精品解析：云南省昆明市第三中学2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷

昆明市第三中学初2026届初三年级上学期期末考试 数学 试题卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共15小题，每小题2分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果风车顺时针旋转记作，那么表示（ ） A. 减少 B. 旋转 C. 顺时针旋转 D. 逆时针旋转 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵风车顺时针旋转，记作， ∴正数表示顺时针旋转，负数表示逆时针旋转； ∴表示逆时针旋转. 2. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.000015米，约是纸厚度的六分之一，将数字0.000015用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：0.000015用科学记数法表示为． 3. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．此题考查了轴对称图形和中心对称图形，将一个图形沿着某条直线翻折，直线两侧能完全重合的图形叫轴对称图形；将一个图形绕一点旋转180度后能与自身完全重合的图形叫中心对称图形． 本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键． 【详解】解：A.该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C.该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D.该图形不是中心对称图形又不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，已知直线，直线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，两直线平行同位角相等，垂线的定义理解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用平行线的性质得出，，从而可得，再结合垂直的意义求得． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的运算法则，可得结论． 【详解】解：，选项A错误，不合题意； ，选项B错误，不合题意； ，选项C错误，不合题意； ，选项D正确，符合题意． 6. 如果反比例函数的图象过点，那么这个函数的图象应在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的图象性质，先根据点的坐标求出比例系数的值，再根据的符号判断函数图象所在象限． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 根据反比例函数的性质，当时，函数的图象在第二、四象限． 7. 我国古代数学研究成果辉煌，产生了诸多趣味名词，如“刍童”，它指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的图形进行作答即可． 【详解】解：依题意，的俯视图是， 故选：C． 8. “樱云织诗笺少年拾春行”，2025年3月，昆明市第三中学举办“樱”为有你春日校园创意文化活动．小明随机调查了学校30名初中同学制作书笺的数量，数据如下表所示： 人数 书笺数量（张） 则制作书笺数量的中位数和众数分别是（ ） A. 4，10 B. 2，4 C. 4，4 D. 3，4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数，根据中位数和众数的定义求解即可．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：第和第个数据分别为和 则中位数是： 出现的次数最多，则众数是 故选：D． 9. 代数式有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：要使有意义， ∵被开方数非负且分母不为0， ∴， 解得. 10. 如图，在边长为1的小正方形网格中，，相交于点O，点A，B，C，D都在这些小正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由网格特点得，，，则，由相似三角形的性质得出，，，代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：由网格特点得，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴． 11. “凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设该组共有x名同学，每名同学赠书本，根据共互赠了210本图书列出一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B 12. 如图，圆内接四边形中，点是上的点，，，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆内接四边形，垂径定理，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据圆内接四边形得到，由垂径定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 13. 有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别从符号、系数绝对值、字母指数三部分归纳式子的规律即可得解． 【详解】解：由题意得，奇数项符号为正，偶数项符号为负， ∴第项的符号为， ∵各项系数的绝对值依次为，即， ∴第项的系数绝对值为， ∵第1项的指数为2，第2项为5，第3项为8，第4项的指数为，第5项为， ∴相邻两项指数差为， ∴第项的指数为， 综上所述，第个式子为． 14. 若分式方程无解，则a的值是（ ） A. 1或0 B. 或0 C. 或2 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】先将分式方程转化为整式方程，再从整式方程无解和整式方程有解，但该解让原分式方程的最简公分母为零两种情况讨论． 【详解】解：对于方程， 两边同乘，得， 整理得． 当，即时，整式方程无解，故原分式方程无解． 当时，． ∵原分式方程无解， ∴当时，，即，解得． 综上，的值为或． 15. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点A作于点，由可求出，由勾股定理求出，由可求出，在中由勾股定理得． 【详解】解：过点A作于点，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，． 故选：B． 二、填空题：本大题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取原式的公因式，再用平方差公式分解，直至不能再分解． 【详解】解：． 17. 云南省曲靖市罗平县是闻名全国的“油菜花之乡”，这里盛产的油菜花菜在国内外都享有盛誉．某农科院培育了甲、乙、丙三个品种的油菜花，统计近三年这三个品种油菜花的亩产量平均数和方差如表： 统计量 品种 甲 乙 丙 亩产量平均数 505 520 520 方差 5.5 5.5 7.8 现从中选取一个亩产量高且稳定的优良品种进行大面积种植，应选择_______品种（填“甲”“乙”或“丙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了平均数与方差的运用，理解平均数，方差表示的意义是关键． 根据平均数判定选择乙、丙，再根据方差选择乙即可． 【详解】解：∵甲的平均数小于乙、丙， ∴选择乙、丙， ∵乙的方差小于丙的方差，即乙的稳定性比甲的稳定性好， ∴应选择乙品种， 故答案为：乙 ． 18. 如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为，母线长为，则需要的扇形纸片的圆心角为______度． 【答案】120 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，圆锥侧面展开图，圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，据此利用弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设需要的扇形纸片的圆心角为， 由题意得，， 解得， ∴需要的扇形纸片的圆心角为120度， 故答案为：120． 19. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则在中边上的高为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查求线段长，涉及角平分线的尺规作图，角平分线性质，含直角三角形性质等知识，读懂题意，理解角平分线的尺规作图，掌握角平分线性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点， 由作图可知，为的平分线， ∵， ∴， 在中，，则， ∵， ∴， ∴， ∴在中边上的高为4， 故答案为：4． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果． 【详解】解： ． 21. 如图，已知，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴． 【解析】 【分析】利用，证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理，是解题的关键． 22. 明明家客厅里装有一种开关（如图所示），从左到右依次分别控制着A（楼梯），B（客厅），C（走廊），D（洗手间〉四盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯． （1）若明明任意按下一个开关，则下列说法中，正确的是_______（填字母）． A.打开的一定是楼梯灯；B.打开的可能是卧室灯；C.打开的可能是客厅灯；D.打开走廊灯的概率是． （2）若任意按下一个开关后，再按下另三个开关中的一个，则客厅灯和走廊灯亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明． 【答案】（1）C （2） 画树状图得： 共有12个等可能的结果，客厅灯和走廊灯亮的结果有2个， ． 【解析】 【分析】（1）由题意，根据概率公式求解即可； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：明明家客厅里装有一种开关（如图所示），从左到右依次分别控制着A（楼梯），B（客厅），C（走廊），D（洗手间〉四盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯， 明明任意按下一个开关，打开楼梯灯、客厅灯、走廊灯、洗手间灯的概率均为，不可能打开卧室灯， 故答案为：C． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．熟记求随机事件的概率公式是解题的关键． 23. 某互联网巨头采用面试系统筛选求职者，共有3000名应聘者参与线上考核．为确保应聘者的各项数据准确，每位应聘者的各项数据需由甲、乙两位员工独立录入系统进行交叉验证．其中，甲使用辅助录入工具，乙采用传统手动录入方式．已知甲平均每分钟录入的人数是乙平均每分钟录入的人数的倍，甲、乙二人同时开始录入数据，甲比乙提前100分钟完成全部数据录入．求乙平均每分钟录入多少名应聘者的数据？ 【答案】10名 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙平均每分钟录入x名应聘者的数据，则甲平均每分钟能录入名应聘者的数据，根据共有3000名应聘者参与线上考核，甲、乙二人同时开始录入数据，甲比乙提前100分钟完成全部数据录入，列出分式方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设乙平均每分钟录入x名应聘者的数据，则甲平均每分钟能录入名应聘者的数据， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， 答：乙操作员每分钟能输入10名应聘者的数据． 24. 如图，中，，是边上的中线，过点C作，过点A作交于点E，连接，点O为与的交点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵，是这上的中线 ∴， ∴平行四边形是菱形 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可证明四边形是菱形； （2）先证明四边形是平行四边形，再由30度角的性质求出，然后根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得四边形是菱形 ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ 在中 ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 25. 非物质文化遗产是中华优秀传统文化的瑰宝，云南非遗瓦猫既是建筑装饰艺术的结晶，也承载着云南少数民族的精神信仰与文化记忆．请根据下列素材，完成有关任务： 背景 某文创店为推广云南非遗文化，需采购三种规格的瓦猫文创品，已知小号瓦猫单价为30元/个． 素材一 购买5个大号瓦猫与购买6个中号瓦猫花费相同； 素材二 购买2个中号瓦猫的价格比购买一个大号瓦猫多花费40元； 素材三 小号瓦猫、中号瓦猫、大号瓦猫各买一个的价格为140元； 素材四 若该文创店要购买大号瓦猫和中号瓦猫共100个，且中号瓦猫的个数不低于大号瓦猫的个数，又不超过大号瓦猫个数的2倍． 请完成下列任务： （1）任务一：每个大号瓦猫，每个中号瓦猫的价格分别是多少元？ （2）任务二：给出最节省费用的购买方案并求出最低费用． 【答案】（1）每个大号瓦猫的价格为60元，每个中号瓦猫的价格为50元． （2）最节省费用的购买方案为：购买大号瓦猫34个，中号瓦猫66个，最低费用为5340元． 【解析】 【分析】（1）设每个中号瓦猫的价格为元，每个大号瓦猫的价格为元，根据题目情境列出方程组，解出即可得每个大号瓦猫，每个中号瓦猫的价格． （2）设大号瓦猫购买个，则中号瓦猫购买个，根据题意列出不等式组，解出即可得的取值范围，设购买大号瓦猫和中号瓦猫共100个的费用为，即可列出与的函数关系式，根据一次函数的性质即可得中号瓦猫购买66个，大号瓦猫购买34个时，最节省费用，最低费用为5340元． 【小问1详解】 解：设每个中号瓦猫的价格为元，每个大号瓦猫的价格为元，根据题意得： ，解得：， ∴每个大号瓦猫的价格为元，每个中号瓦猫的价格为元． 【小问2详解】 解：设大号瓦猫购买个，则中号瓦猫购买个，根据题意得： ，解得：， 设购买大号瓦猫和中号瓦猫共100个的费用为，则： ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当最小时，取最小值， ∵且为正整数， ∴， ∴当时，（元），此时，中号瓦猫购买：（个）， ∴中号瓦猫购买66个，大号瓦猫购买34个时，最节省费用，最低费用为5340元． 26. 已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． （1）求这个二次函数的对称轴； （2）将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 【答案】（1）直线． （2）或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴只有一个公共点得到，求出m的值后，将二次函数解析式化为顶点式，即可解答； （2）先表示出平移后的新抛物线的解析式为，根据二次函数在的范围内有最小值，则当或时，二次函数取得最小值，分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点， 故， 整理，得， 解得，， ， 舍去， 故， 故， 故抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：， 将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数的解析式为， 根据题意，得新的二次函数在的范围内有最小值，即， ， 的图象开口向下，且对称轴的左侧y随x的增大而增大，对称轴的右侧，y随x的增大而减小． ∴当或时，二次函数取得最小值． ①若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴ ②若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴； 综上所述，符合题意的n的值为或． 27. 如图，是的外接圆，为的直径，的平分线交于点F，交于点D，连接，过点D作，交的延长线于点E． （1）若，求的度数； （2）求证：直线是的切线； （3）是否存在常数m，n，使得等式成立？若存在，请直接写出一个m的值和一个n的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明：连接，， ∵是的平分线， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线． （3）存在，． 证明：连接，过点A作于点H，过点B作于点G，设， 则， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， 由（2）知， ∵， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即， ∴成立． 【解析】 【分析】（1）因为是直径，所以，可先求出的度数，因为同弧所对圆周角相等，所以和的度数相等． （2）连接，，因为是的平分线，所以，可得．由，得．由，即可判定是的切线． （3）连接，过点A作于点H，过点 B作于点G，设，证明，得，证明和都是等腰直角三角形，得，，由勾股定理得，，得．由勾股定理得，，得，即得，即得的值． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴． ∵在中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第三中学初2026届初三年级上学期期末考试 数学 试题卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共15小题，每小题2分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果风车顺时针旋转记作，那么表示（ ） A. 减少 B. 旋转 C. 顺时针旋转 D. 逆时针旋转 2. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.000015米，约是纸厚度的六分之一，将数字0.000015用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，直线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果反比例函数的图象过点，那么这个函数的图象应在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 7. 我国古代数学研究成果辉煌，产生了诸多趣味名词，如“刍童”，它指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 8. “樱云织诗笺少年拾春行”，2025年3月，昆明市第三中学举办“樱”为有你春日校园创意文化活动．小明随机调查了学校30名初中同学制作书笺的数量，数据如下表所示： 人数 书笺数量（张） 则制作书笺数量的中位数和众数分别是（ ） A. 4，10 B. 2，4 C. 4，4 D. 3，4 9. 代数式有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为1的小正方形网格中，，相交于点O，点A，B，C，D都在这些小正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. “凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，圆内接四边形中，点是上的点，，，则的度数（ ） A. B. C. D. 13. 有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（ ） A. B. C. D. 14. 若分式方程无解，则a的值是（ ） A. 1或0 B. 或0 C. 或2 D. 1或 15. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 分解因式：____________． 17. 云南省曲靖市罗平县是闻名全国的“油菜花之乡”，这里盛产的油菜花菜在国内外都享有盛誉．某农科院培育了甲、乙、丙三个品种的油菜花，统计近三年这三个品种油菜花的亩产量平均数和方差如表： 统计量 品种 甲 乙 丙 亩产量平均数 505 520 520 方差 5.5 5.5 7.8 现从中选取一个亩产量高且稳定的优良品种进行大面积种植，应选择_______品种（填“甲”“乙”或“丙”）． 18. 如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为，母线长为，则需要的扇形纸片的圆心角为______度． 19. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则在中边上的高为_____． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 21. 如图，已知，，．求证：． 22. 明明家客厅里装有一种开关（如图所示），从左到右依次分别控制着A（楼梯），B（客厅），C（走廊），D（洗手间〉四盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯． （1）若明明任意按下一个开关，则下列说法中，正确的是_______（填字母）． A.打开的一定是楼梯灯；B.打开的可能是卧室灯；C.打开的可能是客厅灯；D.打开走廊灯的概率是． （2）若任意按下一个开关后，再按下另三个开关中的一个，则客厅灯和走廊灯亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明． 23. 某互联网巨头采用面试系统筛选求职者，共有3000名应聘者参与线上考核．为确保应聘者的各项数据准确，每位应聘者的各项数据需由甲、乙两位员工独立录入系统进行交叉验证．其中，甲使用辅助录入工具，乙采用传统手动录入方式．已知甲平均每分钟录入的人数是乙平均每分钟录入的人数的倍，甲、乙二人同时开始录入数据，甲比乙提前100分钟完成全部数据录入．求乙平均每分钟录入多少名应聘者的数据？ 24. 如图，中，，是边上的中线，过点C作，过点A作交于点E，连接，点O为与的交点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 25. 非物质文化遗产是中华优秀传统文化的瑰宝，云南非遗瓦猫既是建筑装饰艺术的结晶，也承载着云南少数民族的精神信仰与文化记忆．请根据下列素材，完成有关任务： 背景 某文创店为推广云南非遗文化，需采购三种规格的瓦猫文创品，已知小号瓦猫单价为30元/个． 素材一 购买5个大号瓦猫与购买6个中号瓦猫花费相同； 素材二 购买2个中号瓦猫的价格比购买一个大号瓦猫多花费40元； 素材三 小号瓦猫、中号瓦猫、大号瓦猫各买一个的价格为140元； 素材四 若该文创店要购买大号瓦猫和中号瓦猫共100个，且中号瓦猫的个数不低于大号瓦猫的个数，又不超过大号瓦猫个数的2倍． 请完成下列任务： （1）任务一：每个大号瓦猫，每个中号瓦猫的价格分别是多少元？ （2）任务二：给出最节省费用的购买方案并求出最低费用． 26. 已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． （1）求这个二次函数的对称轴； （2）将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 27. 如图，是的外接圆，为的直径，的平分线交于点F，交于点D，连接，过点D作，交的延长线于点E． （1）若，求的度数； （2）求证：直线是的切线； （3）是否存在常数m，n，使得等式成立？若存在，请直接写出一个m的值和一个n的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $