4.4.2 对数函数的图象和性质(二) 课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦对数函数的图象和性质，分层设计清晰，基础层夯实定义域、值域等概念，综合层提升复合函数、分类讨论等应用能力，实现从概念理解到问题解决的进阶，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础全面练|对数函数定义域、值域、单调性、奇偶性等基本概念及简单应用|选择填空为主，含多选（如第6题），注重概念辨析与基础运算，夯实知识基础| |综合应用练|复合函数单调性、分类讨论、方程与不等式综合应用|解答题占比高（如14-15题），结合参数讨论与实际问题，培养逻辑推理与模型意识，提升综合应用能力|

　对数函数的图象和性质(二) (时间:45分钟　分值:90分) 【基础全面练】 1.(5分)函数f(x)=log2(3x+1)的值域为 (　　) A.(0,+∞)　 B.[0,+∞) C.(1,+∞)　 D.[1,+∞) 2.(5分)若函数f(x)=ln x-,则不等式f(1-x)>f(2x-1)的解集为 (　　) A.(-∞,)　 B.(0,) C.(,)　 D.(,1) 3.(5分)若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为 (　　) A. B. C.2 D.4 4.(5分)函数f(x)=lg (+x)的奇偶性为 (　　) A.奇函数　　　　　B.偶函数 C.非奇非偶函数　　D.既是奇函数又是偶函数 5.(5分)已知函数f(x)=,在R上单调递减,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,0] B.(0,1] C.(-∞,-1] D.[-1,0) 6.(5分)(多选)(2025·成都高一检测)已知函数f(x)=lg(7-x)+lg(x-3),则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)的定义域为(3,7) B.f(x)在定义域内单调递减 C.f(x)的最大值为2lg 2 D.f(x)的图象关于直线x=5对称 7.(5分)(2026·惠州高一检测)函数y=(x2-3x+2)的单调递增区间是　　.  8.(5分)已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是　　.  9.(5分)已知函数f(x)=2log2x-log2(x-1),则f(x)的最小值是　　.  10.(10分)(2025·洛阳高一检测)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),g(x)=f(x)+bx(b>1). (1)若f(x)在区间[,81]上的最大值是2,求实数a的值; (2)若a>1,g(x)在(0,4]上的最大值为83,求整数a,b的值. 【综合应用练】 11.(5分)函数f(x)=lg |x|为 (　　) A.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 B.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 C.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 D.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 12.(5分)(多选)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x2-3,则下列说法正确的是 (　　) A.f(4)=-3 B.函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点 C.函数y=f(x)的最小值为-4 D.函数y=f(x)的最大值为4 13.(5分)已知函数f(x)=loga(x+1)(a>0,且a≠1)在[0,2]上的值域是[0,1],则实数a=　　;此时,若函数g(x)=ax+m-的图象不经过第二象限,则m的取值范围是　　.  14.(10分)(2025·绵阳高一检测)已知函数f(x)=log2log2. (1)当x∈[2,8]时,求函数f(x)的值域; (2)若不等式f(x)≥mlog2x在x∈[4,16]上有解,求m的取值范围. 15.(10分)已知函数f(x)=loga(1-2x)-loga(1+2x)(a>0,且a≠1). (1)求f(x)的定义域; (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明; (3)求使f(x)>0的x的取值范围. 　答案解析 【基础全面练】 1.(5分)函数f(x)=log2(3x+1)的值域为 (　　) A.(0,+∞)　 B.[0,+∞) C.(1,+∞)　 D.[1,+∞) 【解析】选A.因为3x>0,所以3x+1>1. 所以log2(3x+1)>0. 所以函数f(x)的值域为(0,+∞). 2.(5分)若函数f(x)=ln x-,则不等式f(1-x)>f(2x-1)的解集为 (　　) A.(-∞,)　 B.(0,) C.(,)　 D.(,1) 【解析】选C.因为y=ln x在定义域内单调递增, y=-在区间(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)=ln x-在区间(0,+∞)上单调递增, 所以只需1-x>2x-1>0,得<x<. 3.(5分)若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为 (　　) A. B. C.2 D.4 【解析】选B.由题意得f(x)在[0,1]上单调递增或单调递减,所以f(x)的最大值或最小值在端点处取得,即f(0)+f(1)=a,即1+a+loga2=a,所以loga2=-1,解得a=. 4.(5分)函数f(x)=lg (+x)的奇偶性为 (　　) A.奇函数　　　　　B.偶函数 C.非奇非偶函数　　D.既是奇函数又是偶函数 【解析】选A.易知该函数的定义域为R,又f(x)+f(-x)=lg (+x)+lg (-x)=lg [(+x)·(-x)]=lg 1=0,所以f(x)=-f(-x),所以f(x)为奇函数. 5.(5分)已知函数f(x)=,在R上单调递减,则a的取值范围是 (　　) A.(-∞,0] B.(0,1] C.(-∞,-1] D.[-1,0) 【解析】选D.因为f(x)在R上单调递减,所以,解得-1≤a<0,则a的取值范围是[-1,0). 6.(5分)(多选)(2025·成都高一检测)已知函数f(x)=lg(7-x)+lg(x-3),则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)的定义域为(3,7) B.f(x)在定义域内单调递减 C.f(x)的最大值为2lg 2 D.f(x)的图象关于直线x=5对称 【解析】选ACD.由解得3<x<7,所以f(x)的定义域是(3,7),所以A选项正确. f(x)=lg [(7-x)(x-3)]=lg(-x2+10x-21),函数y=lg x在(0,+∞)上单调递增, 函数y=-x2+10x-21的图象开口向下,对称轴为x=5,所以f(x)关于直线x=5对称,D选项正确. 所以f(x)在区间(5,7)上单调递减,在区间(3,5)上单调递增,B选项错误. 当x=5时,f(x)取得最大值为f(5)=lg(2×2)=2lg 2,所以C选项正确. 7.(5分)(2026·惠州高一检测)函数y=(x2-3x+2)的单调递增区间是　(-∞,1)　.  【解析】令x2-3x+2>0,得x<1或x>2,设μ=x2-3x+2,x<1或x>2,y=μ, 则函数μ=x2-3x+2,x<1或x>2,在区间(-∞,1)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增, 又y=μ为减函数, 所以函数y=(x2-3x+2)在区间(-∞,1)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减, 所以函数y=(x2-3x+2)的单调递增区间是(-∞,1). 8.(5分)已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是　(0,1]　.  【解析】函数f(x)的图象如图所示, 要使y=a与f(x)有两个不同的交点,则0<a≤1. 9.(5分)已知函数f(x)=2log2x-log2(x-1),则f(x)的最小值是　2　.  【解析】由题意得,,解得,即x>1,则f(x)的定义域是(1,+∞). 由于函数f(x)=2log2x-log2(x-1)=log2x2-log2(x-1)=log2. 化简得f(x)=log2(x-1++2),由于x-1+≥2=2, 则t=x-1++2≥4,当且仅当x-1=,即x=2时取最小值,最小值为4. 所以f(x)=log2≥log24=2,则f(x)的最小值是2. 10.(10分)(2025·洛阳高一检测)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),g(x)=f(x)+bx(b>1). (1)若f(x)在区间[,81]上的最大值是2,求实数a的值; 【解析】(1)当0<a<1时,f(x)=logax在[,81]上单调递减,所以f(x)max=loga=2,解得a=; 当a>1时,f(x)=logax在[,81]上单调递增,所以f(x)max=loga81=2,解得a=9. 综上所述,a=或a=9. (2)若a>1,g(x)在(0,4]上的最大值为83,求整数a,b的值. 【解析】(2)g(x)=logax+bx,因为a>1,b>1,所以函数y=logax,y=bx在(0,4]上单调递增, 所以函数g(x)在(0,4]上单调递增,所以g(x)max=loga4+b4=83, 因为a>1,a∈Z,所以loga4≤log24=2,所以81≤b4<83, 又b∈Z,所以b=3,此时loga4=2,故a=2. 所以a=2,b=3. 【综合应用练】 11.(5分)函数f(x)=lg |x|为 (　　) A.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 B.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 C.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 D.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 【解析】选D.已知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于坐标原点对称,且f(-x)=lg |-x|=lg |x|=f(x),所以是偶函数; 当x>0时,f(x)=lg x在区间(0,+∞)上单调递增, 又因为f(x)为偶函数,所以f(x)=lg |x|在区间(-∞,0)上单调递减. 12.(5分)(多选)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x2-3,则下列说法正确的是 (　　) A.f(4)=-3 B.函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点 C.函数y=f(x)的最小值为-4 D.函数y=f(x)的最大值为4 【解析】选ABC.A正确,f(4)=(log24)2-log242-3=-3; B正确,令f(x)=0,得(log2x+1)(log2x-3)=0,解得x=或x=8,即f(x)的图象与x轴有两个交点; C正确,因为f(x)=(log2x-1)2-4(x>0),所以当log2x=1,即x=2时,f(x)取最小值-4; D错误,f(x)没有最大值. 13.(5分)已知函数f(x)=loga(x+1)(a>0,且a≠1)在[0,2]上的值域是[0,1],则实数a=　3　;此时,若函数g(x)=ax+m-的图象不经过第二象限,则m的取值范围是　(-∞,-2]　.  【解析】因为x∈[0,2],则x+1∈[1,3], 当a>1时,f(x)=loga(x+1)单调递增,所以,解得a=3; 当0<a<1时,f(x)=loga(x+1)单调递减,所以,无解.所以a=3. 函数g(x)=3x+m-在R上单调递增,函数图象不经过第二象限,所以g(0)=3m-≤0, 解得m≤-2,即m的取值范围是(-∞,-2]. 14.(10分)(2025·绵阳高一检测)已知函数f(x)=log2log2. (1)当x∈[2,8]时,求函数f(x)的值域; 【解析】(1)因为f(x)=log2log2=(log2x-2)(log2x-1), 由对数函数单调性可知,当x∈[2,8]时,log2x∈[1,3], 令log2x=t,t∈[1,3],函数g(t)=(t-2)(t-1),t∈[1,3],函数g(t)=t2-3t+2的图象开口向上,对称轴为t=,由二次函数性质可知当t=时,g(t)min=-,当t=3时,g(t)max=2,所以可得当x∈[2,8]时,函数f(x)的值域为[-,2]. (2)若不等式f(x)≥mlog2x在x∈[4,16]上有解,求m的取值范围. 【解析】(2)当x∈[4,16]时,log2x∈[2,4], 令log2x=t,t∈[2,4],不等式f(x)≥mlog2x⇔t2-3t+2≥mt,则t2-3t+2≥mt在t∈[2,4]上有解,即t+-3≥m在t∈[2,4]上有解,函数y=t+-3在t∈[2,4]上单调递增, 当t=4时,ymax=. 所以m的取值范围是(-∞,]. 15.(10分)已知函数f(x)=loga(1-2x)-loga(1+2x)(a>0,且a≠1). (1)求f(x)的定义域; 【解析】(1)要使函数有意义,则⇒-<x<,所以f(x)的定义域为(-,). (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明; 【解析】(2)函数f(x)的定义域为(-,),关于原点对称,因为f(-x)=loga(1+2x)-loga(1-2x)=-f(x),所以f(x)为奇函数. (3)求使f(x)>0的x的取值范围. 【解析】(3)f(x)>0即loga(1-2x)-loga(1+2x)>0,所以loga(1-2x)>loga(1+2x), 当a>1时,由于函数y=logax是定义域上的增函数,原不等式等价为1-2x>1+2x,解得x<0,因为f(x)的定义域为(-,),所以-<x<0; 当0<a<1时,由于函数y=logax是定义域上的减函数,原不等式等价为1-2x<1+2x,解得x>0,因为f(x)的定义域为(-,),所以0<x<,综上,使f(x)>0的x的取值范围: 当a>1时为(-,0); 当0<a<1时为(0,). 学科网（北京）股份有限公司 $