3.4圆周角（1）导学案 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“圆周角”核心内容，引导学生认识圆周角特征，探索同弧所对圆周角与圆心角关系。课堂导入先复习圆心角定义及性质，通过度量圆内外不同点形成的角，对比归纳圆周角定义，搭建旧知到新知的学习支架。 这份导学案以“观察—猜想—验证—归纳”为主线，结合足球射门等生活情境，培养学生的推理意识与几何直观。习题分层设计，涵盖基础应用与综合探究，助力学生掌握圆周角定理，提升运算能力与应用意识，促进深度学习。

3.4圆周角（1） 学习目标： 班级_________姓名_________ 1.认识圆周角，掌握圆周角的两个特征； 2.经历探索同弧或等弧所对圆周角与圆心角的关系的过程，体验“观察—猜想—验证—归纳”的过程，初步应用其解决问题； 3.体会分类、转化的数学思想. 学习重点：圆周角及圆周角定理的应用. 学习难点：圆周角定理的推导. 学习过程： 一、复习回顾： 1. 叫做圆心角. 2.圆心角的度数等于它所对的 的度数. 二、探索活动： 活动一： （1）如图，点C在⊙O外，点B1、B2、B3在⊙O上，点A在⊙O内，度量∠A、∠B1、∠B2、∠B3、∠C的大小，你有什么发现？　　　[来 ______________________________________________． （2）∠B1、∠B2、∠B3有什么共同的特征？它们与我们前面所学的圆心角有什么区别？ 仿照圆心角的定义给圆周角下个定义为： ． （3）判断下列各图中的角是否是圆周角？说说你的理由. 活动二： （1） 在图中，OB⊥OC，画所对的圆周角∠BAC. 所对的圆周角可以画多少个？度量你所画的圆周角为多少度？有什么发现？ （2）在图中，∠BOC=60°，画所对的圆周角∠BAC.你所画的圆周角为多少度？为什么？你还有什么发现？C C （3）根据（1）（2）中的发现你有什么猜想？ （4）尝试证明你的猜想. 通过证明，得到定理：圆周角的度数等于 . 所对的圆周角相等. 圆周角的度数与它所对弧的度数有什么关系？ 推论：圆周角的度数等于 . 练一练： 1.如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠BAC=35°，则（1）∠BDC=_____°，（2）∠BOC=_____°． 2.如图，点A、B、C在⊙O上，（1） 若∠BAC=60°，则∠BOC=______°；（2） 若∠AOB=90°，则∠ACB=______°. 3.如图A，B，C，D是同一个圆上的顺次四点，则图中相等的圆周角共有 对. 4.如图，△ABC的顶点都在⊙O上，若∠BOC=120°，则∠BAC=_____°，所对的圆周角等于______°，弦BC所对的圆周角等于___________°. 三、例题讲解 例1、如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD=150°，弧BC的度数为70°. 求∠ABD、∠AED的度数. 例2、（1）如图，队员们在球场上面对球门BC进行定位球的射门练习，一般的如果射门的角度越大,进球的机会就越大. 其中球员A的站位恰好与球门B、C这三点处在同一个圆上，球员D的位于该圆外，你认为球员A和D谁将球射进球门的机会大？说出你的理由. （2）如果球员D站在圆内，那么这时谁将球射进球门的机会大？为什么？ 四、课堂小结： （1）通过本节课你学到了哪些知识？（2）你最大的收获是什么？ 【当堂训练】 1.如图，AC是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，EC∥AB，交⊙O于点E.请写出与相等的角 . 2.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BOA=140°，则∠BCA= . 3.如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠A＝40°，∠AED＝70°，则∠B=　 　°． 4.如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝90°，则AOC的度数为 . 第1题 第2题 第3题 第4题 5.如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是 . 6.如图，AB是⊙O的直径，∠AOC＝130°，则∠D等于 °. 7.如图，已知△ABC的三个顶点在⊙O上，点D是AC中点，∠DOC=50°，则∠B的度数是 ． 8.直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角的度数是 . 第5题 第6题 第7题 9.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BAC． 10.如图，点A、B、C、D在⊙O上，点E在对角线AC上，EC=BC=DC． （1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数； （2）求证：∠1=∠2． 课后作业 1.如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=　 　°． 2.如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝32°，D是弧AC的中点，那么∠DAC的度数是　 　 ． 3.如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=70°，那么圆周角∠C=　 　． 第1题 第2题 第3题 4.在⊙O中，圆心角∠AOB=80°，弦AB所对的圆心角等于 °，弦AB所对的圆周角等于 °． 5.已知△ABC是半径为2的圆内接三角形，若BC=2，则∠A的度数是 ； 6. 如图，点O为ACB所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB的延长线上，BD=BC，则∠D=______. 第6题 第7题 第8题 7. 如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB=4∠BOC，若∠ACB=60°，则∠BAC的度数是______. 8. 如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC=42°，则∠OED的度数是_________. 9.如图AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD垂直AB，P是弧CD上的一点（不与C、D重合），∠APC与∠APD相等吗？为什么？ 10.如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E． （1）如图1，若为弧AD为120°，弧BC为50°，求∠E的度数； （2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE． 11. 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠B=∠D，AD不平行于BC，过点C作CE//AD，交△ABC 的外接圆⊙O于点E，连接AE. （1）求证：四边形AECD为平行四边形； （2）连接CO，求证：CO平分∠BCE. 12.如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）连接OA，OB，当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由； （3）已知PA＝a，PB＝b，求PC的长（用含a和b的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $