3.4圆周角2导学案2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“圆周角（2）”，核心内容为圆周角定理推论（直径对直角、直角对直径）及圆内接四边形对角互补性质。课堂导入通过回顾圆周角定理，结合“半圆所对圆周角度数”的思考，搭建新旧知识支架，引导学生自主建构新知。 资料以探究式学习为主线，设自主、合作探究环节，如推导推论、分析圆内接特殊四边形性质，培养学生演绎推理与几何证明能力。习题分层设计且联系实际，如用三角板检验直径，发展几何直观、推理意识和应用意识，助力学生建立弧、角、弦逻辑联系，提升数学核心素养。

3.4 圆周角（2） 学业质量要求: 1.掌握圆周角定理两条推论：直径所对圆周角是直角，90°圆周角所对弦为直径；理解圆内接四边形定义，掌握圆内接四边形对角互补的性质. 2.能够运用推论、圆内接四边形性质开展证明与角度计算，进一步发展演绎推理能力，建立弧、圆心角、圆周角之间的逻辑联系. 学习重点: 圆周角定理推论、圆内接四边形的性质及其应用. 学习难点: 综合运用多个定理完成几何证明；圆内接四边形外角性质灵活推导. 学习过程: 一、回顾旧知，铺垫新知 1.圆周角定理的内容是什么？ 2.思考：如果圆周角所对的弧恰好是半圆，此时圆周角等于多少度？ 二、自主探究，新知建构 1. 圆周角定理推论 我们已经知道“圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半”.那么当这条弧是半圆时，它所对的圆周角是多少度呢？ 如图，若为半圆，则（1）BC为⊙O的 ；（2）度数是 °.（3）. 反过来，当一个圆周角是90°时，其所对的弧是 ，所对的弦是 .图3- 34 由上可得圆周角定理的推论： 推论1：直径所对的圆周角是 . 推论2：90°的圆周角所对的弦是 . 交流思考：如果需要确定圆形工件的直径，如何利用这条推论操作呢？ 例2 已知：如图，在⊙O 中，AC，BD 是直径，连接 AB，BC，CD，DA. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 分析思考： （1）由圆中直径的条件我们可以想到哪些结论？ （2）要证明一个四边形是矩形有哪几条路可以走？ （3）在本题中四边形 ABCD已经具备了什么条件？ 证明： 2. 探究：圆内接四边形性质探究 如图,四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，它的内角之间有怎样的数量关系？(写出探究过程）c 0 A B 圆内接四边形性质：圆内接四边形的 . 例3 证明：圆的内接平行四边形是矩形. 分析思考： （1）圆内接四边形有什么性质？ （2）平行四边形与之关联的性质是什么？ （3）要证明一个平行四边形是矩形有哪几条路可以走？ （4）证明与图形有关的文字命题的步骤有哪些？ （请写出完整的解题过程） 三、合作探究，深度学习 思考： （1）圆的内接菱形一定是正方形吗？ （2）圆的内接梯形一定是等腰梯形吗？ 四、学以致用，当堂巩固 1.利用三角板可以检验图中的弦AB是圆的直径，请说明理由. 2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的一个外角. 求证：∠CBE=∠D. 五、梳理归纳，素养提升 1.根据下面知识结构图,自主完善本节课知识框架： 2.我的反思总结： 六、分层落实，拓展延伸 1.AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，∠BAC＝20°，则∠ABC＝__________. 2.已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝70°,则∠ABC＝ °. 3.圆内接四边形ABCD中，若∠A:∠B:∠C＝1:2:5，则∠D＝ °. 4.⊙O中,弦AB＝8cm,直径为16cm,则弦AB所对圆周角的度数为（ ） A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150° 5.如图，AB是⊙O的弦，以OA为直径的圆交AB于点C，AB＝10． 求AC的长． 6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，判断∠BOD与∠BCD的数量关系. 7．如图，点A，B，E，C四点都在⊙O上，AD是△ABC的高，∠CAD＝∠BAE，AE是⊙O的直径吗？为什么？ 分层落实 拓展延伸参考答案 1.【答案】70° 【知识点】直径所对圆周角 【详解】解：∵AB 是⊙O 直径， ∴∠ACB=90°. ∵∠BAC=20°， ∴∠ABC=90°−20°=70°. 2.【答案】110 【知识点】圆内接四边形性质 【详解】解：∵四边形 ABCD 是⊙O 内接四边形， ∴∠ABC+∠D=180°. ∵∠D=70°， ∴∠ABC=180°−70°=110°. 3.【答案】120 【知识点】圆内接四边形对角互补、四边形内角和 【详解】解：设∠A=x，∠B=2x，∠C=5x. ∵圆内接四边形对角互补， ∴∠A+∠C=180°， 即 x+5x=180°，解得 x=30°. ∴∠A=30°，∠B=60°. ∵∠B+∠D=180°， ∴∠D=180°−60°=120°. 4.【答案】D 【知识点】圆周角定理、弦对应两段弧 【详解】解：直径为 16cm，则半径为 8cm. ∵弦 AB=8cm， ∴OA=OB=AB，△OAB 为等边三角形， ∴弦 AB 所对劣弧圆心角∠AOB=60°，优弧 AB 度数为 300°. ∴弦 AB 所对圆周角为 ×60°=30° 或 ×300°=150°. 故选 D. 5.【答案】AC=5 【知识点】直径所对圆周角、垂径定理 【详解】解：连接 OC. ∵OA 为小圆直径， ∴∠OCA=90°，即 OC⊥AB. ∵OC 过圆心 O， ∴AC=AB. ∵AB=10， ∴AC=5. 6.【答案】∠BOD+2∠BCD=360° 【知识点】圆周角定理、圆内接四边形 【详解】解：∵∠BAD=∠BOD， 四边形 ABCD 是⊙O 内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD=180°. ∴∠BOD+∠BCD=180°， 整理得∠BOD+2∠BCD=360°. 7.【答案】AE 是⊙O 直径，理由如下 【知识点】圆周角、直径判定 【详解】解：连接 BE. ∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴∠CAD+∠C=90°. ∵∠CAD=∠BAE，∠C=∠AEB， ∴∠BAE+∠AEB=90°， ∴∠ABE=90°， ∴AE 是⊙O 的直径. 学科网（北京）股份有限公司 $