考点培优练01 函数及其性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性7大题型（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦函数单调性、奇偶性等7大考点，以定义为基础提炼性质应用方法，构建从单一到综合的逻辑体系，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点01-04|每考点1典例+4-5训练|单调性定义/复合函数法则、奇偶性四则运算、周期性公式|从单一性质（定义→应用）逐步深化| |考点05-07|每考点1典例+4-5训练|对称性判定式、性质综合转化策略|从对称性拓展到与奇偶性、周期性的综合应用|

考点培优练01 函数及其性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性7大考点 考点预览 考点01 由函数单调性求参数值 1 考点02 单调性应用（解不等式、比较大小） 2 考点03 函数奇偶性应用（求解析式、抽象函数、解不等式） 2 考点04 函数的周期性应用（求函数值、解析式） 3 考点05 由对称性求函数值或参数 3 考点06 函数的对称性与周期性综合 4 考点07 对称性与奇偶性、周期性的综合应用 4 考点通关 考点01 由函数单调性求参数值 1.单调性的定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值， (1)当时，都有，那么就说函数在区间上时增函数。 变式：， (2)当时，都有，那么就说函数在区间上时减函数。 变式：， 2.复合函数单调性（同增异减）：若与的单调性相同（相反），则为增函数（减函数） 【典例1】（2026·河南·模拟预测）已知，， 在上单调递增，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】对于，通过分离参数由基本不等式求出另一侧的取值范围进而得到的范围，对于，通过二次函数单调性得到的范围，通过两个范围的推出关系即可求解. 【详解】，，所以在上有解， 又，当且仅当时等号成立，所以等号取不到，即， 所以. 对于图象的对称轴为直线，所以的递增区间是， 故当在上单调递增时，. 因为小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围，所以是的充分不必要条件. 【跟踪训练】1．（2026·河北邯郸·二模）已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的单调性与对称性，结合函数性质得到的最小值，进而求解小于的最小值，再解一元二次不等式得到的取值范围. 【详解】已知，由于在R上单调递减，故是上的增函数. 对任意，有 . 已知，即，由是增函数得：， 因此：，即恒大于. 不等式恒成立，等价于： 整理得，即， 解得：，即的取值范围是. 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数若对任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，在上是增函数， 所以在上单调递增，则①， 又时，， 时，，故②， 联立①②，解得． 3．（2026·陕西咸阳·二模）已知奇函数在定义域上单调递增，，则使得不等式成立的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 可知函数为上的偶函数，． 因为在上单调递增，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 不等式可化为， 所以，解得或． 4．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知定义在上的函数满足，且对，当时都有，若，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得在上单调递增，则可将原不等式化为，再参变量分离后构造函数并结合导数研究其单调性后计算即可得. 【详解】因为函数满足，所以， 因为对，当时都有， 所以在上单调递增， 所以等价于， 即，， 即，，即， 令，则， 则当时，，仅当时取等号，即在上单调递增， 故，即， 则实数的取值范围为. 故选：A. 5．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数研究单调性，结合在上单调递减，得，解出即可. 【详解】由题意有：当时，，所以， 所以，当时，，所以，所以， 又在上单调递减，所以，解得，所以， 故选：C. 考点02 单调性应用（解不等式、比较大小） （1）解型不等式 ①利用函数的单调性，去掉函数符号“”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解； ②若不等式一边没有函数符号“”，而是常数（如），那么我们应该将常数转化带有函数符号“”的函数值再解. （1）为奇函数，形如的不等式的解法： 第一步：将移到不等式的右边，得到； 第二步：根据为奇函数，得到； 第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“”，列出不等式求解. 【典例2】（2026·河北张家口·三模）已知函数的定义域为，，且对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，并分析函数单调性，再将原不等式变形后利用函数单调性计算即可得解. 【详解】设，. 任取，则， 因为，，所以，即，所以， 所以在上单调递增. 原不等式可化为，由，得. ， 因为在上单调递增，故，即. 又，故. 【跟踪训练】1．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性和时的单调性，将函数值不等式转化为绝对值不等式求解即可. 【详解】函数的定义域为R， 且满足， 故为偶函数； 当时，，其中在上单调递增， 在上单调递减，则在上单调递增， 因此在上单调递增； 由偶函数性质，等价于， 结合函数的单调性得 两边均非负，平方后不等号方向不变， 得，展开整理得， 即 ，解得，即的解集为. 2．（2026·湖北·三模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数为偶函数，在上递增求解即可. 【详解】因为，所以为定义在上的偶函数， 因为，当时，即时，解得， 所以在上递增，， 由，，故. 3．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解析式得关于直线对称，利用导数判断在上单调性，再应用对称性和单调性判断函数值的大小即可. 【详解】由， 所以关于直线对称， 当时，，则， 所以在上单调递增， 由，则，而， 所以，故，即， 由，故，即， 综上，. 4．（2026·安徽合肥·二模）已知函数，若对，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明的单调性，令，求解在上单调递增，在定义域上的单调性，由函数为偶函数可得到化简即可. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以为偶函数，又， 令，则. 因为，， 所以，所以在上单调递增. 又，所以当时，，即在上单调递增. 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式等价于， 即. 又，所以， 即，， 由，得，即； 由，得，即. 综上，， 所以的取值范围为. 5．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的定义可知为奇函数，结合导数可判断单调递增，进而原问题化为恒成立，即恒成立，令，借助导数可得最大值进而即得. 【详解】，， 故，单调递增. 又，所以恒成立，等价于，等价于恒成立，即恒成立. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以当时，取得最大值， 故 考点03 函数奇偶性应用（求解析式、抽象函数、解不等式） ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：，图象关于原点对称偶函数：，图象关于轴对称 ③奇偶性的四则运算 【典例3】（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可. 【详解】当时，，，； 当时，，，； 且当时，， 所以为奇函数， 易知为上的递减函数， 则， 所以原不等式的解集为. 故选：A 【跟踪训练】1．（2026·江西南昌·一模）已知函数，若函数为偶函数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】令， 因为函数为偶函数，且为三次函数， 所以为奇函数，即， 所以， 即， 即， 所以，解得. 2．（2026·湖北·一模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出函数的周期，结合可求的值. 【详解】因为为奇函数，故， 因为为偶函数，故， 故，所以， 故是周期函数且周期为4，而， 故， 而，故. 3．（2026·河北保定·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且为偶函数，当 时， 则 _______. 【答案】/0.25 【详解】因为的图象关于对称，所以， 将替换为，可得， 因为是偶函数，所以， 将替换为，可得， 联立可得， 将替换成，可得，即是周期为的周期函数， 因此， 因为，所以， 当时，，所以， 即. 4．（2026·安徽·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】令，结合已知条件，证明为上的偶函数，在上单调递增，则等价于，即在上恒成立，结合单调性求解即可. 【详解】由，得. 令，则，故为上的偶函数． 因为当时，，所以在上单调递减，在上单调递增． 故等价于，即在上恒成立， 因为为偶函数，且在上单调递增，所以， 平方后化简得到，由一次函数性质得， 解得． 故实数的取值范围为. 5．（2026·北京朝阳·二模）已知函数．给出下列四个结论： ①曲线是中心对称图形； ②当时，曲线在曲线的上方； ③当时，； ④设正实数分别是的零点，则． 其中正确结论的序号是___________ 【答案】①②④ 【分析】令，利用奇偶性的定义与图象的平移可判断①；令，因式分解可判断②；利用作差法比较数的大小可判断③，利用导数的意义与根的存在性定理可得，，，结合②，可得，同理判断，可判断④. 【详解】因为，所以令， 可得的定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以关于原点对称， 又的图象向下平移个单位得到的图象， 所以曲线的图象关于点成中心对称图形；故①正确； 令 ，当时，， 所以当时，曲线在曲线的上方，故②正确； 因为， 所以 ， ， 所以 ， 当时，，此时，故③错误； 因为， 所以在上单调递增，又， 所以只有唯一零点，且，同理可得， 当时，，且，， 所以函数有唯一零点，且， 由②知当时，曲线在曲线的上方，故， 当时，令 ， 即曲线在曲线的下方，故， 所以，故④正确. 考点04 函数的周期性应用（求函数值、解析式） (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期． (3)常见周期：f(x＋A)＝-f(x)，T=2|A|f(x＋A)+f(x)=B，T=2|A| f(x＋A)f(x)=B，T=2|A|f(x＋1)=f(x)+f(x+2)，则T=6 【典例4】（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知定义域为R的函数满足，且为奇函数，则一定有（  ） A．6为的一个周期 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目所给条件分析函数对称性与奇偶性。首先由得出函数关于直线轴对称，再由为奇函数还原的对称性，可令，得函数关于点中心对称，结合同时满足轴对称和中心对称的函数为周期函数推出函数的周期，利用周期性求值 【详解】因为，将代入得， 所以，故关于直线对称， 又因为为奇函数，所以， 令，则，代入得，即， 将代入得，即， 所以关于点中心对称， 将代入得， 又，故， 令，则，再将代入得，即， 将代入得， 又，所以，的周期为8，故A错， 设，依题意为奇函数，所以 又对称轴为，所以，无法推出，故B错，C对， 因为，所以，同理，一直到， 所以一个周期内和为，，故总和为， 举反例如下，令满足题意，但，故D错. 【跟踪训练】1．（25-26高三上·江西·期中）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先分析函数的周期，由此可得，结合已知函数的解析式计算可得答案． 【详解】因为是定义在上的奇函数，为偶函数， 所以，，即， 所以， 所以，可得， 所以的最小正周期为， 又当时，， 当时，则，所以， 又由是周期为的奇函数， 则， 故，. 故选：D． 2．（2026·全国二卷·高考真题）已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 3．（2026·河南周口·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】D 【分析】根据条件结合赋值法计算可得，即可得该函数周期，再利用，则可计算出的值，即可得解. 【详解】因为是奇函数，所以. 由，令，得，故， 由，令，得， 所以，即， 所以，故以4为周期， 由，则，， ，， ，， ，， 所以 . 4．（2026·重庆·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】运用函数奇偶性及对称性可得函数的周期性，并通过赋值法求得，由此可求得. 【详解】由，得， 即，所以函数关于直线对称， 所以，且. 又，所以，且，. 所以， 所以是周期为的函数，所以. 考点05 由对称性求函数值或参数 一．对称性的表述 1.轴对称：验证是否对某常数a恒成立． 2.中心对称：验证是否对某常数a,b恒成立． 若为多项式函数，观察是否满足（整理后各项系数为0）． 特别的对称：二次函数：关于对称． 三次函数：关于点中心对称 【典例5】（25-26高三·全国·一轮复习）设函数的定义域为，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（    ） A．2025 B．4049 C．4050 D．8100 【答案】C 【分析】先判断的对称性，然后利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】令函数，则， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 可得的图象关于点中心对称， 即当，可得， 设， ， 所以 ， 所以． 【跟踪训练】1．（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 【答案】A 【分析】由条件结合对称性的性质可得，，结合关系可得，由此可得，再求，结合可得结论. 【详解】因为关于对称，所以， 用替换可得①， 因为关于对称，所以， 又，用替换可得， 用替换可得， 两式相加可得， 用替换可得②， 由①②可得， 用替换可得 因为， 在中令，得，故， ， 因此. 2．（25-26高三上·浙江·阶段检测）设定义在上的奇函数的导函数为，且对任意的，，，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．2026 【答案】C 【分析】令，得到，所以，当时，求得，进而推得的周期为的周期函数，得到，再由为奇函数，求得，得到，即可求解． 【详解】令，可得， 因为，所以，所以， 当时，可得，因此， 故，所以，即的一个周期为， 因此， 又因为为奇函数，可得， 所以的图象关于直线轴对称，所以． 故选：C． 3．（2025·江西·一模）已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，由函数奇偶性的定义得出，求导得出，进而可推出函数是周期为的周期函数，以及函数的对称中心为，求出、的值，结合函数周期性可求得的值. 【详解】因为函数为奇函数，则， 即，令，则， 所以，函数的对称中心为，且，① 在等式①中，令可得，解得， 在等式①中，令可得, 因为函数为偶函数，则， 令，可得，求导得， 则，② 由①②可得，令，则， 所以，函数是周期为的周期函数， 所以，. 故选：C. 【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论： （1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为； （2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为； （3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为. 4．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数的三个零点分别为，，，若函数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设得函数关于对称，进而有、，且，结合，得到是的两个零点，根据二次函数性质求得、，即可求的范围. 【详解】由，即，故函数关于对称， 所以，则， 故， 令，且开口向上，对称轴为， 由题意，且，它们也是的两个零点， 所以，且，故，则， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：应用因式分解及已知得到是的两个零点，且，且为关键. 5．（24-25高三上·山东·期中）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据条件判断抽象函数的周期，对称性，根据周期性和对称性求函数值，再代入求和. 【详解】根据，以代换得：，所以，可知函数的周期为4， 因为是上的奇函数，所以，即关于点对称， 于是，， 由，取得，即， 则，因此，取，得， 于是， 因此，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值，赋变量，转化抽象关系式，判断函数的周期性和对称性. 考点06 函数的对称性与周期性综合 一、判定对称性（抓特征式，直接定对称中心/对称轴） ① 轴对称：→对称轴为；特殊：/，均为； ② 中心对称：→对称中心为；特殊：/，均为； ③ 特殊对称：→对称轴（偶函数）；→对称中心（奇函数）。 二、对称性→周期性（两个关键结论，直接用） ① 若有两条对称轴和（），则周期为； ② 若有两个对称中心和（），则周期为； ③ 若有一条对称轴和一个对称中心（），则周期为。 【典例6】（2026·江苏·三模）设上的可导函数满足，且是偶函数．若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的正负得出的单调性，再结合是偶函数得出的对称轴，由函数图像的对称性即可求解． 【详解】由得，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 又是偶函数，所以的对称轴为直线， 因为，所以， 所以， 又，， 所以， 所以． 【跟踪训练】1．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性和对称性可推得函数的一个周期，利用周期结合给定解析式计算即可． 【详解】因为是定义在上的偶函数，故； 又因为，则； 故，可得的一个周期为3， 则. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到函数的对称中心，从而得到为奇函数，利用奇函数性质得到结果. 【详解】， 故函数水平渐近线为，当时，趋向于， 故对称中心的纵坐标为， 联立与得， 由上述分析知的图像关于点对称， 变形函数，令， 则 ， 则在上是奇函数， 故有，即，． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【详解】由函数的图象关于直线对称，可得对任意，都有， 即，所以为偶函数， 由可得，即， 所以是以4为周期的偶函数， 因此， 由，令可得， 所以． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性推出是以为周期的周期函数，根据周期性计算可得. 【详解】因为是定义在上的奇函数，又为偶函数， 所以，，且， 则，即， 所以，即是以为周期的周期函数， 由，，， 所以，，， 所以． 5．（2026·山东日照·模拟预测）设为定义在上的奇函数，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据奇函数性质和已知条件推出函数的周期，再利用周期性和奇函数性质求出的值，最后求出的值. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，且， 又，即，则关于对称， 所以，所以，则， 所以，即的周期为， 所以， 所以. 考点07 对称性与奇偶性、周期性的综合应用 核心知识点 1函数单调性、奇偶性、对称性、周期性的综合应用 2核心思想：转化与化归，利用各性质将复杂问题转化为已知的简单问题 3常见考查形式：函数值比较、不等式求解、参数范围、函数图像判断等 解题方法 1分步分析：先判断函数的奇偶性、对称性、周期性，再分析单调性 2转化问题：利用性质将自变量转化到同一单调区间，或转化为已知函数值的自变量 3数形结合：结合函数图像的对称性、周期性，直观分析问题 【典例7】（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知定义在上奇函数，且当时，满足，且当时，，则_________． 【答案】 【分析】根据函数的递推性质及奇偶性求出参数，再由函数解析式及递推关系得出即可得解. 【详解】因为当时，满足， 所以，即， 又函数为上的奇函数，所以， 即，解得，又，解得， 所以时，，所以， 由，， 所以，同理， 所以. 【跟踪训练】1．（24-25高三下·湖北·开学考试）已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据累加法可得即可求解. 【详解】当时， 因为， 故 由累加法可得， 故，故AB错误， 由， 所以故，所以C错误,D正确， 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用累加法可得. 2．（2026·河南开封·模拟预测）(多选题)已知函数，则下列正确的有（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于点中心对称 C．是图象的一条对称轴 D．的值域为 【答案】ACD 【详解】, ，所以，故A正确； ，故C正确； 因为函数的周期为，故可取一个周期长度的区间来解函数的值域， 令，则，则，由定义域可去掉绝对值号， 故，所以的值域为，所以D正确； 由D正确可知：的图象上没有函数值小于0的点，的图象不可能关于点中心对称，故B错误． 3．（2026·陕西榆林·一模）(多选题)已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，且对于任意实数，恒有，若，则（   ） A． B．是奇函数 C．是的必要不充分条件 D．的零点个数为3 【答案】ABD 【分析】抽象函数的性质，通过取特殊值解决前三个选项，选项D将抽象函数具体化. 【详解】 对于A，令，得，所以， 再令，，得，所以，故A正确； 对于B，首先定义域关于原点对称，其次令，得， 即，所以是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，令，得， 所以，由，得，解得或， 即只是解集的一部分，则是的充分不必要条件，故C错误； 对于D，设， 不难验证， 所以，所以，将代入，可得， 所以，的零点为0，，2，故D正确． 4．（25-26高三上·山东泰安·期末）(多选题)已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，则下列选项正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A项，可证明点同时满足即可；对于B项，可利用，且为奇函数，赋值求解即可；对于C项，由函数关于点对称，再结合函数关于对称，即可证明；对于D项，应用，可证明，可得，，， ，依次构成等差数列，进而可判断正误. 【详解】对于A项，设点是图象上任意一点， 则，而， 所以点也是图象上的点， 所以的图象关于直线对称，故A项正确； 对于B项，因为为奇函数， 所以，取，可知，所以； 又因为，所以， 于是，故B项错误； 对于C项，因为为奇函数，所以， 即，令， 则，， 所以， 因为的值域为，所以该结论对任意实数都成立， 即，故C项正确； 对于D项，由以上推理知， 所以， 所以； 又因为，， 所以，，，，，，依次构成等差数列，其首项为，公差为， 所以，故D项正确； 故选：ACD. 【点睛】解题关键点：灵活应用性质“”与“为奇函数”是解题的关键点，在应用性质时，在判断C项正误中灵活使用，； 在应用为奇函数时，我们顺次采用了；两种形式. 5．（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 【答案】（答案不唯一） 【分析】抓住第四个条件对应的函数解析式运算特征，分析学过的基本初等函数模型中，幂函数能与之对应，随即可解. 【详解】条件①对应的是偶函数；条件②对应的为函数在上单调递减； 条件③为琴生不等式，对应的是函数的凸凹性：函数在上为下凸函数；条件④对应函数解析式的运算特征， 在所学过的函数模型中，一次函数与幂函数符合，结合①②③，不符合； 在中，取为负偶数即可. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练01 函数及其性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性7大考点 考点预览 考点01 由函数单调性求参数值 1 考点02 单调性应用（解不等式、比较大小） 2 考点03 函数奇偶性应用（求解析式、抽象函数、解不等式） 3 考点04 函数的周期性应用（求函数值、解析式） 4 考点05 由对称性求函数值或参数 6 考点06 函数的对称性与周期性综合 7 考点07 对称性与奇偶性、周期性的综合应用 8 考点通关 考点01 由函数单调性求参数值 1.单调性的定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值， (1)当时，都有，那么就说函数在区间上时增函数。 变式：， (2)当时，都有，那么就说函数在区间上时减函数。 变式：， 2.复合函数单调性（同增异减）：若与的单调性相同（相反），则为增函数（减函数） 【典例1】（2026·河南·模拟预测）已知，， 在上单调递增，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练】1．（2026·河北邯郸·二模）已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数若对任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西咸阳·二模）已知奇函数在定义域上单调递增，，则使得不等式成立的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知定义在上的函数满足，且对，当时都有，若，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点02 单调性应用（解不等式、比较大小） （1）解型不等式 ①利用函数的单调性，去掉函数符号“”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解； ②若不等式一边没有函数符号“”，而是常数（如），那么我们应该将常数转化带有函数符号“”的函数值再解. （1）为奇函数，形如的不等式的解法： 第一步：将移到不等式的右边，得到； 第二步：根据为奇函数，得到； 第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“”，列出不等式求解. 【典例2】（2026·河北张家口·三模）已知函数的定义域为，，且对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北·三模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，设，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽合肥·二模）已知函数，若对，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点03 函数奇偶性应用（求解析式、抽象函数、解不等式） ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：，图象关于原点对称偶函数：，图象关于轴对称 ③奇偶性的四则运算 【典例3】（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（2026·江西南昌·一模）已知函数，若函数为偶函数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026·湖北·一模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ） A．2025 B． C． D． 3．（2026·河北保定·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且为偶函数，当 时， 则 _______. 4．（2026·安徽·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________． 5．（2026·北京朝阳·二模）已知函数．给出下列四个结论： ①曲线是中心对称图形； ②当时，曲线在曲线的上方； ③当时，； ④设正实数分别是的零点，则． 其中正确结论的序号是___________ 考点04 函数的周期性应用（求函数值、解析式） (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期． (3)常见周期：f(x＋A)＝-f(x)，T=2|A|f(x＋A)+f(x)=B，T=2|A| f(x＋A)f(x)=B，T=2|A|f(x＋1)=f(x)+f(x+2)，则T=6 【典例4】（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知定义域为R的函数满足，且为奇函数，则一定有（  ） A．6为的一个周期 B． C． D． 【跟踪训练】1．（25-26高三上·江西·期中）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·全国二卷·高考真题）已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 3．（2026·河南周口·模拟预测）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A． B． C．1 D．9 4．（2026·重庆·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点05 由对称性求函数值或参数 一．对称性的表述 1.轴对称：验证是否对某常数a恒成立． 2.中心对称：验证是否对某常数a,b恒成立． 若为多项式函数，观察是否满足（整理后各项系数为0）． 特别的对称：二次函数：关于对称． 三次函数：关于点中心对称 【典例5】（25-26高三·全国·一轮复习）设函数的定义域为，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（    ） A．2025 B．4049 C．4050 D．8100 【跟踪训练】1．（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 2．（25-26高三上·浙江·阶段检测）设定义在上的奇函数的导函数为，且对任意的，，，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．2026 3．（2025·江西·一模）已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数的三个零点分别为，，，若函数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·山东·期中）若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点06 函数的对称性与周期性综合 一、判定对称性（抓特征式，直接定对称中心/对称轴） ① 轴对称：→对称轴为；特殊：/，均为； ② 中心对称：→对称中心为；特殊：/，均为； ③ 特殊对称：→对称轴（偶函数）；→对称中心（奇函数）。 二、对称性→周期性（两个关键结论，直接用） ① 若有两条对称轴和（），则周期为； ② 若有两个对称中心和（），则周期为； ③ 若有一条对称轴和一个对称中心（），则周期为。 【典例6】（2026·江苏·三模）设上的可导函数满足，且是偶函数．若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．2 D．1 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山东日照·模拟预测）设为定义在上的奇函数，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点07 对称性与奇偶性、周期性的综合应用 核心知识点 1函数单调性、奇偶性、对称性、周期性的综合应用 2核心思想：转化与化归，利用各性质将复杂问题转化为已知的简单问题 3常见考查形式：函数值比较、不等式求解、参数范围、函数图像判断等 解题方法 1分步分析：先判断函数的奇偶性、对称性、周期性，再分析单调性 2转化问题：利用性质将自变量转化到同一单调区间，或转化为已知函数值的自变量 3数形结合：结合函数图像的对称性、周期性，直观分析问题 【典例7】（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知定义在上奇函数，且当时，满足，且当时，，则_________． 【跟踪训练】1．（24-25高三下·湖北·开学考试）已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南开封·模拟预测）(多选题)已知函数，则下列正确的有（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于点中心对称 C．是图象的一条对称轴 D．的值域为 3．（2026·陕西榆林·一模）(多选题)已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，且对于任意实数，恒有，若，则（   ） A． B．是奇函数 C．是的必要不充分条件 D．的零点个数为3 4．（25-26高三上·山东泰安·期末）(多选题)已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，则下列选项正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B． C． D． 5．（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $