进这种辣椒粉，按每袋12元的价格出售，则这家超市该周售卖这种辣椒粉一共赚了多少元？ 【答案】 (1)袋 (2)袋 (3)元 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）根据正数和负数的实际意义列式计算以及利润的计算方法计算即可． 【详解】（1）解：（袋）， 即该周销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售22袋袋装辣椒粉； （2）（袋）， 即这家超市这一周共卖出364袋袋装辣椒粉； （3）（元） 答：一共赚了1274元． 加减运算解决实际问题，读题列式最关键 有理数的加减运算（或混合运算）在实际生活中有着广泛的应用，解决这类问题时要注意读懂题意，正确列出算式，这是解题的关键所在.在求解时要恰当运用运算律来简化运算，还要注意结果所表达的实际意义！ 题型7 绝对值与有理数的加减法 【典例】（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）若，，且，则_____． 【答案】或/或 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的减法运算，根据绝对值的性质可得：、，根据，可得：，所以可得：、或、，分情况求出的值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 、或、， 当、时， 可得：， 当、时， 可得：， 故答案为：或． 【变式练习7-1】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）若，，且，则的值是______． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值，有理数加减法运算，熟练掌握绝对值的性质是解题关键 ． 由已知可以得到，或，，然后分情况代入求解即可． 【详解】解：∵，， ，， ， ，或，， 当，时，， 当，时，． 的值是或． 故答案为：或． 【变式练习7-2】（24-25七年级上·陕西西安·期中）根据绝对值的概念，我们在一些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，如：，，，．请你根据以上规律解答下列问题： (1)写出下列各式去掉绝对值符号后的形式：（不需要计算出结果）________，________； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】 (1)，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的加减计算： （1）根据题意可知两个正数的差的绝对值等于较大的正数减去较小的正数，据此求解即可； （2）根据两个正数的差的绝对值等于较大的正数减去较小的正数先化简绝对值，再计算加减法即可； （3）仿照（2）先化简绝对值，再计算加减法即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：，； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 把握好已知一个数的绝对值（非0），这一个数有两个，且互为相反数即可。 题型8 有理数的加减法与数轴 【典例】（24-25七年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知，． (1)请直接写出原点在第几部分； (2)已知点A与点C之间的距离为5，点B与点C之间的距离是3． ①若，求的值； ②若a，c互为相反数，求的值； (3)设原点为O，若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，在这三点中，当相邻两点的距离相等时，直接写出d的值． 【答案】 (1)原点在第③部分； (2)①，②； (3)的值为或或 【分析】本题主要考查了数轴的应用，数轴上两点之间的距离，有理数的加减法运用，熟练掌握分类讨论是解题的关键． （1）由，可得b、c异号，从而得出圆点的位置； （2）①由分别求出a，c的值即可得到答案； ②a，c互为相反数，故，再由点与点之间的距离为5，点与点之间的距离是3求出值计算； （3）分三种情况讨论，当点是的中点时，当点是的中点时，当点是的中点时，分别求解． 【详解】（1）解：∵， ∴b、c异号， ∴原点在，之间， 即原点在第③部分； （2）解：①∵点与点之间的距离是，， ∵点与点之间的距离为5， ， ； ②∵，互为相反数，故， ∵点与点之间的距离为， ，， ∵点与点之间的距离是， ， ， ； （3）解：①当点是的中点时，， ， ∴， ②当点是的中点时，， ， ③当点是的中点时， , 综上所述，或或 【变式练习8-1】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且，则点C表示的数是__．    【答案】 【分析】先根据表示的数求得的长，再由折叠后的长求得的长，进而可确定点C表示的数． 【详解】解：表示的数分别是，3， ， ∵折叠后点A在点B的右边，且， ， 点表示的数是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上两点的距离与点表示的数的运算关系是解答的关键． 【变式练习8-2】（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段检测）在数轴上表示数和2的点分别是点A和点B，则点A与点B的距离为（    ） A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1 【答案】C 【分析】根据数轴上两点之间距离的计算方法求解即可． 【详解】解：∵表示数和2的点分别是点A和点B， ∴点A与点B之间的距离为， 故选：C． 【点睛】此题考查数轴上两点之间距离的求法，两点间的距离＝右边的点表示的数－左边的点表示的数；或者两点间的距离＝两数差的绝对值． 题型9 有理数加减法运算与新定义问题 【典例】（25-26七年级上·吉林白城·阶段检测）定义一种新运算：，如，按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】 (1) (2)26 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】（1）根据题意可得， ； （2） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解题干中的新定义运算． 【变式练习9-1】（24-25七年级上·福建三明·期中）探究规律，完成相关题目老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子： （+2）※（+4）=+6；（3）※（4）=+7 （2）※（+3）=5；（+5）※（6）=11 0※（+9）=+9；（7）※0=+7 小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了，聪明的你看出来了吗？请你运用你找到的※（加乘）运算法则进行计算： （1）计算：（11）※（4）；（+7）※（9） （2）计算：（5）※〔0※（3）〕 【答案】（1）+15；-16；（2）-8． 【分析】（1）由题意可知，※（加乘）运算法则为两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，然后根据※（加乘）运算法则求解即可； （2）由题意可知，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，都等于这个数的绝对值，然后根据※（加乘）运算法则求解即可． 【详解】解：（1）由（+2）※（+4）=+6；（3）※（4）=+7 （2）※（+3）=5；（+5）※（6）=11， 可知，※（加乘）运算法则为两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加， ∴（11）※（4）=+15，（+7）※（9）=-16； （2）由0※（+9）=+9；（7）※0=+7，可知，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，都等于这个数的绝对值， ∴（5）※〔0※（3）〕=（5）※（+3）=-8． 【点睛】此题考查了有理数加减运算的新定义问题，解题的关键是根据题意得出※（加乘）运算法则． 【变式练习9-2】（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）若定义运算：，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减法，和新定义运算．先根据减去一个数等于加上这个数的相反数求出的值，再根据新定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 理解新定义，转化很重要 新定义题的本质是一种规定，规定某种运算方式，然后按照规定去计算、求值.解决此类问题，关键是理解新定义，将其转化为我们所熟知的加、减等运算。 综合检测 一．选择题 1．（25-26六年级上·山东烟台·期中）计算的结果是（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数．根据有理数的减法运算法则，可得结果． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）把写成省略括号的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用去括号法则去括号得出答案． 【详解】解：=， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了有理数的加减混合运算，正确掌握去括号法则是解题关键． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）杭州某天的最低气温为，最高气温为，则这天的温差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数减法在生活中的实际应用，根据温差最高温度最低温度，求值即可． 【详解】解：由题意可得． 即这天的温差是， 故选：D． 4．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）计算的结果是（     ）． A．6 B．0 C．10 D． 【答案】A 【详解】解：． 5．（25-26七年级上·青海海东·阶段检测）小磊解题时，将式子先变成再计算结果，则小磊运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】根据加法交换律和加法结合律进行计算即可求解． 【详解】解：将式子先变成再计算结果，则小磊运用了加法交换律和加法结合律 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法交换律和加法结合律是解题的关键． 6．（24-25七年级上·吉林·阶段检测）某地冬季中的一天，中午12时的气温是，经过2小时上升了，再经过4小时气温又下降了，那么当天18时的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加减计算的实际应用，用中午12时的温度加上两次变化的温度即可得到答案． 【详解】解：， ∴当天18时的气温是， 故选：B． 7．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质得到m、n的所有可能取值，再结合筛选出符合条件的组合，最后分类计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 当时，，，均不符合条件，舍去； 当时，，符合要求；，符合要求； 分两种情况计算： 当，时，； 当，时，； ∴的值为或，故A正确． 8．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）数m在数轴上的位置如图所示，则m与6的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点间的距离公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：m与6的距离为， 故选D． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离．熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 9．（25-26七年级上·广东惠州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的新运算，已知表示不超过的最大整数，例如，现定义，例如，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加减混合运算，新定义运算，解题关键是理解新定义运算．根据定义，先求，再计算 ． 【详解】解：表示不超过的最大整数，且， ． ． 故选：A． 10．（24-25七年级上·河北邢台·阶段检测）小明设计了填数游戏，在如图所示的各个圆圈内填上适当的数，使每个圆圈内的数都等于与它相邻的两个圆圈内的数字之和．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：m的值为2； 结论Ⅱ：在圆圈a和圆圈b之间增加6个圆圈后，m的值不变 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法与减法运算，读懂题意并准确列出算式是解题的关键． 根据题意，求出b，m的值，即可求解． 【详解】解：∵每个圆圈内的数都等于与它相邻的两个圆圈内的数字之和， ∴，故结论Ⅰ正确； 根据题意得：在圆圈a和圆圈b之间增加6个圆圈，圆圈内的数依次为， 此时m的值仍然为2，不变，故结论Ⅱ正确； 故选：C 二．填空题 11．（25-26七年级上·湖南娄底·阶段检测）计算：______，______，______． 【答案】 9.6 【分析】利用有理数的加减法的运算法则求解即可求得答案． 【详解】解： ， ； ， ； ， ， 故答案为：，9.6， 【点睛】此题考查了有理数的加减运算．解决本题的关键是要掌握有理数的加减运算法则． 12．（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）把写成省略加号的代数和的形式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算中去括号的法则：括号前面有“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号不改变，括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都要改变，掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解：原式； 故答案：． 13．（24-25七年级上·福建厦门·期中）海拔比高________m；比海拔低的海拔高度是________m． 【答案】 10 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，分别计算，即可解答． 【详解】解：， ， ∴海拔比高；比海拔低的海拔高度是． 故答案为：10， 14．（25-26六年级上·山东威海·期末）的绝对值与4的差，再加上，结果为______． 【答案】 【分析】按照题目描述的运算顺序逐步计算：先求绝对值，再算减法，最后算加法． 【详解】解：先计算的绝对值与4的差：， 再将所得的差加上：． 15．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）填写下列运算的依据 ________ ________． 【答案】 加法结合律 有理数加法法则 【分析】本题考查有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．第一个步骤将算式分组结合，依据加法结合律；第二个步骤计算异号两数相加，依据有理数加法法则． 【详解】解：在计算过程中，第三步将算式分组为，这应用了加法结合律，即多个有理数相加，可以先将同号数结合相加； 第五步计算得到，这应用了有理数加法法则，即异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 故答案为：加法结合律，有理数加法法则． 16．（24-25七年级上·河南新乡·阶段检测）小明的爸爸买了某只股票，每股8元，下表记录了在一周内该股票的涨跌情况（用正数记股票价格比前一日上升数，用负数记股票价格比前一日下降数）： 星期 一 二 三 四 五 股票涨跌/元 则该股票这星期中最高价格是___元． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数加减的应用，分别计算出每一天股票的价格，然后进行比较即可得出答案． 【详解】星期一的股票价格为（元）， 星期二的股票价格为（元）， 星期三的股票价格为（元）， 星期四的股票价格为（元）， 星期五的股票价格为（元）， ， ∴在这星期股票的最高价格为元， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）若，，且，则的值为______． 【答案】或 【分析】此题考查了有理数的减法，绝对值，代数式，掌握绝对值性质的逆向运用是解题的关键．由，，可得出，分别代入中，得出满足题意即可得出结果． 【详解】，， ， 当时， ，满足题意， ， 当时， ，不满足题意舍去， 当时， ，满足题意， ， 当时， ，不满足题意舍去， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 18．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）数轴上表示﹣1的点为A，则数轴上到点A的距离为3个单位长度的点表示的数是_____． 【答案】－4或2 【分析】数轴上距离某个点是一个定值的点有两个，左右各一个，所以到点A距离等于3的点所表示的数为，或． 【详解】若该点在A的左边，则它表示的数为：， 若该点在A的右边，则它表示的数：． 故答案为：或2． 【点睛】本题考查了数轴的知识点和有理数加减法，熟练的掌握数轴的概念是解题的关键． 19．（24-25六年级上·山东济南·阶段检测）数学课上，徐老师给同学们出了一道题：规定了一种运算“”，对于任意有理数a，b有，请你根据新定义运算，计算的结果是________． 【答案】1 【分析】题目主要考查有理数的加减运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．按照规定的运算方法把式子改为有理数的加减运算计算得出结果即可． 【详解】解：根据题意得， 故答案为：1． 20．（25-26七年级上·福建泉州·期末）代数式的最小值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简计算，明确绝对值的化简法则并明确何时题中所要求的式子取得最小值是解题的关键．将原式化为，可理解为到的距离，倍的到的距离，倍的到的距离，倍的到的距离，倍的到的距离的和，求得时，取得最小值即可解得答案． 【详解】解： ． 原式可理解为到的距离，倍的到的距离，倍的到的距离，倍的到的距离，倍的到的距离的和， 原式可看作个绝对值相加，而中间项第八项为， 当，即时取最小值， 最小值为 ， 故答案为：． 三．解答题 21．（25-26七年级上·甘肃庆阳·阶段检测）（1）计算：； （2）计算：； （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）0 【分析】本题考查有理数的减法运算： （1）利用有理数的减法法则计算即可； （2）利用有理数的减法法则计算即可； （3）利用有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式． 22．（24-25七年级上·重庆万州·阶段检测）计算 (1) (2) 【答案】 (1) (2)1.5 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）先化简绝对值，再计算减法即可； （2）先去括号，再计算加减即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： . 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）水银的凝固点是，酒精的凝固点是．那么，水银的凝固点比酒精的凝固点高多少摄氏度？ 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法，用水银的凝固点减去酒精的凝固点，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【详解】解：， 即水银的凝固点比酒精的凝固点高． 24．（25-26七年级上·湖南益阳·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】 (1)13 (2) 【分析】此题考查有理数的加减法计算法则， （1）根据有理数加减法计算法则计算即可； （2）根据有理数加减法计算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 25．（24-25七年级上·全国·随堂练习）简便计算： (1)； (2)． 【答案】 (1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）根据有理数加法的交换律和结合律将和结合，和结合，再进行计算即可． （2）根据有理数加法的交换律和结合律将和结合，和结合，再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．（24-25七年级上·贵州黔南·期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算：． 解：原式 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【答案】 【分析】利用题目提供的方法计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，正确理解题干提供的计算方法是解答本题的关键． 27．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）刚刚过去的一年是中国新能源市场竞争最为激烈的一年，大量的低价新车扎堆上市，引发了一连串的官方降价，等等党绝对是赢麻了．如今的中国新能源市场，不仅价格持续走低，技术迭代周期也大幅缩短，还有众多传统汽车厂商、科技企业．某电车制造商为测试电车每公里的耗电量，现在一条南北方向的路上进行测试，从地出发，约定向南走为正，当天的行走记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，，，，． (1)测试结束时，该车在地的哪个方向？求此电车与地的距离； (2)若电车每千米耗电度，求该车在测试过程中共耗电多少度． 【答案】 (1)在地的南方，此电车与地的距离为2千米 (2) 【分析】本题考查正负数的实际应用和有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）将所有数据相加后，根据和的情况以及正负进行判断即可； （2）用总路程乘以每千米的耗电求解即可． 【详解】（1）解：（千米）， 答：测试结束时，该车在地的南方，此电车与地的距离为2千米． （2）解：（千米） （度） 答：该车在测试过程中共耗电度． 28．（24-25七年级上·广西防城港·阶段检测）【阅读思考】 根据绝对值的运算性质可知一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是其相反数，0的绝时值是0，由此可知求一个算式整体的绝对值，可先判断数的正负性，再求它的绝对值，再化简． 例如：， (1)【牛刀小试】 根据上面的规律，把下列各式去掉绝对值符号，不要算出最后结果． ________；      ________； (2)【拓展延伸】 【答案】 (1)； (2) 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的加减计算： （1）根据进行化简绝对值即可； （2）先根据化简绝对值，再根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：原式 ． 29．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段检测）同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求__________； (2)同样道理表示数轴上有理数x所对点到和1005所对的两点距离相等，则__________； (3)类似的表示数轴上有理数x所对点到和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的正整数x，使得，这样的正整数是__________； (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】 (1)9 (2) (3)1，2 (4)最小值为3 【分析】本题考查数轴与绝对值，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）直接计算即可； （2）根据题意得，x所对点为和所对点的中点，根据中点公式即可求解； （3）根据和2所对的两点距离之和为7，和2之间的数均满足，从中找出正整数即可； （4）表示数轴上有理数x所对点到和6对的两点距离之和，结合数轴可知最小值为． 【详解】（1）解：， 故答案为：9； （2）解：由题意知，有理数x所对点到和1005所对的两点距离相等， ， 故答案为：； （3）解：， 结合数轴知，当时，， x是正整数， x的值为1，2， 故答案为：1，2； （4）解：表示数轴上有理数x所对点到和6所对的两点距离之和， 结合数轴可知，当时，有最小值，最小值为． 30．（25-26七年级上·湖北宜昌·阶段检测）定义一种新运算：，如，按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】 (1) (2) 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意可得， ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解题干中的新定义运算． 31．（24-25七年级上·北京西城·期末）小东对有理数定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同， 用“乘减法”计算：______． 小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明不成立． 【答案】 (1)正，负，把绝对值相减 (2)；答案不唯一 【分析】（1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）根据（1）中的“乘减法”进行计算即可；设，，代入式子进行计算，看结果是否相同即可． 【详解】（1）解：，，，，，，，，，， 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并把绝对值相减；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值； 故答案为：正，负，把绝对值相减； （2）解： ， 故答案为：； 答案不唯一， 设，，， 左边， 右边， ， 所以结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，根据题中给出的例子读懂题意是解题的关键． 32．（24-25七年级上·山东临沂·期中）数学来源于生活，又服务于生活，生活中处处都有数学的身影．如图1是2024年11月份的日历，请仔细观察该日历，回答下列问题： 【观察发现】 （1）小乐在日历画出一个的方框，框住四个数（如图1阴影区域），若第一个数字表示为，则四个数的和可以表示为______． 【数学思考】 （2）小明又在日历画出一个的方框，框住九个数（如图2阴影区域），若方框正中心的数表示为，则阴影区域中的9个数之和可以表示为______，图中______． 【解决问题】 （3）小华发现的方框在日历上移动的过程中（如图3所示），四个数存在特定的规律，即的值不变．小芳认为小华的猜想正确，她进行了推理证明，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． 【类比探究】 （4）借助图2中的日历，继续进行如下探究：在日历中用“型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”值的规律，直接写出你的结论． 【答案】（1）； （2）；0； （3）； （4）的值均为0 【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是能观察得到日历表中框出数字的规律． （1）根据框出的数字规律填空即可． （2）根据框出的数字规律和有理数加减法法则填空即可． （3）设，则，根据数量关系列出算式计算即可求解． （4）设，则，根据数量关系列出算式计算即可求解． 【详解】（1）解：若第一个数字表示为， 则其他三个数分别表示为， 则四个数的和可以表示为． 故答案为： （2）若方框正中心的数表示为， 则第一排三个数分别表示为， 第二排三个数分别表示为， 第三排三个数分别表示为， 则阴影区域中的9个数之和可以表示为， 图中． 故答案为：，0 （3）解：设，则， ， 的值均为． 故答案为： （4）解：的值均为0，理由如下： 设，则， ． ∴的值均为0． 中考真题 1．(2024·天津·中考真题）计算的结果等于（  ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数减法运算法则是解题的关键； 根据有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数解答即可； 【详解】 解：原式 ， 故答案为：D． 2．（2026·福建·中考真题）福建省首届“闽超”足球比赛正如火如荼进行中，在某轮比赛中甲队与乙队的比赛结果为，丙队与丁队的比赛结果为．若把这轮比赛中甲队的净胜球数记作，则丙队的净胜球数应记作（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确净胜球数的计算方法为：净胜球数进球数失球数，结合题目给出的甲队净胜球验证计算规则，再计算丙队的净胜球数即可得到答案． 【详解】解：净胜球数的计算规则为：净胜球数进球数失球数， ∵甲队与乙队的比赛结果为，即甲队进球数为，失球数为， ∴甲队的净胜球数为，记作， ∵丙队与丁队的比赛结果为，即丙队进球数为， 失球数为， ∴丙队净胜球数为，即丙队的净胜球数应记作． 3．(2023·山东滨州·中考真题）计算的结果为___________． 【答案】 【分析】化简绝对值，根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的加减法则，熟练掌握有理数的加减法则是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $