1.2 菱形的性质与判定（暑假预科讲义）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 1.2菱形的性质与判定 知识归纳与题型总结 考点01 菱形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边都相等 角 对角相等 ， 对角线 对角线互相垂直平分 ，， 每条对角线平分一组对角 , 考向01 利用菱形的性质求角度 【例1】如图，在菱形中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 考向02 利用菱形的性质求线段长 【例2】已知菱形的周长为，那么的长为（     ） A．2 B．4 C．8 D． 考向03 利用菱形的性质求面积 【例3】已知菱形的周长为，那么的长为（     ） A．2 B．4 C．8 D． 考向04 利用菱形的性质证明 【例4】如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点，且，则下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【对点1】如图，菱形中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【对点2】如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作对角线的垂线交的延长线于点． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，求的周长． 【对点3】如图，在菱形中，对角线相交于点，菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【对点4】如图，在菱形中，为对角线，，． (1)求证：； (2)若菱形的周长为，，求的周长． 考点02 菱形面积的计算 计算方法 符号表示 主要依据 菱形的面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形的面积=两条对角线乘积的一半 考点03 菱形的判定 1．根据定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2．根据对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 3．根据边：四边相等的平行四边形是菱形． 拓展：（1）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． （2）对角线平分一组内角的平行四边形是菱形． 考向01 添一个条件使四边形是菱形 【例1】如图，在四边形中，，垂足为O，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________（写出一个即可）． 考向02 证明四边形是菱形 【例2】如图，在中，点E、F分别在边上，与相交于点O． (1)求证：； (2)如果．求证：四边形是一个菱形． 考向03 根据菱形的性质与判定求角度 【例3】按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心、个单位长为半径画弧，分别交、于点、；③分别以点、为圆心、个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接、、．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 考向04 根据菱形的性质与判定求线段长 【例4】如图，在中，的平分线交于点，点是边上一点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，，求的长． 考向05 根据菱形的性质与判定求面积 【例5】已知：如图，点为的对角线的中点，经过点的直线分别交的延长线、的延长线于点，，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，． ①当时，四边形的周长为_________； ②当时，四边形的面积为_________． 【对点1】如图，在中，点E，F分别在边，上，且． (1)求证：； 下面是小轩的证明过程： 证明：四边形是平行四边形， ，，．① ， ，② 在与中， ， ③； 上述推理过程从第_________步开始出现错误？请写出完整的正确证明过程． (2)在不添加新的点和线的情况下，请你添加一个条件_________，使四边形是菱形．（直接填空，不需说明理由） 【对点2】我们知道，一个四边形有四条边和两条对角线，如果这六条线段中只有两种不同的长度，那么这样的四边形叫作“双等长四边形”．例如，如图1，四边形中，，，则四边形是双等长四边形． (1)如图2，已知线段，求作双等长四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)如图3，双等长四边形中，，，求的度数． 【对点3】如图，中，平分交于点，过点作交于点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【对点4】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，，，，是格点，是网格线上一点，每个小正方形面积记为1．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图． (1)如图（1），在上画点，使； (2)如图（2），连接，在上画点，使． 【对点5】如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，与相交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，， 求平行四边形的面积． 一、选择题 1．下列命题中，正确的是（    ） A．菱形的对角线相等 B．六边形的内角和为 C．正五边形的外角和为 D．平行四边形是轴对称图形 2．如图，在菱形中，对角线，交于点，．以点为圆心，以的长为半径作弧，交边于点，连接，若，则菱形的边长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，交于点O，添加下列条件后不能判定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，点是边的中点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，位于第一象限，菱形的顶点的坐标为，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．如图，若把一个长方形纸片对折两次，然后沿对折的中心虚线处随意剪下一个三角形，则把剪下的三角形彻底展开后得到的平面图形一定为（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．三角形 7．如图，城市道路上的“人行横道预告标线”为白色菱形图案．根据国家标准《道路交通标志和标线》的规定，菱形的标准尺寸是：横向宽度为，纵向长度为，则菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，画直线分别与、交于点、．则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，在边长为2的菱形中，，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接．则的长为（     ） A． B． C． D． 10．在中，，某同学按如下步骤尺规作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③连接并延长，交于点，过点作，交于点．若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点B，F为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点．若，则的长为________________． 12．如图，在菱形中，若，则菱形的面积是__________． 13．如图，菱形中，，，则菱形的周长为______． 14．如图1是移动式电动剪叉升降平台，整套升降平台共有三层剪叉支架上下叠放．其剪叉支架结构可简化为如图2所示，支架由两个全等等腰三角形与中间一个菱形拼接而成，等腰三角形的腰长与菱形的边长相等，均为，当平台上升时，菱形的内角由变为，则平台台面上升了________． 15．如图，在菱形中，，，若P是边上的动点，__________；的最小值为__________． 三、解答题 16．如图，矩形中，点，分别在边，上，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，求线段的长． 17．已知：如图，在中，． 求作：以为边作菱形． 作法： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ③连接，． 四边形为所求的菱形． (1)根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； (2)请说明四边形是菱形； (3)若，，则菱形的面积为 ． 18．如图，在四边形中，对角线，交于点，，，请你补充一个条件： ，求证：四边形是菱形． 19．在中，，以为边在其右侧作菱形，点在的延长线上． (1)如图1，连接，则____________． (2)如图2，点是边上一点（不与B，C重合），过点作（在上方）且，连接，． ①求证． ②如图3，若点是的中点，连接交于点，求的值． 20．如图，四边形为平行四边形，为对角线的中点，过点作分别交边，于点，，垂足为 (1)求证：四边形为菱形； (2)在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求线段的长度，并求出的面积． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 1.2菱形的性质与判定 知识归纳与题型总结 考点01 菱形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边都相等 角 对角相等 ， 对角线 对角线互相垂直平分 ，， 每条对角线平分一组对角 , 考向01 利用菱形的性质求角度 【例1】如图，在菱形中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据菱形邻角互补求出的度数，再根据菱形对角线平分一组对角即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形是菱形， 平分， ． 考向02 利用菱形的性质求线段长 【例2】已知菱形的周长为，那么的长为（     ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】利用菱形四条边相等的性质，结合已知周长即可计算出边长的长度． 【详解】解：四边形是菱形， ． 菱形的周长为， ，解得． 考向03 利用菱形的性质求面积 【例3】已知菱形的周长为，那么的长为（     ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】利用菱形四条边相等的性质，结合已知周长即可计算出边长的长度． 【详解】解：四边形是菱形， ． 菱形的周长为， ，解得． 考向04 利用菱形的性质证明 【例4】如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点，且，则下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵平行四边形中，， ∴，，， ∴， ∴，则A选项正确； 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，，故B选项正确； 则， ∴； 仅菱形才一定成立，故D选项错误． 【对点1】如图，菱形中，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，求出的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴． 【对点2】如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作对角线的垂线交的延长线于点． (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，， ，， ，即， ， ， 四边形是平行四边形 (2)18 【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可； （2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形，，， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， 的周长为． 【对点3】如图，在菱形中，对角线相交于点，菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半进行计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． 【对点4】如图，在菱形中，为对角线，，． (1)求证：； (2)若菱形的周长为，，求的周长． 【答案】(1)证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）利用“”证明即可； （2）根据菱形性质得出，，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴的周长为． 考点02 菱形面积的计算 计算方法 符号表示 主要依据 菱形的面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形的面积=两条对角线乘积的一半 考点03 菱形的判定 1．根据定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2．根据对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 3．根据边：四边相等的平行四边形是菱形． 拓展：（1）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． （2）对角线平分一组内角的平行四边形是菱形． 考向01 添一个条件使四边形是菱形 【例1】如图，在四边形中，，垂足为O，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________（写出一个即可）． 【答案】（或或或或等） 【分析】根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，进行添加条件． 【详解】解：（或） 理由如下：∵，，， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 理由同上； 理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 考向02 证明四边形是菱形 【例2】如图，在中，点E、F分别在边上，与相交于点O． (1)求证：； (2)如果．求证：四边形是一个菱形． 【答案】(1)证明：∵平行四边形， ∴，， 且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． (2)证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． 【分析】（1）首先利用平行四边形的性质得到、，结合已知，证明，得到，进而推出且，判定四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分得到． （2）首先由得到是直角三角形，结合角的互余关系证明，得到，结合（1）中已得的四边形是平行四边形，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成证明． 【详解】（1）略． （2）略． 考向03 根据菱形的性质与判定求角度 【例3】按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心、个单位长为半径画弧，分别交、于点、；③分别以点、为圆心、个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接、、．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图步骤得出四条边相等，判定四边形为菱形，利用菱形对边平行及对角线平分对角的性质求解． 【详解】解：由作图步骤可知， 四边形是菱形， ，平分， ， ， ． 考向04 根据菱形的性质与判定求线段长 【例4】如图，在中，的平分线交于点，点是边上一点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． (2)12 【分析】（1）先得出四边形是平行四边形，再得出即可； （2）先得出的长，进而可得的长，再得出，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：由（1）已证：四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴在中，． 考向05 根据菱形的性质与判定求面积 【例5】已知：如图，点为的对角线的中点，经过点的直线分别交的延长线、的延长线于点，，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，． ①当时，四边形的周长为_________； ②当时，四边形的面积为_________． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵点为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形 (2)①；② 【分析】（1）先由平行四边形性质得，推导出两组内错角相等，结合是中点得，通过证明，得到，结合，利用对角线互相平分即可证四边形是平行四边形； （2）①由得，在含角的中求出、的长度，即可计算四边形的周长；②由判定平行四边形是菱形，在中结合角性质与勾股定理求出，得到对角线长，用菱形面积等于对角线乘积的一半即可算出四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形周长为； ②当时， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形，，， 在中，， ∴，， ∴，解得， ∴， ∴． 【对点1】如图，在中，点E，F分别在边，上，且． (1)求证：； 下面是小轩的证明过程： 证明：四边形是平行四边形， ，，．① ， ，② 在与中， ， ③； 上述推理过程从第_________步开始出现错误？请写出完整的正确证明过程． (2)在不添加新的点和线的情况下，请你添加一个条件_________，使四边形是菱形．（直接填空，不需说明理由） 【答案】(1)②； 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ， ， ∴ 在与中， ， ； (2)（答案不唯一） 【分析】（1）由于，根据平行线的性质得不到，故②错误；根据平行四边形的性质证明出，再由证明全等即可； （2）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形添加条件即可； 【详解】（1）解：上述推理过程从第②步开始出现错误，因为得不到； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形． 【对点2】我们知道，一个四边形有四条边和两条对角线，如果这六条线段中只有两种不同的长度，那么这样的四边形叫作“双等长四边形”．例如，如图1，四边形中，，，则四边形是双等长四边形． (1)如图2，已知线段，求作双等长四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)如图3，双等长四边形中，，，求的度数． 【答案】(1)如图四边形即为所求 (2) 【分析】（1）四边形四边，四条边长度都为，根据“双等长四边形”定义，四条边及两条对角线共6条线段只能有两种长度，同时满足． （2）利用等腰三角形等边对等角，逐层表示出所有内角，再结合三角形内角和、平角建立方程求解，最终算出． 【详解】（1）解：由得是菱形； 由，得四边形不是矩形， 则对角线不相等， 又四条边及两条对角线共6条线段只能有两种长度， 则有一条对角线长度也为． 作图： 先分别以、为圆心，为半径画弧交于； 分别以、为圆心，为半径画弧交于； 连接四边，此时四边均为，对角线，，6条线段只有、两种长度；且，满足题意． （2）解：设与相交于点，如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 即5， ， ． 【对点3】如图，中，平分交于点，过点作交于点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：平行四边形， ． 又， 四边形是平行四边形． 是的平分线， ． ， ， ， ， 四边形是菱形． (2) 【分析】（1）先利用平行四边形的性质证明四边形是平行四边形，利用平行线的性质和角平分线的定义进一步证明，根据等角对等边得出，即可证明四边形是菱形． （2）作于点，由菱形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理得出， 由含30度直角三角形的性质得出， 由勾股定理得出，由线段的和差关系得出，最后由勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于点． 四边形是菱形， ． ， ． 在中，，， ， ∴， 在中，， ∴， ∵平行四边形， ∴， ， ． 【对点4】如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，，，，是格点，是网格线上一点，每个小正方形面积记为1．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图． (1)如图（1），在上画点，使； (2)如图（2），连接，在上画点，使． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接并延长交于点，则； （2）取格点，连接，则． 【详解】（1）解：作图略； 证明：根据勾股定理可得， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：作图略； 证明：根据勾股定理可得， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴ ∵ ∴， ∴． 【对点5】如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，与相交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，， 求平行四边形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形 ， ， 的平分线交于点， ， ， 同理可得， ， 四边形是平行四边形， ． 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等即可证明． （2）作于，根据，先求出即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于， 四边形是菱形， ，， ，， ，， 在中，， ， ， 菱形的面积为， ， 解得， 平行四边形的面积为． 一、选择题 1．下列命题中，正确的是（    ） A．菱形的对角线相等 B．六边形的内角和为 C．正五边形的外角和为 D．平行四边形是轴对称图形 【答案】B 【分析】本题考查菱形性质，多边形内角和与外角和定理，轴对称图形的概念，逐一判断各选项即可得到正确结果． 【详解】解：对于A选项，∵菱形的对角线互相垂直平分，对角线不相等，∴A错误； 对于B选项，∵多边形内角和公式为，六边形边数，∴内角和为，∴B正确； 对于C选项，∵任意多边形的外角和都为，∴正五边形外角和为，∴C错误； 对于D选项，∵一般平行四边形不是轴对称图形，只有特殊平行四边形才是轴对称图形，∴D错误； 综上，正确答案是B． 2．如图，在菱形中，对角线，交于点，．以点为圆心，以的长为半径作弧，交边于点，连接，若，则菱形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，易得为等边三角形，得到，根据作图得到证明为等边三角形，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵菱形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 由作图可知，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴，即菱形的边长为2． 3．如图，在中，，交于点O，添加下列条件后不能判定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵，，∴是菱形，故本选项不符合题意； B、∵，∴，∵，∴是菱形，故本选项不符合题意； C、∵，∴，，∵，∴，∴是矩形，不能判定是菱形，故本选项符合题意； D、∵，，∴是菱形，故本选项不符合题意． 4．如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，点是边的中点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中位线定理，得，根据菱形的性质得到，，，在中，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：∵E、F分别是的中点，， ∴， ∴菱形的对角线相交于点O， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，位于第一象限，菱形的顶点的坐标为，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得到，再利用“直角三角形中，角所对的边是斜边的一半”和勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，过点作垂直轴，垂足为点， ， ∵四边形是菱形，顶点的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 6．如图，若把一个长方形纸片对折两次，然后沿对折的中心虚线处随意剪下一个三角形，则把剪下的三角形彻底展开后得到的平面图形一定为（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．三角形 【答案】C 【分析】由矩形对折两次可得，折痕刚好为剪下的四边形的对角线，再根据菱形的判定解答即可． 【详解】解：∵折痕刚好为剪下的四边形的对角线，结合对折可得：两条对角线互相垂直平分， ∴根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可知得到的四边形是菱形． 7．如图，城市道路上的“人行横道预告标线”为白色菱形图案．根据国家标准《道路交通标志和标线》的规定，菱形的标准尺寸是：横向宽度为，纵向长度为，则菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由菱形面积公式可知菱形的面积是． 8．如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，画直线分别与、交于点、．则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】连接，根据题意，得，得四边形是菱形，连接，根据菱形的对称轴性质，得，根据三线合一，平行线的性质，证明，利用三角形中位线求解即可； 【详解】解：连接，根据题意，得， 故四边形是菱形， ， ，，， ， ， 连接，根据菱形的对称轴性质，得， 根据等腰三角形三线合一，得， ， ， ， ； 9．如图，在边长为2的菱形中，，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接．则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得，再得，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：连接，如图： 由作图痕迹可知，垂直平分， ， ， ， ，， ∴， (负值已舍去)， 四边形为菱形， ， ， ． 10．在中，，某同学按如下步骤尺规作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③连接并延长，交于点，过点作，交于点．若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，先证明四边形是菱形，勾股定理求得，根据四边形的面积为，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 根据作图可得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，，， ∴ ∴四边形的面积为 二、填空题 11．如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点B，F为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点．若，则的长为________________． 【答案】 【分析】设交于点． 根据作图痕迹可知，， 结合平行四边形性质证明四边形是菱形，利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理求出，进而求出． 【详解】解：如图，连接，设交于点． 由作图可知：，平分， ∴． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， ∵在中，，， ， ． 12．如图，在菱形中，若，则菱形的面积是__________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出对角线互相垂直平分，结合已知条件利用勾股定理求出另一条对角线的长度，最后利用菱形面积公式求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， 四边形是菱形， ，，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 菱形的面积． 13．如图，菱形中，，，则菱形的周长为______． 【答案】 【分析】设与交于点，根据菱形的性质可得，，再根据含度角的直角三角形的性质求出的长，进而求得周长． 【详解】解：设与交于点，如图所示： 四边形是菱形，， ，，． ，， ． 菱形的周长为． 14．如图1是移动式电动剪叉升降平台，整套升降平台共有三层剪叉支架上下叠放．其剪叉支架结构可简化为如图2所示，支架由两个全等等腰三角形与中间一个菱形拼接而成，等腰三角形的腰长与菱形的边长相等，均为，当平台上升时，菱形的内角由变为，则平台台面上升了________． 【答案】 【分析】根据题意，将平台总高度分解为上层等腰三角形的高、中间菱形的对角线长、下层等腰三角形的高三部分．利用等腰三角形、菱形的性质以及或勾股定理，分别计算和时的总高度，两者之差即为上升高度． 【详解】解：连接，延长交于点，延长交于点，连接，交于点，如图， 由题意及图，得， 四边形是菱形， ，，，，， ， 当时，， ， ， ，， ，，， ， 当时，如图， 同理可得，，， ， ， ， ， 平台上升高度为． 15．如图，在菱形中，，，若P是边上的动点，__________；的最小值为__________． 【答案】 【分析】过点作交于点，连接，，根据菱形的性质，可求，垂直平分，再根据垂直平分线的性质和“所对的直角边是斜边的一半”，可得，，从而可得，即的最小值是的长，最后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，连接，， 在菱形中，， ，垂直平分， ， ，， ， ， 当、、三点共线时，即，取得最小值，为的长， 菱形，，， 是等边三角形，， ， 是的中点，即， 在中，， ， 的最小值为． 三、解答题 16．如图，矩形中，点，分别在边，上，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，求线段的长． 【答案】(1)证明：四边形为矩形，，， ，，，， ， ∴ 四边形是菱形 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论； （2）连接，交于点，勾股定理求得，进而可得的长，根据菱形的性质可得，再根据勾股定理，求得，进而即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，交于点， ，， ， 四边形是菱形， ， ， 17．已知：如图，在中，． 求作：以为边作菱形． 作法： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ③连接，． 四边形为所求的菱形． (1)根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； (2)请说明四边形是菱形； (3)若，，则菱形的面积为 ． 【答案】(1) (2)证明：∵，平分， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 又∵， ∴平行四边形是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）； (3)． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可； （3）根据菱形的性质得，由勾股定理求出，再利用菱形的面积公式求解． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 18．如图，在四边形中，对角线，交于点，，，请你补充一个条件： ，求证：四边形是菱形． 【答案】添加条件：（答案不唯一） 证明：，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． 【分析】根据添加条件，先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论． 【详解】略 19．在中，，以为边在其右侧作菱形，点在的延长线上． (1)如图1，连接，则____________． (2)如图2，点是边上一点（不与B，C重合），过点作（在上方）且，连接，． ①求证． ②如图3，若点是的中点，连接交于点，求的值． 【答案】(1)； (2)①证明：设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵菱形， ∴， ∵， ∴， 如图，延长，过作的延长线于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵边长为正， ∴； ②． 【分析】（1）设，根据30度角的性质得到，根据勾股定理得到，根据菱形的性质得到，即，根据勾股定理得到，即可求出的值； （2）①设，，根据30度角的性质得到，根据勾股定理得到，即，根据勾股定理得到；根据三角形外角的性质得到，根据菱形的性质得到，则，延长，过作的延长线于，则，同理可得，即可证明； ②设，则，可知，，设，则，过作交延长线于，根据菱形的性质得到，进而求出，根据30度角的性质得到，则，可知，，证明，得到，求出x的值，进而可求的值． 【详解】（1）解：设， 在中，， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①略； ②解：设，则， ∵是中点， ∴， ∴， 设，则， 如图，过作交延长线于， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 20．如图，四边形为平行四边形，为对角线的中点，过点作分别交边，于点，，垂足为 (1)求证：四边形为菱形； (2)在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求线段的长度，并求出的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵为对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； (2) 【分析】（1）由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而根据菱形的判定定理进行求证即可； （2）过点作，由题意易得，则有，然后根据三角形中位线可得，，，进而可得，最后根据三角形面积公式可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵为对角线的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $