4.2 指数函数 同步练（基础版）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以基础巩固为核心，分层覆盖指数函数概念、性质及应用，通过选择、填空、解答题梯度设计，培养数学抽象、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|指数函数定义、奇偶性判定等单一概念|以选择题为主，如第1题考查指数函数定义，强化数学抽象| |性质应用层|图像识别、单调性、最值及实际应用|结合茶文化温度模型（第3题），培养数学建模与运算能力| |综合拓展层|奇偶性与单调性综合、不等式恒成立等|多选题（第9-11题）与解答题（第15-16题）结合，提升逻辑推理能力，衔接阶段测评|

4.2 指数函数课后同步练习（基础版） 1．（2026高一·全国·专题练习）若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值． 【详解】函数是指数函数，可得，解得． 2．（25-26高二下·北京·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对任意的，，求出的等式，根据可求出实数的值. 【详解】对任意的，，则， 因为函数为奇函数，则， 故当时，由可得，即， 所以，解得. 3．（25-26高二下·天津宝坻·期末）中国茶文化博大精深，某种红茶用90°C的热水冲泡，待水温降至时饮用口感最佳．已知室温为，经验表明，从开始，经过分钟后的温度为，可选用函数模型近似刻画茶水温度随时间变化的规律．则在上述条件下，该红茶达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（     ）（参考数据：） A．3 min B．5 min C．7 min D．9 min 【答案】A 【详解】令，得， 则需要放置的时间最接近的是 min 4．（25-26高二下·广东深圳·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，得，则定义域为关于原点对称， 又，则为偶函数，排除C，D选项； 又，排除B， 选项A符合以上要求. 5．（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和幂函数单调性可比较出大小 【详解】由于在R上单调递减，故，即， 由于在上单调递增，故，即， 综上， 6．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）函数在区间上的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数进行换元，把原函数转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值． 【详解】，令，则， 原函数化为，函数开口向上，对称轴为，， 在对称轴处取得最小值，最小值为, 所以的最小值为1． 故选：D． 7．（25-26高一上·重庆·期末）幂函数在上单调递增，则函数（）图象过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数定义求得，然后由指数函数的性质求得定点坐标. 【详解】由题意可知，∴， ∴，令，即，， ∴函数图象过定点. 故选：C. 8．（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则在上单调递增，从而得到即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 令， 又因为单调递减，则在上单调递增， 则，所以实数的取值范围是. 9．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】作出的函数图象，如图所示： 观察易知a，b的关系为或或． 10．（25-26高一上·辽宁·期中）（多选）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【答案】BD 【分析】根据图象，结合指数函数的单调性，可得答案. 【详解】对于A，由图象可知函数单调递减，则，故A错误； 对于B，当时，，由图象可得，解得，故B正确； 对于C，，由是增函数，则，故C错误； 对于D，由，，则函数是增函数， 当时，，故D正确. 故选：BD. 11．（2026高二下·浙江·学业考试）（多选）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．在上单调递增 B．函数的图象关于点中心对称 C．当时， D．若，则 【答案】AC 【分析】由导数判断A项，由判断B项，利用函数的单调性可判断CD项． 【详解】对于A项，由已知，又函数为增函数， 所以函数为减函数，所以函数在上单调递增，故A项正确； 对于B项，，则函数的图象关于点中心对称，故B项错误； 对于C项，因为在上单调递增，所以当时，得，故C项正确； 对于D项，因为，所以， 当时，得， 因为在上单调递增，所以， 则,故D项错误． 12．（25-26高一下·湖北襄阳·期中）若函数是定义在R上的奇函数，则实数a的值为________． 【答案】 3 【详解】函数是定义在R上的奇函数，则，解得， 此时，，函数是奇函数， 所以实数a的值为3. 13．（2026高三·全国·专题练习）若曲线与直线没有公共点，则b的取值范围是________________． 【答案】 【分析】利用函数图象判断即可. 【详解】由已知画出的图象 因为，所以. 当时，直线表示直线， 由图可知，直线与函数图象无公共点，符合题意， 当时，直线表示直线和， 直线与函数图象无公共点， 若直线与函数图象无公共点，则， 综上的取值范围是. 14．（2026·上海浦东新·三模）设，．若函数有最大值，则的取值范围是______________． 【答案】 【分析】根据指数函数的性质，分类讨论函数值情况，根据最值定义，求解不等式即可. 【详解】当时，函数为，该函数在上单调递增， 因此此时函数最大值为，当时，函数为， 若，则函数在上单调递增， 此时函数不存在最大值， 当时，函数在上单调递减， 则此时，取不到最大值， 此时若该函数有最大值，应有，解得. 15．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数. (1)求函数的值域； (2)设，若对，不等式恒成立，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）换元，转化成求二次函数的值域； （2）换元，利用基本不等式求函数的最值即可. 【详解】（1）令，因为，所以， 则可转化为：， 所以当时，的最小值，此时， 所以 故的值域为. （2）将代入得： ， 令，因为，所以， 所以对，不等式恒成立等价于： 恒成立，等价于恒成立， 因为，由基本不等式得： 当且仅当，即时，等号成立， 所以要使恒成立，只要使左边的最小值满足， 解得. 故正实数的取值范围为. 16．（25-26高一上·江苏·期末）设定义在上的偶函数和奇函数，满足. (1)求函数，的解析式： (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2) 在区间单调递增， 证明如下： 任取且， ， 由，则且，有，即， 即， 故，即， 故在区间单调递增. (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组求解即可求出答案； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可求出答案. 【详解】（1）因为， 所以， 因为为偶函数，为奇函数， 则， 联立， 解得，. （2）略 （3）不等式，即， 因为为偶函数， 则 因为在区间单调递增， 则， 即，化简得， 解得或， 所以不等式的解集为. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 指数函数课后同步练习（基础版） 1．（2026高一·全国·专题练习）若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． 2．（25-26高二下·北京·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·天津宝坻·期末）中国茶文化博大精深，某种红茶用90°C的热水冲泡，待水温降至时饮用口感最佳．已知室温为，经验表明，从开始，经过分钟后的温度为，可选用函数模型近似刻画茶水温度随时间变化的规律．则在上述条件下，该红茶达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（     ）（参考数据：） A．3 min B．5 min C．7 min D．9 min 4．（25-26高二下·广东深圳·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）函数在区间上的最小值为（      ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·重庆·期末）幂函数在上单调递增，则函数（）图象过定点（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·辽宁·期中）（多选）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D．的图象不经过第四象限 11．（2026高二下·浙江·学业考试）（多选）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．在上单调递增 B．函数的图象关于点中心对称 C．当时， D．若，则 12．（25-26高一下·湖北襄阳·期中）若函数是定义在R上的奇函数，则实数a的值为________． 13．（2026高三·全国·专题练习）若曲线与直线没有公共点，则b的取值范围是________________． 14．（2026·上海浦东新·三模）设，．若函数有最大值，则的取值范围是______________． 15．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数. (1)求函数的值域； (2)设，若对，不等式恒成立，求正实数的取值范围. 16．（25-26高一上·江苏·期末）设定义在上的偶函数和奇函数，满足. (1)求函数，的解析式： (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $