4.2 指数函数（二）（分层作业·练知识）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学指数函数同步练，采用A/B/C组+高考拓展的四层递进设计，覆盖单调性、奇偶性等9个知识点，通过选择、填空、解答题实现从概念理解到综合应用的巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|单一知识点（如单调性、图像）|基础题型为主，培养运算能力与抽象能力| |B组|跨知识点综合（如单调性与值域结合）|中档解答题，发展推理意识与模型意识| |C组|复杂情境应用（含参数问题）|探究性题目，提升创新意识与批判性思维| |拓展|高考真题对接|典型高考题型，强化应用意识与数学语言表达|

分层作业 4.2指数函数（二） 目 录 A组 巩固过关 知识点01 指数型函数的单调性（同增异减） 知识点02 已知指数型函数的单调性求参 知识点03 指数型函数的奇偶性 知识点04 指数型函数的图像 知识点05 指数型函数的值域 知识点06 已知指数型函数的值域求参 知识点07 指数型函数的实际应用 知识点08 指数型函数的最值和不等式 知识点09 指数型函数的综合应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 知识点0 1 )指数型函数的单调性（同增异减） 1．（25-26高一上·云南·期中）函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）（多选）已知函数，则（ ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的单调递减区间为 D．的图象关于直线对称 2．（2025·四川成都·模拟预测）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 4．（25-26高一上·天津河东·期末）已知函数则函数的单调增区间为________________. ( 知识点0 2 )已知指数型函数的单调性求参 1．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知函数，对任意，，且，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·云南保山·期末）函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东·期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江西景德镇·期末）已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是_____________． ( 知识点0 3 )指数型函数的奇偶性 1．（25-26高一下·云南昭通·期末）已知函数为奇函数，则（ ） A．1 B．0 C． D．2 2（25-26高二下·云南昭通·期末）若函数（且）为偶函数，则（ ） A．9 B．3 C． D．2 3．（2026·江苏徐州·模拟预测）若函数（）是奇函数，则（ ） A． B．1 C．3 D．9 4．（2026·河北·二模）若函数为偶函数，则（ ） A． B． C． D． ( 知识点0 4 )指数型函数的图像 1．（25-26高二下·天津静海·期末）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广西桂林·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的解析式来推断函数图像的特征，则函数的大致图像是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广西贺州·期末）下列图象与函数图象最符合的为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·山东临沂·期末）函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． ( 知识点0 5 )指数型函数的值域 1．（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·陕西西安·期末）（多选）已知函数，下面说法正确的有（ ） A．是偶函数 B．的值域为 C．的图象关于原点对称 D．，且，恒成立 3．（24-25高一上·贵州遵义·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东汕头·期末）对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如.若函数，则函数的值域为__________. 5．（24-25高一上·福建莆田·阶段检测）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有最大值3，求的值； (3)若的值域是，求的值． ( 知识点0 6 )已知指数型函数的值域求参 1．（25-26高一上·青海海南·期末）已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北·期末）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．（21-22高三·北京·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海松江·期中）已知函数，的值域为，则的取值范围是___________． 5．（23-24高三上·北京东城·期末）设函数 ①若，则的最小值为__________； ②若有最小值，则实数的取值范围是__________． ( 知识点0 7 )指数型函数的实际应用 1．（25-26高一上·河南郑州·期末）氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体．假设氡气经过天后，氡气的剩余量（单位：g）为，其中，为常数.在此条件下，已知氡气经过天后，氡气的剩余量为，再经过天后，氡气的剩余量为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·重庆·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东潍坊·期中）某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·陕西安康·期末）美国生物学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式.已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律.若刚栽种时该植物的高为1米，经过1年，该植物的高为3米，要让该植物的高度达到5米，需要的年数为（ ） A．2 B．3 C．5 D．6 ( 知识点0 8 )指数型函数的最值和不等式 1．（25-26高一上·湖南张家界·期中）已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是________. 2．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数，（），若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是______. 3．（25-26高一上·广东清远·期中）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 4．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知函数，其中且． (1)若，求的最小值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． ( 知识点0 9 )指数型函数的综合应用 1．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知函数的图象过点，且与函数的图象相交于. (1)求的表达式； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值 2．（25-26高一上·江西九江·期末）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 3．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)，求的值域； (3)在上的最小值为1，求的值． 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数． (1)求a的值，判断函数的单调性； (2)证明为奇函数； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 一、单选题 1．（25-26高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北保定·期中）函数的值域为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·天津·期末）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·湖南长沙·期末）若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东汕头·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则（ ） A．不等式解集为 B．的图图像关于轴对称 C．是上的递增函数 D．的值域为 8．（24-25高一上·吉林·期末）已知函数（），则（ ） A．函数在上单调递增 B．当时，函数的值域为 C．当时，为奇函数 D．当时，函数的图象关于点中心对称 三、填空题 9．（24-25高一上·云南大理·期末）函数的值域是______________. 10．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）.若该食品在0℃时的保鲜时间是192小时，在20℃时的保鲜时间是24小时，则该食品在30℃时的保鲜时间是______小时（保留一位小数）. 四、解答题 11．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）设常数，函数，. (1)当时，求函数的值域. (2)若函数的最小值为0，求的值. ．（24-25高二下·河北·期末）已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 1．（25-26高一上·广东·期中）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但又不与该直线相交，则函数有（ ） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值 D．最小值 2．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若对任意实数，都有，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D．的最小值为 4．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是___________. 5．（25-26高二下·江苏南京·期末）已知函数的定义域为，且图象经过点． (1)求的值； (2)求的值域； (3)求的最小值． 1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（ ） A． B． C．1 D．2 2．（2007·江苏·高考真题）定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（ ） A． B． C． D． 3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（ ） A． B． C． D． 4．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ） A． B． C． D． 5．（2004·全国·高考真题）为了得到函数的图像，可以把函数的图像（ ）． A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 6．（2008·安徽·高考真题）若函数分别为上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ） A． B． C． D． 7．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．（2003·江苏·高考真题）若函数，当时函数值，则的取值范围是（ ） A．； B．； C．； D．． 10．（2006·天津·高考真题）函数(，且)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．（2013·新课标Ⅱ·高考真题）若存在正数使成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．（2017·全国·高考真题）函数的图像关于直线对称，则_____________． 13．（2005·上海·高考真题）满足方程的值为________． 14．（2018·上海·高考真题）已知常数，函数的图像经过点、，若，则________ 15．（2004·湖南·高考真题）若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是______. 16．（2013·上海·高考真题）方程的实数解为_________. 17．（2017·全国III卷·高考真题）设函数则满足的x的取值范围是____________. 18．（2015·福建·高考真题）若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_______． 19．（2008·上海·高考真题）已知函数. (1)若，求的值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.2指数函数（二） 目 录 A组 巩固过关 知识点01 指数型函数的单调性（同增异减） 知识点02 已知指数型函数的单调性求参 知识点03 指数型函数的奇偶性 知识点04 指数型函数的图像 知识点05 指数型函数的值域 知识点06 已知指数型函数的值域求参 知识点07 指数型函数的实际应用 知识点08 指数型函数的最值和不等式 知识点09 指数型函数的综合应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 知识点0 1 )指数型函数的单调性（同增异减） 1．（25-26高一上·云南·期中）函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数、指数函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定单调递增区间. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域上单调递减，则的单调递增区间为. 故选：D 2．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）（多选）已知函数，则（ ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的单调递减区间为 D．的图象关于直线对称 【答案】ACD 【分析】由指数函数的定义域可判断A；由指数型复合函数的单调性可判断BC；验证可得D. 【详解】A，由指数函数的性质知，的定义域为，A正确. B、C，函数在上单调递减，在上单调递增，是增函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，，B错误，C正确. D，，的图象关于直线对称，D正确. 故选：ACD. 2．（2025·四川成都·模拟预测）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】ABC 【分析】根据指数幂运算性质，结合指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以，因此函数的定义域为R，所以本选项说法正确； B：， 因为，所以， 因此函数的值域为，所以本选项说法正确； C：因为， 所以本选项说法正确； D：因为， 所以不满足减函数的定义，因此本选项说法不正确， 故选：ABC 4．（25-26高一上·天津河东·期末）已知函数则函数的单调增区间为________________. 【答案】 【分析】设，分别判断函数与的单调性，利用复合函数的同增异减原则即得原函数的单调增区间. 【详解】设，因是上的减函数， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的同增异减原则，可得该函数的单调增区间为. 故答案为：. ( 知识点0 2 )已知指数型函数的单调性求参 1．（25-26高一上·江苏常州·期末）已知函数，对任意，，且，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意，，且，都有， 所以在上单调递增，则有， 解得，即. 2．（25-26高二上·云南保山·期末）函数是上的单调函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质和分段函数的单调性列出不等式组，进而求解即可. 【详解】由题意可知是上的单调函数，而指数函数是增函数， 则，解得． 3．（25-26高一上·广东·期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性法则把题目转化成二次函数单调性问题. 【详解】令，由于底数，所以指数函数在上单调递减， 因此的单调性与的单调性相反， 要使在上单调递减，必须要求在区间上单调递增. 二次函数开口向上，对称轴为， 要使在区间上单调递增，只需满足对称轴在区间的左侧， 即：. 故选：A 4．（25-26高一上·江西景德镇·期末）已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】从定义域与复合函数单调性两个方面分析可得答案. 【详解】函数（且）在区间上单调递增，需满足以下条件： （1）对于任意，需有， 由于，函数在上单调递减， 因此，即； （2）令，则，由于且，分两种情况： 若，则外层函数递增，而内层函数递减， 故复合函数递减，不符合题意， 若，则外层函数递减，内层函数递减， 故复合函数递增，符合题意， 故； 综上，的取值范围是. 故答案为： ( 知识点0 3 )指数型函数的奇偶性 1．（25-26高一下·云南昭通·期末）已知函数为奇函数，则（ ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】C 【详解】函数的定义域为. 因为函数为奇函数，则，解得，此时， 又因为， 所以函数为奇函数，所以符合题意. 2（25-26高二下·云南昭通·期末）若函数（且）为偶函数，则（ ） A．9 B．3 C． D．2 【答案】D 【详解】函数为偶函数，且该函数的定义域为， 所以，则，又且，解得， 此时，则， 故为偶函数，满足题意，即. 3．（2026·江苏徐州·模拟预测）若函数（）是奇函数，则（ ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】D 【分析】先求得定义域，结合奇函数的性质取特殊求解即可，注意检验． 【详解】由题知，，定义域为， 由是奇函数得（负根舍去）， 则，，符合题意． 故. 4．（2026·河北·二模）若函数为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性可求解，即可代入求解. 【详解】的定义域为，由于为偶函数，故， 即， 整理可得，故，则， 所以. ( 知识点0 4 )指数型函数的图像 1．（25-26高二下·天津静海·期末）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，由，得，所以函数的定义域为， 又，所以函数为奇函数， 又时，，，所以，符合题意，故A正确； 对于B，由A知函数的定义域为， 又，所以函数为偶函数，不符合题意，故B错误； 对于C，由A知函数的定义域为， 又，所以函数为奇函数， 又时，，，所以，不符合题意，故C错误； 对于D，由，得，所以函数的定义域为， 又，所以函数为偶函数，不符合题意，故D错误. 2．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为， 当时，，此时函数的图象在轴上方，排除C； 由，得，因此函数只有1个零点，其图象与轴只有1个交点，排除B； 又，当时，，因此，排除A，D符合题意.. 3．（25-26高一上·广西桂林·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的解析式来推断函数图像的特征，则函数的大致图像是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先研究函数的奇偶性，排除选项CD，再通过计算确定答案. 【详解】设， 所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项CD. 当时，，所以排除B，选择A. 故选：A. 4．（25-26高二下·广西贺州·期末）下列图象与函数图象最符合的为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论函数的性质选取对应的图象即可. 【详解】,所以为偶函数，故排除A. 讨论在时的图象性质., 令. 根据的符号可知，在单调增，在单调减. 故排除B、C.故答案选D. 5．（25-26高二下·山东临沂·期末）函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，结合函数表达式，通过符号先判断选项C错误；结合指数的增长远快于，可判断选项B和D错误. 【详解】由题可知，函数的定义域为， 则当时，，，所以；当时，，，所以，则选项C错误； 又当时，指数的增长远快于，所以当时，，则选项B和选项D错误. ( 知识点0 5 )指数型函数的值域 1．（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】题干为一复合函数求最值，利用换元法可将其转化为求二次函数和指数函数的最值. 【详解】令,通过配方可知,当时，取得最大值1， 又函数，由指数函数的单调性可知当取得最大值时，取得最大值为2. 故选：B. 2．（24-25高一上·陕西西安·期末）（多选）已知函数，下面说法正确的有（ ） A．是偶函数 B．的值域为 C．的图象关于原点对称 D．，且，恒成立 【答案】CD 【分析】利用函数的奇偶性判断AC；由指数函数的值域求解原函数的值域判断B；结合指数函数的单调性分类讨论判断D. 【详解】因为的定义域为R，关于原点对称， 且，所以是奇函数，其图象关于原点对称， 所以A错误C正确； 对于B：因为，所以，即， 因为，所以，所以，故B错误； 对于D：当时，， 因为，所以，，所以， 所以； 当时，， 因为，所以，，所以， 所以； 综上，，且，恒成立，故D正确. 故选：CD 3．（24-25高一上·贵州遵义·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，通过分离参数将原不等式转化为在区间上恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可得解. 【详解】设，因为函数在上单调递增，所以. 所以原不等式可化为在区间上恒成立， 即在区间上恒成立. 令， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以当时，，所以. 故选：C 4．（25-26高一上·广东汕头·期末）对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如.若函数，则函数的值域为__________. 【答案】 【分析】令，得到，转化为，利用二次函数的性质求得函数的值域为，得到函数的值域为，结合的定义，即可求解. 【详解】令，因为，可得，即， 则原函数，可转化为， 由二次函数的开口向上，对称轴为， 所以，， 所以函数的值域为，即函数的值域为， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得， 所以函数的值域为. 故答案为： 5．（24-25高一上·福建莆田·阶段检测）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有最大值3，求的值； (3)若的值域是，求的值． 【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是 (2)1 (3)0 【分析】（1）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断单调区间； （2）由（1）及题设知，即可求参数值； （3）根据复合函数的值域，结合指数函数、二次函数性质确定参数值即可. 【详解】（1）当时，的定义域为R， 令，由在上单调递增，在上单调递减， 而在R上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）令，， 由于有最大值3，所以应有最小值， 因此必有．解得，即有最大值3时，a为1． （3）由指数函数的性质知，要使的值域为， 应使的值域为R， 因此只能（因为若，则为二次函数，其值域不可能为R）， 故a的值为0． ( 知识点0 6 )已知指数型函数的值域求参 1．（25-26高一上·青海海南·期末）已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数单调性结合已知函数值域列式计算求解. 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，的最大值为，又因为，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，当时，，，当时，的最大值为， 只需的最大值大于等于2， 所以，解得. 2．（25-26高一上·河北·期末）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析出要使函数的值域为，须满足函数在上单调递增，且最小值小于等于在时的函数值，据此列出不等式组求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以要使函数的值域为， 须满足函数在上单调递增，即， 且，解得， 则． 故选：D 3．（21-22高三·北京·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求函数在时函数的值域，再根据函数的值域为，确定时函数的单调性和端点值的范围，求实数的取值范围即可. 【详解】时，，又的值域为， 则时，的值域包含， 又函数在上单调递增，所以，解得. 故选：D 4．（25-26高一上·上海松江·期中）已知函数，的值域为，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】当时，，求得值域为，当时，，分和，两种情况讨论，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】当时，， 当时，取得最小值，最小值为，此时的值域为， 当时，， ①当时，函数在上为单调递增，可得的值域为， 要使得函数的值域为，则，解得； ②当时，函数在为单调递减，可得的值域为， 此时函数的值域不可能为，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 5．（23-24高三上·北京东城·期末）设函数 ①若，则的最小值为__________； ②若有最小值，则实数的取值范围是__________． 【答案】； 【分析】对①，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对②，由指数函数在开区间内没有最小值，可得最小值一定在段，结合二次函数的性质即可得. 【详解】①当时，， 则当时，， 当时，， 故的最小值为； ②由，则当时，， 由有最小值，故当时，的最小值小于等于， 则当且时，有，符合要求； 当时，，故不符合要求，故舍去. 综上所述，. 故答案为：； ( 知识点0 7 )指数型函数的实际应用 1．（25-26高一上·河南郑州·期末）氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体．假设氡气经过天后，氡气的剩余量（单位：g）为，其中，为常数.在此条件下，已知氡气经过天后，氡气的剩余量为，再经过天后，氡气的剩余量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，，解得．． 2．（25-26高一上·重庆·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令、求出，再令即可求出. 【详解】当时，；当时，，即， 当时，，即后，还剩64%的污染物， 所以前消除的污染物的占比为. 故选：B. 3．（24-25高一上·山东潍坊·期中）某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，时，求时的值. 【详解】经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，即时，， 则再经过6年，，. 故选：D 4．（25-26高三上·陕西安康·期末）美国生物学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式.已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律.若刚栽种时该植物的高为1米，经过1年，该植物的高为3米，要让该植物的高度达到5米，需要的年数为（ ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先根据确定的值，再根据求的值即可. 【详解】依题意可得，则，解得，，. ，进一步可以判断在上单调递增， 由，故， 所以要让该植物的高度达到5米，需要的年数为2. 故选：A ( 知识点0 8 )指数型函数的最值和不等式 1．（25-26高一上·湖南张家界·期中）已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据存在性和任意性的定义，结合二次函数和指数函数的最值性质进行求解即可. 【详解】当时，，则， 因为对任意的，存在，使得成立， 因此函数在上的最大值大于函数在上的最大值， 又， 所以在上的最大值为， 于是，即，所以实数的取值范围是. 故答案为： 2．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数，（），若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】计算得，，由题意得，根据集合间的包含关系可得结果. 【详解】函数在上为单调递增函数， 因为，所以， 因为，所以在上是增函数， 因为，所以， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（25-26高一上·广东清远·期中）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)减函数，证明如下： 由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减函数． (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质，由，建立方程，结合奇函数定义，可得答案； （2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案； （3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案. 【详解】（1）因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴， 则，由， 则当时，原函数为奇函数． （2）在上为减函数．证明略； （3）因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 4．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知函数，其中且． (1)若，求的最小值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）结合二次函数性质和指数函数性质，利用配方法可求的最小值； （2）先判断，然后求出的最大值后列不等式即可求解． 【详解】（1）当时，， 则， ∴当即时，． （2）当时，则在上为增函数， 故的值域为，不符合条件； ∴，此时在上为减函数， 故， 由题意得，得，又， 解得，即实数的取值范围为． ( 知识点0 9 )指数型函数的综合应用 1．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知函数的图象过点，且与函数的图象相交于. (1)求的表达式； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用待定系数法可得答案； （2）令，把问题转化成二次函数最值问题，讨论对称轴与定义域的关系，可得答案. 【详解】（1）由题意可知函数的图象过点，， 函数的图象过点和点， ， 解得：或（舍去）， . （2）代入，得： ， ， 令，当时，单调递增， 且，即， 则可转化为关于的函数， 对称轴为. 当时，则时， ，解得； 当时，则时， ，解得，舍去； 综上，可知. 2．（25-26高一上·江西九江·期末）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）令，结合二次函数的性质求出函数的值域. （2）利用换元法及基本不等式求出的最小值，再借助恒成立条件建立不等式求解. 【详解】（1）令，由，得， ， 当时，取最小值为；当时，取最大值为3，即， 所以函数的值域为. （2）依题意，， 令，则，且，于是 ， 而，当且仅当，即时取等号，， 即当时，，由恒成立， 得，解得， 所以实数的取值范围. 3．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)，求的值域； (3)在上的最小值为1，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求解； （2）令，求出的范围，求出的值域，的值域即为的值域； （3）令，由（2）可得，即的最小值为，分为，和三种情况分别讨论即可求出答案. 【详解】（1）因为函数为奇函数， 所以对任意的恒成立，故，即， 所以的值为. （2）由（1）知，所以， 令，函数在上单调递增，则， ， 令， 所以当时，取得最小值，当时，取得最大值， 所以的值域为. （3）令， 采用与（2）相同的换元方法可得， 当，即时，当时，取得最小值， 由题意得，解得，舍去， 当，即时，当时，取得最小值， 由题意得，解得或（舍去）， 当，即时，当时，取得最小值，不符合题意，舍去. 综上，. 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数． (1)求a的值，判断函数的单调性； (2)证明为奇函数； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，在R上单调递增，证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由已知有求参数，再应用单调性定义证明函数的单调性； （2）根据奇偶性的定义证明函数的奇偶性； （3）问题化为恒成立，再应用换元法、基本不等式求左侧最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由在上单调，则，解得， 故，函数定义域为R， 在R上单调递增，证明如下， 令，则， 由，，则，即， 所以在R上单调递增； （2），函数定义域为R， 则， 所以为奇函数； （3）， 所以，则恒成立， 令， ，当且仅当，即时取等号， 所以. 所以实数m的取值范围为. 一、单选题 1．（25-26高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求函数定义域，再利用复合函数单调性分析判断即可. 【详解】令，解得或， 可知函数的定义域为， 因为的图像开口向上，对称轴为， 可知在内单调递减，在内单调递增， 且在定义域内单调递增， 可知在内单调递减，在内单调递增， 又因为在定义域内单调递减， 可得在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 2．（25-26高一上·河北保定·期中）函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的值域，再根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】因为的值域为，且在上单调递增， 所以的值域为， 故选：A 3．（25-26高二下·天津·期末）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象的特征，逐一判断各个选项，利用排除法即可解答. 【详解】由函数的部分图象可知： 函数在处无意义；当时，；当时，；等. 对于选项A：因为分母， 所以函数定义域为，在处有意义，与函数在处无意义矛盾，故选项A不符合要求. 对于选项B：因为，与矛盾， 故选项B不符合要求. 对于选项C：因为恒成立，与时，矛盾， 故选项C不符合要求. 对于选项D： 要使函数有意义，须使，得，满足要求； 当时，有，则，满足要求； 当时，有，则，满足要求； ，满足要求. 4．（24-25高二下·湖南长沙·期末）若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数在上单调递增的要求：各分段分别单调递增、分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解. 【详解】若为上的单调递增函数，需同时满足以下条件： 当时，指数函数单调递增，因此； 当时，一次函数单调递增， 因此斜率，解得； 在分段点处，左端函数值不大于右端函数值， 即，整理得，解得； 取三个不等式解集的交集，可得，即的取值范围为. 5．（25-26高一上·广东汕头·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性可知在区间上单调递减，解不等式即可． 【详解】在上单调递减， 又函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减， ，解得． 6．（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，分和两种情况，结合指数函数性质分析求解. 【详解】当时，则， 且，所以， 若函数的值域为，可知当时，则的值域包含， 若，则在内单调递减， 可得，不合题意； 若，则在内单调递增， 可得，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围是. 故选：B. 二、多选题 7．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则（ ） A．不等式解集为 B．的图图像关于轴对称 C．是上的递增函数 D．的值域为 【答案】ACD 【分析】化去绝对值再利用指数函数的单调性解不等式可判断A；判断函数的奇偶性可判断B；根据复合函数单调性判断C；通过求含指数函数的复合函数的值域判断D. 【详解】 对于A，由得，即，解得.故A正确； 对于B，因为，所以函数是奇函数，其图像关于原点对称，不关于y轴对称，故B不正确； 对于C，因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数， 因此函数是增函数，故C正确； 对于D，由，所以函数的值域为，故D正确. 故选：ACD. 8．（24-25高一上·吉林·期末）已知函数（），则（ ） A．函数在上单调递增 B．当时，函数的值域为 C．当时，为奇函数 D．当时，函数的图象关于点中心对称 【答案】AD 【分析】根据指数型复合函数的单调性判断A，根据指数函数的性质及不等式的性质判断B，计算，即可判断C、D. 【详解】函数的定义域为， 因为在定义域上单调递增且，在上单调递增， 所以在上单调递增，故A正确； 因为，所以，，所以， 即， 当时，函数的值域为，故B错误； 当时，， 则， 所以为不是奇函数，故C错误； 当时，， 则， 所以函数的图象关于点中心对称，故D正确. 故选：AD 三、填空题 9．（24-25高一上·云南大理·期末）函数的值域是______________. 【答案】 【分析】应用换元法结合指数函数值域及二次函数求值域即可. 【详解】令，则， 当且仅当“”取等号，即原函数的值域为. 故答案为：. 10．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）.若该食品在0℃时的保鲜时间是192小时，在20℃时的保鲜时间是24小时，则该食品在30℃时的保鲜时间是______小时（保留一位小数）. 【答案】/ 【分析】依题意可得，两式相除求出，再代入计算可得. 【详解】由题意得， 两式相除得，所以. 当时，， 所以该食品在30℃时的保鲜时间约是小时. 故答案为： 四、解答题 11．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）设常数，函数，. (1)当时，求函数的值域. (2)若函数的最小值为0，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出的值域； （2）通过讨论的范围，结合二次函数的性质求出的最小值，求出的值即可． 【详解】（1）若，则， 因为，则，可得，， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，且，， 可得，所以函数的值域为. （2）因为函数，， 且，则，可得，， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 当时，在内单调递增， 则的最小值是，解得，符合题意； 当时，在内单调递减，在内单调递增， 则的最小值是，解得，不合题意； 当时，在内单调递减， 则的最小值是，解得，不合题意； 综上所述：． ．（24-25高二下·河北·期末）已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用换元法将指数型函数转化为二次函数；再根据二次函数的单调性即可求出函数的值域. （2）分类讨论，结合指数函数和复合函数单调性即可求解. 【详解】（1）当时，. 令，， 则，. 因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时；当时， 故函数，的值域为. 所以当时，在上的值域为. （2）当时，，满足在上单调递增，满足题意； 当时，设，则，. 因为单调递增， 所以要使在上单调递增， 须使在上单调递增， 所以解得. 综上可得：实数的取值范围为，即. 1．（25-26高一上·广东·期中）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但又不与该直线相交，则函数有（ ） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值 D．最小值 【答案】B 【分析】先利用函数过定点的性质通过待定系数法求参数关系，再利用渐近线特征确定参数具体值，最后结合绝对值与指数函数的单调性分析最值即可. 【详解】因为函数的图象过原点，得： ，所以，即. 因为， 所以当时，，此时， 又因为函数图象无限接近直线但不相交， 因此：，又因为，得. 则， 因为，得，则， 所以：， 所以：， 即函数无最大值，最小值为0. 故选：B. 2．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若对任意实数，都有，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对任意实数，都有，得到，从而得到在上是单调递减函数，利用单调性得到的取值范围. 【详解】因为对任意实数，都有， 所以， 所以在上是单调递减函数， 所以， 所以实数的取值范围为，故选项A正确. 3．（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义求出判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；取可判断D. 【详解】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，取，则，函数无最小值，所以D错误， 4．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】分类讨论，，时，两段函数的单调性，根据分段函数存在最小值建立不等式，解不等式即可得结论. 【详解】由题意，令，，，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递减， 且在上的值域为， 由题意，分段函数存在最小值，故需，解得， 结合，此时； 当时，在上单调递减，且值域为， ，此时分段函数存在最小值1，符合题意； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 且在上的值域为， 由题意，分段函数存在最小值，故需，即， 解得，结合，此时； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 5．（25-26高二下·江苏南京·期末）已知函数的定义域为，且图象经过点． (1)求的值； (2)求的值域； (3)求的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）把点代入解析式求解即可； （2）令，利用对勾函数的单调性可求得在上的值域； （3）令，结合单调性可得，利用二次函数的最值，分类讨论可求得的最小值. 【详解】（1）因为过点，把点代入得：， 解得或. （2），令， 因为，所以. 于是得到，． 因为在单调递减，在单调递增， ，，． 所以的最小值为2，的最大值为． 于是在上的值域为． （3）（） 令， 由（2）可知， 于是得到，对称轴为； 当时，在单调递增，在处取最小值， 所以; 当时，在单调递减，在单调递增， 在处取最小值，所以; 当时，在单调递减，在处取最小值． 所以． 综上. 1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 2．（2007·江苏·高考真题）定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的图象关于直线对称可得，再根据当时，单调递减可得答案. 【详解】定义在上的函数的图象关于直线对称， 所以，所以， 因为当时，为单调递增函数， 定义在上的函数的图象关于直线对称， 所以当时，单调递减， 因为，所以，即. 故选：B. 3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 4．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 5．（2004·全国·高考真题）为了得到函数的图像，可以把函数的图像（ ）． A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【详解】分析：函数化成：，利用函数的平移变换可得结果. 详解：∵函数化成：， ∴可以把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， 故选． 点睛：本题主要考查指数的运算以及函数的“平移变换“，属于中档题.函数图像的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图像经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序. 6．（2008·安徽·高考真题）若函数分别为上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性得，进而得，从而利用函数的单调性及正负可比较大小. 【详解】函数分别是上的奇函数、偶函数, ， 由，得， ， ， 解方程组得， 易知在上单调递增，所以， 又 所以. 故选：D 7．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 9．（2003·江苏·高考真题）若函数，当时函数值，则的取值范围是（ ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】分与去解不等式，求出的取值范围. 【详解】当时，，解得：，与取交集，结果为；当时，，解得：，综上：的取值范围是. 故选：D 10．（2006·天津·高考真题）函数(，且)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件令，再借助二次函数单调性结合复合函数单调性分类讨论作答. 【详解】令，则原函数转化为，其图象的对称轴为直线， 若，则在上单调递增，且，因为原函数在区间上单调递增，于是得，解得，与矛盾， 若，则在上单调递减，且，因为原函数在区间上单调递增，于是得，解得或，则， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 11．（2013·新课标Ⅱ·高考真题）若存在正数使成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，存在正数，使，所以，而函数在上是增函数，所以，所以，故选D. 【考点定位】本小题主要考查不等式、分离参变量、函数的单调性等知识，考查转化与化归等数学思想，考查分析问题以及解决问题的能力. 12．（2017·全国·高考真题）函数的图像关于直线对称，则_____________． 【答案】 【分析】根据指数函数图象可得的图象，写出其对称轴，由特殊推一般，可得的对称轴，即可求出的值. 【详解】因为的对称轴为， 的对称轴为相当于y＝向右平移1个单位，所以. 故答案为：. 13．（2005·上海·高考真题）满足方程的值为________． 【答案】0 【分析】令，原方程化为，即可求出，从而求出； 【详解】解：令，原方程化为，解得或 因为，所以，即，解得 故答案为：0 【点睛】本题考查指数的运算，属于基础题. 14．（2018·上海·高考真题）已知常数，函数的图像经过点、，若，则________ 【答案】 【分析】将点代入函数并相加可得，化简后可得，从而可求解. 【详解】根据题意，，即， 去分母化简得，所以，因为，所以. 故答案位：. 15．（2004·湖南·高考真题）若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是______. 【答案】 【分析】就的取值分类讨论后可得a的取值范围. 【详解】直线与的图象有两个公共点， 故有两个不同的解， 故和共有两个不同的解， 因为，故有且只有一个实数解. 若，则，故无解，而只有一个解， 故有且只有一个实数解，与题设矛盾，舍； 若，因为只有一个解，故需有一解， 故，故. 故答案为：. 16．（2013·上海·高考真题）方程的实数解为_________. 【答案】 【详解】试题分析：由题意有，令（），则，即. 考点：1.换元法；2.指数，对数的运算. 17．（2017·全国III卷·高考真题）设函数则满足的x的取值范围是____________. 【答案】 【详解】由题意得：当时，恒成立，即；当时，恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是. 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值. 18．（2015·福建·高考真题）若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_______． 【答案】 【详解】试题分析：根据可知函数的图像关于直线对称，可知，从而可以确定函数在上是增函数，从而有，所以，故的最小值等于. 考点：函数图像的对称性，函数的单调性. 【方法点睛】该题根据题中的条件确定好函数本身的单调区间，根据函数在函数增区间的所有子区间上是增函数，从而求得参数的取值范围，关键是根据条件，得出函数图像的对称性，确定出函数图像的对称轴，从而得到函数的增区间，从而根据集合间的包含关系，从而确定出参数的取值范围. 19．（2008·上海·高考真题）已知函数. (1)若，求的值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分别讨论和去绝对值解方程即可求解； （2）由题意可得：对于恒成立，分离转化为最值问题即可求解. 【详解】（1）当时，，舍去； 当时，，即， 令，则，解得：或（舍）， 所以，可得：. （2）当时，，即， 即. 当时，，所以对于恒成立， 所以， 当，，，所以 故的取值范围是. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $