4.2 练习3 指数函数的图象和性质(二) 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦指数函数性质应用，分层设计基础巩固、能力提升、综合创新三阶练习，实现从概念理解到问题解决的递进，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单调性、值域等单一性质|基础选择（1-5题），直接考查定义与性质，培养抽象能力| |提升层|比较大小、复合函数单调区间|含多选（8-9题）和中档填空（10-12题），强化性质交叉运用，发展推理能力| |综合层|奇偶性、新定义问题|解答题（13-16题）及“倒戈函数”探究，突出数学建模与创新意识，提升应用能力|

4.2 练习3　指数函数的图象和性质(二) 1. 函数f(x)＝()x在区间[1， 2]上的最大值是(　 　) A. B. C. 3 D. 2 2. 函数y＝－1的值域为(　 　) A. [1， ＋∞) B. (－1， 1) C. [－1， ＋∞) D. [－1， 1) 3. 已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为(　 　) A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. c＞a＞b D. b＞c＞a 4. 函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[1， 2]上的最大值是最小值的2倍，则a的值为(　 　) A. 或 B. 或2 C. D. 2 5. 已知函数f(x)＝4x，则f(x)(　 　) A. 是奇函数，且在R上是增函数 B. 是偶函数，且在R上是增函数 C. 是奇函数，且在R上是减函数 D. 是偶函数，且在R上是减函数 6. (2024·广东实验中学高一期中) 函数f(x)＝的单调递增区间是(　 　) A. (－∞，1) B. (－∞，－2) C. (4，＋∞) D. (1，＋∞) 7. (2024·青岛二中高一检测)已知x，y∈R，且2x＋3y＞，则下列各式中，正确的是(　 　) A. x＋y＞0 B. x＋y＜0 C. x－y＞0 D. x－y＜0 8. (多选)若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[－2， 2]上的最大值和最小值的和为，则a的值可能是(　 　) A. B. C. D. 3 9. (多选)若f(x)＝3x＋1，则下列说法中，正确的有(　 　) A. f(x)在[－1， 1]上单调递增 B. y＝3x＋1与y＝＋1的图象关于y轴对称 C. f(x)的图象过点(0， 1) D. f(x)的值域为[1， ＋∞) 10. 函数f(x)的值域为(0，＋∞)，且为减函数，则符合要求的函数f(x)可以为　 　(写出符合条件的一个函数即可).  11. 已知f(x)＝为奇函数，则a＝　 　.  12. 定义运算：ab＝则函数f(x)＝3x的值域为　 　.  13. 已知函数f(x)＝. (1)求函数f(x)的定义域； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)求函数f(x)的值域. 14. 已知f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1，2]. (1)设t＝3x，x∈[－1，2]，求t的最大值与最小值； (2)求f(x)的最大值与最小值. 15. 对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)＝3x＋2m－1(m∈R，且m≠0)是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是 　.  16. 已知函数f(x)＝为偶函数. (1)求a的值，并写出f(x)的单调区间； (2)若存在x∈[0，1]使不等式bf(2x)＋1≥f(x)成立，求实数b的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 练习3　指数函数的图象和性质(二) 1. 函数f(x)＝()x在区间[1， 2]上的最大值是(　C　) A. B. C. 3 D. 2 【解析】∵＞1，∴指数函数f(x)＝()x为增函数，∴当x＝2时，函数取得最大值，且最大值为3. 2. 函数y＝－1的值域为(　D　) A. [1， ＋∞) B. (－1， 1) C. [－1， ＋∞) D. [－1， 1) 【解析】∵2x＞0，∴4－2x＜4.又4－2x≥0，∴0≤4－2x＜4.令t＝4－2x，则t∈[0， 4)，∴∈[0，2)，∴y∈[－1，1)，即函数的值域是[－1，1). 3. 已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为(　B　) A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. c＞a＞b D. b＞c＞a 【解析】a＝30.2∈(1，3)，b＝0.2－3＝＝53＝125，c＝(－3)0.2＝(－3＜0，∴b＞a＞c. 4. 函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[1， 2]上的最大值是最小值的2倍，则a的值为(　B　) A. 或 B. 或2 C. D. 2 【解析】函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在区间[1，2]上的最大值是最小值的2倍.当a＞1时，函数f(x)＝ax是增函数，f(x)max＝2f(x)min，∴f(2)＝2f(1)，∴a2＝2a， ∴a＝2.当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax是减函数，f(x)max＝2f(x)min，∴f(1)＝2f(2)，∴a＝2a2，∴a＝.综上所述，a＝2，或a＝. 5. 已知函数f(x)＝4x，则f(x)(　A　) A. 是奇函数，且在R上是增函数 B. 是偶函数，且在R上是增函数 C. 是奇函数，且在R上是减函数 D. 是偶函数，且在R上是减函数 【解析】f(x)＝4x－＝4x－4－x的定义域为R，又f(－x)＝4－x－4x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数.∵y＝4x在R上是增函数，y＝－4－x在R上是增函数，∴f(x)在R上是增函数. 6. (2024·广东实验中学高一期中) 函数f(x)＝的单调递增区间是(　A　) A. (－∞，1) B. (－∞，－2) C. (4，＋∞) D. (1，＋∞) 【解析】函数f(x)＝的定义域为R，函数u＝x2－2x－8在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，而函数y＝在R上单调递减，因此函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)＝的单调递增区间是(－∞，1). 7. (2024·青岛二中高一检测)已知x，y∈R，且2x＋3y＞，则下列各式中，正确的是(　A　) A. x＋y＞0 B. x＋y＜0 C. x－y＞0 D. x－y＜0 【解析】令f(x)＝2x－.∵y＝2x为增函数，由y＝3－x＝为减函数， 知y＝－3－x也是增函数，从而f(x)为增函数.由2x－3－x＞2－y－3y＝2－y－3－(－y)，可知f(x)＞f(－y).又f(x)为增函数，∴x＞－y，故x＋y＞0. 8. (多选)若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[－2， 2]上的最大值和最小值的和为，则a的值可能是(　BC　) A. B. C. D. 3 【解析】当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax在[－2， 2]上单调递减，则f(x)max＋ f(x)min＝f(－2)＋f(2)＝＋a2＝，解得a＝；当a＞1时，函数f(x)＝ax在 [－2， 2]上单调递增，则f(x)max＋f(x)min＝f(2)＋f(－2)＝a2＋，解得a＝.综上a＝或. 9. (多选)若f(x)＝3x＋1，则下列说法中，正确的有(　AB　) A. f(x)在[－1， 1]上单调递增 B. y＝3x＋1与y＝＋1的图象关于y轴对称 C. f(x)的图象过点(0， 1) D. f(x)的值域为[1， ＋∞) 【解析】f(x)＝3x＋1在R上是增函数，A正确；∵y＝3x与y＝的图象关于y轴对称，将它们的图象都向上平移1个单位长度后仍关于y轴对称，即y＝3x＋1与y＝＋1＝＋1的图象关于y轴对称，B正确；由f(0)＝2，得f(x)的图象过点(0， 2)，C错误；由3x＞0，可得f(x)＞1，D错误. 10. 函数f(x)的值域为(0，＋∞)，且为减函数，则符合要求的函数f(x)可以为　f(x)＝(答案不唯一)　(写出符合条件的一个函数即可).  【解析】∵函数f(x)＝的值域为(0，＋∞)，且是减函数，∴函数f(x)＝即是符合要求的一个函数. 11. 已知f(x)＝为奇函数，则a＝　1　.  【解析】∵f(x)为奇函数，∴在f(x)的定义域内任取x都有f(－x)＝－f(x)成立，即＝－，整理得(1－a)(2x＋1)＝0，又2x＋1＞0，∴a＝1. 12. 定义运算：ab＝则函数f(x)＝3x的值域为　(0， 1]　.  【解析】由题意得，f(x)＝函数f(x)的图象如图实线部分所示，由图可知f(x)的值域为(0， 1]. 13. 已知函数f(x)＝. (1)求函数f(x)的定义域； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)求函数f(x)的值域. 解：(1)由题意可得，函数f(x)的定义域为R. (2)令t＝－x2＋6x－5，则t＝－(x－3)2＋4在(－∞，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，又函数y＝是减函数，∴函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，3). (3)由(2)中结论可知，f(x)≥f(3)＝，故函数f(x)的值域为. 14. 已知f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1，2]. (1)设t＝3x，x∈[－1，2]，求t的最大值与最小值； (2)求f(x)的最大值与最小值. 解：(1)设t＝3x，∵x∈[－1，2]，函数t＝3x在[－1，2]上单调递增，故有≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为. (2)由f(x)＝9x－2×3x＋4＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为 t＝1，且≤t≤9，故当t＝1时，函数f(x)有最小值为3，当t＝9时，函数f(x)有最大值为67. 15. 对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)＝3x＋2m－1(m∈R，且m≠0)是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是 　.  【解析】∵f(x)＝3x＋2m－1是定义在[－1， 1]上的“倒戈函数”，∴∃x0∈[－1， 1]满足f(－x0)＝－f(x0)，∴＋2m－1＝－－2m＋1，∴4m＝－＋2.构造函数g(x)＝－－3x＋2，x∈[－1，1]，令t＝3x，则t∈，则g(x)可转化为y＝－－t＋2，易知y＝－－t＋2在上单调递增，在[1，3]上单调递减，∴y∈，∴－≤4m≤0，∴－≤m≤0，又m≠0，∴m∈. 16. 已知函数f(x)＝为偶函数. (1)求a的值，并写出f(x)的单调区间； (2)若存在x∈[0，1]使不等式bf(2x)＋1≥f(x)成立，求实数b的取值范围. 解：(1)f(x)的定义域为R，∵f(x)＝，∴f(－x)＝，又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，解得a＝1，则f(x)＝＝2x＋.由对勾函数的性质知，当2x∈(0，1)，即x∈(－∞，0)时，函数f(x)单调递减，当2x∈(1，＋∞)，即x∈(0，＋∞)时，函数f(x)单调递增，∴函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增. (2)由题意可得存在x∈[0，1]使不等式b＋1≥2x＋，即b＋1≥2x＋成立，令t＝2x＋，则t∈，∴b(t2－2)＋1≥t有解. 由b(t2－2)＋1≥t，得b≥，令g(t)＝，t∈，则b≥g(t)min，g(t)＝ ≥，∴b≥，故实数b的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司 $