重点强化练（3）函数零点问题（word重点强化练）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦函数零点问题，通过11道题系统覆盖零点区间、个数、求和及参数讨论，强化函数与方程转化的数学思维，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|3（单选1-3）|零点区间/个数/求和判断|函数单调性与零点存在性定理直接应用| |综合提升|6（单选4-7、多选8-9）|方程转化/分段函数/参数讨论|函数图像、分段性质及方程思想综合运用| |创新拓展|2（填空10-11）|零点和/含参方程解|函数对称性与方程有解条件探究|

重点强化练(三)　函数零点问题 一、选择题:本题共7小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.已知函数f(x)=ln x+x-,则f(x)的零点所在的区间为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.(1,2) C.(2,e) D.(e,3) 2.函数f(x)=的零点个数为 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.函数f(x)=ln+x-1的所有零点之和为 (　 ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.已知a,b,c均大于1,且满足=2+log2a,=3+log3b,=4+log4c,则下列不等式成立的是 (　 ) A.c<b<a B.a<b<c C.a<c<b D.c<a<b 5.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)+ax-a=0有2个不同的实根x1,x2,且x1x2<0,则a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2) D.(2,+∞) 6.当a≥e时,函数f(x)=ex+x+ln x-ln a-,x∈[1,+∞)的零点的个数为 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 7.[2026·辽宁抚顺联考] 已知函数f(x)=则方程f[f(x)]=的解的个数为 (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 二、选择题:本题共2小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 8.[2026·贵阳模拟] 若函数y=f(x)-cos x的零点个数为偶数,则f(x)的解析式可以是 (　 ) A.f(x)=x2 B.f(x)=ex+e-x C.f(x)=cos 2x D.f(x)=ln|x| 9.[2025·岳阳模拟] 已知函数y=3x的图象上不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)到直线y=的距离相等,则下列说法错误的是 (　 ) A.x1x2<0 B.x1+x2<-2 C.y1y2> D.y1+y2<2× 三、填空题:本题共2小题. 10.[2025·保定5月模拟] 已知函数f(x)=ex+1+x-2和g(x)=ln x+x-3的零点分别为a,b,则a+b=　　　　.  11.[2025·嘉兴二模] 已知函数f(x)=ln x+ax(a>0),若方程f[f(x)]=x在区间[2,4]上有解,则实数a的取值范围为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练(三)　函数零点问题 1.B　[解析] 函数f(x)=ln x+x-的定义域为(0,+∞),且函数y=ln x,y=x,y=-在(0,+∞)上都单调递增,所以函数f(x)=ln x+x-在(0,+∞)上单调递增.又f(1)=ln 1+1-2=-1<0,f(2)=ln 2+2-1=ln 2+1>0,所以f(1)·f(2)<0,所以f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B. 2.C　[解析] 当x≤0时,令x3+8=0,解得x=-2.当x>0时, f=log4+=-1+=-<0, f(4)=log44+4=5>0,f(4)f<0,所以f(x)在上存在零点,又因为f(x)=log4x+x在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)上有唯一零点.综上, f(x)的零点个数为2.故选C. 3.D　[解析] 由f(x)=0得ln=1-x,令g(x)=ln,y=1-x,因为g(x)+g(2-x)=ln+ln=ln 1=0,所以函数g(x)=ln的图象关于点(1,0)对称.y=1-x的图象也关于点(1,0)对称, 如图所示,两个函数图象有两个交点,设两个交点的横坐标分别为x1,x2,这两个交点关于点(1,0)对称,所以x1+x2=2.故选D. 4.B　[解析] ∵=2+log2a,∴=log2a.∵=3+log3b,∴=log3b.∵=4+log4c,∴=log4c,∴考虑y=和y=logmx(m=2,3,4)的图象交点的横坐标,由图可知a<b<c.故选B. 5.C　[解析] 若关于x的方程f(x)+ax-a=0有2个不同的实根,则直线y=-a(x-1)与y=f(x)的图象有2个不同的交点.画出y=f(x)的图象,如图,直线y=-a(x-1)过定点(1,0),当该直线经过点(0,2)时,该直线斜率为-2,并与f(x)的图象有2个交点,但其中一点的横坐标为0,与x1x2<0矛盾.故-2<-a<0,解得0<a<2,故a的取值范围是(0,2).故选C. 6.B　[解析] 令f(x)=0,得ex+x+ln x=ln a+,即ex+x=+ln=+ln,设函数F(x)=ex+x(x≥1),问题转化为求方程F(x)=F的根的个数,又F(x)单调递增,故问题转化为求x+ln x=ln a,x∈[1,+∞)的根的个数问题.令h(x)=x+ln x,x∈[1,+∞),易知h(x)在[1,+∞)上单调递增,故h(x)∈[1,+∞),所以当a≥e时,方程x+ln x=ln a只有一根,所以f(x)的零点的个数为1.故选B. 7.B　[解析] 函数f(x)的图象如图所示,设f(x)=t,则方程f[f(x)]=即为f(t)=,由图可知,直线y=与y=f(x)的图象有3个交点,设交点的横坐标分别为t1,t2,t3(t1<t2<t3),其中t1<0,0<t2<1,t3>1.方程f[f(x)]=的解的个数转化为方程f(x)=t1, f(x)=t2, f(x)=t3解的个数之和,由图可知,直线y=t1与y=f(x)的图象有1个交点,直线y=t2与y=f(x)的图象有3个交点,直线y=t3与y=f(x)的图象没有交点,所以方程f[f(x)]=的解的个数为1+3=4.故选B. 8.ABD　[解析] 对于A,若f(x)=x2,则y=f(x)-cos x=x2-cos x,因为f(x)=x2是偶函数,y=cos x是偶函数,所以y=x2-cos x是偶函数,易知该函数在(0,+∞)上单调递增.当x=0时,y=02-cos 0=-1<0,当x=1时,y=1-cos 1>0,所以y=x2-cos x在(0,1)内有一个零点,根据偶函数图象的对称性,可得y=x2-cos x在(-1,0)内有一个零点,共2个零点.故A正确.对于B,若f(x)=ex+e-x,则y=f(x)-cos x=ex+e-x-cos x,因为f(x)=ex+e-x是偶函数,y=cos x是偶函数,所以y=ex+e-x-cos x是偶函数.因为ex+e-x≥2=2,cos x∈[-1,1],所以y∈[1,+∞).当x=0时,y=e0+e0-cos 0=1+1-1=1>0,所以函数的零点个数为0,是偶数,故B正确.对于C,若f(x)=cos 2x,则y=f(x)-cos x=cos 2x-cos x,因为f(x)=cos 2x为偶函数,y=cos x为偶函数,所以y=cos 2x-cos x是偶函数.当x=0时,y=f(0)-cos 0=0,根据偶函数的图象的性质知函数y=cos 2x-cos x的零点个数不是偶数,故C错误.对于D,若f(x)=ln|x|,则x≠0,y=f(x)-cos x=ln|x|-cos x,因为f(x)=ln|x|是偶函数,y=cos x是偶函数,所以y=ln|x|-cos x是偶函数.当x>0时,y=ln x-cos x,y'=+sin x,当0<x<π时,y'=+sin x>0,函数y=ln x-cos x在(0,π)内单调递增,当x=1时,y=ln 1-cos 1=-cos 1<0,所以当x∈(0,1]时,y恒小于0,无零点;当x=e时,y=ln e-cos e=1-cos e>0,所以当x∈(1,e)时,存在1个零点;当x>e时,ln x>1,cos x∈[-1,1],所以y=ln x-cos x恒大于0,无零点.所以y=ln|x|-cos x在(0,+∞)内存在1个零点,根据偶函数图象的对称性,y=ln|x|-cos x在(-∞,0)内存在1个零点,共2个零点,所以零点个数为偶数,故D正确.故选ABD. 9.ACD　[解析] 如图,不妨设x1<x2,不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)到直线y=的距离相等,∵点A到直线y=的距离不超过,而点(0,1)到直线y=的距离为,∴x2<0,故x1x2>0,故A选项中说法错误;根据不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)到直线y=的距离相等,得-=-,∴+=,则2<,故<,解得x1+x2<-2,故B选项中说法正确;y1>0,y2>0且y1≠y2,又=,故y1+y2=,由基本不等式得y1y2<=,故C选项中说法错误;∵x1+x2<-2,∴<,∴2×<,又y1+y2=,故y1+y2>2×,故D选项中说法错误.故选ACD. 10.2　[解析] 令u(x)=ex+1,φ(x)=ln x-1,h(x)=2-x,则函数u(x)=ex+1和φ(x)=ln x-1的图象与函数h(x)=2-x的图象交点的横坐标分别为a,b,又易得u(x)=ex+1和φ(x)=ln x-1的图象关于直线y=x对称,设u(x)=ex+1和φ(x)=ln x-1的图象与h(x)=2-x的图象的交点坐标分别为(a,2-a),(b,2-b),则交点也关于直线y=x对称,所以a=2-b,即a+b=2. 11.　[解析] 设f(x)=t,则f(t)=x,那么(x,t),(t,x)都在函数y=f(x)的图象上.假设x>t,因为函数y=f(x)单调递增,所以f(x)>f(t),即t>x,与假设矛盾;假设t>x,因为函数y=f(x)单调递增,所以f(t)>f(x),即x>t,与假设矛盾.所以t=x,则f(x)=x在[2,4]上有解,即1-a=在[2,4]上有解.令g(x)=,x∈[2,4],则g'(x)=,令g'(x)=0,解得x=e,故g(x)在[2,e]上单调递增,在(e,4]上单调递减,又g(e)=,g(2)=,g(4)==,所以≤g(x)≤,可得≤1-a≤,即1-≤a≤1-,故实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $