第7讲单调性与最大(小)值(一) 基础巩固练习（适用于艺体生）-2027届高考高三数学第一轮复习

**基本信息** 针对高三基础薄弱学生设计，通过“概念回顾+基础应用”分层巩固单调性与最值知识，梯度适配一轮复习夯实基础需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |重知识·牢地基|单调性定义、单调区间、最值概念及重要结论|表格对比增/减函数定义，填空形式强化记忆，培养抽象能力与推理意识| |强练习·熟应用|单调性判断、单调区间求解、参数范围问题|单选/多选/解答题梯度设置，结合真题情境，从单一知识点到综合应用，发展模型意识与运算能力|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 复习课后巩固练习 第7讲　单调性与最大(小)值 （基础版：专门面向数学基础较弱学生、艺体生的练习） 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ ❀ 重知识 · 牢地基 ❀ 1. 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y＝f(x)的单调区间. 2. 函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D,都有f(x)≤M; (2)∃x0∈D,使得f(x0)＝M (1)∀x∈D,都有f(x)≥M; (2)∃x0∈D,使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 3. 重要结论 (1)函数单调性的常用结论 ①若f(x),g(x)均在区间A上单调递增(减),则y＝f(x)＋g(x)也在区间A上单调递增(减). ②函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x),y＝的单调性相反. (2)函数最值的结论 ①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值;当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取得. ②开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. ❀ 强练习 · 熟应用 ❀ 一、单选题 1．（2026·上海崇明·二模）下列函数中，在上为严格增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，是定义在上的偶函数， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A不符合题意； 对于B，是定义在上的偶函数， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，故B不符合题意； 对于C，是定义在上的周期函数， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，故C不符合题意； 对于D， 在上为严格增函数，故D符合题意. 2．（25-26·山东枣庄·阶段检测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】, 图象如图所示 函数的单调递增区间为 故选：D. 3．（25-26·湖南长沙·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的对称轴为， 依题意或， 解得或，所以实数的取值范围是. 故选：C 4．（24-25·湖北十堰·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由，解得, 所以函数的定义域为， 令，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为， 该函数在上单调递减， 则函数的单调递增区间是. 故选：C. 5．（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，为单调递增函数，不符合题意， 当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意， 当时，在单调递增，在单调递减， 故在上单调递减，则， 故选：C 6．（浙江温州·期中）已知函数在定义域上单调递增，则函数在区间（    ）单调递增. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在定义域， 所以函数的定义域为. 令，所以为增函数，为减函数， 又在为增函数， 所以函数在区间. 故选：D 7．（24-25高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】作出函数的图象，如下图， 要使函数在上单调递增， 则或，解得或， ∴实数的取值范围为． 故选：A． 二、多选题 8．（23-24·重庆开州·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．“”的否定为“” B．函数的单调递减区间为 C．函数与函数是同一个函数 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【详解】对A，“”的否定为“”，故选项A错误； 对B，中，即 解得，则定义域为，又的增区间为，而为单调减函数， 则由复合函数同增异减的原则可得函数的单调递减区间为，故选项B正确； 对C，由于，可知两者解析式不一致, 则函数与函数不是同一个函数，故选项C错误； 对D，函数的定义域为，故，则， 所以的定义域为，所以， 即函数的定义域为，故D正确； 故选：BD. 9．（浙江绍兴·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的图象是一条直线 B．若函数在上单调递减，则 C．若，则 D．函数的单调递减区间为 【答案】BC 【详解】解：对于A，函数的图象是由分散的点组成的，故A错误； 对于B，因为函数在上单调递减，所以，解得，故B正确； 对于C，因为，令，则， 则，所以，所以，故C正确； 对于D，由函数，得，解得或， 即函数的定义域为， 令，函数在上递减，在上递增， 又函数为增函数， 所以函数在上递减，在上递增，故D错误. 故选：BC. 10．（辽宁大连·期中）已知函数在区间上单调递增，则a，b的取值可以是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【详解】根据题意,         其定义域为， 若函数在区间上单调递增，必有， 即且， 据此分析选项CD符合． 故选：CD 三、填空题 11．下列函数中，满足“对任意，都有”的是________．（填序号） ①；②； ③；④ 【答案】① 【详解】若满足“对任意，都有”，则在上递减. ①，在上递减，符合题意. ②，在上递增，不符合题意. ③，在上递增，不符合题意. ④,在上递增，不符合题意. 故答案为：① 12．（北京海淀·期中）若函数在区间上不是单调函数，那么实数的取值范围是__________. 【答案】（2，5） 【详解】因为函数f(x)=x2-2(a-1)x+2在区间(1,4)上不是单调函数， 所以对称轴x=a-1位于区间(1,4)上，即1＜a-1＜4，所以2＜a＜5. 故答案为. 13．（广东汕头·阶段检测）柯西(Cauchy，1789—1857)是著名的法国数学家.我们把函数方程称为柯西方程，满足该方程的函数称为“加性函数”.请写出一个在R上单调递减的加性函数___________. 【答案】（答案不唯一） 【详解】设，上单调递减. ，，，满足. 所以函数称为“加性函数”. 故答案为：（答案不唯一） 四、解答题 14．（云南昆明·期末）给定函数，，. (1)在同一直角坐标系中画出函数和的图象； (2)，用表示，中的最大者，记为，试判断在区间的单调性. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1），图象如图所示， （2）由（1）及的定义得，在单调递减，在单调递增，在单调递减 所以当时，在单调递减， 当时，在单调递减，在单调递增， 当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减. 15．（安徽铜陵·阶段检测）已知是定义在上的函数，满足且，当时，总有. （1）求的值： （2）判断并证明在上的单调性： 【答案】（1）0；（2）单调递减，证明见解析； 【详解】（1）令x=y=1,所以； （2）设 因为所以， 所以函数在上的单调递减. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 复习课后巩固练习 第7讲　单调性与最大(小)值 （基础版：专门面向数学基础较弱学生、艺体生的练习） 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ ❀ 重知识 · 牢地基 ❀ 1. 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I 当x1<x2时,都有____________,那么就称函数f(x)在区间I上单调递增,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数 当x1<x2时,都有____________,那么就称函数f(x)在区间I上单调递减,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上____________或____________,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,____________叫做y＝f(x)的单调区间. 2. 函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D,都有____________; (2)∃x0∈D,使得____________ (1)∀x∈D,都有____________; (2)∃x0∈D,使得____________ 结论 M为最大值 M为最小值 3. 重要结论 (1)函数单调性的常用结论 ①若f(x),g(x)均在区间A上单调递增(减),则y＝f(x)＋g(x)也在区间A上单调递增(减). ②函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x),y＝的单调性相反. (2)函数最值的结论 ①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值;当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取得. ②开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. ❀ 强练习 · 熟应用 ❀ 一、单选题 1．（2026·上海崇明·二模）下列函数中，在上为严格增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26·山东枣庄·阶段检测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26·湖南长沙·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25·湖北十堰·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（浙江温州·期中）已知函数在定义域上单调递增，则函数在区间（    ）单调递增. A． B． C． D． 7．（24-25高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（23-24·重庆开州·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．“”的否定为“” B．函数的单调递减区间为 C．函数与函数是同一个函数 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 9．（浙江绍兴·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的图象是一条直线 B．若函数在上单调递减，则 C．若，则 D．函数的单调递减区间为 10．（辽宁大连·期中）已知函数在区间上单调递增，则a，b的取值可以是（    ） A．， B．， C．， D．， 三、填空题 11．下列函数中，满足“对任意，都有”的是________．（填序号） ①；②； ③；④ 12．（北京海淀·期中）若函数在区间上不是单调函数，那么实数的取值范围是__________. 13．（广东汕头·阶段检测）柯西(Cauchy，1789—1857)是著名的法国数学家.我们把函数方程称为柯西方程，满足该方程的函数称为“加性函数”.请写出一个在R上单调递减的加性函数___________. 四、解答题 14．（云南昆明·期末）给定函数，，. (1)在同一直角坐标系中画出函数和的图象； (2)，用表示，中的最大者，记为，试判断在区间的单调性. 15．（安徽铜陵·阶段检测）已知是定义在上的函数，满足且，当时，总有. （1）求的值： （2）判断并证明在上的单调性。 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $