课时规范练7　函数的单调性与最值-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 课时规范练7《函数的单调性与最值》采用三级分层设计，基础巩固组（10题）、综合提升组（3题）、创新应用组（2题）梯度递进，覆盖单调性判断、单调区间、参数范围等核心知识点，通过基础巩固-综合应用-创新拓展路径，培养数学抽象、推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固组|单调性判断、奇偶性与单调性结合、单调区间求解|选择填空为主，如判断函数奇偶性与单调性（题1），巩固概念理解| |综合提升组|含参数函数单调性、分段函数单调性、实际问题转化|解答题与多选结合，如已知单调性求参数范围（题7），提升推理运算能力| |创新应用组|新定义“倍值区间”、最值证明|创新情境题，如“倍值区间”判断（题14），培养数学抽象与创新意识|

课时规范练7　函数的单调性与最值 基础巩固组 1.已知函数f(x)=()x-2x,则f(x)(　　) A.是偶函数,且在R上是增函数 B.是奇函数,且在R上是增函数 C.是偶函数,且在R上是减函数 D.是奇函数,且在R上是减函数 2.函数f(x)=|x-1|+3x的单调递增区间是(　　) A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.[0,+∞) D.(-∞,+∞) 3.(多选)下列函数在区间(2,4)内单调递减的是(　　) A.y=()x B.y=log2(x2+3x) C.y= D.y=cos x 4.已知函数f(x)=若f(a2-4)>f(3a),则实数a的取值范围是(　　) A.(-4,1) B.(-∞,-4)∪(1,+∞) C.(-1,4) D.(-∞,-1)∪(4,+∞) 5.y=3+x-的值域为(　　) A. B. C. D. 6.(2025山西二模)若函数f(x)=在(0,2]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　) A.(0,2] B.(0,4] C.[2,+∞) D.[4,+∞) 7.若函数f(x)=ax2-x在区间[1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　.  8.若函数f(x)=在区间[0,1]上的最大值为3,则实数m=　　　　　.  9.已知函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有<0成立,则a的取值范围是　　　　.  10.已知函数f(x)=是R上的奇函数. (1)求实数a的值; (2)用定义证明f(x)在R上为减函数; (3)若对于任意t∈[2,5],不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围. 综合提升组 11.(2025八省联考)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2,若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[-1,+∞) 12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x-y)=f(x)-f(y),且当x<0时,f(x)>0,则关于x的不等式f(mx2)+f(2m)>f(m2x)+f(2x)(其中0<m<)的解集为(　　) A.{x|m<x<} B.{x|x<m或x>} C.{x|<x<m} D.{x|x>m或x<} 13.(2025江西宜春一模)已知函数f(x)=log2(x2-2ax)在[2,4]上的最小值是1,则a=　　　　　.  创新应用组 14.(多选)已知函数f(x)的定义域为D,若存在区间[m,n]⊆D使得f(x)满足:(1)f(x)在区间[m,n]上是单调函数;(2)f(x)在区间[m,n]上的值域是[2m,2n],则称区间[m,n]为函数f(x)的“倍值区间”.下列函数存在“倍值区间”的是(　　) A.f(x)=x2 B.f(x)= C.f(x)=x+ D.f(x)= 15.以max M表示数集M中最大的数.设0<a<b<c<1,已知b≥2a或a+b≤1,则max{b-a,c-b,1-c}的最小值为　　　　　.  参考答案 1.D　解析∵函数f(x)的定义域为R,f(-x)=()-x-2-x=2x-()x=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.又函数y=()x和函数y=-2x都为R上的减函数,则函数f(x)=()x-2x在R上为减函数,故选D. 2.D　解析f(x)=|x-1|+3x=显然当x≥1时,f(x)单调递增,当x<1时,f(x)也单调递增,且4×1-1=2×1+1,因此函数的单调递增区间是(-∞,+∞),故选D. 3.AC　解析对于A,y=()x在区间(2,4)内单调递减,故A正确;对于B,y=log2t为定义域上的增函数,t=x2+3x在区间(2,4)内单调递增,所以y=log2(x2+3x)在区间(2,4)内单调递增,故B错误;对于C,y=在区间(2,4)内单调递减,故C正确;对于D,y=cos x在区间(2,π)内单调递减,在区间(π,4)内单调递增,故D错误. 4.D　解析f(x)=即f(x)=画出函数的图象,如图所示,根据图象知函数单调递增,又f(a2-4)>f(3a),所以a2-4>3a,解得a>4或a<-1,故选D. 5.A　解析 因为y=3+x-,所以1-2x≥0,即x≤.又y=3+x-上单调递增,故当x=时,函数取得最大值,即y=3+x-的值域为. 6.C　解析 当a=0时,f(x)=为单调递增函数,不合题意; 当a<0时,y=,y=均为单调递增函数,故f(x)=为单调递增函数,不合题意; 当a>0时,f(x)=在(a,+∞)上单调递增,在(0,a)内单调递减. 若f(x)=在(0,2]上单调递减,则a≥2.故选C. 7.[,+∞)　解析若a=0,则f(x)=-x,在区间[1,+∞)上单调递减,不符合题意;若a≠0,则必有解得a≥. 综上,实数a的取值范围是[,+∞). 8.3　解析∵函数f(x)==2+,当m>2时,f(x)=在[0,1]上单调递减,最大值为f(0)=m=3;当m<2时,f(x)=在[0,1]上单调递增,最大值为f(1)==3,即m=4,显然m=4不合题意,故实数m=3. 9. (0,]　解析因为函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有<0成立,所以f(x)在R上单调递减,所以解得0<a≤. 10.(1)解由函数f(x)=是R上的奇函数知f(0)=0,即=0,解得a=1. (2)证明由(1)知f(x)=.任取x1,x2∈R且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=. 因为x1<x2,所以, 所以>0. 又因为1+>0且1+>0, 所以>0. 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 故f(x)在R上为减函数. (3)解不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0可化为f(t2-2t)<-f(2t2-k).因为f(x)是奇函数,所以-f(2t2-k)=f(k-2t2),所以不等式f(t2-2t)<-f(2t2-k)可化为f(t2-2t)<f(k-2t2). 由(2)知f(x)在R上为减函数,故t2-2t>k-2t2,即k<3t2-2t.即对于任意t∈[2,5],不等式k<3t2-2t恒成立. 设g(t)=3t2-2t,t∈[2,5],则8≤g(t)≤65, 因此k<g(t)min=8, 所以实数k的取值范围是(-∞,8). 11.B　解析根据题意,f(x)=x|x-a|-2a2=当x>2时,f(x)>0恒成立,即f(x)在(2,+∞)上的最小值大于0.若a>2,则f(a)=-2a2<0,不满足当x>2时,f(x)>0,所以a≤2.当0<a≤2时,<a,f(x)在[a,+∞)上是增函数,由(2,+∞)⊂[a,+∞),可得f(x)在(2,+∞)上是增函数,此时f(x)>f(2)恒成立,可知f(2)≥0,即22-2a-2a2≥0,解得0<a≤1;当a=0时,f(x)=此时f(x)在(2,+∞)上的值域为(4,+∞),f(x)>0恒成立,符合题意;当a<0时,a<,f(x)在(,+∞)上是增函数,由(2,+∞)⊂(,+∞),可得f(x)在(2,+∞)上是增函数,所以f(2)≥0,即4-2a-2a2≥0,整理得a2+a-2≤0,解得-2≤a<0.综上所述,-2≤a≤1,即实数a的取值范围是[-2,1].故选B. 12.A　解析任取x1<x2,由已知得f(x1-x2)>0,即f(x1)-f(x2)>0,所以函数f(x)在R上单调递减.由f(mx2)+f(2m)>f(m2x)+f(2x)可得f(mx2)-f(2x)>f(m2x)-f(2m),即f(mx2-2x)>f(m2x-2m),所以mx2-2x<m2x-2m,即mx2-(m2+2)x+2m<0,即(mx-2)(x-m)<0.又因为0<m<,所以>m,此时原不等式解集为{x|m<x<}. 13.　解析 若a=0,则f(x)=2log2x在[2,4]上单调递增,最小值为f(2)=2log22=2,不符合题意; 若a<0,则f(x)的定义域为(-∞,2a)∪(0,+∞),由复合函数的单调性可知f(x)在(0,+∞)上单调递增,则最小值为f(2)=log2(4-4a)=1,解得a=,不符合题意; 若a>0,则f(x)的定义域为(-∞,0)∪(2a,+∞),由题意可得[2,4]⊂(2a,+∞),则a<1, 此时由复合函数的单调性可知f(x)在[2,4]上单调递增,则最小值为f(2)=log2(4-4a)=1,解得a=,符合题意. 综上,a=. 14.ABD　解析函数存在“倍值区间”,则(1)f(x)在区间[m,n]上是单调函数,(2)对于A,f(x)=x2,若存在“倍值区间”[m,n],则解得∴f(x)=x2存在“倍值区间”[0,2];对于B,f(x)=,若存在“倍值区间”[m,n],则当x>0时,得mn=,例如[,2]为函数f(x)=的“倍值区间”;对于C,f(x)=x+,当x>0时,f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增,若存在“倍值区间”[m,n]⊆(0,1),则解得m2=n2,不符合题意;若存在“倍值区间”[m,n]⊆[1,+∞),则解得m2=n2=1,不符合题意,当x<0时同理,故此函数不存在“倍值区间”;对于D,f(x)=,f'(x)=,所以f(x)在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,+∞)上单调递减,若存在“倍值区间”[m,n]⊆[0,1],则解得即f(x)=存在“倍值区间”[0,].故选ABD. 15.　解析令b-a=m,c-b=n,1-c=p,其中m,n,p>0,所以若b≥2a,则b=1-n-p≥2(1-m-n-p),故2m+n+p≥1.令M=max{b-a,c-b,1-c}=max{m,n,p},因此故4M≥2m+n+p≥1,则M≥,当且仅当m=n=p=M=,即a=,b=,c=时,等号成立.若a+b≤1,则1-m-n-p+1-n-p≤1,即m+2n+2p≥1,由M=max{m,n,p},则故5M≥m+2n+2p≥1,则M≥,当且仅当m=n=p=M=,即c=,b=,a=时,等号成立. 综上可知max{b-a,c-b,1-c}的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $